2024年高中物理新教材同步 必修第二册 第7章 2　万有引力定律

2万有引力定律[学习目标]1.了解推导行星与太阳之间引力表达式的方法。2.体会从行星运动规律到万有引力定律的建立过程。3.理解万有引力定律的内容、含义及适用条件(重点)。4.认识万有引力定律的普遍性，并能用来解决实际问题(重难点)。一、行星与太阳间的引力行星与太阳间引力的得出过程(1)太阳与行星间引力的方向沿着两者的连线。(√)(2)太阳与行星间的引力公式F＝Geq\f(m太m,r2)中，G与太阳、行星都没有关系。(√)(3)太阳对行星的引力大小等于行星对太阳的引力大小。(√)(4)太阳对行星的引力与行星的质量成正比，与太阳质量无关。(×)二、月—地检验1．检验目的：检验地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的吸引力是否为同一性质的力。2．检验方法：(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝Geq\f(m月m地,r2)，根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝Geq\f(m地,r2)。(2)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝Geq\f(m地,R2)。(3)eq\f(a月,a苹)＝eq\f(R2,r2)，由于r≈60R，所以eq\f(a月,a苹)＝eq\f(1,602)。(4)结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。三、万有引力定律月—地检验结果表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。一切物体间都存在这样的引力，为什么我们感觉不到周围物体的引力呢？(1)假若你与同桌的质量均为60kg，相距0.5m。粗略计算你与同桌间的引力(已知G＝6.67×10－11N·m2/kg2)。(2)一粒芝麻的质量大约是0.004g，其重力约为4×10－5N，是你和你同桌之间引力的多少倍？(3)在对一个人受力分析时需要分析两个人之间的引力吗？答案因为我们与周围物体间的引力很小，所以我们感觉不到。(1)F万＝Geq\f(m2,r2)＝6.67×10－11×eq\f(602,0.52)N≈1×10－6N(2)芝麻的重力是你和你同桌之间引力的40倍。(3)两个人之间的引力很小，所以两个人靠近时，不会吸引到一起。故在进行受力分析时，一般不考虑两物体间的引力，除非是物体与天体、天体与天体间的相互作用。1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。2．表达式：F＝Geq\f(m1m2,r2)，其中G叫作引力常量。3．引力常量牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G的值。英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G的值。通常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2。4．对万有引力定律的理解(1)普遍性：宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着相互吸引的力。(2)相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力。(3)宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用。(4)适用范围：只适用于可以看作质点的两个物体间的相互作用；若是两个均匀的球体，应是两球心间的距离。(1)由于天体间距离很远，在研究天体间的引力时可以将它们视为质点。(√)(2)由万有引力定律F＝eq\f(Gm1m2,r2)可知，r→0时，F→∞。(×)(3)一个均匀球体与球外一个质点间适用于万有引力定律，其中r为球心到质点间的距离。(√)(4)不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力。(×)例1(2022·防城港市测试)两个质量相等的均匀球形物体，两球心相距r，他们之间的万有引力为F，若它们的质量都加倍，两球心的距离也加倍，它们之间的万有引力为()A．4FB．FC.eq\f(1,4)FD.eq\f(1,2)F答案B解析两个球体相距r时，它们之间的万有引力为F＝eq\f(Gm1m2,r2)，若它们间的距离变为原来的2倍，两个物体的质量变为原来的2倍，则它们之间的万有引力为F′＝eq\f(G·2m1·2m2,2r2)＝F，故B正确，A、C、D错误。例2(2022·淮北市测试)如图所示为两个半径分别为r1＝0.40m、r2＝0.60m且质量分布均匀的实心球，质量分别为m1＝4.0kg，m2＝1.0kg，两球间距离为r0＝1.0m，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，则两球间万有引力的大小为()A．6.67×10－11NB．2.668×10－10NC．小于6.67×10－11ND．不能确定答案A解析根据万有引力定律可得F＝Geq\f(m1m2,r1＋r0＋r22)＝6.67×10－11×eq\f(4.0×1.0,0.40＋1.0＋0.602)N＝6.67×10－11N，故A正确，B、C、D错误。例3一个质量均匀分布的球体，半径为2r，在其内部挖去一个半径为r的球形空穴，其表面与球面相切，如图所示。已知挖去小球的质量为m，在球心和空穴中心连线上，距球心d＝6r处有一质量为m2的质点，求：(引力常量为G)(1)被挖去的小球挖去前对m2的万有引力为多大？(2)剩余部分对m2的万有引力为多大？答案(1)Geq\f(mm2,25r2)(2)Geq\f(41mm2,225r2)解析(1)被挖去的小球挖去前对m2的万有引力大小为F2＝Geq\f(mm2,d－r2)＝Geq\f(mm2,25r2)(2)将挖去的小球填入空穴中，由V＝eq\f(4,3)πR3、m＝ρV可知，大球的质量为8m，则挖去小球前大球对m2的万有引力大小为F1＝Geq\f(8m·m2,6r2)＝Geq\f(2mm2,9r2)故剩余部分对m2的万有引力大小为F＝F1－F2＝Geq\f(41mm2,225r2)。四、万有引力和重力的关系如图所示，人分别站在地球(地球可视为规则的球体)的北极处(位置A)、北半球某位置(位置B)、赤道上某位置(位置C)。(1)同一个人在地球不同位置受到的万有引力大小是否相等？(2)人在地球上随地球自转所需的向心力来源是什么？人在A、B、C三位置需要的向心力大小、方向是否相同？(3)人在A、B、C三位置的重力与万有引力有何关系？答案(1)根据万有引力定律F＝Geq\f(Mm0,R2)可知，同一个人在地球的不同位置，受到的万有引力大小相等。(2)人在位置B、C随地球自转，万有引力和支持力的合力提供人随地球转动需要的向心力；根据F向＝mω2r可知，同一人在位置B、C需要的向心力大小不同。人在位置A、C所受重力指向地心，A所需向心力为零，C所需向心力指向地心；在位置B所需向心力与万有引力不共线，所受重力及其所需向心力均不指向地心。(3)重力是由于地球吸引而受到的力。人在A位置时的重力与万有引力相等，当人处于位置B、C时，重力为万有引力的一个分力；人静止在地球表面时，所受重力和支持力等大反向。1．在地球上不同的纬度，万有引力和重力的关系不同：(1)如图甲所示，在赤道上：重力和向心力在一条直线上，mg＝eq\f(GMm,R2)－mω2R。(2)如图乙所示，在两极上：F向＝0,mg＝eq\f(GMm,R2)。(3)如图丙所示，在一般位置，重力是万有引力的一个分力，mg＜eq\f(GMm,R2)。(选填“>”“<”或“＝”)2．越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即mg＝eq\f(GMm,R2)。为什么高山上的自由落体加速度比山下地面的小？答案地球表面重力加速度g＝eq\f(GM,R2)，M为地球质量，R为地球半径，地球上空h高度，万有引力等于重力，即eq\f(GMm,R＋h2)＝mg′，所以h高度处的重力加速度g′＝eq\f(GM,R＋h2)，则g′<g。例4(2022·上海市奉贤区致远高级中学高一期末)重力是由万有引力产生的，以下说法中正确的是()A．同一物体在地球上任何地方的重力都一样B．物体从地球表面移到空中，其重力变大C．同一物体在赤道上的重力比在两极处小些D．绕地球做圆周运动的飞船中的物体处于失重状态，不受地球的引力答案C解析不同的地方，由于重力加速度不同，导致重力不同，在地球表面，纬度越高，重力加速度越大，则重力越大，所以同一物体在赤道上的重力比在两极处小些，故A错误，C正确；物体从地球表面移到空中，重力加速度变小，则重力变小，故B错误；飞船绕地球做匀速圆周运动，所受地球的引力提供向心力，飞船中的物体处于失重状态，故D错误。例5(2023·漯河市开学考试)2022年8月20日1时37分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感三十五号04组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。通过观察火箭上搭载物视重(物体与支持物相对静止且不受地球、支持物以外其他物体的作用力时，物体对支持物的作用力)的变化可以测量火箭竖直向上运动的加速度。假设在火箭上放置质量为m＝1.6kg的物体，当火箭上升到距离地面高度为地球半径3倍时，检测仪器显示物体的视重为9N，取地球表面重力加速度g＝10m/s2，忽略地球自转，则火箭竖直向上运动的加速度为()A．2m/s2 B．3m/s2C．5m/s2 D．6m/s2答案C解析设距离地面高度为地球半径3倍处的重力加速度为g1，在此位置处由牛顿第二定律得F－mg1＝ma，其中F＝9N，设地球半径为R，在距离地面高度为地球半径3倍处，由万有引力等于重力有Geq\f(Mm,4R2)＝mg1，在地球表面有Geq\f(Mm,R2)＝mg，联立解得a＝5m/s2，故选C。课时对点练考点一对太阳和行星间引力的理解、月一地检验1．(多选)把行星绕太阳的运动看成匀速圆周运动，关于太阳对行星的引力，下列说法中正确的是()A．太阳对行星的引力等于行星做匀速圆周运动的向心力B．太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离成反比C．太阳对行星的引力规律是由实验得出的D．太阳对行星的引力规律是由开普勒定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律等推导出来的答案AD解析太阳对行星的引力等于行星围绕太阳做匀速圆周运动的向心力，它的大小与行星和太阳质量的乘积成正比，与行星和太阳间的距离的平方成反比，A正确，B错误；太阳对行星的引力规律是由开普勒定律、牛顿运动定律和匀速圆周运动规律推导出来的，C错误，D正确。2．若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证()A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的eq\f(1,602)B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的eq\f(1,602)C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的eq\f(1,6)D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的eq\f(1,60)答案B解析若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，需要验证月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的eq\f(1,602)，B正确。考点二万有引力定律引力常量3．下列关于万有引力定律的说法正确的是()A．两物体间的万有引力不遵循牛顿第三定律B．两物体间的距离趋近0时，物体不能看成质点C．只适用于质量、半径较小的天体，天体半径大就不能用此公式计算万有引力D．牛顿总结得出万有引力定律的表达式，同时也测定出了引力常量G的值答案B解析万有引力定律适用于任何两个可以看成质点的物体之间或匀质球体之间的引力计算，说明两个物体间的万有引力是相互作用的两个力，因此遵循牛顿第三定律，A、C错误；两物体间的距离趋近0时，物体不能看成质点，公式不再适用，B正确；牛顿总结得出万有引力定律的表达式，公式中引力常量G的值是卡文迪什通过实验测出来的，故D错误。4．(2023·广雅中学期末)航天员从中国空间站乘坐返回舱返回地球的过程中，随着返回舱离地球越来越近，地球对航天员的万有引力()A．变大 B．不变C．变小 D．大小变化无法确定答案A解析根据F万＝Geq\f(Mm,r2)可知，返回舱离地球越来越近，则地球与航天员之间的距离r越来越小，可知地球对航天员的万有引力F万逐渐变大，故选A。5．(2023·佛山市月考)中国空间站轨道高度为400～450千米，地球半径约为6370千米。当航天员出舱在空间站舱外作业时，其所受地球的引力大约是他在地面所受地球引力的()A．0.9倍B．0.25倍C．0.1倍D．0.01倍答案A解析设地球半径为R，空间站的轨道高度为h，航天员的质量为m，地球质量为M，在地球表面时F1＝eq\f(GMm,R2)，在空间站时F2＝eq\f(GMm,R＋h2)，代入数据可得eq\f(F2,F1)≈0.9，故选A。考点三万有引力和重力的关系6．(多选)下列关于重力和万有引力的说法正确的是()A．重力和万有引力是不同性质的力B．在不考虑地球自转影响的情况下，可以认为地球表面物体的重力等于地球对它的万有引力C．由于地球自转的影响，物体的重力跟物体所处的纬度有关D．在地球两极的物体，物体的重力等于万有引力答案BCD7．(2022·北京市第三十五中学高一期中)地球上，在赤道上的一物体A和在台州的一物体B随地球自转而做匀速圆周运动，如图，它们的线速度大小分别为vA、vB，角速度分别为ωA、ωB，重力加速度分别为gA、gB，则()A．vA＝vB，ωA＝ωB，gA>gBB．vA<vB，ωA<ωB，gA>gBC．vA>vB，ωA＝ωB，gA>gBD．vA>vB，ωA＝ωB，gA<gB答案D解析地球上的点除两极外，相同时间内绕各自圆心转过角度相同，所以角速度相同，即ωA＝ωB；根据v＝ωr可知，角速度相同时，做圆周运动的半径越大，线速度越大，则vA>vB；地球上随纬度增加，重力加速度增大，赤道重力加速度最小，两极重力加速度最大，则gA<gB，故A、B、C错误，D正确。8．(2023·苏州中学高一期中)在电影《流浪地球2》中，太空电梯高耸入云，在地表与太空间高速穿梭。太空电梯上升到某高度时，质量为75kg的人重力为480N。已知地球半径为6371km，不考虑地球自转，则此时太空电梯距离地面的高度约为()A．1593km B．3584kmC．7964km D．9955km答案A解析不考虑地球自转，万有引力等于重力，设此时太空电梯处的重力加速度为g′，则g′＝eq\f(G′,m)＝6.4m/s2，则有eq\f(GMm,R＋h2)＝mg′，eq\f(GMm,R2)＝mg，联立解得：h≈1593km，故选A。9．(2020·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的eq\f(1,10)，半径约为地球半径的eq\f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为()A．0.2B．0.4C．2.0D．2.5答案B解析万有引力表达式为F＝Geq\f(m1m2,r2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为eq\f(F火引,F地引)＝eq\f(M火r地2,M地r火2)＝0.4，故选B。10.(2021·山东卷)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为()A．9∶1 B．9∶2C．36∶1 D．72∶1答案B解析悬停时所受平台的作用力等于万有引力，根据F＝Geq\f(m1m2,r2)，可得eq\f(F祝融,F玉兔)＝Geq\f(M火m祝融,R火2)∶Geq\f(M月m玉兔,R月2)＝eq\f(9,22)×2＝eq\f(9,2)，故选B。11．(多选)(2023·银川一中高一期中)由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法正确的是()A．质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg0B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mgC．地球的半径为eq\f(g0－gT2,4π2)D．地球自转的角速度为eq\f