微积分上课时一章

第二节初等函数四、复合函数一、反函数三、函数的运算五、初等函数六、小结思考题二、基本初等函数一、反函数(inversefunction)函数关系的实质是从定量分析的角度来描述运动过程中变量之间的相互依赖关系。但在研究过程中，哪个量作为自变量，哪个量作为因变量则是由具体问题来决定的。例如：假定某种商品的销售单价为p，销售量为q，则销售收入R是销量q的函数：若已知销售收入R，反过来求销售量q，则有显然与是同一个关系式的两种不同写法。问题：与是同一个函数吗？因为它们的对应规则和定义域均不同。但两者之间存在密切关系与两者之间可互为变换而来；1、不是，2、的定义域是的值域。的定义域；的值域是3、满足上述三条关系的两个函数称为“互为反函数”。若将称为的反函数，定义设函数，则称为“直接函数”。其定义域为，值域为若对任一，在内都存在x的一个唯一确定的取值与之对应，且满足关系式则在上依关系式可定义一个以y为自变量，以x为因变量的新的函数或这个新的函数称为函数在上的反函数。反函数的定义域是，值域是。相对于反函数，称为直接函数。例1求的反函数解由函数的，得将x,y互换得反函数为记为DWDW互为反函数的图像.由于函数的自变量习惯上用x表示，因变量用y表示，所以，写反函数时要求写成习惯表达形式。1、反函数反习惯表示

直接函数与反函数的图形关于直线对称.2、反函数按习惯表示定理（反函数存在定理）：单调函数f

必存在单调的反函数，且此反函数与f具有相同的单调性.不是所有的函数都有反函数。解例2求函数的反函数由得反函数为将x,y互换，得例3已知(符号函数)求的反函数.解由题设,易得故所求反函数为.二、基本初等函数（一）常值函数（C为常数）（二）、幂函数函数图像过（1，1）点

会随

的取值不同而不同，但在总有意义(三)、指数函数当0<a<1时函数单调减少，图像过(0,1)点当1<a时函数单调增加。(四)、对数函数互为反函数图像过(1,0)点(五)、三角函数1、正弦函数2、余弦函数3、正切函数4、余切函数5、正割函数6、余割函数(六)、反三角函数1、反正弦函数2、反余弦函数3、反正切函数4、反余切函数三、函数的运算的下列运算：函数的和（差）函数的积函数的商例4分析证明三、复合函数(compoundfunction)引例设定义设函数的定义域为而函数的值域为若则称函数为的复合函数.注:其中自变量,中间变量,因变量(1)函数与函数构成的复合函数即通常记为(2)不是任何两个函数都可以复合成一个复合函例如（3）复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.为了方便也将它们分别叫做外层函数，中间层函数和内层函数。例如例5因此能够形成复合函数或直接写成例6设求解分段函数的复合运算例7设求解当时,或或当时,或或所以.

在微积分中经常要对由两个及两个以上函数复合而成的复合函数进行分解.也就是要考虑某个复合函数是由哪些简单函数复合而成的。分析下列函数是由哪些函数复合而成

函数复合的相反过程称为复合函数的分解。准确识别复合函数，正确分解复合函数，对于后续微积分的学习影响很大，必须正确掌握之。复合函数分解之后得到的各层函数一般表现为基本函数或基本函数的运算函数结构。

由常数及基本初等函数经过有限次的运算或复合步骤所构成并且可以用一个式子表示的函数，叫作初等函数.例如五、初等函数多项式函数（有理整函数）有理分式函数有理整函数与有理分式函数统称为有理函数.如：六、小结思考题1.复合函数：复合函数的形成与复合过程的分解.2.反函数：反函数的基本求法.3.函数的运算：简单函数