中考数学压轴题练习 21旋转模型综合问题（教师版）

【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题21旋转模型综合问题

典例题

【例I】.如图(1),P为AABC所在平面上一点，且NAP8=NBPC=NC%=120°,则点P叫做AABC

的费马点.

(1)如果点P为锐角448C的费马点，且NABC=60°.

①求证：AABPsABCP；

②若B4=3,PC=4,则PB=2、伍.

(2)已知锐角AABC,分别以AB、AC为边向外作正AABE和正44CZλCE和8。相交于P点.如图

(2)

①求NCPo的度数；

②求证：P点为AABC的费马点.

【分析】(1)①根据题意，利用内角和定理及等式性质得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即

可得证；

②由三角形A8P与三角形8CP相似，得比例，将力与PC的长代入求出P8的长即可；

(2)①根据三角形ABE与三角形ACo为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两个角

为60°,利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形ABD全等，利用全等三角

形的对应角相等得到Nl=∕2,再由对顶角相等，得到/5=/6,即可求出所求角度数；

②由三角形4。尸与三角形CPF相似，得到比例式，变形得到积的恒等式，再由对顶角相等，利用两边

成比例，且夹角相等的三角形相似得到三角形A”与三角形CfD相似，利用相似三角形对应角相等得

到/APF为60°,由NAao+/OPG求出/APC为120°,进而确定出/APB与N8PC都为120°,

即可得证.

【解答】（1）证明：①∙.∙N∕¾8+NP8A=180°-ZAPB=60o，ZPBC+ZPBA=ZABC=60°,

∙'.NPAB=NPBC,

又INAPB=NBPC=120°，

：.XABPs4BCP,

②解：•：XABPs[∖BCP'

•PA=PB

"PBPC,

J.PBλ=PA∙PC=∖2,

.,.PB=2√3;

故答案为：2√j

(2)解：①；△48E与AACO都为等边三角形，

二NBA£=/CAQ=60°,AE=AB,AC=AD,

：.ZBAE+ZBAC^ZCAD+ZBAC,即NEAC=NBAD,

在AACE和aABO中，

,AC=AD

<ZEAC=ZBAD-

EA=AB

Λ∆4CE^∆ABD(SAS),

ΛZ1=Z2,

VZ3=Z4,

，/CPD=/6=/5=60°；

②证明：方法一：<XADFs∕∖CFP,

...迎=雪

"cpPF,

.∙.AF∙PF=DF∙CP,

,.∙NAFP=NCFD,

Λ∆Λ∕7P∞∆CDF.

.*.ZAPF=ZACD=6Q,',

ΛZAPC=ZCPD+ZAPF=120°,

/.ZBPC=120",

ΛZΛPB=360°-NBPC-NAPC=I20：

P点为AABC的费马点.

方法二：由①知：ZCPD=60o,

ΛZBPC=180o-ZCPD=120°,

由①知：Nl=∕2,

ΛA,P,C,。共圆，

ΛZAPC+ZADC=ISOo,

.∙.NAPC=180°-ZADC=120°,

ΛZΛPB=360°-ZBPC-ZAPC=\20°,

二产点为AABC的费马点.

图2

【例2】.如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM.以AB为一边向外作等边三

角形AABE,将绕点B逆时针旋转60°得到BM连接EM

(1)求证：AAMB当LENB;

(2)若4M+BM+CM的值最小，则称点M为aABC的费马点.若点M为aABC的费马点，试求此时N

AMB.NBMC、NeMA的度数；

(3)小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以AABC的AB、AC

为一边向外作等边aABE和等边AAC凡连接CE、BF,设交点为M,则点/即为AABC的费马点.试

说明这种作法的依据.

【分析】(1)结合等边三角形的性质，根据SAS可证

(2)连接MN,由(1)的结论证明WN为等边三角形，所以BM=MN,即AM+BM+CM=EN+MN+CM,

所以当E、N、M、C四点共线时，AΛ7+8M+CM的值最小，从而可求此时/AM8、ZBMC,NaWA的度

数；

（3）根据（2）中费马点的定义，又aABC的费马点在线段EC上，同理也在线段BF上.因此线段EC

与8尸的交点即为AABC的费马点.

【解析】（1）证明：YZXABE为等边三角形，

C.AB=BE,NABE=60°.

而NMBV=60°，

NABM=NEBN.

在与aENB中，

'AB=BE

,∙,<ZABM=ZEBN-

BI=BN

：.丛AMBm丛ENB（SAS）.

（2）连接MM由（1）知，AM=EN.

•：NMBN=60°,BM=BN,

.♦.△8MN为等边三角形.

IBM=MN.

.∖AM+BM+CM=EN+MN+CM.

当E、N、M、C四点共线时，AA/+8M+CM的值最小.

此时，ZBMC=1800-ZWfi=I20°；

ZAMB=ZENB=180°-ZBW=120°；

NAWC=360°-ZBMC-ZAMB=120°.

（3）由（2）知，AABC的费马点在线段EC上，同理也在线段BF上.

因此线段EC与BF的交点即为aABC的费马点.

B

图1

【例3].如图(1),P为AABC所在平面上一点，且NAP8=NBPC=NC%=120°,则点P叫做AABC

的费马点.

(1)若点P是等边三角形三条中线的交点，点P是(填是或不是)该三角形的费马点.

(2)如果点P为锐角448C的费马点，且N4BC=6O°.求证：AABPsABCP;

(3)已知锐角4A8C,分别以AB、AC为边向外作正AABE和正AACZ),CE和BQ相交于P点.如图

(2)

①求NCPO的度数；

②求证：P点为AABC的费马点.

【分析】(1)依据等腰三角形三线合一的性质可知：A/8平分N48C,则∕4BP=30°,同理∕8AP=30°,

则NAP8=120°,同理可求得乙4PC,NB尸C的度数，然后可作出判断；

(2)由费马点的定义可知NB4B=NPBC,然后再证明N∕¾8=NP8C即可；

(3)如图2所示：①首先证明CE丝Z∖A8O,则/1=/2,由/3=/4可得到/CTO=N5；②由/

Cra=60o可证明NBPC=120°,然后证明△4£＞尸S由相似三角形的性质和判定定理再证明△

AFPSXCDF,故此可得到NAPF=NAC0=60°,然后可求得NAPC=I20°,接下来可求得/"B=

120°.

【解析】(1)如图1所示：

.∙.MB平分/A8C.

同理：AN平分N8AC,PC平分NBC4.

;△ABC为等边三角形，

.∙.∕A8P=30°,NBAP=30°.

二/APB=120°.

同理：NAPC=I20°,NBPC=I20；

P是448C的费马点.

故答案为：是.

(2)'：ZPAB+ZPBA=-NAPB=60°,APBC+APBA=ZABC=60°,

：./FAB=NPBC,

又YNA尸B=NB尸C=120°,

,∖∆ABP^∆BCP.

(3)如图2所示:

①,/AABE与AACD都为等边三角形,

ΛZfiAE=ZCAD=60o,AE=AB,AC=AD,

：.ZBAE+ZBAC=ZCAD+ZBAC,即ZEAC=ZBAD,

"AC=AD

在和AA8o中，，ZEAC=ZBAD

EA=AB

ΛΛACE^∕∖ABD(SAS),

.∙.Z1=Z2,

∙.∙∕3=N4,

ΛZCPD=Z6=Z5=60o；

②证明：,:丛ADFSXCFP,

J.AF∙CF=DF∙PF,

∖∙ZAFP=ZCFD,

:.XAFPSXCDF.

.∙.NAPF=/AC。=60°,

ΛZAPC=ZCPD+ZAPF=}2Q°,

ΛZfiPC=120o,

.∙.∕APB=360°-ZBPC-ZAPC=I20o,

二P点为AABC的费马点.

【例4】.【方法呈现1

(1)已知，点P是正方形ABCD内的一点，连布、PB、PC将△/¾B绕点B顺时针旋转90°到△「'

CB的位置(如图1),设AB的长为小P8的长为b(⅛<α),求△曲B旋转到△「'CB的过程中边南

所扫过区域(图1中阴影部分)的面积；

【实际运用工

(2)如图2,点P是等腰RtZXABC内一点，AB=BC,连接a,PB,PC.若∕¾=2,PB=4,PC=6,

求NAPB的大小；

【拓展延伸】：

(3)如图3,点P是等边AABC内一点，∕¾=3,PB=4,PC=5,则4APC的面积是2返+3(直

―4-

接填答案)

【分析】(1)依题意，将△「'CB逆时针旋转90°可与△/¾B重合，此时阴影部分面积=扇形8AC的

面积一扇形8PP的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°,可据此求出阴影部分的面

积.

(2)连接尸P',求出APBP'是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得PP=4炳，NBP'

2=45°,再利用勾股定理逆定理求出NCPP=90°,然后计算即可得解；

(3)根据全等三角形的面积相等求出aAPB鼻XAPC的面积之和等于四边形APCP∖的面积，然后根据

等边三角形的面积与直角三角形的面积列式计算即可得解，同理求出AABP和PC的面积的和，ZkAPC

和ABPC的面积的和，从而求出aABC的面积，然后根据aBPC的面积=A48C的面积-AAPB

APC的面积的和计算即可得解.

【解析】(1)；将△/¾8绕点B顺时针旋转90°到△「'CB的位置，

：./\PABm/\P'CB,

：•SAPAB=S&FCB,

S阴婷=S⅛niSΛC-SH}KBPP=2Σ-(,a2-⅛2);

4

(2)如图2,连接PP'.

：将△/¾8绕B点顺时针旋转90°,与△P'C8重合，

ΛΔ∕¾B^∆P,CB,ZPBP1=90°,

.'.BP=BP',NAPB=NCP'B,AP=CP'=2,

.∙.∕∖PBP'是等腰直角三角形，

.".PP'=√2∕,β=4√2-NBP'P=45°.

在ACPP'中，VPP'=4√21CP'=2,PC=6,

：.PP'2+CP'2=PC2,

.".ΛCP'尸是直角三角形，ZCP'P=90o,

.∙.∕CP'B=NBP'P+ZCP'P=45°+90°=135°；

(3)如图3①，将4∕¾B绕A点逆时针旋转60°得到APiAC,连接PPi,

ΛAPB^∆AP∖C,

：.AP=APi,Z∕¾Pι=60o,CPI=BP=4,

∕∖PAP∖是等边三角形，

.∙.PP1=A尸=3,

VCP=5,Cp=4,PPI=3,

.,.PP12+CP∣2=CP2.

ZsCPi尸是直角三角形，ZCPlP=90°,

∙∙∙S"ppι=∙λx3X∙⅛^=∙^5,SC=JLX3X4=6,

2242

S四边形APCQl=Sz∖APPl+SAPPIC=用;

.Ws

∙,∙S>ABP^S4APC=S四边形APCPl=二'‘一+6;

4_

如图3②，同理可求：AABP和aBPC的面积的和=JLX4X生巨+JιX3X4=4√^+6,

_222

∕∖APC和aBPC的面积的和=2X5X刍返+■1×3×4=皆返+6,

2224

,△ABC的面积=JL（2&+6+4百÷6+”返+6）="返+9,

2444__

AAPC的面积=AABC的面积-A4P8与48PC的面积的和=（生返+9）-（4√3+6）=2^1+3.

44

故答案为2返+3.

图3①

优训练

1.如图，P是正三角形ABC内的一点，且％=6,PB=8,PC=10.若将△/⅜C绕点A逆时针旋转后，得

到AB.

(I)求点尸与点P之间的距离；

(2)求/APB的度数.

【分析】(1)由已知△/¾C绕点A逆时针旋转后，得到AB,可得△/¾C岭△「'AB,PA=P'4,

旋转角NP'AP=NJR4C=60°,所以AAPP'为等边三角形，即可求得PP'；

(2)由AAPP'为等边三角形，得∕4PP'=60°,在△尸P'8中，已知三边，用勾股定理逆定理证出

直角三角形，得出NPP8=90°,可求NAP8的度数.

【解析】(1)连接尸尸'，由题意可知8P'=PC=IO,AP1=AP,

ZPAC=ZPfAB,而/∕¾C+NBAP=60°,

所以NA¾P=60度.故为等边三角形，

所以PP'=AP=AP'=6；

(2)利用勾股定理的逆定理可知：

PP'2+BP2=BPI2,所以ABPP'为直角三角形，且NBPP=90°

可求NAP5=90°+60°=150°.

2.(原题初探)(1)小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1,P是正方形ABe。内一点，连结

PA,PB,PC现将△/¾B绕点8顺时针旋转90°得到的CB,连接尸P'.若PA=®,PB=3,Z

APB=I35°,则PC的长为2遥，正方形ABCE）的边长为

（变式猜想）（2）如图2,若点P是等边AABC内的一点，且B4=3,PB=4,PC=5,请猜想NAP8的

度数，并说明理由.

（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：

如图3,在四边形ABC。中,AQ=3,CO=2,NABC=/ACB=NAOC=45°,则BQ的长度为'成.

【分析】（1）由旋转的性质得8尸=BP'=3,尸'C=PA=ENPBP'=90°,NBP'C=/APB=135°,

则ABPP'为等腰直角三角形，再由勾股定理得PC=2√^,过点A作AEj_BP交8P的延长线于E,则

△AEP是等腰直角三角形，得AE=PE=1,得BE=4,然后由勾股定理即可求解；

（2）由旋转的性质得ABPP'是等边三角形，则PP'=BP=4,ZBPP'=60°,AP=3,AP'=PC

=5,再由勾股定理得逆定理得AAPP为直角三角形，即可求解；

（3）由旋转的性质得AK=A£>=3,CK=8/）,∕KAO=90°,则4ZMK是等腰直角三角形，得。《=3近，

NAZ）K=45°,再证∕CQK=90°,即可解决问题.

【解析】（1）V∆PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△「'CB,

：.BP=BP'=3,P'C=∕¾=V2>NPBP'=90°,NBP'C=ZAPB=135°,

JABPP'为等腰直角三角形，

：.NBP'P=45°,PP'=®PB=3近,

.".ZPP'C=135o-45°=90°，

在RtZSPP'C中，由勾股定理得：PC={pF，2+p,*=q（如V+（近产2遍,

过点A作AELBP交BP的延长线于E,如图1所示：

VZAPB=135°,

ΛZAPS=180°-135°=45°,

.∙.aAEP是等腰直角三角形，

：.AE=PE=返隙=返XM=1,

22

.∖BE=PB+PE=3+∖=4,

在中，由勾股定理得：∣

RtZ∖AE8AB=^AE2+BE2=y~^~^2=√iγ.

故答案为：2，石，ʌ/17：

(2)NAPB的度数为150°,理由如下：

「△ABC是等边三角形，

.∙.A8=BC,NABC=60°,

将aBPC绕点B逆时针旋转60°,得到尸'A,连接PP',如图2所示:

则ABPP'是等边三角形，

.,.PP'=BP=4,NBPP'=60°,

'：AP=3,AP1=PC=5,

.'.P'P1+AP2=AP,2,

.∙.∆APP'为直角三角形，

ΛZAPP1=90°,

：.ZAPB^ZAPP'+ZBPP'=900+60°=150°；

(3)：乙4BC=NAeB=/4。C=45°,

...△8AC是等腰直角三角形，

；.NBAC=90°,AB=AC,

将AABO绕点4顺时针旋转90°,得到aACK,连接OK,如图3所示：

由旋转的性质得：AK=AD=3,CK=BD,NK40=90°,

...△D4K是等腰直角三角形，

ΛDλr=√24D=3√2-N4DK=45°,

；.NCDK=NADC+NADK=45°+45°=90°,

...△CQK是直角三角形，

∙,∙CK=VDK2-K：D2=V(3√2)2+22=ΛƩ22,

.∙.βz)=√22,

故答案为：√22∙

.∙gκ

C

图3

图1

3.问题：如图1,在等边AABC内部有一点P,已知Z¾=3,PB=4,PC=5,求N4P8的度数？

(1)请写出常见四组勾股数：3,4,5、5,⑵13、7,24,25、6,8,10.

(2)解决方法：通过观察发现以，PB,PC的长度符合勾股数，但由于用，PB,PC不在一个三角形

中，想法将这些条件集中在一个三角形，于是可将AABP绕4逆时针旋转60°到4AP'C,此时AABP

^ΛACP',这样利用等边三角形和全等三角形知识，便可求出NAPB=150。.请写出解题过程.

(3)应用：请你利用(2)题的思路，解答下面的问题：

如图2,在aABC中，ZCAB=90o,AB=AC,E,尸为BC的点，且∕E4F=45°,若BE=m,FC=〃,

请求出线段EF的长度(用加、〃的代数式表示).

图1图2

【分析】(1)根据勾股数的定义解决问题即可.

(2)根据等边三角形的性质得出AB=AC,NBAC=60°,根据旋转得出aACP^ΛABP,求出BA=

P'A=3,PB=P'C=4,ZBAP^ZCAP',求出/P'AP=NBAC=60°,推出△/¾P'是等边三角

形，求出PP'=P1A=3,根据勾股定理的逆定理求出NPP'C=90°,即可得出答案；

(3)根据旋转得出aACE'^∕∖ABE,根据全等得出AE=4E',BE=CE1,ZE'AC='BAE,求出

AFAE'=NEAF,根据全等三角形的判定推出AAEF丝F,推出FE=FE；根据勾股定理求出

E'尸即可.

【解析】(1)勾股数：3,4,5；5,12,13,7,24,25；6,8,10；

故答案为:3,4,5；5,12,13,7,24,25；6,8,10；

(2)如图1,将AABP绕顶点A逆时针旋转60°到AACP'处，则4ACP'AABP,

•••三角形48C是等边三角形，

：.AB=AC,ZBAC=60°,

.".PA=P1A=3,PB=P'C=4,NBAP=NCAP',

：.ZP'AP=ZPAC+ZCAP'=ZPAC+ZBAP=ZBAC=60°,

.∙.∆PAP'是等边三角形，

.".PP'=P'A=3,

在∕∖pp,C中，PP2+P'C2=9+I6=25=PC2,

:APP'C是直角三角形,

ΛAPP'C=90o,

ΛAAPB=ΛAP'C=60°+90°=150°.

故答案为150°.

(3)如图2中，将AABE绕顶点A逆时针旋转90°到aACE'处，则AACE'^∆ABE,

A

图2

：.AE=AE1,BE=CE',ZE'AC=ZBAE,

；NBAC=90°,NEAF=45°，

.∙.NBAE+NC4F=45°,

ZFAE'=ZE1AC+ZFAC=ZBAE+ZFAC=45a=ZEAF,

在aAEF和4AE'F中，

fAE=AE7

JZEAF=ZEyAF-

∣AF=AF

Λ∕∖AEF^ΛAE'F(SAS),

.∖FE=FE',

VZfiAC=90",AB=AC,

ΛZβ=ZACB=45o,

ΛZE,CA=/8=45°,

,NE'CF=450+45°=90°,

在Rt△£：'FC中，E'd+Fd=E'F1,

：.EF2-BE2+CF2=m2+n2,

ΛEF=ΛW∙

4.(1)如图1,点尸是等边aABC内一点，已知∕¾=3,PB=4,PC=5,求/AP8的度数.

分析：要直接求NAPB的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋

转把这三边集中到一个三角形内.

解：如图2,作N∕¾f>=60°使AO=AP,连接PD,CD,则ABAO是等边三角形.

ΛPD=ΛD=AP=3,NADP=N∕¾D=60°

「△ABC是等边三角形

：.AC=AB,NBAC=60°ΛZBAP=ZCAD

：.XABP安XACD

.∙.BP=CQ=4,NAPB=ZADC

；在aPCQ中，PD=3,PC=5,Cr)=4,PD1+cbλ=PC1

：.ZPDC=90°

.∙.ZAPB^ZADC^ZADP+ZPDC=60°+90°=150°

(2)如图3,在AABC中，AB=BC,NABC=90°,点P是BC内一点，PA=↑,PB=2,PC=3,

求/APB的度数.

(3)拓展应用.如图(4),Z∖ABC中，∕ABC=30°,AB=4,BC=5,P是AABC内部的任意一点，

连接叫PB,PC,则∕¾+PB+PC的最小值为

【分析】U)根据全等三角形的判定和性质解决问题即可.

(2)如图3中，把△尸8C绕8点逆时针旋转90°得到aOBA,利用勾股定理的逆定理证明NAPD=90°

即可解决问题.

(3)如图4中，先由旋转的性质得出AABP丝Z∖O8E,ZABP=ZDBE,BD=AB=4,NPBE=6。°,

BE=PE,AP=DE,再证明NDBC=90°,然后在RtABCD中，由勾股定理求出CD的长度，即为

∕¾+P8+PC的最小值：

【解析】(1)如图2,作N∕¾D=60°使AQ=AP,连接P£>,CQ,则△/¾。是等边三角形.

二PO=AD=AP=3,NAoP=N∕¾C=60°

「△ABC是等边三角形

：.AC=AB,N8AC=6()°,

："BAP=ZCAD,

.∖ΛABP^∕∖ACD(SAS)

.∖BP=CD=4,NAPB=NADC

；在APCZ)中，PD=3,PC=5,Cn=4,PD2+CD2=PC2

NPDC=90"

：.ZAPB=ZADC=ZADP+ZPDC=^60c,+90°=150°

故答案为：PD,ZCAD,NAPB,90.

(2)解：'：ZABC=90o,BC=AB,

把APBC绕8点逆时针旋转90°得到△。区4,如图,

图3

.'.AD=PC=3,BD=BP=2,

:NPBD=90°

：.DP=近PB=2点,NDPB=45°,

在PD中，AQ=3,PD=2α,弘=1,

Vl2+(2√2)2=32,

.".AP2+PD2^BD2,

.^.∆APD为直角三角形，

NAPO=90°,

；.NAPB=NAPD+NDPB=90°+45°=135°.

(3)解：如图4中，将AABP绕着点8逆时针旋转60°,得到连接EP,CD,

图4

.,.∆ABP^∆DBE

：.NABP=NDBE,BZ)=AB=4,ZPBE=60°,BE=PE,AP=DE,

.♦.△8PE是等边三角形

：.EP=BP

：.AP+BP+PC=PC+EP+DE

，当点。，点E,点P,点C共线时，Λ4+P3+PC有最小值Co

VZABC=30o=NABP+NPBC

.∖ZDBE+ZPBC=30o

，NOBC=90°

∙'∙CD=√BD2+BC2=V52+42^^,

故答案为C41∙

5.如图1,D、E、尸是等边三角形ABC中不共线三点，连接A。、BE、CF,三条线段两两分别相交于。、

E、F.已知AF=BO,NEDF=60°.

(1)证明：EF=DF-,

(2)如图2,点M是Ef)上一点，连接CM,以CM为边向右作aCMG,连接EG.若EG=EC+EM,

CM=GM,ZGMC=ZGEC,证明：CG=CM.

(3)如图3,在(2)的条件下，当点M与点。重合时，若CCA。，GD=4,请问在AACO内部是否

存在点尸使得尸到AACO三个顶点距离之和最小，若存在请直接写出距离之和的最小值；若不存在，试

说明理由.

(2)在EF上截取EN=EM,连接Λ∕N,可推出aEMN是等边三角形，可证ANCM^aEGM,然后推出

△CMG是等边三角形，从而问题得证；

(3)先求得AD=邛③，将△£)PC绕点。顺时针旋转60°至ADQG,连接AG,可得aPCQ是等边三

角形，≠⅛AP+PD+CP=AP+PQ+QG,故当A、P、。、G共线时，AP+PQ+CP最小=AG,最后解斜三

角形AOG,从而求得.

【解答】（I）证明：如图1,

A

「△ABC是等边三角形，

.∙.AC=A8,

NAC8=60°,

.∖ZCAF+ZDAB=60°,

VZEDF=60°,

ΛΛDAB+ZABD=W0,

ΛZCAF=ZABD,

"：AF=BD,

J.∕∖ACF^∕∖BAD(SAS),

：.EF=DF;

EF=DF,NEO尸=60°,

...△OEF是等边三角形，

ΛZDEF=60°,

在E尸上截取EN=EM,连接MM

.∙.CN=CE+EN=CE+EM=EG,

・•・ZSEMN是等边三角形，

ΛZC7VM=60o,

•：NGMC=NGEC,Zα=Zβ,

"NCM=NEGM,

YCM=GM,

JANCM乌∕∖EGM(SAS),

：・NMEG=NCNM=60°，

：.ZCEG=1800-ZMEG-ZFED=60o,

：.ZGME=ZGEC=60o,

YCM=GM,

工ACMG是等边三角形,

ICG=CM;

(3)解：如图3,

由(1)(2)知，

XDEF和aSG是等边三角形，

ΛZCFD=60o,CO=GO=4,

VCD±AD,

,NCO尸=90°,

.,.AD=CF=—ɑŋ—=，

sin6003

将aOPC绕点。顺时针旋转60°至ZQG,连接AG,

：.AD=DQyCP=QG9

/•∕∖PDQ是等边三角形，

：.PD=PQf

：.AP+PD+CP=AP+PQ+QG,

，当A、P、Q、G共线时，AP+PD+CP最小=4G,

作GHYAD于H,

在Rt△£>GH中，

GH=∙lθG=2,

2

DH=与DG=2M'

：.AH-AD+DH--^⅞+2√3=ɪʧɜ,

ΛΛC=√GH2+AH2

-√(^1)2÷22

——2屈-1

3—

J.AP+PD+CP的最小值是2J点..

3

6.如图①，P为AABC所在平面上一点，且NAPB=NBPC=NC∕¾=120°,则点P叫做AABC的费马点.

(1)如果点P为锐角三角形ABC的费马点，且NABC=60°.

①求证：XABPsXBCP;

②若∕¾=3,PC=4,求PB的长.

(2)已知锐角三角形ABC,分别以AB、AC为边向外作正三角形ABE和正三角形AC£>,CE和B。相交

于P点，连结AP,如图②.

①求NCP。的度数；

【分析】(1)①由三角形内角和定理可求∕PBA+N∕¾B=60°,可证NP8C=N8AP,可得结论;

②由相似三角形的性质可得弛里，即可求解；

PBPC

(2)①由“S4S”可证CE丝Z∖AOB,可得∕1=N2,即可求解；

②通过证明△4£＞尸SaCFP,可得至1口1,可证AAFPSACDF,可得∕APF=∕ACD=60°,可得结

CPPF

论.

【解答】(1)①证明：Y点/＞为锐角三角形A8C的费马点，

二∕AP8=NBPC=NcB4=120°,

.∙.ZPBA+Z7¾B=60o,

VZΛBC=60°,

ΛZABP+ZPBC=60°,

：.ZPBC^ZBAP,

XVZAPB=ZBPC,

：.△AW5S△BfP,

②解：VΔABP^ΔBCP,

•••P一A•二P'B一,

PBPC

又∙.∙%=3,PC=A,

•••3一'-=P'B-，

PB4

ΛPB=2√3;

(2)①解：设AC与BD的交点于F,

如图，：ZXABE与aACQ都为等边三角形，

N84E=NCAO=60°,AE=AB,AC=AD,

.∙.ABAE+ABAC=ΛCAD+ZBAC,即NEAC=ZBAD,

在aACE和AADB中，

,AC=AD

＜NEAC=NBAD，

EA=AB

Λ∕∖ACE^∆ADB(SAS),

ΛZ1=Z2,

VZ3=Z4,

二/CPC=/6=/5=60°；

②证明：VZ1=Z2,Z5=Z6,

：.XNDFsχcFP,

•AFDF

"cp"PF'

J.AF∙PF=DF∙CP,

'：NAFP=NCFD,

：.XAFPsXCDF,

：.ZAPF^ZACD=60°,

.∙./APC=ZCPD+ZΛPF=120o,

：.NBPC=I20°,

.,./A尸B=360°-ZSPC-ZAPC=120°,

,P点为^A8C的费马点.

7.【问题情境】

如图1,在aABC中，NA=120°,AB=AC,BC=5M,则^ABC的外接圆的半径值为5.

【问题解决】

如图2,点尸为正方形ABCD内一点，且N8PC=90°,若AB=4,求AP的最小值.

【问题解决】

如图3,正方形ABCf）是一个边长为3«CTM的隔离区域设计图，CE为大门，点E在边BC上，CE=M

Cm,点P是正方形ABe。内设立的一个活动岗哨，到8、E的张角为120°,即NBPE=I20°,点A、

。为另两个固定岗哨.现需在隔离区域内部设置一个补水供给点Q，使得。到A、D、P三个岗哨的距离

和最小，试求QA+Q。+。尸的最小值.（保留根号或结果精确到1cm,参考数据次心1.7,10.52=110.25）.

【分析】（I）作出三角形的外接圆。，证明AOBA是等边三角形，利用三线合一性质计算即可：

（2）点P在以BC为直径的圆上，根据圆心，P,A三点共线时AP最小，计算即可；

（3）如图3,设/6PE所在圆的圆心为点0,根据（1）可得/2PE所在圆的半径，以点O为旋转中心，

将4O0A顺时针旋转60°,得到aOFN,当N,F,Q,P,。共线时，QA+QO+QP最小，构造直角三

角形求解即可.

【解析】（1）如图1,作AABC的外接圆。，作直径AO,连接。8,

'：AB=AC,

：.AOVBC,ZBAO=GOa,

'：OA=OB,

ΔOBA是等边三角形,

：.AB=OA=OB,

设A。与BC交于点E,BE=JLBC=旦旦,

22

在直角三角形ABE中,

「SinNBAO=里

AB

5√3

Λsin60o=，—=叵

AB2

.∙.A8=5,

：.0A=5,

故答案为:5；

(2)如图2,

•：NBPC=90°,

.∙.点在以BC为直径的圆上，设圆心为点。,

则0P=λBC=2,

2

：.O,P,A三点线时AP最小，

在直角三角形ABO中，

A°=∖AB2∙H）B2=2√^,

∙.∙Po=2,

.∙.AP的最小值为：AO-PO=2√5-2;

2√3

_2

（3）如图3,设Z8∕>E所在圆的圆心为点0,根据（1）可得NBPE所在圆的半径为一L=2,以点。

√3

2

为旋转中心，将AQQA顺时针旋转60°,得到aOFM当MF,Q,P,。共线时，QA+QQ+QP最小，

过点N作NGLAB交84的延长线于点G,连接AN,则AANO是等边三角形，过点。作OMLGN于M

交BC于点、H,连接。8,

；四边形A8C。是正方形,

：.AD//BC//GN,

.,.OH±BC,

∙.∙βE=2√3,

：.BH=M,

■■-0//=VOB2-BH2=1,

'：AD=DN,NADN=6Q°,

.♦.△ANZ)是等边三形，且4V=3«,∕M4O=60°,

NGAN=30°,

.∙.GN=4Λ⅛in30°=-⅛β,AG=ANcos30°=且，

22_

OΛ∕=O∕∕+4B+AG=-θ+l+3√3=-ll+3√3.MN=GN-BHwy=昱,

22________22

∙∙∙ON=yloM2+MN2=^(-γ+3√3)2+(ɪ)",

.∙.QA+QQ+QP最小值为：Il-2=9(cm).

8.问题提出

(1)如图，点/、N是直线/外两点，在直线/上找一点K,使得MK+NK最小.

问题探究

(2)在等边三角形48C内有一点P,且∕¾=3,PB=4,PC=5,求NAPB度数的大小.

问题解决

(3)如图，矩形ABC。是某公园的平面图，Aβ=3O√3τK,8C=60米，现需要在对角线8。上修一凉亭

E,使得到公园出口A、B,C的距离之和最小.问：是否存在这样的点E?

若存在，请画出点E的位置，并求出E4+EB+EC的和的最小值；若不存在,请说明理由.

CW:D

1九三

NABb'rI

【分析】(1)根据两点间线段距离最短，连接点M、N是,与直线/交于点K,点K即为所求；

(2)把AAPB绕点A逆时针漩转60°得到AACP',由旋转的性质可知APP'是等边三角形，所以/

AP1P=60°,由勾股定理逆定理可知NPP'C=为直角，从而求得/AP'C为150°,所以NAP8为

150°；

(3)把aABE绕点8逆时针旋转60°得到4A,5E',由旋转的性质，A,B=AB=300BE'=BE,

A,E'=AE,XE/BE=60°,4BA=60°,所以8E是等边三角形，

根据两点间线段距离最短，可知当E4+E8+EC=WC时最短，连接4C,与BD的交点时，点£即为所求，

此时EA+EB+EC最短，最短距离为A,C的长度，然后过点A作A'G±BC,利用勾股定理求出A'C的长度，

即求得EA+EB+EC的和的最小值.

【解析】(1)如图1，连接点M、N,与直线/交于点K,点K即为所求.

%

∖κ

Y\T

⅛

N

图1

(2)如图2,把AAPB绕点4逆时针旋转60°得到C,

图2

由旋转的性质，P'A=∕¾=3,P'C=PB=4,ZPAP1=60°,

.'.∆APP,是等边三角形，

.,.PPl=∕¾=3,ZAP'P=60°,

`:PP'2+P'C2=32+42=25,PC1=52=25,

.".PP'2+P'C2PC2,

.∖ZPP'C=90o,

ΛZAP'C=NA尸'P+NPP'C=600+90°=150°；

^ZAPB=ZAP'C=150°；

(3)如图3,把AABE绕点B逆时针旋转60°得到44BE',

AD

图3

由旋转的性质，A1B=ΛB=3O√3>BE'=BE,A'E'=AE,XE/BE=60°，ZA,BA=60°,

.∙.∆f,BE是等边三角形，

：.BE=EE,

.∖EA+EB+EC=A'E'+EE+EC,

根据两点间线段距离最短，可知当£A+£8+£C=4C时最短，连接4C,与BD的交点时，点E即为所求，

此时E4+EB+EC最短，最短距离为AC的长度.

过点4作4GJ_BC交C8的延长线于点G,则∕A'8G=90°-ZA1BA=90°-60°=30°.

A'G=JLA,B=AAB=A×30√3=15√3.G8=V§A'G=«X15«=45,GC=GB+8C=45+60=105,

222

在Rt44GC中，A'C=G2-KJC2=7(15√3)2+1052=

因此EA+EB+EC的和的最小值30√13∙

9.在平面直角坐标系中，二次函数y=αr2+⅛x-8的图象与X轴交于A、B两点,与y轴交于点C,直线y

=fcv+5(k≠0)经过点A,与抛物线交于另一点R,已知OC=2。4,OB=304.

3

(1)求抛物线与直线的解析式；

(2)如图1,若点P是X轴下方抛物线上一点，过点尸做PHLAR于点H,过点尸做PQ〃X轴交抛物

线于点Q,过点P做尸"'J_x轴于点H',K为直线PH'上一点，且PK=2，1。，点/为第四象限内

一点，且在直线PQ上方，连接/P、IQ,IK,记/=11pH/PQ，m=lP+IQ+IK,当/取得最大值时，

24

求出点尸的坐标，并求出此时机的最小值.

(3)如图2,将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M,过点M做MNLX轴，交抛物线于点N,

动点。为X轴上一点，连接M。、DN,再将AMDN沿直线MO翻折为aMQN'(点M、MD、N'在

同一平面内)，连接AMAN'、NN',当AANN'为等腰三角形时，请直接写出点。的坐标.

y八y个

图1图2

【分析】(1)令二次函数x=0,解出C点坐标(0,-8),根据已知条件可知点A(-4,0)点B(12,

0).代入解析式从而求得抛物线和直线解析式.

(2)设点P坐标的横坐标为p,求出对称轴为直线x=4,根据对称性求出点。的坐标，从而求出PQ的

长度，延长PK交直线AR与点利用一次函数解析式求出点M的坐标，PM线段长可表示，利用△

PHMSZ∖4E0,求出尸”的长度，则/可用点P的代数式表示，从而求得最大值，点P坐标也可求出，

由m=lP+IQ+lK求其最小