导数公式及证明

导数的定义：f'(x)=lim

Δy/Δx

Δx→0（下面就不再标明Δx→0了）用定义求导数公式（1）f(x)=x^n证法一：（n为自然数）

f'(x)=lim

[(x+Δx)^n-x^n]/Δx=lim(x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx=lim

[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+

...x^(n-2)*x+x^(n-1)

=nx^(n-1)

证法二：（n为任意实数）

f(x)=x^nlnf(x)=nlnx(lnf(x))'=(nlnx)'f'(x)/f(x)=n/xf'(x)=n/x*f(x)

f'(x)=n/x*x^n

f'(x)=nx^(n-1)

（2）f(x)=sinxf'(x)=lim

(sin(x+Δx)-sinx)/Δx

=lim

(sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx

=lim

(sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx

=lim

cosxsinΔx/Δx

=cosx（3）f(x)=cosx

f'(x)=lim

(cos(x+Δx)-cosx)/Δx=lim

(cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx=lim

(cosx-sinxsinΔx-cosx)/Δx

=lim

-sinxsinΔx/Δx=-sinx（4）f(x)=a^x

f'(x)=lim

(a^(x+Δx)-a^x)/Δx=lim

a^x*(a^Δx-1)/Δx（设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)）=lim

a^x*m/loga^(m+1)=lim

a^x*m/[ln(m+1)/lna]=lim

a^x*lna*m/ln(m+1)=lim

a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]=lim

a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)]=lim

a^x*lna/lne=a^x*lna若a=e，原函数f(x)=e^x则f'(x)=e^x*lne=e^x（5）f(x)=loga^x

f'(x)=lim

(loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx

=lim

loga^[(x+Δx)/x]/Δx

=lim

loga^(1+Δx/x)/Δx=lim

ln(1+Δx/x)/(lna*Δx)

=lim

x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)

=lim

(x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna)=lim

ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna)

=lim

lne/(x*lna)=1/(x*lna)若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx则f'(x)=1/(x*lne)=1/x（6）f(x)=tanx

f'(x)=lim

(tan(x+Δx)-tanx)/Δx

=lim

(sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx

=lim

(sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))

=lim

(sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim

sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2（7）f(x)=cotx

f'(x)=lim

(cot(x+Δx)-cotx)/Δx

=lim

(cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx=lim

(cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim

(cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim

-sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2（8）f(x)=secx

f'(x)=lim

(sec(x+Δx)-secx)/Δx

=lim

(1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx=lim

(cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)=lim

(cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim

sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=sinx/(cosx)^2=tanx*secx（9）f(x)=cscxf'(x)=lim(csc(x+Δx)-cscx)/Δx=lim

(1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx=lim

(sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))

=lim

(sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim

-sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))

=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx（10）f(x)=x^x

lnf(x)=xlnx(lnf(x))