2023年高考数学压轴题-圆锥曲线第08讲：三点共线问题（解析版）

第八讲：三点共线问题

【学习目标】

基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，坐标的表示；

应用目标：掌握直线与椭圆，双曲线，抛物线联立求解，并表示交点，向量，斜率等计算量；

拓展目标：能够熟练掌握三点共线的表达和求解方法.

素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生

的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】

解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形和坐标等的分析，在一定程度上可以进行坐标的计算,

达到解决解析几何的目的，因此在解析几何中的三点共线证明上，重点放在点的坐标的表示和计算中.

解析几何证明三点共线的方法：

(1)直接证明其中一点在过另两点的直线上；

(2)证明过其中一点和另两点所连两条直线斜率相等；

(3)证明过其中一点和另两点所连两个向量共线.

【考点剖析】

考点一：证明三点共线

例L已知椭圆cJ+∕l(α>b>O)的离心率为孝，上下顶点分别为48,且|/81=4.过点(1,0)的直线

与椭圆C相交于不同的两点〃，N(不与点48重合).

⑴求椭圆C的方程；

⑵若直线与直线N=4相交于点?，求证：8,RM三点共线.

【答案】⑴二+匕=1;⑵证明见解析

84

^2b=4,

解析：⑴根据题意，£=烂，

a2

a2=b2+c2

解得/=8,⅛2=4.

所以椭圆C的方程为：片+U=I....

84

(2)由(1)知，4(0,2),8(0,-2).

根据题意，直线MN的斜率一定存在，设直线MN的方程为y=b+1.

2

uX+2/-8=0,口,,

由〈,,得(2%2+l)χ2+4⅞x-6=0.

y=kx+↑

根据题意，A>0恒成立，设MaJ)N(X2,%)∙

,-4k-6

π则i*+'2=赤TXF=4T

V—2

直线4”的方程为丁-2二」一X,

石

令y=4,得x=2⅛,所以P(2⅛,4).

必一2Ji-2

因为8(0,-2),N(X2，%),

则直线5N,BP的斜率分别为L=及翼，M=30；1~2),

々%

2

κll_v2+3(y∣-2)_占(%+2)-3》2(必一2)

KBN_KBP_—.

X2X1X1X2

Xx1(y2+2)-3X2(ʃ,-2)=X1(kx2+3)-3x2(Axl-1),

=-lkx^x2+3(x1+x2),

=-2⅛^-+3x-^-

2⅛2+l2公+1

=0.

所以kfiN=^BP,

所以'P,N三点共线.

变式训练1：已知椭圆uJ∙+W=l(α>6>0)的离心率为乎，且过点卜加,1).

⑴求椭圆C的方程；

⑵已知/、8分别是椭圆C的左、右顶点，M是直线x=2上不与B点重合的任意一点，O是坐标原点，与

直线。M垂直的直线8尸与C的另一个交点为尸.求证：A、P、M三点共线.

【答案】⑴工+匕=1；⑵证明见解析

42

c

2

a=

I=J

2=解v

解析：(1)由题意可得一F

a

a2=b2+c2IC=42

因此，椭圆C的方程为江+广=L

42

(2)证明：设点M的坐标为(2,〃，)，其中加wθ,易知点”(-2,0)、8(2,0),

k°M=%贝IJ直线8P的方程为y=-Z(χ-2),

2m

y=-Z(χ-2)

16—2w2

tn2Q-

X=16-2∕W28/n)

联立x2+2/=4,可得丁+8,即点尸

in2+8W2+2)

x≠0

8加

tnm

._加2+8mk

ap~∖6-2m2,^4,AM讦1=W'则

-^TΓ+2

因此，A,My尸三点共线.

变式训练2：已知椭圆cJ+g=l(a>b>O)的右焦点为尸(1,0),且经过点0/,日)

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆C的左顶点为P,过点下的直线/(与X轴不重合)交椭圆于48两点，直线尸4交直线/':x=2“于

点若直线/'上存在另一点N,使丽・丽=0.求证：尸,3,N三点共线.

22

【答案】⑴三+±=1；(2)证明见解析.

43

解析：⑴依题意，椭圆C的左焦点尸’(-1,0),由椭圆定义得：

所以椭圆C的标准方程为W+片=1.

43

(2)由⑴知,P(-2,0),直线/不垂直y轴，设直线/方程为X=〃沙+1,A(xx,yλ),B{x2,y2),

X-my+1,,、C-6∕H-9

由{a2“2消去X得：(3"广+4)y+6/My-9=0,则必+.=J，，My2=3，，

5x+4y=125tn+了43m+4彳

直线H的斜率3=±,直线的方程：7=-^-(ɪ+2),而直线Lx=4,即加(4,驾),

ɪ_____X+2

直线尸M的斜率“x+22y,而FM∙FN=0,即FNlFN,直线FN的斜率即="；—,

%=lF=/lW2%

X+23χ+6

直线FN的方程：y=-÷-(x-l),则点N(4,-y-),

2必2y,

3x1+6

直线P8的斜率∕⅛=-¾,直线尸N的斜率“2y,_xl+2,

々PN=T^=F

,=%/_)+2、=%,孙+3=(w2+4戈力+3ffl(y∣+%)+9

PB2

X2+4χmy2+34y,4y∣(∕n%+3)'

而(m2+4)yy+3m(y+y)+9=-：。；+：)TT3：gpk=k,

l2l2+9=0PBPN

3∕w~+4+3m+4

所以P,8,N三点共线.

22

变式训练3：如图，在平面直角坐标系XQy中，M、N分别是椭圆二r+匕v=1的顶点，过坐标原点的直线

42

交椭圆于P,A两点，其中点P在第一象限，过P作X轴的垂线，垂足为C,设直线尸4的斜率为h

⑴若直线以平分线段A,求上的值；

⑵求APMN面积S的最大值，并指出对应的点P的坐标；

⑶对任意的左>0,过点P作P/的垂线交椭圆于8,求证：A,C,B三

点共线.

【答案】⑴孝；（2）最大值半，（√I1）；⑶证明见解析.

解析：⑴由题设知，α=2,∕>=√2,故M（-2,0）,N（O,-√Σ）,••・线段脑V中点坐标为（7,一孝）.

由于直线尸力平分线段MN,故直线4过线段MN的中点，又直线4过原点，.∙M=正；

2

(2)∙M(-2,0),N(G,-6),k=

MNU-(T)

y=--五x++m

设与仞V平行的直线方程为y=-YIχ+"7,2

联立227I导X2—y∣2mx+"J-2=O.

2土+匕=I

142

由△=(-√‰)2-4∕+8=0,解得：加=±2.

由题意可知，当m=2时，直线y=-^x+2与直线MN的距离最大，最大值/=^点(

即dWV面积S有最大值，等于;MI"=，忘乎=2.

⅛X2-2√2X+2=0,解得χ=√∑,尸1,,P点坐标为(0,1);

(3)设P(χ∣,乂)，BU2,y2),尸8中点。(X0,y0),

≡T÷⅛=1>⅜+⅛=1>

两式作差可得：产+x?)JMf)(M+%),...当二”=一白，即L=-F

42x1-x22y02汽

'；PALPB,∙∙k∙(一3)=7即比=：,Λ⅛=-=1.

1,

2%¾2X02

JPO=OA,PQ=QB,.-.OQHABt即扃“=：.

=4===

''XXx'r2∑I'：,kAC=kAB,故A,C,8三点共线.

X4Xr一Λ∣一Λ∣ZA1Z

考点二：已知三点共线(求坐标)

例L如图，已知椭圆E：4+4=1(a>b>O)的右焦点为尸(1,0),离心率e=(，过F作一直线4交椭

ab2

圆E于A,B两点(其中A在X轴的上方)，过点A作直线4：X=4的垂线，垂足为C.

(1)求椭圆E的方程；

(2)问：在X轴上是否存在一个定点T,使得B,T,C三点共

线？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴—+^=1;(2)存在；定点T信,θ]

43U)

解析：(1)由题意可知c=l,—=ς-,解得α=2,c：1,

a2

7)

所以〃=/-C2=3,所以椭圆E的方程为土+二=1.

43

(2)假设存在点T&0),使得B,T,C三点共线.

当AB斜率不存在时，连结BC交X轴于点T,

13

因为ZC〃尸7,AF=FB,所以BT=CT,所以ΛT=5∕C=5,

又因为。尸=1,所以」=|,即呜,01

下面再证明当NB斜率存在时，B,T,C三点共线.

证明：设4(%,必),8伍,%),则C(4,%),,

将NB：x=wj,+l⅛-+^―=1,得(3机2+4)y?+6叩一9=0,

Δ=(6W)2+36(3W2+4)>0

一6〃？

从而+y

2-3/+4

一9

yy=

l23m2+4

要证B,T,C三点共线，即证旗τ=Lτ.

3%-2必12-^∣38一2必(加力+1_|

—生

533(々T)

2

-6∕w=9_

3-2rn

_3(y∣+j⅛)-2加必》2_3〃/+4网*=0,得证.

3Γ2^∣

V2-2

所以在X轴上是否存在一个定点T(1,0),使得B,T,C三点共线.

变式训练1：已知长轴长为2及的椭圆CJ+/1(〃>/Ao)过点小同,点尸是椭圆C的右焦点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在X轴上的定点D,使得过点D的直线/交椭圆C于48两点，设E为点8关于X轴的对称点,

且4RE三点共线？若存在，求。点坐标；若不存在，说明理由.

【答案】⑴y+√=l;(2)存在，r>(2,0).

解析：⑴因为2α=2√L所以α=√L将点尸(1,也)代入£+《=1,得6=1,

2ah~

所以椭圆。的方程为E+∕=ι

2

⑵存在点0(2,0)满足条件.

设DQ,0),直线/方程为X=Sy+，，/(x∣,必)，8(乙,%),则后(％,-%)

X=my+t

2

联立X2消去工,得(/+2)/+2加伊+/一2=0

一+y=1

[2

Imt*一2

y↑+y=-必为=K且△>“

∙∙∙2m2+2

由a尸,E三点共线,得HT)M+(*T)%=0,所以2用M%+(-1)(∙+%)=O,

所以2〃?.02+(-1).(_02)=0解得/=2.

加~+2加~+2

所以存在定点。(2,0)满足条件.

变式训练2：已知椭圆U*→g=l(α>b>0)的一个顶点恰好是抛物线D-.x2=4y的焦点，其离心率与双

曲线二一亡=1的离心率互为倒数.

62

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若过椭圆的右焦点尸作与坐标轴不垂直的直线/交椭圆C于48两点，设点A关于X轴的对称点为P,

当直线/绕着点/转动时，试探究：是否存在定点。，使得反P,。三点共线？若存在，求出点。的坐标；若

不存在，请说明理由.

【答案】⑴J+V=h(2)存在，定点为。

解析(1)由题意，抛物线。：/=4几可得焦点为(0,1),所以6=1,

又由双曲线X-上=1的离心率为e=空,可得椭圆C的离心率上=如，

623a2

b=yja2-C2=1

cʌ/ɜfo=2

可得£=耳,解得A1,

a2[n=l

Q>0

即椭圆C的标准方程为E+/=1.

4

(2)由直线/不与坐标轴垂直，可设直线/的方程为x=(y+√J,其中，HO,

设点”(x∣,必)、8(%，为)，则点尸(不，-%)，

联立直线/与椭圆C的方程I

:/2+4!∖y2+2y∕3ty—1=0,

由△>()恒成立’且m+必=一翟，yly2=--±-,

由椭圆的对称性知，若存在定点。，则点。必在X轴上,

故假设存在定点0(孙0),使得尸、B、。三点共线，则%=",

可得q=X=2明%+圆必+力）=-8f=4√3

y∣+y2乂+%-2√3?3

故存在定点。使得P、8、。三点共线.

变式训练3：已知椭圆。，+/=1(。>6>0)的一个顶点恰好是抛物线0“2=”的焦点，其离心率与双

曲线二一/=［的离心率互为倒数

4

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若过椭圆的右焦点尸作与坐标轴不垂直的直线/交椭圆C于A、8两点，设点A关于X轴的对称点为P,

当直线/绕着点尸转动时，试探究：是否存在定点。，使得8、尸、。三点共线？若存在，求出点。的坐标;

若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y+∕=l;(2)存在，θg°)∙

解析：(1)由于抛物线。：一=4y的焦点为(0,1),所以6=1,

双曲线［一/=1的离心率为e=与故椭圆C的离心率：=意

b=y∣a2-C2=］r∑

0=√5

2Y2

由题意可得Fc=-，解得6=1,即椭圆C的标准方程为工+/=1；

α√55

C=2

a>0Λ

(2)由于直线/不与坐标轴垂直，可设直线/的方程为X="+2,其中"O,

设点4(再，必)、5(积%),则点尸(4-必)，

联立直线,与椭圆C的方程仁;;15'消去X并整理得

(尸+5”2+4W-I=O,

2

Δ=20(Z+1)>0,由韦达定理得乂+%=一冷，yιy2=--J-ι

由椭圆的对称性知，若存在定点。，则点。必在X轴上，

故假设存在定点0(dθ),使得P、B、。三点共线，则的6=七2，

2/

即立也=」一可得q=XM+々必=(%+2)%+(优+2)M=2%%+2=一母+2」+2=3

χχ4t22

2-∣q-χJy^+y2yl+y2ʃ.+y2

t2+5

故存在定点使得P、B、。三点共线.

考点三：已知三点共线求参

例L已知椭圆C:4+4=1(a>b>0)的短轴长为20,离心率为叵

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设M,N分别为椭圆C的左、右顶点，过点。(1,0)且不与X轴重合的直线4与椭圆C相交于48两点

是否存在实数1(f>2),使得直线七X=f与直线8N的交点P满足P,4"三点共线？若存在，求出4的

方程；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴?+[=1；⑵存在，直线4：》=4

解析：(1)由于短轴长为2√Σ,所以2b=2√∑,6=√2.

又离心率e=E=且，且/="+C2,解得α=2.

所以椭圆C的标准方程为上+廿=1.

⑵假设存在直线4满足条件，设/8的方程为X="沙+1,且，(再,必),B(x2,y2γ

-ɪ-=1/

联立方程组42一，消去X可得(W+2)y2+2my-3=0,

X=my+1

Δ=W+12(w2+2)=16∕n2+24>0,

由于N(2,0),B[x2,y2),所以直线BN的方程为V=±(x-2),

则①X=，(，＞2)与直线52的交点P的坐标为.为(：；)],且标=(r+2,%(：；)],M4=(χl+2,yt).

x

I2~)IX2-Z.J

当M(-2,0),Λ(x,,yl),P[平拼)三点共线时有声与而共线.

所以以(，+2)(七-2)=乃(，-2)(为+2),即W=''+"—%为]乂

f+2y2(x1+2)myly2+3y2

由于Hb=与，所以孙”=[(“+%)，

Z1Z2ɔZ

t-2y+3必1

所以l解得，=4,所以存在直线4：x=4满足条件•

£+23凹+9%3

r22

变式训练1：已知椭圆C：=+A=1(β>⅛>O)的右准线方程为X=4,右顶点为A,上顶点为B,右焦

Qb

点为F,斜率为2的直线经过点A,且点F到直线的距离为平.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)将直线绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P,当B,F,P三点共线时，试确定直线的斜率.

【答案】⑴二+2=1；(2)巫.

432

解析：(1)由题意知，直线的方程为V=2(x-α),2x-y-2a=Ot

二右焦点F到直线的距离为左神=冬叵，.∙.α-c=l,

√55

22

又椭圆C的右准线为χ=4,即幺=4,所以C=幺，将此代人上式解得。=2,C=I,

c4

.∙.∕=3,椭圆C的方程为兰+金=1；

43

(2)由⑴知B(O,√J),尸(LO),直线"的方程.=一GaT，

J^=-V3(x-1)

联立方程组

8

X=—

5厂或x=0

解得-(舍)，即P

3√3,=√f3

J=一丁

0——八

.∙.直线的斜率k=_I:J3√3

2—

5

0--

所以三点共线时直线的斜率％=_L3√3

2-§2

5

变式训练2：设双曲线C:二=1的上焦点为尸,M,N是双曲线C上的两个不同的点.

-3

⑴求双曲线C的渐近线方程;

⑵设直线MN与歹轴交于点Q(O,q),M关于y轴的对称点为AT.若M',F,N三点共线，求证：1为定值.

【答案】⑴x=±"y;(2)g=g,证明见解析.

2

解析：⑴令/-q=0,则x=±。，.∙∙双曲线的渐近线方程为X=±"y∙

⑵①当直线MN的斜率不存在时，M'=M,M',尸,N三点共线，满足题意；

②当直线MN的斜率存在时，设为Ak≠Qk≠±^-,则其方程为八依+夕.

Lɔ,

设M(X1，PI)N(X2,%)，则”(-x∣J∣),

y=kx+q

联立2X2，得(3/-1)/+63+3/-3=0,

lr^τ=1

所以%%=王超=：%］：∙

因为尸(0,2),",EN三点共线，

所以％"=%FN,BP------=--------,即X?必+X∣%=2(占+》2),

-

X∣X2

fcv

所以工2(3+l)+x∣(2+√)=2(x1+X2),gp2kxlx2=(2-⅛)(x1+x2),

所以2〃Xl^l=(2-4)(-^］，化简得：6kq2-6k=6kq2-12kq,

3k~—1V5k

解得：夕=；为定值.

变式训练3：已知椭圆C:]+，=l(a>6>0)的离心率为等，/为椭圆C上任意一点，且已知尸(1,0).

(1)若椭圆C的短轴长为4,求∣∕p∣的最大值;

(2)若直线4P交椭圆C的另一个点为8,直线/：x=4交X轴于点。，点A关于直线/对称点为且

8三点共线，求椭圆C的标准方程.

【答案】⑴5；(2)—+/=1

4

解析：⑴由题意£=^^,.,.l--γ=—,α2=4∕√且26=4,/.Λ2=16,b2=4

a2a24

■)>>

所以c：E+匕=1,

164

设？I(X1，必)，则AP2=(Xl-I)2+"=(%-if+4-乎=IX；-2玉+5

∙.∙-4≤x1≤4,故当为=-4时，∖AP∖πa×=5.

(2)当/8斜率为O时，瓦，8三点共线;

当/8斜率不为O时，设直线NB:X=叼+1,与椭圆c：东+}=ι,即/+4/=4持联立得:

22

(τn+4)/+2mj+l-4⅛=0,设/(x∣,y∣),S(x2,y2),则

AC-2m1-4〃

VM=

m2+4

又由题知。(4,0),/(8-X1,71),..k,0=-^-t心。=

-,

4■一入IΛ2τ

故由B三点共线得Ko=%加，即代=T⅜,Λ(¾-4)=Λ(4-X,)

4

t—ΛJX2~

.∙.yl(my2-3)+y2(myl-3)=0,.∙.2myiy2=3(%+%)

22

代人韦达定理得：-≠L=2(1小,Λ4⅛-1=3,⅛=∣,/=4

加~+4w+4

故椭圆方程为C：日+/=1.

考点三：已知三点共线求范围

22ɔ

(、]例L已知椭圆C：*∙+%=l(α>Z>>0)的离心率为J且过点(—1,期，椭圆C的右顶点为A,点

8的坐标为(；,0).

(1)求椭圆C的方程;

(2)已知纵坐标不同的两点P,。为椭圆C上的两个点，且B,P,。三点共线，线段尸。的中点为R,求

直线/R的斜率的取值范围.

【答案】⑴4+⅜=1≡⑵[-p⅛∙

4388

22

解析：(1)椭圆C：二+5=l(α>6>0)的离心率为9，且过点

ab2-0}

e

a2

19

/+=ɪ,解得。=2,b=6,

a2=b2+c2

.∙.椭圆C的方程为江+¢=1；

43

(2)依题意知直线尸Q过点且斜率不为0,

故可设其方程为X=殁+；,

1

X=my+—

2

2,消去得必-

由2K4（3/+4）/+1245=0,Δ>0,

—+—=1

143

设点「(国,凹),。(孙％),R(XoM,直线4R的斜率为无,

M3加J+%3m12

故…=一^^一“V丁•.•犷明+厂次H

m

又点的坐标为

A(2,0),2,

x0-2^^4w+4

当加=0时，k=0；

心一

当WH0时，4m+-∙

8,当且仅当Ml=I时，等号成立,

.∙.-ɪ≤k≤!且左≠O；

88

综上所述，直线/R的斜率的取值范围是

OO

变式训练1：在平面直角坐标系中，A/8C的两个顶点A,8的坐标分别为(T,O),(1,0),平面内两点G,

M同时满足以下3个条件:

①G是A∕8C三条边中线的交点；②〃是48C的外心；③GMHAB.

(I)求A∕8C的顶点C的轨迹方程;

(∏)若点P(2,0)与(I)中轨迹上的点E,产三点共线，求IPEHPFI的取值范围.

【答案】(I)x2+^=l(J≠O)；(∏)0,∙∣).

【详解】(I)设C(X,力G(XoJ。)，MXMyM)，

因为AZ是A∕8C的外心，所以IM4∣TA

所以M在线段48的中垂线上，

所以XM=VLl^=0∙

因为GNHAB,所以为=ya.

又G是△力8C三条边中线的交点，

所以G是48C的重心，

所以Xo=——=y.ʃoɪ-3~=y-

所以加=%=不

又IwII=IΛ∕c∣,所以/(0+咪+6_0)=J(OT)2+《_yJ.

化简得χ2+^∙=ι(PNO),所以顶点C的轨迹方程为/+金=1("O).

33

(∏)因为P,E,F三点共线，所以P,E,F三点所在直线斜率存在且不为0,

设所在直线的方程为y=k{x-2),

y=k(x-2),

联立,丁⅛(AT2+3)X2-4⅛2X+4⅛2-3=0.

+=,

XT

由4=(4/)2-4(/+3)(4左2-3)>0,得公<]

设E(XI,必),F(χ2,y2),

4Ar2

则

4A-2-3

2=W

所以IPEHPFI=∙7m7∣2-x∣∣∙√i7P^∣2-X2∣=(1+公)∙∣4-2(X∣+XJ+X∣∙X2∣

4(⅛2+3)-8Λ2+(4⅛2-3)

=(ι+B

F+3

9(1+〃)18

k2+3k2+3

X0<λ2<l,所以3VF+3<4,

Q

所以3<∣PE∣∙∣PFkj

故IPEHP日的取值范围为卜,1).

2

变式训练2：如图，已知椭圆G：5+『=I,抛物线6：/=2。_42>0),点人是椭圆0与抛物线02的交

点，过点A的直线/交椭圆G于点B,交抛物线C?于点"

同于A).

(1)求椭圆G的焦距;

(2)设抛物线C2的焦点为尸，P为抛物线上的点，且A、

点共线，若存在不过原点的直线/使〃为线段”的中点，求的+两的最小值.

【答案】(1)2；(2)8√10

解析：⑴由椭圆的方程可得焦点坐标为(±1,0),故焦距为2.

(2)由抛物线方程可得尸pθl./(须，必)/(不，%),

由抛物线和椭圆的对称性可不妨设±>0,必>0,则为<0.

设直线仍X=O^，则质+日一-+ι)ι,帆-%I

2卜力∣'

v1∣hlj√+/

y2=2pχ

由P可得/-2p“-p2=0,

χ=w+g

111JyO一刃_[=

故j⅛+y⅛

刈’1另。JT77√7+7b

设M(XO，Μ)，8&，%),

+y↑=12_2

则,所以五产+弁_月=0即++/心=0,

+货=I2

ʃo

所以A田

=0,而y：=2pxo，所以2pIyM-X),0,

2°xl-x0

因为直线/8不过原点，故盟工0,所以詈+上为=0,

4pXI-Xo

%IM-%

故4pKʃoH即M⅛"

2pIp

整理得到8p2=f(M+%),%∈(―%0),

%+%f]=乎,当且仅当y=-ʌ时等号成立.

由基本不等式可得-%（必+y）≤0

02

2

故8p∖2⅛%2≥32p2,

4

2可得需+",故口竿/+32/,≡∕≤⅛

由+τ,=ι1

所以X*故向+虚4啊当且仅当P=等时等号成立,

11L

故∏7η+iTΓ7的最小值为8√10.

∖AF∖∖PF∖

考点四：证明三点共线(充要条件)

例L已知椭圆C方程为±+g∙=l(α>6>0),右焦点为F(√Σ,0),且离心率为如

a2b23

(1)求椭圆C的方程；

(2)设M,N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线/+y2=62(χ>0)相切证明：M,N,厂三点共线的充要

条件是IMVl=道.

【答案】⑴—+/=1；⑵证明见解析.

3'

解析：(1)由题意，椭圆半焦距C=&且e=£=逅，所以α=√L

a3

又从“2-C2=1,所以椭圆方程为E+y2=h

3-

⑵由⑴得，曲线为V+/=/'>o),

当直线MN的斜率不存在时，直线MN:x=l,不合题意;

当直线MN的斜率存在时，设”(再,必),"(々,％),

必要性:

若M,N,F三点共线，可设直线MNH=MX-√I)即乙一y-Qfc=o,

由直线W与曲线χ2+∕=l(x>0)相切可得^3==1,解得％=±1,

√P7T

蚱±卜-0)3&

3

联立丫2可得4.d-6∙∖∕Σχ+3=0,所以X]+/=，再

-+V2=124

3

所以MM=Tmja+/)?-4%?=√3,

所以必要性成立；

充分性：设直线MN:y=Ax+6,(Z⅛vθ)即区一y+b=O,

由直线MN与曲线χ2+∕=i(χ>o)相切可得评==ι

所以〃=公+1,

√左÷1

y=kx+h

联立χ22可得(l+3∕)χ2+6岫x+3∕-3=0,

.τ+j,'=

3⅛2-3

所以占+X2=_］：；?,,x∣-X=

21+3公

-4.^4

所以阿NI=Jl+/.而1+x2

1+3-2

=G,等=G

化简得3(公_1)2=0,所以k=±l,

所以直线MM过点F(√Σ,O),M,N,F三点共线，充分性成立;

所以M,N,F三点共线的充要条件是IMNI=√L

变式训练1：已知平面内两点E(-√Σ,O),玛(√Σ,0),动点P满足：∣P周+∣PE∣=2G.

⑴求动点P的轨迹C的方程；

⑵设M,N是轨迹C上的两点，直线MN与曲线—+∕=1(x>0)相切.证明：M,N,乙三点共线的充要条

件是IMNI=√L

【答案】⑴二+/=1；(2)证明见解析.

3

解析：⑴因为I尸片∣+∣Pgl=2√J>I片6.

所以点P的轨迹是以片,行为焦点的椭圆，

其中2a=2y∣3,c=∙j2,b2=1,

所以轨迹C的方程为［+V=L

⑵当直线MN的斜率不存在时，直线脑V：x=l,不合题意；

当直线MN的斜率存在时，设M(xl,yt),N(x2,y2),

必要性：

若”,M层三点共线，可设直线MN:V=MX-0),即於-y-√∑A=O,

由直线AW与曲线f+∕=l(χ>0)相切可得=解得4=±1,

√⅛2+l

y=±(x-M

联立{f可得4χ2-6>∕Σr+3=0,所以x∣+w=-----,x∣X2=~

-+y^=1，24

2

所以IMNI=√Γ+T∙1∕(XI+X2)-4X1∙X2=√3,

所以必要性成立；

充分性:

⅛⅛⅛⅛MN-.y=kx+b,{kb<0)即Ax-y+∕>=0,

由直线.与曲线小人心>。)相切可得泥τ=∣,所以

y=kx+h,

联立χ22可得(1+3公卜2+6奶X+3∕-3=0,

,T+∙v=L

6kb3⅛2-3

所以x∣+x=-

21+3/-T+5P^,

所以|四川=41+/-)》|+%2)2-4*|*2=J+犷JF］胃J-4.：；36=N+卜.

化简得3(F-I)2=0,所以《=±1,

∣-ɪ∖∕ζ=-l

所以〃c--√Σ或lb-√Σ'所以直线mγ:尸x-√Σ或y=r+√Σ'

所以直线九W过点尸(√F,0),M,N,乙三点共线，充分性成立;

所以M,N,乙三点共线的充要条件是IWNI=√L

变式训练2：已知椭圆C的方程为捺+]∙=l(α>6>0),长轴长为2√J,且离心率为牛

⑴求圆C的方程；

(2)过椭圆C上任意一点A作两条直线，与椭圆的另外两个交点为M,N,。为坐标原点，若直线和直

线/N的斜率存在且分别为勺和/.证明：M,O,N三点共线的充要条件是£•&=-3.

2

【答案】⑴三+/=1；⑵证明见解析

3

解析：⑴由题意得：2a=2y∕i,e=—=,所以a=6,c=√2,又b。=/—,2=ι,

a3t

所以椭圆的方程为E+/=L

3

⑵必要性：若M,O,三点共线，不妨设,-必)，

NM(X