2023年高考金榜预测数学试卷（一）（文）（解析版）

2023年高考金榜预测卷（一）（文）

数学

一、选择题(

1.己知集合&={-2,—1,1,2},B={x|l-%>0},则AB=()

A.d,2}B.{-2,-1}C.{-1,1,2}D.{-2-1,1)

K答案》B

K解析』由集合A={-2,-l,l,2},B={x|l-%>o}={x|x<l}

得AB={-2,-1)

故选：B.

A.—2—5iB.2—iC.2+iD.5-i

K答案XA

K解析U—=^^=-2-5i.

ii

故选：A.

3.市场占有率指在一定时期内，企业所生产的产品在其市场的销售量（或销售额）占同类

产品销售量（或销售额）的比重.一般来说，市场占有率会随着市场的顾客流动而发生变

化，如果市场的顾客流动趋向长期稳定，那么经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳

定的平衡状态（即顾客的流动，不会影响市场占有率），此时的市场占有率称为“稳定市场

占有率”.有4,B,C三个企业都生产某产品，2022年第一季度它们的市场占有率分别

为：40%,30%,30%.经调查，2022年第二季度A,B,C三个企业之间的市场占有率转

移情况如下图所示:

10%

若该产品以后每个季度的市场占有率转移情况均与2022年第二季度相同，则当市场出现稳

定的平衡状态，最终达至「稳定市场占有率“时，A企业该产品的“稳定市场占有率”为

)

A.45%B.48%C.50%D.52%

R答案》D

K解析』最终达到“稳定市场占有率”时，4企业该产品的“稳定市场占有率”为:

0.4x(1-0.3-0.3)+0.3x0.6+0.3x0,6=0.52=52%.

故选：D

4.如图所示，给出的是某几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角

形，俯视图为半径等于1的圆.则这个几何体的侧面积与体积分别为（）

C.2兀，避兀

A.B.4旗扃D.兀,G兀

3

K答案1c

K解析》如图根据几何体的三视图知，该几何体是一个圆锥，底面圆的半径尸=1,母线

1=2,高则它的侧面积5飓=兀〃=2兀，体积v=J_直/。=1.九.

33

故选：C.

5.函数/（x）=r*的大致图象为（）

国+6

K答案』D

K解析》对任意的xeR,凶+626>0,

故函数=三的定义域为R,故A错误；

国+6

又当x>0时，/（%）>0,故B错误；

因为/（一》）=匚工=用=-7'（外，所以“X）为奇函数，故C错误.

故选：D.

6.已知/（x）=sinx+aco&r的一个极值点为％taor0=3,则实数”的值为（）

A.—3B.3C.—D.—

33

K答案HD

K解析D已知/（x）=siar+ocosjr4ljr（x）=cosx-asinr,

因为极值点为%,可得=co&x。-as*=0,

即得COSA;,=asi叫,taa¥„=■!■，则3=2,则a=,

aa3

故选:D.

7.在棱长均等的正三棱柱ABC-AgG中，直线A4与8G所成角的余弦值为（）

A.正B.—C.yD.-

2224

K答案UD

K解析》设正三棱柱的棱长为2,取AC的中点。，AG的中点0,连接。。，08,则

00,//AA,,OB±AC,

因为44(_L平面ABC,08,ACu平面ABC,

所以偿_LO8,A41，AC,所以0。，08,0。1AC,所以08,0C,。。两两垂直,

所以以。为原点，。民。。，。。所在的直线分别为兑％2建立空间直角坐标系，如图所示,

则。(0,0,0),A(0,T,0),B(瓜0,0),4(6,0,2),C,(0,1,2),

所以做=(6,1,2),BC、=(-73,1,2),

设直线AB1与8c所成角为凡则

-3+1+4

J3+1+4.13+1+44

所以直线A片与8G所成角的余弦值为?故选：D.

8.某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度.步骤如下：①将镜子

(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能看到房顶的位置，测量出人与镜子的距离；②

将镜子后移，重复①中的操作；③求建筑物高度.如图所示，前后两次人与镜子的距离分别

qm,生m(.2>4),两次观测时镜子间的距离为“m,人的“眼高”为/?m,则建筑物的高度为

B.C.”")mD.

ah

K答案XA

K解析』设建筑物的高度为x,由于HGFDEF得

HGGFDEGFxa.

~DE~~EF=>£F=HG~~h

由于/XABC:△DEF得

ABBCh_a2

~DE=~CE^1=

h

=>ha+xa]=xa2=>x（a]一4）=一ha=>x=

9.在等比数列｛““｝中，公比9>0,S“是数列｛《,｝的前•〃项和，若4=2,%+4=12,则下

列结论正确的是（）

A.夕=3B.数列⑸+2｝是等比数列

C.S5=64D.数列｛lga“｝是公差为2的等差数列

K答案UB

K解析』由q=2,%+9=12,得01（4+/）=2（4+42）=12,即

q2+q-6=（q+3）（q-2）=0,解得夕=2或g=-3,

由q>0,得4=2,故A错误；

所以等比数列｛q,｝的通项公式为4,=2x2“T=2",

所以等比数列m｝的前〃项和为S,,="'0T）=2向-2,即5„+2=2向，

1--7

q+2?,,+2

所以‘用二上―二2,

'"以S„+22«+1'

所以数列｛S,,+2｝是公比为2等比数列，故B正确;

因为5„=2血—2,所以邑=25+|-2=2$-2=62,故C错误;

因为a,=2",所以lga.”-1g%=lg2"T-1g2"=1g分=1g2,

所以数列｛lg4｝是公差为lg2的等差数列，故D错误.

故选：B.

10.已知函数/（x）=sin（2x+*）（0<o<7t）的图象关于点（年,0）对称，贝U（）

A.〃x）在（0,总单调递增

B.直线x=?是曲线y=〃x）的一条对称轴

C.直线了=4-X是曲线）=〃力的一条切线

D.在［-1,詈）有两个极值点

K答案2C

4兀

K解析2由题意得,所以」+9=Qr,ZeZ,

3

4兀

即（p=-----卜kn,kGZ.

3

又0<3<无，所以左=2,已=5.

故f（x）=sin（2x+"）,

选项A,当时，2元+7,

因为y=sinx在区间仁,上单调递减，所以/（x）在区间xe（0,2）内单调递减，故选

项A错;

选项B,当x=g时，2x+”=3兀，故/7兀

=sin3兀=0,

63

77r

所以直线x=9不是曲线y=/（x）的对称轴，故选项B错误;

6

选项D,当T4，詈时，2天+与£兀5兀

2,~2

由函数“X）的图象知：y=〃x）只有一个极值点，为极小值点,

由2x+手=手，可得极值点为x=葺，故选项D错误；

。/1Z.

选项C,令尸（x）=2cos（2x+"）=-l,得cos（2x+1）=-；,

2兀27r27c47r

解得：2x+——---\-2kn,kGZ^2X+——=——十2lai,keZ,

3333

从而得：x=lai,k^Z^x=—+k7t,kGZ

3f

因为f(0)=sin曰'=母^,

所以函数y=〃x)的图象在点，等1处的切线斜率为y'k°=2cos/=-i,

故y=/(x)在0,等)的切线方程为丫一等=-(》一0),

即y=*_x,故选项C正确.

故选：C

11.已知双曲线C的焦点为片(-1,0),心(1,0),过e的直线与双曲线C的左支交于A,8两

点，若|A£|=2内却,|AB|=|3可，则C的方程为（）

22

A6/21口7x7y24x.i5x25y2

A.-------6y=1B.-----------=}C.-------4y2=1D.

53434

R答案2B

K解析』如图,设出用=〃,则|*|=2〃,\AB\=\BF2\=3n,

由双曲线的定义可得忸闾-忸周=2〃=2，|M|=2a+2〃=4”

2~+（2«）2-2x2x2〃cosNAF1与=（4〃）-

在乙46心和AB6心中，由余弦定理得

22-

2+n-2x2x/?cosZ.BFyF^=（3n）

又F2,/BFiF2互补，cosZ.AFXF2+cosNBF】F2=0,

两式消去cosZA^g.cosNBGg,可得-28/+12=0,

所以"2="2=3,=£-2_a2=4

77

所以双曲线的标准方程可得Zt-H=l.

34

故选：B

2-

12.已知。=y,A=e5,c=ln5-ln4,则()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

K答案Xc

K解析》/(x)=el-l-x

/(x)=eA-l,则%€(0,+00),/(幻>0,光€(-00,0),/(》)<。，故函数/(x)在(Y,0)单调递

减，(0,+8)单调递增，则/(x)2/(0)=0

贝lie”—1—x20,BPev>1+x

.2?

由e*Nl+x,e5>—»故%>。

5

同理可证ln(l+x)4x

又ln(l+x)<x,；.ln5-ln4=ln[l+；)<；,则Z?>a>c

故选：C.

二、填空题

13.已知向量成=(x,l),”=(-3,2),若2〃z+〃=(l,4),则|同=.

K答案》非

K解析》向量”?=(x,l),“=(-3,2),

/.2m+n=2(x,l)+(-3,2)=(2x-3,4),

又2m+〃=(1,4),

/.2x-3=l,x=2,A7n=(2,l),|同=五+俨=6,故K答案》为：G

14.若圆G：山+炉=4与圆C2：(x-3)2+(y+/n)2=25夕卜切,则实数力=.

K答案2±2710

K解析H圆/+/=4的圆心为(0,0),半径为2.

圆（》-3）2+（丫+〃?）2=25的圆心为（3,—m），半径为5.

由于两圆外切，所以,3?+相°=2+5=7,得，，2=40.

故解得加=±2^16.故K答案』为：±2\/1（）.

15.己知抛物线C：V=4x的焦点为下，准线为/,P是/上一点，PF交C于M,N两点,

且满足MP=2FP，贝U|N『|=.

K答案』!4

K解析》抛物线C:y2=4x,贝=准线方程为户一1,

由于A/p=2FP，所以尸是MP的中点，

设P（-lj）,而尸（1,0）,所以M（3,T）,

将M点坐标代入抛物线方程得产=12,不妨设/=2/，则M（3,-2⑹.

（„2、%-。_-26-0

设N空,％,由于三点共线，所以―3-1，整理得

一）］一1

国+4%-4G=0，

解得%=］，（%=-26舍去），所以N（g，凳），所以|NF|=g+l=g.故［［答案』为:

4

3

16.如图，已知在四棱锥尸-ABCD中，底面A8CO是菱形，且NBA。=120,PA，底面

ABCD,P4=AB=4,旦尸，”分别是棱PBBC,。的中点，对于平面EFH截四棱锥

P-A8C。所得的截面多边形，有以下几个结论：

①截面的面积等于4指;

②截面是一个五边形且只与四棱锥P-M8四条侧棱中的三条相交;

③截面与底面所成锐二面角为45:

④截面在底面的投影面积为5G.

其中，正确结论的序号是.

K答案1②③④

K解析D取中点G,网的四等分点/,依次连接E、F、G、H、I,设

FGCAC=M,BDAC=N,则M为CN中点，N为4c中点，故M为4c四等分点，故

IMPC,

底面ABC。是菱形，ZBAD=UO,则ABC为正三角形，AC1BD,又曰=AB=4,二

AC=AB=4,8O=2?26=4B

始J_底面ABC。，AC、8£>u底面ABC。，APAA.AC,PA1BD,：.PC=472，

•；E,£H,G分别是棱P8,BC,P2C。的中点，EFiPC|"G,EH80FG且

EF=HG=-PC=2y/2,EH=FG=>BD=26.

22

综上可知，多边形EFGHl即为平面EFH截四棱锥P-A88所得的截面多边形.

,/PAAC=A,PA,ACPAC,；.80J,平面以C,：PCu平面以C,二

8D_LPC,，EF_L£W,...四边形EFGH为矩形，其面积为20'26=4卡.

设FGAC=M,BDAC=N,则M为CN中点，N为AC中点，二

113

CM=—CN=—AC=1,AM=—AC=3.

244

•••E/Z平面BAGPCu平面B4C,二石厂平面以C,二•平面EFG”|平面以C=/M,

EFIMPC且/M=3pc=3五,:.EH八IM,

4

：•」EH的边EH上的高IJ=IM-MJ=IM-EF=应，：•s同=g包以后&="，，截

面的面积等于5#,①错；

由图可知，截面是一个五边形，只与四棱锥P-ABCZ）四条侧棱中的侧棱以、PB、P。相

交，②对；

/A/i截面，AMu平面ABCD,EHBD\FG,则FGJ■平面BIC,/例、AMi平面

PAC,则y/M,尸GLAM,为截面与底面所成锐二面角，则在Rt小£4中，

cos?IMA—=^==—,故截面与底面所成锐二面角为45,③对；

1M3&2

取AB、A。中点K、L,则EKPAHL,则EKJJ氐面ABC£>,HLYJ^ABCD,多边

形AKFGL为截面在底面的投影，

KFACLGR.KF=LG=』AC=2,则多边形AKFGL的面积为

2

SS-S-SM-SWCW仓势4石-2仓42?73；仓2g1=5白，④对.

故R答案』为：②③④

三、解答题

17.为了迎接2022年世界杯足球赛，某足球俱乐部在对球员的使用上一般都进行一些数据

分析，在上一年的赛季中，A球员对球队的贡献度数据统计如下：

球队胜球队负总^计

A上场22r

A未上场S1220

总计50

(1)求,/的值，据此能否有99%的把握认为球队胜利与A球员有关；

(2)根据以往的数据统计，8球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场

率分别为：0.2,0.3,0.2,0.3,当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队赢球的概率依次

为：0.2,0.2,0.4,03,贝ij：

①当他参加比赛时，求球队某场比赛赢球的概率；

②当他参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求8球员担当守门员的概率；

③在2022年的4场联赛中，用X表示“球队赢了比赛的条件下B球员担当守门员”的比赛场

次数，求X的分布列及期望.

附表及公式：

尸(/叫0.150.100.050.01()0.0050.001

k2.0722.7063.8416.6357.87910.828

y-2=--------n-(-a-d---b-c-)-'--------

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

(1)ft?：根据题意，补全列联表如下表:

球队胜球队负总计

A上场22830

A未上场81220

总计302050

所以，r=8.s=8,

250x(22x12—8x8)250x200x20050…，…

=-----------------=--------------=—5.56<6.635

30x20x30x2030x20x30x209

所以，没有99%的把握认为球队胜利与A球员有关

(2)解：①根据题意，记8球员参加比赛时，球队某场比赛赢球为事件A,

P(A)=0.2x0.2+0.3x0.2+0.4x0.2+0.3x0.3=0.27,

所以，B球员参加比赛时，球队某场比赛赢球的概率为0.27.

②记8球员担当守门员为事件8,则*A8)=0.3x0.3=0.09,

所以，当8球员参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，8球员担当守门员的概率为

尸W|A),

因为尸国小坐L照

V17P(A)0.273

所以，8球员参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，E球员担当守门员的概率为g

③由②知，球队赢了比赛的条件下8球员担当守门员的概率为:，

由题知X的可能取值为04,2,3,4,且X

所以尸”=。）=需j©嚎P（X=D=喏词’啜

P（X=2）=q］（；j=引*P（x=3）=C：（|）©得

tl1

p（X=4）=C：

I81

所以，X的分布列如下表,

X01234

1632881

p

8181278181

I4

所以，£（X）=4x-=-

18.己知｛端为等差数列，也｝为公比大于0的等比数列，且伉=1,伪+么=6,%=3,

%+24=&.

（1）求｛4｝的通项公式;

（2）记q=（4—1）・%,求数列｛&｝的前“项和5”

解：（1）设等差数列｛%｝的公差为d,

等比数列｛4｝的公比为q（4>o）,由题设可得:

工（”/）=6,即

%+4+2（3+3"）=如"

q+q2=6q=2

3+d+2（3+3d）=r'解得

d=\

所以a”-a3+（n-3）d-n,〃,=仇q""=2*

（2）由（1）可得：c.=（2〃—1）2",

.•.S„=1X2'+3X22+5X23++（2〃一1b2”,

X2S„=1X22+3X23++（2〃一3>2"+（2〃-1）・2”“，

两式相减得：-S.=2+2（22+2、+2n）-（2n-l）-2M+,

=2+2,2（：_；）_（2“7>2"+1，

整理得：S“=(2〃—3>2向+6.

19.如图，在三棱柱ABC-A4G中，侧面澳内8为正方形，AA，平面A8C,

AB=BC=2,ZAfiC=120°,E,尸分别为棱4B和84的中点.

(1)在棱A4上是否存在一点。，使得CQ〃平面EFC?若存在，确定点。的位置，并给

出证明；若不存在，试说明理由；

(2)求三棱锥A-EFC的体积.

解：(1)存在点，使得CQ〃平面EFC.

取AA的中点。，46的中点M,连接"W,Ag,则ZW//A4.

因为E,尸分别为棱AB和8片的中点，

所以EFHAB、，所以DMIIEF连接MCt，则MCJ/EC.

因为。McMG=M,DW,MGu平面M£>C1,EFcEC=E,EF,ECu平面EFC,

所以平面〃平面EFC.

因为G。<=平面MQG,所以C、DH平面EFC.

所以存在D(D为AA,中点)，使得C,£>//平面EFC.

(2)求三棱锥A-EFC的体积相当于求三棱锥C-AEF的体积.

因为A4,J.平面ABC,AAu平面AB81A，所以平面_L平面ABC.

设点C到A3的距离为力，则有，AB/=LA8BC-sinl20。，其中A8=8C=2,

22

解得h=百.

因为平面48瓦4，平面ABC,平面「'平面ABC=钻，

所以点C到AB的距离即为点C到平面4叫A的距离，为人=

在正方形48旦4中，AB=2,则EF=《BE。+BF)=，产+)=0,

AE=y)AE2+A4,2=Vl2+22=氐A尸="乌尸2+4耳2=Vl2+22=逐.

取瓦•的中点N,连接AN,则ANLM,

所以AN=y/A严-NF2=/(6)_与=当.

所以5小.=；EF，AN=gx&x半=|,

所以匕=35"£〃万=}|'6=¥.

所以三棱锥A-EFC的体积为3.

2

2

20.已知椭圆C:j=?+=v=l(a>b>O)的上顶点与右焦点分别为M，尸，。为坐标原点，

ab

△MO尸是底边长为2的等腰三角形.

(1)求椭圆C的方程；

(2)己知直线y="-3与椭圆C有两个不同的交点4,民。(1,0),若AD_L8D,求女的

值.

解：（1）因为△欣乃是底边长为2的等腰三角形，所以|OM|=|O日且|MF|=2,

又WO尸，所以|OM|=|OF|=0.

所以b=c=夜,a=y/b2+c2=2，

22

所以椭圆C的方程为三+二=1.

42

y=kx-3

(2)联立Y9，消去y得(2公+1卜2-]2履+14=0,

142

则△=144产一56(2%2+1)＞0,解得%＞曰或左＜_弓.

设人(4,％),矶々,%)，则占+&=』|^,x,%2=—^―,

乙KI1乙K十1

则AD=(l-X],-yJ,BD=(l-x2,-y2),

由得AO-BZ）=0，即（1一元|，一乂）,（1一々，一%）=。

得1-（西+9）+石玉+（依一3）（优一3）=0,

整理得（二+1）玉々-（3%+1乂玉+々）+10=0,

代入为+为=-^-,%占=—^―,得俨-（3^+1）-^-+10=0,

1-2k2+122k2+\',2二+1'，2公+1

化简得父:女+"=0,所以一公一6攵+12=0,

2K+1

解得％=—3±血，都满足攵＞立或左＜—也

22

综上，%的值为-3+J区或-3-6

21.已知函数/（》）=6，-加.

（1）求曲线y=/（x）在点（0"（0））处的切线方程；

（2）若函数“X）在（0,+8）上只有一个零点，求实数”的值.

解：⑴V,/'（x）=e'-ar,/,（x）=e'-2ar,

则〃0）=1,r（O）=l.即切点坐标为（0』），切线斜率％=1,

曲线y=/（x）在点（0,/（0））处的切线方程为y-l=x-O,即x-y+l=O.

（2）（x）=e'-ax2,尸（x）=e'-2ax,贝lj有：

当a40,则/''(/)=6:-25>0在%€(0,+00)上恒成立,

故函数“X)在(0,+8)上单调递增，则/(力>/(0)=1>0,

即/(力在(0,也)无零点，不合题意，舍去；

当“>0,令夕=则夕'(x)=e*-2a在(0,+8)上单调递增,则

令g(x)=e，-x-1,则g'(x)=e*-1>0在xe(0,+oo)上恒成立,

则g(x)在(0,y)上单调递增,则g(x)>g(0)=0,

故e*>x+l在尤e(O,E)上恒成立，

/.d(a+ln2)=2(e"-a)>2(a+l-«)=2>0,

(i)当1—2aNO,即0<a4g时，则/(x)20,则函数9(x)在(。,y)上单调递增，则

*(犬)>研0)=1>0,

故函数/(X)在(0,+8)上单调递增,则f(x)>"0)=1>0,

即/(X)在(0,y)无零点，不合题意，舍去；

(ii)当1—2a<0,即时，则函数e(x)在(0,+巧存在唯一的零点工,

可得：当0cx<x(,时，当x>x0时，*'(x)>0,

故函数e(x)在(0,%)上单调递减，在(%,+00)上单调递增，则以力29(为)=6">-孙)，

x

•；d(毛)=e“_2a=0,BP2a=e°>x0,

*(5)=e&_2”=eM(l-%),

1p

①当1-/20,即0</41,时，则0(x)2/(%)20在(0,+s)上恒成立，

故函数/(x)在(0,+8)上单调递增,则f(x)>"0)=1>0,

即函数/(x)在(0,+8)无零点，不合题意，舍去；

②当即时，

结合①可得：若a=l时，/（力=/一乂＞0在（0,+8）上恒成立，

故夕（天）＜0,夕（0）=]＞0,^（2a）=e2fl-（2«）2＞0,

故夕（x）在（0,+8）内有两个零点，不妨设为X|，w（O〈玉＜为＜刍）,

可得：当0cx＜为或》＞超时，^（x）＞0,当看＜*＜三时，*（x）＜0,

故函数/（x）在（0,士）,（吃,+＜»）上单调递增，在（%,々）上单调递减，

若函数/（x）在（0,+8）上只有一个零点，且/（0）=1＞0,

A：

/（x2）=e-ax?=0,

又9（W）=e&-23=0,即“=——,

eX1-^—xx；=0,解得x,=2,

2X2

故q=j

4

2

综上所述：«=e-

4

C6

X=2H-----1

2

22.在平面直角坐标系xQy中，直线/的参数方程为（f为参数），以坐标原点