2024年中考数学专题训练 专题04 定弦定角（知识解读）

专题04定弦定角（知识解读）【专题说明】定弦定角题型的识别：有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【知识点】若固定线段AB所对动角∠P为定值，则点P运动轨迹为过A、B、P三点的圆。备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可。原理：同弧所对的圆周角相等；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。请在上方后面的图形中找到圆心。【方法技巧】解题技巧：构造隐圆定弦定角解决问题的步骤：（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧。（2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为、）（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置（4）计算隐形圆的半径（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径【典例分析】【典例1】如图，已知矩形ABCD．（1）如图①，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝45°的点P的轨迹；（2）如图②，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝90°的点P的轨迹；（3）如图③，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝120°的点P的轨迹．【典例2】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）A．1 B．2 C． D．4﹣3【变式2】如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为．【典例3】如图，⊙O半径为6，弦AB＝6，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）A．6 B．9 C．6 D．9【变式3】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）A． B． C． D．【典例4】如图，A（1，0）、B（3，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为．【变式4】（2022•肇源县二模）如图，A（2，0）、B（6，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为．【典例5】（2020秋•无锡期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，C在⊙O上，∠ABC＝60°，P是⊙O上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为． 专题04定弦定角（知识解读）【专题说明】定弦定角题型的识别：有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【知识点】若固定线段AB所对动角∠P为定值，则点P运动轨迹为过A、B、P三点的圆。备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可。原理：同弧所对的圆周角相等；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。请在上方后面的图形中找到圆心。【方法技巧】解题技巧：构造隐圆定弦定角解决问题的步骤：（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧。（2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为、）（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置（4）计算隐形圆的半径（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径【典例分析】【典例1】如图，已知矩形ABCD．（1）如图①，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝45°的点P的轨迹；（2）如图②，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝90°的点P的轨迹；（3）如图③，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝120°的点P的轨迹．【解答】解：（1）如图，作等腰直角三角形AOB，使∠AOB＝90°，以O为圆心，OA为半径画圆，则即为所求；（2）如图，以AB为直径作圆，则即为所求（不与A、B重合）；（3）如图，作等腰△AOB，使∠AOB＝120°，以O为圆心，OA为半径画圆，则即为所求（不与A、B重合）；．【典例2】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）A．1 B．2 C． D．4﹣3【答案】A【解答】解：连接CD，则∠PDC＝∠PAC＝∠ACB＝45°，∠BDC＝135°∵BC＝4，∴点D在以BC为弦的一段圆弧上运动，圆心角为90°，设圆心为O，连接BO、CO、DO，则△BCO为等腰直角三角形，∴CO＝4，∠BCO＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠ACO＝90°，∴AO＝＝＝5，∴AD≥AO﹣DO＝5﹣4＝1（当且仅当D是AF与圆弧的交点时取等号），∴线段AD的长的最小值为1，故选：A．【变式2】如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为．【答案】2﹣2【解答】解：连接AE，如图1，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，∴AB＝AC＝4，∵AD为直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝90°，∴点E在以AB为直径的⊙O上，∵⊙O的半径为2，∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，∴OC＝＝2，∴CE＝OC﹣OE＝2﹣2，即线段CE长度的最小值为2﹣2．故答案为2﹣2．【典例3】如图，⊙O半径为6，弦AB＝6，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）A．6 B．9 C．6 D．9【答案】B【解答】解：连接OA、OB，作△ABC的外接圆⊙D，如图1，∵OA＝OB＝6，AB＝6，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝6，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如图2，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝9，∴△ABC的最大面积为9．故选：B．【变式3】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：连接OA、OB，如图1，∵OA＝OB＝1，AB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝1，要使△ABC的面积最大，则点C到AB的距离最大，∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如图2，作△ABC的外接圆D，当点C在优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，∴△ABC的最大面积为．故选：D【典例4】如图，A（1，0）、B（3，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为．【答案】﹣1【解答】解：连接MD，如图，∵D为EF的中点，∴MD⊥EF，∴∠ODM＝90°，∴点D在以A点为圆心，1为半径的圆上，当D点为CA与⊙A的交点时，CD的值最小，此时CD＝AC﹣1＝﹣1，即CD的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．【变式4】（2022•肇源县二模）如图，A（2，0）、B（6，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为．【答案】2﹣2【解答】解：连接MD，如图，∵D为EF的中点，∴MD⊥EF，∴∠ODM＝90°，∴点D在以A点为圆心，2为半径的圆，当D点为CA与⊙A的交点时，CD的值最小，此时CD＝AC﹣2＝2﹣2，即CD的最小值为2﹣2．故答案为：2﹣2．【典例5】（2020秋•无锡期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，C在⊙O上，∠ABC＝60°，P是⊙O上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为．【答