第三章第4节第1课时函数的应用教学设计-高一上学期数学人教A版2019

课题：《函数的应用（第一课时）》教学设计课型新授课授课教师李会玲班级高一.二班教学目标知识目标：1．了解函数模型（如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用．2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．素养目标：1．通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养．2．借助实际问题中的最值问题，提升数学运算、数据分析素养．重难点教学重点：利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题。教学难点：将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价教学方法启发式、合作探究、总结归纳信息技术应用贷计算器小程序，几何画板，希沃课件教学过程设计教学环节教学内容活动设计核心素养提升点创设情境导入新课复习旧知巩固提升创设情境，导入新课。近日，全球疫情迎来第二次高峰，全球经济走势低迷，而善于攒钱的中国人似乎影响并不是特别的大，大数据显示，一款小程序房贷计算器每日被使用的次数反而增加了。下面我们就来看一看这个房贷计算器的小程序，那么同学们你们知道它该怎么使用吗？经过现场的演示，我们发现：我们每改变一个”贷款总额”的数量，小程序就会自动计算出一个“月还款额”与之对应，对任意一个贷款额都有唯一的一个还款额与之对应，这让我们想到了什么？这款贷款计算器的计算原理是什么呢？生齐答：函数那么同学们，目前我们掌握了哪些常见的函数模型呢？生答：函数模型函数解析式一次函数模型f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）二次函数模型f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）幂函数模型分段函数模型f（x）＝函数是数学中的重要思想，也与我们的生活密不可分，下面就让我们用函数的思想跟随一名同学开启她全新的生活之旅吧！以疫情过后的经济情况引入，以房贷计算器这一网络上点击使用率非常高的小程序为载体，让学生感受生活中的函数作用。现场演示每填入或者改变一个数值，则计算出的月还款额都会跟着变化。让同学们感受到一个量因另一个量的变化而变化的过程，让我们想到了函数。让同学们自主复习已学过的函数模型，为后面建立函数模型解决某宁生活中遇到的问题奠定理论基础。以自己学校的某学生为研究对象，容易让学生产生同理身份，创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生的求知欲。让学生学会用数学的眼光去关注生活。培养学生数学抽象的核心素养合作探究探索函数之旅合作探究探索函数之旅合作探究探索函数之旅合作探究探索函数之旅合作探究探索函数之旅合作探究探索函数之旅合作探究探索函数之旅刘小宁同学是哈尔滨市第122中学2010级学生，转眼间到了2020年，她研究生毕业，加入到某电脑公司工作，月薪8000元。类型1：一次函数模型的应用第一幕：职场新手，经理布置工作任务：该电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司有某一型号电脑6台，乙分公司现有同一型号电脑12台。现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台。已知每台电脑从甲地运往乙地A,B两地运费分别是40元和30元，从乙地运往A,B两地的运费分别是80元和50元。设甲地调运x台电脑到B地，该公司运往A,B两地的总运费为y元，求y关于x的函数解析式；若总运费不超过1000元，则有几种调运方案？解:（1）甲地调运x台电脑到B地，则剩下台电脑调运到A地，乙地应调运台电脑至B地，运往A地台电脑（，）则总运费（，且）（2）令，即，得.又，，∴，.∴，1，2，即有3种调运方案.（3）是R上的増函数，又，，∴当时，y有最小值960.∴从甲地运6台到A地，从乙地运8台到B地、运4台到A地，此时运费最低，最低为960元.规律方法：1．一次函数模型的实际应用一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．2．一次函数的最值求解一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0（或≤0），解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．经过最初的锻炼，刘小宁已经能轻松解决一些简单的问题，得到经理的认可。类型2：二次函数模型的应用第二幕：生活小有目标，投资也要做好刘小宁工作了一段时间后，有了一些积蓄，想进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2.（1）帮某宁写出两种产品的年收益和的函数关系式；（2）其家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问:怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元?学生们积极参与，不断补充，帮完成刘小宁投资计划。解:（1）可设，，∵，，∴，.（2）设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，年收益为万元，依题意得：，即，令，则，，则，，所以当，即万元时，收益最大，万元.规律方法：二次函数模型的解析式为．在函数建模中，它占有重要的地位．在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答．幂函数模型，在函数建模中，使用频率也比较高，主要可以利用单调性求出最值。类型3：分段函数模型的应用第三幕：生活新手小白遇到水费小麻烦刘小宁每个月负责交自己家和妈妈家的水费，该市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为元，每月自己家、父母家两户共交水费元，已知两户该月用水量分别为.（1）关于的函数关系式;（2）若两户该月共交水费264元，分别求出甲、乙两户该月的用水量.同学们联手为刘小宁和宁妈排忧解难(1)由题意知,x≥0,令5x=4,得x=;令3x=4,x=.则当0≤x≤时，y=(5x+3x)×1.8=14.4x，当<x≤时，y=4×1.8+(x−)×5×3+3x1.8=20.4x−4.8，当x>时,y=(4+4)×1.8+(−)×5×3+3×5(x−)+3×3(x−)=24x−9.6，即得；(2)由于y=f(x)在各段区间上均单增，当0≤x≤时,y≤f()<26.4，当<x≤时,y≤f()<26.4，当x>时，令24x−9.6=26.4，得x=1.5，所以刘小宁户用水量为5x=7.5吨,付费S1=4×1.8+3.5×3=17.70元宁妈用水量为3x=4.5吨，付费S2=8.7元.规律方法：1．分段函数的“段”一定要分得合理不重不漏2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．3．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．立德树人，培养优秀人才：第四幕：依法纳税，履行公民义务依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为个税税额=应纳税所得额×税率速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为应纳税所得额=综合所得收入额基本减除费用专项扣除专项附加扣除依法确定的其他扣除.其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元，税率与速算扣除数见表.级数全年应纳税所得额所在区间税率（%）速算扣除数130210252032016920425319205305292063585920745181920设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y，求，并画出图象；（2）某宁工作10年后全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？解：（1）根据表，可得函数的解析式为函数图象如图所示.（2）根据②，刘小宁同学全年应纳税所得额为，将的值代入③，得，所以，小宁应缴纳的综合所得个税税额为1029.6元.鼓励大家依法纳税做遵纪守法的好公民以自己学校的某学生为研究对象，容易让学生产生同理身份，创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生的求知欲。让学生学会用数学的眼光去关注生活。学生小组合作，帮刘小宁解决困难，思考探究解决实际问题让学生注意应用题中未知数的实际意义，注明取值范围及常用数集的符号。师生一起总结一次函数模型的规律方法。随着工作的不断进步，生活需求的增加，刘小宁面临的问题也增加了，理财可是人人都很重视的一项任务哦。同学们积极参与，表达处理问题的意见和方法同学们合作探究发现了二次函数模型及幂函数模型对学生熟悉的二次函数，学生们的热情和自信心被充分调动。对于幂函数学生们不是很熟悉，但是也能慢慢的通过换元的方法转换成二次函数，找到了求解最值的方法！师生一起总结二次函数、幂函数模型的规律方法。学生审题，简化题干背景初次遇到分段函数，学生们思考时间明显增加。合作探究寻找分段函数自变量的分界线利用分段函数解决刘小宁生活中遇到的问题。设置问题，引导学生步步深入，体现循序渐进的认知过程师生一起总结分段函数模型的规律方法。立德树人是教育的核心目标，在培养人才时必须要把立德树人放在最重要的位置上。通过之前的几种函数模型的探索，已经寻找到一定的方式方法和解决问题的规律步骤：在最后一题上进行梳理理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景，弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型求解检验模型给出最终的评价升华立德树人的核心价值培养学生数学建模的核心素养培养学生数学运算，数据分析的核心素养由已知图象培养学生直观想象培养学生数学运算，数据分析的核心素养培养学生数学运算，数据分析的核心素养培养学生数学建模的核心素养培养学生数学运算，数据分析的核心素养培养学生数学运算，数据分析的核心素养培养学生数学建模的核心素养培养学生数学运算，数据分析的核心素养培养学生直观想象的核心素养培养学生数学运算，数据分析的核心素养总结归纳建模主要步骤课堂总结升华学生通过对例题的思考和必要的交流，分析归纳例题的解题过程，简述建模的主要步骤：理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景，弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.（2）简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量.（3）数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的函数模型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等.（4）求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解.（5）检验模型：将所求的结果代回模型之中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性：如果不满意，要考虑重新建模.（6）评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果做出解释并给出其实际意义，最后对所建立的模型给出运用范围：如果模型与实际问题有较大出人，则要对模型改进并重复上述步展，四、课堂小结1．解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式．求解析式时，一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用函数图形的直观性．2．数学建模的过程图示如下：总结升华：从我们步入社会开始，我们就真正的开始了独立的生活，独立的解决问题，人生就是在不断的遇到问题，解决问题的过程中成长起来，今天我们一起陪着我们的学姐经历了她所面临的一些问题，而这些只是生活中的一小部分，函数不仅是数学的重要思想，也是我们