2022-2023学年辽宁省铁岭市昌图重点中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省铁岭市昌图重点中学高一(下)期末数学

试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.(l-2i)(l-i)=()

A.—1—3iB.3—3iC.-1+iD.3+i

2.若向量丽7=(α,α+4)与而=(-5,α)垂直，则非零实数α=()

A.1B.2C.-1D.-2

3.一个几何体由6个面围成，则这个几何体不可能是()

A.四棱台B.四棱柱C.四棱锥D.五棱锥

4.函数丫=5的(2%+》的图象向右平移方个单位长度得到函数/(切的图象，则/给)=()

A.IB.5C.2D.江

222

5.所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱

锥，则所得棱台的高为()

ASB.Mc.√τD.三

332

6.已知△4BC的内角4,B,C的对边分别是α,b,c,若4+C=2B,√^3ɑ2+√^3c2-

2acsinB=9√^^3,则b=()

A.3√^^B.3C.6D.√^3

7.如图，在四面体P-ABC中，点P在平面ABC上的射影是4,ZC1BC,若R4=BC=2,PB=

2CU，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为()

P

788

BCD

A.9-9--9-

8.“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波溃”，位于济南大明湖畔的

超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建,今天我们

所看到的超然楼是2008年重建而成的，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景

.如图，为测量超然楼的高度，选择C和一个楼房。E的楼顶E为观测点，已知4C,D在水平

地面上，超然楼4B和楼房DE都垂直于地面,已知DE=I4m,乙4CD=45。，∆ADC=60°,在

C点处测得E点的仰角为15。，在E点处测得B点的仰角为45。，则超然楼的高度AB=()

A.(12+28θ)mB.(32+14√3)mC.(14+28√-3)mD.(28+14ΛΛ^3)W

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知复数Z=舞，贝∣J()

A.∣z∣-5B.z=3—4i

C.z在复平面内对应的点在第二象限D.z-4iER

10.下列式子计算正确的是()

A.COS(-1+2)=-sin2

C.cos700+cos50o=CoslOo

D.tanllθ0+tɑn10o+√-3=√-3tαnll0otαnl0°

11.已知函数/(x)=sin2x+√~^cos2x—√^3,贝∣J()

A./Q)的最小正周期是nBJ(X++的图象关于y轴对称

C./(X)在［一?0］上单调递增D.f(x)在［0,汨上有3个零点

12.已知正方体ABCD-4BIClDl的棱长为2,E,尸分别是棱4。1的中点，P为底面

HBCC内(包括边界)一动点，则下列结论正确的是()

A.若直线DlP与平面AlBCl没有公共点，则点P的轨迹长度为2√^

B.若。iPJ.DE,则点P的轨迹长度为，N

C.二面角B—EF—D的正切值为247

D.过E,F,C的平面截该正方体所得截面为五边形

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知a6(当,2兀)且CoSa=g,贝!)sin］=.

14.已知方程/+ax+b=O(α,beR)在复数范围内的一个根为3+21,则α+b=

15.已知向量五，石满足I为I=5,I牛=2,且五在方上的投影向量为2石，则优石夹角的余弦

值为>a-b=•

16.刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶

点的曲率等于2兀与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度

用弧度制),例如，正四面体的每个顶点有3个面角，每个面角为以所以正四面体在各顶点的

曲率为2兀一扛3=ττ.在底面为矩形的四棱锥P-ABCD中，P4，底面ABC。，AD=

I∑P4PC与底面ABCD所成的角为也在四棱锥P—ABCD中，顶点B的曲率为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

=

已知复数Zl=1+i,Z22÷mi(m∈R).

(I)若孑为纯虚数，求7H;

z1

(2)若含6R,求3zι+iz2的实部与虚部之和.

18.(本小题12.0分)

已知AABC的内角力，8,C的对边分别是α,b,c,AABC的面积为S,且2S-Cbccos4=0.

(1)求角4的大小；

(2)若α=7,be=40,求A√1BC的周长.

19.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,-^<φ<0)的部分图像如图所示.

(1)求f(x)的解析式；

(2)求不等式/(x)+1≤0的解集.

20.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-ABC。中，PC1平面ABC。，底面4BCD为等腰梯形，4B〃C。，4048=60°,

AB=2,CD=PC=1,E,G分别为BP,AB的中点.

(1)证明：CE〃平面,DP；

(2)从下面①②两个问题中任意选择一个解答，如果两个都解答，则按第一个计分,

①求点E到平面ADP的距离；

②求点E到平面PDG的距离.

21.(本小题12.0分)

在AZlBGt1,角4，B,C■所对的边分别为α,b,c,as讥B+b=√~5bcosA.

⑴求4;

(2)若乙4BC>看过B作BD垂直于AB交4C于点D,E为BC上一点，且BE=y∏,DE=1,求4E

的最大值.

22.(本小题12.0分)

如图，在矩形4BCD中，E,F分别为4D,BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达

点P的位置，且PFIBF.

(1)证明：平面PDFI平面PDE.

(2)若。F=2C,求三棱锥P-EDF的体积的最大值.

(提示：∀a,b,c>0,Mabc≤a+^+c,当且仅当a=b=c时，等号成立)

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：(1-2i)(l-i)=1-J-2i+2i2=-l-3i.

故选:A.

根据复数的乘法法则即可化简求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：•••丽1所，

.∙.^MN-PQ=-5a+α2+4α=0.解得α=0或1,且α≠0,

.∙.ɑ=1.

故选：A.

根据丽1可得出而-PQ=O,然后进行数量积的坐标运算即可求出ɑ的值.

本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，考查了计算能力，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4,四棱台是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意；

对于氏四棱柱是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意；

对于C,四棱锥有一个底面，四个侧面有5个面，不满足题意；

对于D,五棱锥有一个底面，五个侧面有6个面，满足题意.

故选：C.

根据题意，由棱柱，棱台和棱锥的面的个数，结合选项得出答案即可.

本题考查棱台、棱锥、棱柱的结构特征，注意常见几何体的面、棱、顶点的数目，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：函数丫=5恒5(2刀+》的图象向右平移方个单位长度得到函数/(吟的图象，

则/(x)=5cos[2(x-ξ)+J=5cos2x,故/■脸)=5cos≡=ɪ.

故选：C.

利用三角函数图象变换求出函数/(X)的解析式，然后代值计算可得出/(工)的值.

本题考查了三角函数图像的变换，考查函数求值问题，是基础题.

5.【答案】4

【解析】解：如图，根据题意可得所得棱台为正三棱台，

该棱台的高等于大正三棱锥的高的∣∙

设大正三棱锥的高为CH,则：BH=1BI=l×ɜʌrɜ=2/3

因为大正三棱锥的高为：DH=√DB2-BH2=J62-(2√^3)2=2√^^6-

所以该棱台的高为IX2C=亨.

故选：A.

利用小三棱锥和大三棱锥的比例求解即可.

本题考查棱锥和棱台的结构特征，考查学生计算能力，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：因为4+C=28,而4+C+B=τr,所以B=今

222--

则7~弘2+√^^3C—2acsin^=y∕~^3a+V^3c—√3αc=9∙∖∕3,

得a?+c2—ac=9.

根据余弦定理可得炉=a2+c2-2accosB=a2+C2—ac=9,故b=3.

故选：B.

由三角形的内角和可求出B=*再由余弦定理结合题意化简即可得出答案.

本题考查余弦定理相关知识，属于中档题.

7.【答案】C

【解析】解：分别取P4AC,BC的中点E,F,H,连接

EF,FH,HE,AH.

因为点P在平面ABC上的射影是A,所以PA1平面ABC,

则PALAC,PA1AH.

因为E,F,H分别为P4AC,BC中点，所以尸E〃PC,

HF//AB,

所以PC与AB所成的角即/HFE或其补角.

因为力B=√40-4=6.所以AC=√36-4=4√^,PC=√32+4=6，所以HF=EF=ɪ×

6=3.

又因为AH=√AC2+HC2=√32+1=，枳，所以HE=√AH2+AE2=√33+1=√-34.

所以CoSNEFH=心得或9+9—348

2×3×39

异面直线所成角的范围是（0,刍，故异面直线PC与48所成角的余弦值为

故选：C.

PC与AB所成的角通过线线平行转化为NHFE或其补角，再应用余弦定理计算余弦值，最后根据异

面直线所成角的范围确定符号即可.

本题主要考查异面直线所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

8.【答案】D

【解析】解：过E作EFInB,交4B于点F,

因为在E点处测得B点的仰角为45。，可得ABFE为等腰直角三角形，所以

BF=EF,

ED_14

因为4ECD=15°,所以CD

tanl5°tanl50'

在AACD中，由正弦定理得焉CD_14_C4

sin750-tan150cosl50-Sinl50'

又由sinl5°=sin(45o-30o)=sin450cos300-cos450sin300=v6~'12.

所以力。=曹4x*=14(√^3+l)m'

√6—√2

则4B=BF+ED=14(√^^+1)+14=(28+14√^^)τn.

故选：D.

过E作EF_L4B,得到BF=EF,在AACD中，由正弦定理得到坐=一人，进而求得AD的长.

sιn45Sinlb

本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解实际问题中的应用，属于中档题.

9.【答案】ABD

2+lli_(2+lli)(2T)_4-2i+22i-ll”_15+2Oi

【解析】解:

2+i~(2+i)(2-i)-5一—5~

对于力，∣z∣=V9+16=5,4正确.

对于8,z=3—4i»B正确.

对于C,Z在复平面内对应的点为(3,4),在第一象限，C错误.

对于。，z-4i=3+4i-4i=3∈/?,。正确.

故选：ABD.

根据复数的除法运算化简复数，即可由选项逐一求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

10.【答案】BCD

【解析】解：对于4由三角函数的诱导公式，可得cos(-]+2)=sin2,故A错误；

对于B,由sin2=2sinICoSl=要三吟；=/驾τ,故8正确；

sm^l+cos2ll÷tanzl

对于C,由COS70°÷cos50°=cos(6O0+10o)+cos(60o—10o)=COS600CoSl0°—sm60osml0o+

cos60°cosl00+sin60osinl0o

=2cos600cosl00=cosl0o,故C正确；

对于。，因为tɑnl20°=tan(110o+10o)=⅞=-<3,

'Jl-tanllθtαnlθ

所以tQ∏110°+tanlθ°=√-3tαnl10otαnl0o—√^3,

BPtαnll0o+tαnl0o+√-3=√^3tαnll0otαnl0o)故。正确.

故选：BCD.

根据三角函数的诱导公式和三角恒等变换的公式，逐项判定，即可求解.

本题考查三角函数的诱导公式和三角恒等变换，属于中档题.

11.【答案】AD

【解析】解：/(x)=sin2x+y∕-3cos2x-√^3=2sin(2x+今-V^3,

选项A,最小正周期T=与=兀，即选项A正确；

选项8,f(χ+≡)=2sin[2(x++≡]-O=2sin(2x+y)-其图象不关于y轴对称，即

选项8错误；

选项C,当XeV,0]时，2x+a[—等该区间不是y=Sinx的增区间，即选项C错误；

选项£>,当x∈[0,7τ]时,2x+1呜等,

令/(X)=2sin(2x+≡)-<3=0,则sin(2x+勺=孕，

ɔ32

所以2x+g=押冢格，

所以/(x)在[0,网上有3个零点，即选项。正确.

故选：AD.

利用辅助角公式化简/(x),结合正弦函数的图象与性质逐一分析选项，即可.

本题考查三角函数的综合应用，熟练掌握正弦函数的图象与性质，辅助角公式是解题的关键，考

查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

12.【答案】ACD

【解析】解：对于4连接DIC,D1A,AC,

在正方体中，由。p4J∕BC,=BC可得四边形BCDυ4ι为平行四边形，

所以。传〃&B,

因为DICC平面4BG，τl1BU平面4BG，

所以。IC〃平面

同理可得ADi〃平面4BCi，

因为力ClnDlC=D1，AD1,DlCU平面。ι4C,

所以平面。14C〃平面4BG，

因为直线DlP与平面为BCl没有公共点，

所以点P的轨迹线段4C,其长度为2/N，故A正确;

对于8：取4D,BC的中点M,N,连接DiM,D1N,

设DlM,DE交于点O,

在正方形AODl&中，AAOE与ZkODJlM全等，

所以4。MD+Z.0DM=90°,

所以Z∙DOM=90t∖即ClMIDE：

又M,N分别为中点，

所以MN1平面4。。送1，

又DEU平面ADDI4,

所以MN1DE；

因为MNCDlM=M,

所以OE_L平面DlMN.

因为ClP1DE,

所以点P的轨迹线段MN,其长度为2,故B不正确;

对于C：延长∕λ4,D1A1,延长FE交D力的延长线于M,过点A作/NJ.ME于N,连接BN,

由正方体的性质可得84平面AooIa1，MEU平面4DD1%,

所以BA1ME；

因为ANl.ME,ANCiBA=A,

所以ME_L平面BaN,

因为BNU面BAN,

所以ME1BN,

所以NANB为二面角B-EF-"的平面角，

在直角三角形MAE中，4M=力E=I,所以/N=?，

在直角三角形BylN中，AN=¥，AB=2，

所以tanZ∙ANB=2，至，故C正确；

对于。：延长EF,利用延长线与ZM,DCl的交点作出截面图，如图,

五边形CNEFM即为过E,F,C的平面截该正方体所得截面，故。正确.

故选：ACD.

根据空间垂直和平行找到P的轨迹,可得4,B的正误,利用定义求出二面角的正切值可得C的正误,

作出截面图可得。的正误.

本题考查直线与平面的位置关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.

13.【答案】I

【解析】解：因为α∈岑,2兀）,所以^∈（⅞,兀），所以SinA0,

又因为CoSa=a可得S呜=尸妥=∣∙

故答案为：∣.

根据题意，利用余弦的倍角公式，得至USinl=在妥，即可求解.

本题主要考查了半角公式的应用，属于基础题.

14.【答案】7

【解析】解：由题意可知方程合+αx+b=O的另一个根为3-21,

则一α=(3-2i)+(3+2i)=6,ð=(3-2i)(3+2i)=9-4i2=13,

则α=-6>b=13

故α+b=7.

故答案为：7.

由题得方程的另外一个虚根为3-2i,再利用韦达定理得解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

15.【答案】I8

【解析】解：:I码=5,住|=2,且五在石上的投影向量为2以

胃"/=26,即方∙b=2∣b∣2=8'

/一→.a∙b84

••.8虱。，纺=而而=公=+

故答案为：8.

根据a在信上的投影向量为整∙g,求出造石，再求出夹角的余弦值，即可得出答案.

网Ibl

本题考查平面向量数量积的性质，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题.

16.【答案】ɪ

【解析】解：设Pa=1,则4。=√^^2.

∙.∙PA1底面力BCD,

AC是PC在底面4BCC上的射影，

贝IkPol是PC与底面ABCD所成的角，即NPCa=aO

则SinNPCA=瞿,即==4得PA=2,则AC=，3,

/CinZ

即4B=√AC2-BC2=√3-2=1,

即AB=P4贝IJ在RtZkPAB中，∆PBA=≡

PB=BC=√^2,

•••Pδ2+BC2=2+2=4=PC2,

.∙∙∆PBC是直角三角形，则“BC=2

乙ABC=I，

••・顶点B的曲率为2兀-≡-^-^=γ.

故答案为：ɪ.

根据条件分别求出角B的面角之和，然后进行计算即可.

本题主要考查空间几何体各面三角形夹角的计算，根据直角三角形的边角关系进行计算是解决本

题的关键，是中档题.

17.【答案】解：(1)因为Zi=l+i,z2=2+mi,

HfrDlZ2—2+欣_(2+mi)(IT)_(2÷m)+(τn-2)i

加以五=1+i=(l+i)(l-ι)=2，

由为纯虚数，得｛jWU'解得m=-2∙

故Tn=-2.

⑵山(1)可知金=(2+m"(m-2)i,

由∣^eR,得τn-2=0,解得m=2.则Z2=2+2i,

所以3zι+iz2=3+3i+2i-2=l+5i,

所以3Z[+iz2的实部为1,虚部为5,即实部与虚部之和为1+5=6.

【解析】⑴先计算含=O+"**),:从而可得｛/彳=A求解即可；

(2)由题意可得m-2=0,解得m=2,从而可计算3z1+iz2=1+5i,进而可求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

18.【答案】解：(1)因为2S—V_5bccos/=0,所以bcsiτM—V"3bccosA=0,

则sirt4=y[~3cosA»所以tɑm4=√-3∙

又因为4∈(0,π∙),所以A=宗

(2)由余弦定理得，cos4='+c2-α2=L即炉+。2_49=儿，

2bc2

得S+c)2=49+3bc=169,则b+C=13,

故小ABC的周长为α+b+c=20.

【解析】(1)先利用题给条件求得tarM=q,进而求得角力的大小；

(2)先利用余弦定理求得b+c=13,进而求得448C的周长.

本题主要考查解三角形，余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题.

19.【答案】解：⑴由题意可得/=岩—尹》则7=亨.

因为7=啬，且3>0,所以3=3.

由图可知f(等)=ACOS(半+R)=0,则等+φ=∕cπ+(∕c∈Z))

IoOoL

解得(P=kπ-^~(k∈Z).

因为-5<*<0,所以*=一(

由图可知A=2.

故/(x)=2cos(3x-≡).

⑵由/(x)+l≤0,得2cos(3)-∙+l≤0,BPcos(3x-¾≤-ɔ

ɔJN

则2"+与≤3x*≤2kττ+4(k∈Z),

解得等+g≤χ≤竽+会keZ),

即不等式/(乃+1≤0的解集为尊+热竽+争(k∈z).

【解析】(1)根据函数的周期求出3的值，再根据最值求出A的值，再根据最小值点求出W的值即得

解；

(2)利用余弦函数图像解不等式cos(3x-金≤-抑得解.

本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题.

20.【答案】解：（I）证明：如图，取AP的中点/，连接EF,DF,

因为F,E分别为PA,BP的中点，:48=2EF且£T〃4B,

■：AB=2CDHAB//CD,：.EF"CD且EF=CD,

••・四边形CEFC为平行四边形，ΛCE//DF,

∙.∙0Fu平面4DP,CEC平面4DP,.∙.CE〃平面4DP.

⑵选①，

如图，连接4C,过点。作AB的垂线，垂足为M,

因为底面ABCD为等腰梯形，AB//CD,ZzMB=60。，AB=2,CD=1,

1

-

2

-

则力M=XAB-CD)=；,1

-

2

∙.∙PCJL平面力BCD,CDU面ZBCD,ʌPCICD,

ABCD1：,PC1CD,VCD=PC=1,.∙.PD=V-2,

同理PCI4C,

•・・∆ADC=120o,AD=CD=1,

.*根据余弦定理易得AC=，？，・•・AP=√1÷3=2,

•••由余弦定理可得CoSNP4D=22/二)2=3,

2PA-AD4

又0</.PAD<兀，则SinZ∙PAD=√1-cos2∆PAD=ʒɪ-

4

„11_√^7√^7

SΔADP=]X1X2><T=­1

∙.∙CE〃平面ADP,

•••点E到平面40P的距离等于点C到平面4。P的距离，

设C到平面ZDP的距离为山

则由Vc-ADP—^P-ACD'得gh×=ξ×l×∣×l×ɔɪ,解得Zl=

•・・点E至IJ平面40P的距离为手，

选②如图，连接4C,过点。作AB的垂线，垂足为M,

因为底面ABCD为等腰梯形，AB=2,CD=1,AB∕∕CD,/.DAB=60°,

1

-

21

-=

则AM=X48-CD)=4。=/1

-

2

v∆DAB=60o,AD=AG=1,

ADG为正三角形，AD=AG=DG=CG=CD=1,

∙.∙COU1EMBCO,PC_L平面ABCO,

ʌPCA.CD,同理ABCD,ʌPC1CG,PC1CD,PC=1,.∙.PG=PD=√^^)

•••PC=1,.∙.PG=PD=√^^2,

PDG的面积为"χ1XJ2-(；)2=彳,

VE为尸8的中点，.∙,点B到平面PoG的距离等于点E到平面POG的距离的2倍，

设B到平面PZ)G的距离为无，

则V}>-BDG=VB-PDG，

.∙.^×h×¥=∣×1×∣×1×?，解得h=

•••点E到平面PDG的距离为空，

【解析】(1)利用线线平行的传递性证得四边形CEFC为平行四边形，再利用线面平行的判定定理

即可得证；

(2)①②利用等腰梯形与勾股定理求得所需线段长，从而求得所需三角形面积，再利用等体积法

即可得解.

本题考查线面平行的证明，点面距的求解，属中档题.

21.【答案】解：(1)因为asinB+6=√^2bcos4,

所以SinASinB+SinB=y∕~3sinBcosA<

又SinB≠0,所以S讥4+1=y∕~3cosA(

因为46(0,兀)，SinA>0,所以CosA>0,

又SiMA+cos2√l=1,解得Sina=T,cos4=1ɪ,

因为Ae(O,τr),所以4屋.

由已知可设BO=x,AB=C