指数与对数运算

指数与对数运算一、知识要点：〔1〕n次方根的定义：一般地，假设那么x叫做a的n次方根。叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数。〔2〕方根的性质：①当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数，记作：。②当n为偶数时，正数的n次方根有两个〔互为相反数〕，记作：。③负数没有偶次方根。④0的任何次方根为0。〔3〕根据n次方根的定义，易得到以下常用公式：①当n为任意正整数时，()=a.②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.〔4〕正数的正分数指数幂的意义①(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)②(a＞0，m,n∈N*,且n＞1)〔5〕指数幂的运算性质:〔6〕对数的定义：如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作。〔7〕对数恒等式。〔8〕对数运算法那么：如果a>0，a1，M>0，N>0有〔9〕对数换底公式：(a>0,a1，m>0,m1,N>0)。〔10〕两个常用的推论:①，②〔a,b>0且均不为1〕．二、例题选讲1、计算〔1〕；〔2〕；〔3〕。2、化简以下各式〔结果用有理数指数幂表示〕：〔1〕；〔2〕；〔3〕．3、求的值；求的值。4、设，为不等于1的正数，且，求证：5、计算：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕6、设，，且，求的最小值。7、〔1〕，求的值。〔2〕正实数满足，①求的值；②试比拟的大小。变式：设，那么的值为.8、假设，求的值。9、〔1〕，，用表示；〔2〕设，用表示；〔3〕，用表示．三、千锤百炼1．〔〕等于．2．＝．3．关于x的方程2a－7a+3=0有一个根是2,那么a=．方程其余的根为．4．，那么的值为．5．假设2〔x－2y〕＝x＋y，那么的值为．6．函数是任意实数且，证明：参考答案：例1、分析：根据方根的性质，将函数进行化简,再作图．解：它的图象是两条射线．变式1：解：〔1〕原式=.(2)原式=(3)原式＝(4)原式＝．例2、解：〔１〕原式＝．〔２〕原式＝．〔３〕原式＝．例3、解：先将根式化为分数指数幂，多重根式先内后外；除法先化简分子分母，然后再进行指数的加减；注意带括号运算．〔１〕原式＝．〔２〕原式＝．〔３〕原式＝．例4、解：〔１〕原式＝．〔２〕原式＝．〔３〕原式＝＝＝＝当时，；当时，．所以原式＝．〔４〕原式＝．例5、分析：从条件中解出的值，然后代入求值，这种方法可行但太繁琐．如果注意所求式子与条件的关系，整体代入求值，那么计算简便．解：〔１〕因为且，．〔２〕．〔３〕．或者：．〔４〕．例6、解：〔１〕．〔２〕由〔１〕可知所以．例7、分析：先将原式化简，写成关于的指数幂的形式，然后再分析指数的可能情形．解：．，当且仅当时，为整数．故式子能化成关于的整数指数幂的可能情形有３种．例8、证：从而，，．例9、解：〔１〕原式＝．〔２〕原式＝＝．〔３〕原式＝＝．〔４〕原式＝．〔５〕原式＝．例10、解：〔１〕，．〔２〕．〔３〕，．例11、解：令，∵，，∴．由得，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，∵，∴当时，．例1２、解：〔１〕．〔２〕设，那么①．②，．，从而．变式：解：，．例1３、分析：在求解过程中，要注意真数要大于０的限制条件．解：，，或，由题意知，所以，．例1４、解法一〔对数转化为指数〕：设，那么，，，，．，．解法二〔利用换底公式〕：，，．例1５、分析：由于指数较为复杂，考虑取对数，从而使幂运算转化为乘法运算，降底难度．解：〔１〕设，那么．〔２〕设，那么，所以，同理，，所以原式＝０．三、稳固练习：1．D；2．C；3． B；４．；5．；６．２；７．解:2a－7a+3=0,a=或a=3.a=时,方程为:8·()－14·()+3=0x=2或x=1－log3a=2时,方程为:·2－·2+3=0x=2或x=－1－log2８．解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴。９．解：由