2024年高考九省联考数学试题命制特点、方向及二轮复习策略

2024年高考九省联考数学试题命制特点、方向及二轮复习策略01

2024经验02

2024动向03

二轮复习建议目录CONTENTS题

。

同时减少了解答题的数量

。全卷由过去的22个题减少到19个题。（2）

增加了多选题的单题分值和解答题的总分值，

强化了对思维过程和思维能力的考查。调整试卷结构的主要目的是给学生更多的思考时间，从而加强对思维能力的考查。由于调整试卷结构以后整卷题量减少，更有利于考生发挥创新能力——特别是在解答题中加强对思维的考查，也有利于提升压轴题的思维量与难度，注重考查思维过程和思维品质，服务拔尖创新人才选拔。（1）

减少全卷的题量，

特别是减少了解答耗时较多的多项选择题和考生较难得分的填空-.2024经验

试卷结构比较2024九省联考测试卷单项选择题数量和分值保持不变，但结构有所变化。测试卷打破常规，第1

、2题分别考查样本中位数与椭圆离心率。第1-6题都是考查基础知识与基本概念，有利于提升低分考生的成绩，对控制整卷试题难度起到很好的作用。测试卷第7题考查三角函数的倍角公式，有一定计算量；第8题考查双曲线的离心率，需要从双曲线的定义出发进行分析，对直观想象与数学运算能力有一定要求，两道题难度适中。总体上，测试卷单项选择题强调基础性，重点考查基础知识、基本技能和基本思想方法，在难度上有很好的控制。-.2024经验客观选择题考查内容比较多选题：共

3

小题，每小题

6

分，共

18

分.

比过去少两分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的

得

6

分，部分选对的得3分，有选错的得

0

分.提示：

虽然多选题的分值每道题统一为6分，但其评分机制在不同试卷中却存在差异。有的试卷部分选对得2分，有的试卷部分选对得3分,有的试卷则不明确标注。这种评分的不一致性给考生带来困扰，影响了他们的答题策略。多选题评分机制亟需统一。-.2024经验客观选择题考查内容比较2024九省联考测试卷多项选择题由4个小题减少到3个小题，每小题的分值由5分提高到6分，总体分数占比略有减少，但变化不大。

多项选择题是近年来高考改革的

一个成果，其特点是，选对一个选项的难度较低，选对全部选项的难度整体高于单项选择题，且完成题目的工作量和做错的风险有所增加，这有利于将水平较高的考生区分出来，但分值与单项选择题的分值相同在一定程度上有不合理之处。

测试卷多项选择题的这个分值变化是符合实际的。近几年数学新课标卷的4个多项选择题一般有2个小题相对容易，2个小题相对困难。第9题考查三角函数的性质，第10题考查复数，是相对容易的多项选择题，

考查复数的共轭运算，

既是基本内容，

又略显新颖。第11题考查抽象函数，是相对困难的多项选择题。与近几年数学新高考全国试卷相比，多项选择题减少了1个相对困难的小题，总体难度有所降低。第11题的解答过程应该是由题目条件得到f(0)=-1，再进一步得到f(-1/2)=0，

由此导出f(x-1/2)的表达式，

最后得到f(x)的表达式。有关抽象函数的试题很多都是在奇偶性、周期性的基础上设计，类似题目多了难以避开程式化的误区。第11题设计新颖，叙述简洁，选项设置符合题目内在逻辑，且形式优美对称，是试题规范性的极好示例。客观选择题考查内容比较客观填空题中，注重考查学生对概念的理解与灵活运用，

减少填空题分数占比，对降低试卷难度有正面作用。测试卷第12题考查集合，第13题考查圆锥和球的体积与表面积，

第14题考查不等式组，3个题都不涉及复杂的数值计算和化简，降低了偶然失误的概率。3个题中只有第14题是相对困难的题目，第14题讨论的一类最大最小问题在实际应用中具有普遍性，题目中的条件b≥2a或a+b≤1来自于实际问题。这个题目虽然没有直接指明应用的背景，但实际上体现了试题的应用性。一.2024经验客观填空题考查内容比较主观题加大对知识灵活运用的考查，具有选拔功能，并且增加了构建新运算，考查学生的应变能力、思维能力、运用新知识解决实际问题的能力。提示：主观题分值增大，规范解答将成为得分王道！建议：主观题序与模块之间没有必然联系，复习应全面突破且有所侧重！一.2024经验主观题考查内容比较测试卷第15

、16

、17题注重基础性，强调通性通法，难度适中，有利于考生发挥，也保持了测试卷的整体平稳性。第15题考查导数及其应用，近几年数学新课标卷未曾以这方面知识作为第一个解答题的考查内容，测试卷在这方面打破了常规；第16题考查概率，情境设置较为新颖，相比常见概率试题有所创新；第17题可以看作常规的立体几何解答题。2024九省联考测试卷解答题由6个小题减少到5个小题，虽然题目数量减少，但每小题的分值和总的分数占比都增加了，实际上对数学思维过程的考查得到了加强。-.2024经验主观题考查内容比较提示：19题如何考没有任何消息，不要盲第19题的试题情境是在密码学理论中有重要地位的盖莫尔（ElGamal）加密体制。第19题考查的数学内容是指数、对数的运算以及指数与对数的互逆运算，其中第（2）问是证明离散对数形式上满足普通对数的运算规则，第（3）问本质上是进行离散指数运算。然而更重要的是对逻辑推理等学科核心素养的考查。离散对数与普通对数的本质差别在于同余运算。同余的概念是现代数学中非常重要的概念，对同余问题的研究也是中国优秀传统数学文化的重要部分（如著名的中国剩余定理）。题目中没有明确引入同余的概念，

仅仅使用了余数概念，这是在小学数学中学过的概念。题目中附加了条件1，

a，

a2,。，

...，

ap-2,。两两不同，

在这个限制条件下不需要一般形式的费马小定理，简化了问题叙述，降低了题目难度，通过第（1）

问又进一步对ap-1,。=1给出启发性提示。这样的处理符合多数考生的实际知识水平和认知能力。第（3）问中的随机常数k完全来自于实际应用，

对每一条明文x使用随机选取的k是安全性的必要保证。第18题以抛物线为基本情境，第（1）

问的考查内容属于解析几何中的通性通法，第（2）问如果仍使用解析几何的常规方法，

将导致非常复杂的计算，可行的解法需要将所求三角形的面积转换为一个适合计算的四边形面积，然后由基本不等式得到解答。这个解法的关键步骤虽然属于初中数学学过的平面几何知识内容，但对学科核心素养之一的直观想象有很高的要求，

能综合运用不同的几何方法解决问题也是学科核心素养水平的重要体现。测试卷第18

、19题更加注重综合性、应用性、创新性，这两个题分值最高，试题容量明显增大，对学科核心素养的考查也更深入。两个题有各自特点，不适用以传统“压轴题”的想法看待其中某一个题。目相信谣言而浪费时间！-.2024经验主观题考查内容比较统计概率的考查不会被淡化。无论是单独考查还是融合考查，立体几何与解析几何都在高考数学中占据了举足轻重的地位。这两个模块的考查不仅体现了学生的空间想象能力，

还展现了他们的数学运算素养。在解答题当中，

成了不可或缺的角色。三角函数与数列的考查方式有所创新，更多地放在了选择题、填空题等小题中进行考查，注重基础，难度适中。

以后当它们出现在第19题时,考查方式相较于以往更为灵活，

不再局限于纯三角或纯等差、等比数列的考查，而是更加强调数学思维的运用，

如转化思想等。这种变化不仅考查了学生的知识储备，更考查了他们的思维能力和解题策略。预测：

传统主观题“六大金刚”在高考中应该不会像这次联考这么激进的丢掉两道。我个人认为可能会有三道题左右正常考，有一道可能跟高等背景的知识结合，有一道是两个知识点的结合，如概率跟数列结合，概率跟导数结合，解析几何跟导数结合，数列跟导数结合，等等。统计概率作为数学的一个重要分支，在高考中也同样受到重视。它不

仅在高中数学中占有重要地位，

也是大学数学课程的基础。因此，

对导数题的考查有回归基础的趋势，难度适中。这种趋势与教育部2023年全国1卷的指导思想相符，旨在防止导数教学的极端化现象，确保所有学校都能在平等的基础上进行教学。切记：不要简单机械性模仿九省联考命题考点！主观题考查内容比较2023年四省联考适应性考试调研报告11:37:15

152023年四省联考适应性考试调研报告11:37:15

16

测试卷减少了试题数量，增加了解答题的分数占比，对数学思维过程的考查有所加强。——北京大学数学科学学院教授刘和平由于试题数量减少，考查知识内容的覆盖面受到一定影响，测试卷着重考查数学学科核心素养，充分体现基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求，不受限于对某些具体知识内容的考查。测试卷很好地控制了试题难度，赋分更加合理，减轻了考生负担。测试卷灵活改变试题顺序，防止猜题押题，鼓励考生注重素质教育，消除应试教育的弊端。可以说，适应性测试数学试卷对可能的数学高考改革做了一次有益的探索，值得关注。总结它的经验和实践效果，让我们对今后的数学高考改革充满期待。

注重考查思维过程和思维品质,服务拔尖创新人才选拔。--清华大学数学科学系教授文志英整卷难度结构的设计主旨是使试卷的整体难度更加适合考生水平，使考生创建良好的答题心态，充分展现自己的真实水平。单选题难度适中，考生入手更加容易，做题过程更加顺畅。多选题降低难度的措施，是简化计算，试题一般是在同一条件进行的推理和计算，同时各选项有-定的衔接和承续。中档题的难度平缓，解答题的

前三个题学生都能上手，中等学生基本都能完成。最后两个压轴题保持较高的难度、能力要求和思维要求，以保持对高分段考生良好的区分，并且分值由过去的12分增加到17分，占分比例和重要性显著增加。由于整体难

度的调整，考查思路的变化，需要考生灵活运用数学工具去分析、解决问题，综合考查考生的逻辑推理能力，对考生运用所学知识找到合理的解题策略提出了较高要求，突出了选拔功能。-.2024经验

一是引导考生“多想少算”

,有利于考查理性思维和核心素养的水平,符合国家对高考改革的要求；二是引导考生从小处着手，掌握基本概念和常规计算;从大

处着眼，建构高中数学的知识体系

。——北京师范大学数学科学学院教授，教育部高中数学课程标准修订组成员保继光

一是注重基础考查、聚焦核心素养；二是减少题量和计算量，注重思维的考查。三是巧妙设置问题，激发创新思维。

以问题为抓手，创新设问方式，设置数学新定义。搭建思维平台，引导学生思考，在思维过程中领悟数学方法。自主选择方法和策略去解决问题。

----华东师范大学数学科学学院院长、教授吕长虹-.2024经验首先，这份卷子减少了题目数量，这一改革方向非常正确，应该给予充分肯定。我认为题目还可以再少些,我当年参加高考时，其次，落实“遵循教育规律，注重考查对基础知识、基本技能、基本方法的深刻理解，引导学生要知其然，更知其所以然，学有所思、思有所疑、疑有所问、问有所悟引导教学在讲透课

程重点内容上。第三，落实高考命题改革“注重学用结合，创设真实情境，紧密结合国家经济社会发展、科学

技术进步、生产生活实际等创设情境，充分考虑学生学习和生活实际，把课本知识与‘具体真

实的世界’联系起来，考查学生灵活运用所学知识方法分析和解决实际问题的能力,引导学生在

解决实际问题的过程中建构知识、培养能力、提升素养”的要求，第19题就是代表。这个题目第四，落实高考命题改革突出思维品质考查的要求，“通过材料信息的丰富性、试题要素的灵活性、解题路径的多样性等增强试题的开放性，强调思维过程和思维方式，鼓励学生多角度主动思考、深入探究，发现新问题、找到新规律，引导学生在学习和备考中减少死记硬背和机械刷题。”例如，第18题章建跃博士观点十分明确，科学的数学思维才是解决数学问题的关键，夯实数学基础，做好基础题、中档题不丢分是大多数考生要做的，

而尖子生要在夯实基础的前提下主动探究，拓展思维。-.2024经验以往全国高考试卷考查集合和复数的试题通常放在单项选择题的第1或2题，数学测试卷把考查集合的试题调整到第12题的填空题，难度基本不变，考查复数的试题调整到第10题的多项选择题，难度适当增加；近年全国新课标2卷解答题保持6道题，考查的题型比较稳定，数学测试卷打破了原有的模式，将解答题的题数减少为5道，没有考查数列和三角函数，增加了一道新定义题，函数与导数提前到解答题的第一题位置。通过调整题序、减少解答题数量、增加新题型，

较大力度调整了试卷的结构，有

利于破解僵化的应试教育困局，

破除“题海战术、机械刷题”的弊端，积极引导数学教学要重视培养学

生良好的数学思维品质和关键能力。（1）

数学测试卷延续2023年高考数学全国新课标2卷的改革思路，调整试卷结构，进行了题序创新。-.2024经验2024九省联考试题整体变化趋势分析如第19题，以学生陌生的离散对数为背景，创设新颖的同余运算的试题情境，考查考生的阅读理解能力和思维能力。本题打破了以往固化的内容和形式，让考生耳目一新，

要求考生具备很好的文字语言、符号语言的理解能力和创新思维能力。试题极具探索性、创新性，注重考查考生分析问题的思维过程，积极引导教学重视培养学生思维能力。该题有很好的检测和引导功能，引领今后高考改革方向，助力选拔创新人才。2024年适应性测试通过改变题目的设计思路与风格，力图有效地遏制猜题押题、题海战术的蔓延。基础题只要掌握基础知识、

基本原理，就能解决，无需刷题。创新题新颖、灵活、不落俗套，脱离一般的解题套路。试卷打破了试题题型、命题方式、试卷结构的固有模式，增强试题的灵活性，采取多样的形式、多角度的提问，考查学生的数学能力，而不仅是学生刷题和训练的技巧，引导基础教育扎实实施素质教育。（2）

数学测试卷立足“反套路、反刷题”的理念，在考查内容上注重试题规避模式，尝试试题创新。-.2024经验2024九省联考试题整体变化趋势分析再看2021年的八省联考，难上天际，大兴机场成功登上热搜，让我不禁感叹最好的广告传播模式不一定是电视、网络、自媒体等。有可能是高考模拟题或者试题。试想一下，如果某个企业研发的某个产品出现了高考

模拟试题当中了，而且成功登上了热搜，以中国家长和中国教师的关注程度，想不火都难。还有2023年的四省联考，

椭圆函数隆重登场，

考的学生一度绝望，

让我们感叹数学的尽头到底再哪里？高考改革的底层逻辑是选拔出真正适应社会变革的优秀人才，真正选拔具备理科思维和科学精神的创新拔尖人才，让机械刷题的无路可走，让死记硬背的无路可走！2019年12月31日，教育部考试中心为山东省的考生量身命制了一套2020年新高考模拟模拟试卷，拉开了全国范围内以省为单位参加模拟考试的序幕，

众所周知，我们国家高考划线、录取都是以省为单位进行的，所以模拟考试不亚于高考。在这套模拟试卷中，多项选择题，结构不良题目等粉墨出场。数列题目也出现在了22题压轴题的位置，当时纷纷猜测，数列是不是又要回到压轴题的位置了？当时高中老师的心情和现在应该是差不多的：忐忑、迷茫、不知所措，

说什么的都有？高考数学命题改革的底层逻辑考查内容：对重要数学概念

、定理

、方法

、思想的理解和

应用强调基础性

、综合性；重点考查学生的思维过程

、实践能力和创新意识注重数学本质

、通性通法，淡化解题技巧；数学课标对高考命题要求发挥数学高考的选拔功能融入数学文化适度增加试题的思维量一.2024经验2024九省联考试题整体变化趋势分析

破套路

反押题

低起点

高落差

凸创新多想少算没有无脑送分题刷题时代结束了注重通性通法-.2024经验九省联考后，可能不同程度地存在着

……过度解读，过度反应，过度紧张......失去了本该有的理性思考、从容、坚定......把九省联考卷当成模式，试图再用模式应对模式.

…

....并一厢情愿地制造模式，说话听声，锣鼓听音言外之意，弦外之音“适应性测试昭示了未来高考改革的方向”。既然是方向，

2024年高考数学就要有所反映;既然是未来，就不一定完全体现在2024年高考数学中。我们要站在更高层面去理解九省联考卷:不太在意内容变化，更加关注命题方向;不太在意试卷本身，更加看重命题立意;不太在意具体题型，更加聚焦命题思路.....试题太难、太易都不行，区分度要与录取层次相匹配!高考不改革，既不会减负，也不有利于学生的发展!-.2024经验而自嗨

…

....探索高考改革哪些在变，为什么变，

会怎样变

……

紧跟时代潮流,与时俱进，顺势而为，方能牢牢掌握高考备考主动权。研究高考改革哪些不变，也不能变，为什么不能变,将以怎样的形式表达不变

……

坚持以不变应万变。一

、不变的素养导向。二、不变的“四基”为基。三、不变的改革路向。四、不变的依标据本。

稳定心态，消除焦虑

>教师要积极看待试卷结构的变化，稳定心态，并用积极乐观的精神状态感染学生。

>对成绩中等及以下的同学，九省联考试卷传递了积极的信号，落实好“四基”

和通性通法，就能取得满意的成绩。

>对成绩中上等和优等生，不能靠简单刷题去提升成绩，重质不重量，注重探究和反思。

适应变化，及时调整

可以让学生练新结构的模拟试卷。

试卷内容的改变不要太剧烈，各地模拟卷使用要谨慎，开始要给学生适

应的时间，甚至可以给点甜头，让学生有应对的信心。

题目的出场顺序可以多做尝试，让学生能够积累丰富的答题体验。我们学会了什么-.2024经验会“写”会“整理”会“批判”会“算”会“读”经验高考数学科对关键能力的考查是贯穿于解决

问题的全过程，但在

不同的阶段考查不同的能力，各项能力发挥不同的作用。在接触问题

之初，阅读理解能力起关键作用。(基于高考评价体系的关键能力考查---任子朝等.《数学通报》，

2020.8:15-20)一.2024经验—会“读”高考数学科对关键能力的考查是贯穿于解决

问题的全过程，但在

不同的阶段考查不同的能力，各项能力发挥不同的作用。在接触问题

之初，阅读理解能力起关键作用。(基于高考评价体系的关键能力考查---任子朝等.《数学通报》，

2020.8:15-20)一.2024经验—会“读”一.2024经验—会“读”A.0.75B.0.8C.

0.85D.0.9为了让学生更好地理解举架结构，给出了其截面示意图。题目涉及的数量关系较多，需要学生准确理解和把握。

而事实上，很多学生会想当然地认为点A

，

B

℃

,

D均在一条直线上，这就会进人误区，影响问题的解决。

因此，要仔细审题，理清题目中的信息，

而不能想当然。DDCCBB

AADD1

,

CC1

,

BB1

,

AA1

是举,

OD1

,

DC1

,

CB1

,

BA1

是相等的步,相邻桁的举步之比分别为=

0.5,

=

k1

,

=

k2

,

=

k3

．已知k1

,

k2

,

k3

成公差为

0.1

的等差数列,且直线OA的斜率为

0.725,则k3

=（2022全国

2卷

3题）图

1是中国古代建筑中的举架结构,

AA

,

BB,

CC,DD

是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举,

图

2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中一.2024经验—会“读”在书写解答阶段，语言表达能力发挥主要作用。(基于高考评价体系的关键能力考查---任子朝等.《数学通报》，

2020.8:15-20)符号与语言表达是思维运作后的信息输出，是数学知识、核心素养、思维过程、逻辑论证

的具体表现。要求学生根据应对问题情境的需要，能够合理组织、调动

各种相关的知识，准确

传达信息并进行交流沟通；根据具体情境的不同，选用口

语、书面语等不同语体并灵活转换；

熟练运用图像、图表、图片表达思想、观点，

借助口语、书面语或绘图等方式表达抽象的概念；灵活运用各种文本形式准确表

达个人的情感、思想和观点；能够根据情境需要，运用外语进行交流。数学试卷还特别要求运用专业术语有逻辑地展示解题的过程。一.2024经验_会“写”在书写解答阶段，语言表达能力发挥主要作用。(基于高考评价体系的关键能力考查---任子朝等.《数学通报》，

2020.8:15-20)一.2024经验_会“写”注：直接写平行四边形/菱形可得2分在书写解答阶段，语言表达能力发挥主要作用。(基于高考评价体系的关键能力考查---任子朝等.《数学通报》，

2020.8:15-20)一.2024经验_会“写”在书写解答阶段，语言表达能力发挥主要作用。(基于高考评价体系的关键能力考查---任子朝等.《数学通报》，

2020.8:15-20)一.2024经验_会“写”在书写解答阶段，语言表达能力发挥主要作用。(基于高考评价体系的关键能力考查---任子朝等.《数学通报》，

2020.8:15-20)一.2024经验_会“写”在书写解答阶段，语言表达能力发挥主要作用。(基于高考评价体系的关键能力考查---任子朝等.《数学通报》，

2020.8:15-20)一.2024经验_会“写”在书写解答阶段，语言表达能力发挥主要作用。(基于高考评价体系的关键能力考查---任子朝等.《数学通报》，

2020.8:15-20)一.2024经验_会“写”在书写解答阶段，语言表达能力发挥主要作用。(基于高考评价体系的关键能力考查---任子朝等.《数学通报》，

2020.8:15-20)一.2024经验_会“写”运算能力是高考数学需要具备的基本素养主要特征：正确运算、理解算理、掌握算法高考数学中的运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数

据进行估计和近似算。运算求解能力是思维能力和运算技能的结合。运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等。

运算包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系

列过程中的思维能力，也包括在实施过程中遇到障碍而调整运算。一.2024经验——会“算”（2023.2

卷T21）．已知双曲线

C

的中心为坐标原点，左焦点为(−2,

0)离心率为

.（1）求

C

的方程；（2）记

C

的左、右顶点分别为A1

，A2

，过点

(−4,

0)的直线与

C

的左支交于

M，N两点，

M

在第二象限，

直线MA1

与NA2

交于点

P．证明：

点

P在定直线上.（2）方法一：分析直线MN

的斜率情况，

并设出当斜率存在时直线MN

的方程→根据直线MN

与双曲线相交联立得方程组→消元，

得

x

的一元二次方程，

写出韦达定理→写出直线A1M，直线

A2

N的方程，联立求得点P的横坐标→

点P的横坐标表达式为非对称的，因此需要利用韦达定理将其齐次化，化简、整理，最后约分得结果；方法二：分析直线MN

的斜率情况，并设直线MN

的点参式方程→根据直线MN

与双曲线相交联立得方程组→消元，得y的一元二次方程，写出韦达定理→

写出直线A1M

，直线A2

N的方程，联立求得点P的横坐标一.2024经验——会“算”理解运算对象：

这是一道解析几何题，考虑用坐标法解决。此题涉及的关键点有：左右顶点A1

，

A2

，交点M

，N

，P，对应的代数表达即为点的坐标；涉及的关键曲线有：双曲线C，直线MN

、MA1

、

NA2

定直线，对应的代数表达是二元二次方程和二元一次方程。探究运算思路：

第一问考查基础知识和基本运算，

易得双曲线方程为

x

−

y

=

1。4

16第二问证明点在定直线上，也即求定直线的方程。直接找点P的横纵坐标关系比较困难，可以先通过图像分析这条定直线的特点，例如（图1）借助对称性（直线MN，M'N'关于x轴对称），分别做出交点P，P'，直观发现PP'⊥x轴，推测点P所在的定直线与x轴垂直，证明结论转化为求点P的横坐标，

结论的运算对象从二维降

为一维，这是非常重要的一种探究思路。当然，

常规思路是根据已知条件，

设出直线MN方程，

与双曲线方程联立，并根据直线MA1

与NA2

相交于点P，进而探求

点P横纵坐标满足的关系。但这种思路计算量太大，

点M，N坐标含根式，

点P坐标形式复杂，难以化简求解。思路受阻时，解决途径之一就是寻求特殊情形下的结

论，即上面提到的将运算对象从二维降为一维。分析直线与二次曲线的几何动态变化，点M，N的变化同时影响点P坐标，考虑借助韦达定理得到点M，N横（或纵）

坐标的和与积，

表示点P。实施运算：选择合适的运算方法，正确运用运算法则实施运算，最后将运算结果翻译成最终结论：点P在定直线x=-

1上。22该题第一问是基础知识和基本运算能力的考查；第二问结合已知条件和所求结论，进行几何语言代数化表达，以及选择合适算一.2024经验——会“算”法、依据一定的运算法则、求得运算结果，体现数学运算素养的要求。

x2

y24

16得M

(

−4,

4)

，

N

(

−4,

−4

)

，又A1

(−2,

0)

，

A2

(2,

0)

，

∴直线A1M

，

A2

N

方程分别为y

=

−2

(x+

2)

，y

=

，−2

(x

+

2),2

(x

−

2)

解得xp

=−

1

．此时

P

也在定直线x

=−

1

上.（1）当kMN

不存在时，直线MN方程为x=−4，代入

−

=

1，(y

=联立，

得〈y

=

l一.2024经验——会“算”,3定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)

位（置2）证猜法一想：，如直线的水平位置、竖直位置，

即k＝0或k不存在时(2)当直线MN

的斜率存在时，设直线MN

的方程为：

y

=

k

(x

+

4)

，把①

,

②

,

③

,

④代入（*）得xp

=

=

−

1

，

∴当kMN

存在时，点

P

在定直线x

=−

1

上.(

−8k2

消去y

得：

(k2

−

4)x2

+

8k2x

+16k2

+16

=

0

，

∴

|lx1x2

=

k2

−

4

,x1

+

x21416k2=

k2联立，消去y：

x

2

(x+

2)

=y

2)

，解得xp

=−

)

（*）112)y2y((42+)y1y2x2x+x2y(x1(2x22(一.2024经验——会“算”x1y2

+

x2y1

=x1k

(x2

+

4)+

x2k

(x1

+

4)

=2kx1x2

+

4k(x1

+

x2

)

=32

2k

+=k

4

②

,234323k−4323kk由y1

=k

(x1

+

4)，y2

=k

(x2

+

4)

，得y1

+

y2

=

k

(x1

+

x2

+

8)

=

+

8k

=

①

,从而直线A1M

，直线

A2N

的方程分别为y=

(x

+

2)

，y

=

(x

−

2)

，x2y1

−

x1y2

=kx2

(x1

+

4)−

kx1

(x2

+

4)

=4k

(x2

−

x1

)

③

,y1

−

y2

=k

(x1

−

x2

)

④

,y

=

k

(x

+

4)

,

设M

(x1

,

y1

)

，N

(x2

,

y2

)，(y1

>

0)

，〈

x2

y2,又A1

(−2,

0)，A2

(2,

0)

，|

−

=1,l

4

16k4【解法二】由于直线MN

与双曲线左支交于M

,

N

两点，

∴kMN

产

0

，设直线MN

方程为x+

4

=my

，与双曲线方程联立，得〈(|

2

消去

x，得(4m2

−1)y2

−

32my

+

48=0

，|l

4

−

16

=

1,(

32m

设M

(x1

,

y1

)，

N

(x2

,

y2

)，

(y1

>

0)，则1

又

A1

(−2,

0)

，

A2

(2,

0)

，

∴直线A1M

，直线

A2N

的方程分别为y=

y1

2)y

=

，x2

−

21,x(m2444=y2+11yy4my,y=xxy1

(x

+

2)y

2)

，消去

y，得xp

=

−

)

（**）

由x1

=

my1

−

4

,

x2

=

my2

−

4

，得x2

−

2=

(my1

−

4)y2

+

(my2

−

4)y1

=

2my1y2

−

4(y1

+

y2

)

=

−

=

①

,=

(my2

−

4)y1

−

(my1

−

4)y2

=

−4(y1

−

y2

)

②

,1,22)y2y((42+)y1y2x2x+x2y(x1(2(x1把①

,

②及y1

+

y2

=

代入（**）得xp

=

=

−

1

，一.2024经验——会“算”(|y

=|ly

=x1y2

+

x2y1x

y

−

xy:P在定直线x=−

1

上.y2

(x−

2)|联立〈2

1

1

2|,,（1）

x

−

y

=

1；4

16（2）证明

1：过点(−4,0)

的直线与

C

的左支交于M

，

N

两点，则可设直线MN

的方程为x=

my

−

4

，M(x1

，

y1

)，

N(x2

，y2

)

，

记

C

的左，右顶点分别为A1

，

A2

，则A1

(−2,0)，

A2

(2,

0)，22故△

=(−32m)2

−

4

根

48

根

(4m2

−1)=264m2

+192>0且4m2

−1

牛0，y1

+

y2

=

,化简整理可得，

(4m2

−1)y2

−

32my+

48=0

，(x

=my−4联立〈

2

2l4x

−

y=16【解法3】4m2

−1,

y1y248=,直线MA1

的方程为y

=

(x

+

2)

，直线

NA2

方程y

=

(x

−

2)

，my1y2

−

2(y1+

y2)

+

2y1my1y2

−

6y14832m4m

−1

4m

−1所以xP

=−

1

，故点P在定直线x=−

1

上运动.故

x

+

2

=−

1

，解得x

=−

1

，

x−

23故

=

2

1

=

2

1

x−

2y1

(x2

−

2)

y1

(my2

−

6)m

.

2

−

2.

2

+

2y1x+2y

(x+2)y

(my−

2)=

4m2

−1

1

=

−

1m

.

48

−

6y4m2

−1

−

6y1

−16m

+

2y4m2

−1

1==48m3,【解法4】一.2024经验——会“算”（2）已知矩形

ABCD有三个顶点在W

上，证明：矩形

ABCD的周长大于33

.1、根与系数的关系法（主流方法）.设出动直线的方程（y

=

kx+

m,

x

=

my

+

n,

y

−

y0

=

k(x−

x0

)

，

），

与圆锥曲线方程联立消元得到关于

x(y)的一元二次方程，得两根之和两根之积，同时兼顾

Δ>0,或Δ=0

的要求，利用两根之和两根之积进行整体代换整体变形而求解.2、多变量多参数联动变换法（圆曲不联立）.此种方法有别于方法

1，

不联立方程消元求解，而是直接将所设出点的坐标代入曲线（直线）方程和题设中，得到若干个关于点的坐标与参数间的关系式，对这些关系式进行整体变形整体代换而求解．如弦中点问题常用点差

法处理，定比分点问题可尝试定比点差法处理．此种方法对多变量多参数的代数式的驾驭能力及变换技巧是一种

考验.3、设点求点法.方法

1

、2均采用了设而不求的策略．当问题中直线与曲线的交点易求时，可考虑直接求出点的坐标进行求解，即设点求点法．如：动直线过曲线上一已知点时，则另一交点坐标可直接求出；再如动直线y=kx

与椭圆

2

+2

=1a

b的交点易求出.(

1

)【2023

新高考

22

题】在直角坐标系xOy

中，

点P

到x

轴的距离等于点P

到点|（0,

2

)|

的距离，记动点P

的轨迹为W.（1）求W的方程；运算．高考重要区分度之一，最无可争议。运算能力成为能否得更高分数的分水岭。

2023新I—22难在不等

式运算(放缩)，这种解几题中的运算考查有一定新意x2

y2(

1

)【2023

新高考

22

题】在直角坐标系xOy

中，

点P

到x

轴的距离等于点P

到点|（0,

2

)|

的距离，

记动点P

的轨迹为W

.（1）求W的方程；（2）

已知矩形

ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形

ABCD的周长大于33

.法一：点参+多变量联动变形+不等式放缩+导数kAB

=

a+b

=

m

<

0

，

kBC

=

b+

c

=

n>0，且

mn=−

1，利用放缩法得

周长

>

n+

，设函数

f(x)=

x

+(1+

x2

)

，利用导数求出其最小值，则得

C

的最小值，

再排除边界值即可.2(2

1

)

(

2

1

)

(

2

1

)【

分

析

】

设

矩

形

的

三

个

顶

点

A|（a,

a

+

4

)|

,

B

|（b,

b

+

4

)|

,

C

|（c,

c

+

4

)|，

且

a

<

b

<

c

，

分

别

令(

1

)【2023

新高考

22

题】在直角坐标系xOy

中，

点P

到x

轴的距离等于点P

到点|（0,

2

)|

的距离，

记动点P

的轨迹为W

.（1）求W的方程；（2）

已知矩形

ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形

ABCD的周长大于33

.法二：直线双参点斜式+方程联立+不等式放缩+导数AB

AD

，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即可.法三：坐标平移+点参+三角代换+基本不等式放缩【分析】利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明.【分析】设直线

AB的方程为y=

k(x−

a)

+

a+4

，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得+

>

2

1k22设

B

'

(t0

,

t

),

A

'

(t1

,

t

),

C

'

(t2

,

t

)

,

根据对称性不妨设

t0

之

0

.则

kA'B

'

=

t1

+

t0

,

kB

'

C

'

=

t2

+

t0

,

由于

A,B,

⊥

B,C,

,则

(t1

+

t0

)(t2

+

t0

)

=−

1

.由于

A

'

B

'

=

t1

−

t0

,

B

'

C

'

=

t2

−

t0

,

且

t0

介于t1

,

t2

之间,则

A

'

B

'

+

B

'

C

'

=

t1

−

t0

+

t2

−

t0

.

令

t2

+

t0

=

tanθ

,1(

π

)1t1

+

t0

=

−

tanθ

,θ

=|（0,

2

)|

,则t2

=

tanθ

−

t0,

t1

=

−

tanθ−

t0

,从而A

'

B

'

+

B

'

C

'

=2t0

+

+

(tanθ

−

2t0

)故

A

'

B

'

+

B

'

C

'

=

2t0

si

θ

−

co

θ

+

+

=

2t0

θ)

+

sθ3θoscosinin3θinsso−θcsθnosi(cθθnosic2θθsncosis1n1221202矩形

ABCD变换为矩形

A,B,C,D,,

则

问题

等

价

于矩

形

A,B,C,D,

的

周

长

大

于

3

3

.【详解】为了计算方便,我们将抛物线向下移动个单位得抛物线W':

y=

x2

,14(

π

]①当θ

e|（0,

4」|时,A

'

B'

+

B

'

C

'

>

=

+

>

2

=

2

>

2

从而

−

1

<

t0

<

tanθ又t0

>

0

,2

tanθ

2故

0<

t0

<ta

θ

,

由此A

'

B

'

+

B

'

C

'

=

2t0

θ)

+

sθ3θoscosinin3θinsso−θcsθnosi(c2n(

π

π

)

1②当

θ

e|（4

,

2

)|时,

由于t1<

t0

<

t2

,从而

−

tanθ−

t0

<

t0

<

tanθ

−

t0

,sinθ(cosθ

−

sinθ)(sinθcosθ)sin3

θ

+

cos3

θ1cosθ>

2

3

+

2

2

=

+

2

sin

θcos

θ

sin

θcos

θ

cosθsin

θ(

)(

)21−cos2

θ

1−

cos2

θ

.

2

cos2

θ21−

cos2

θ

+

1−

cos2

θ3sinθcos

θcos

θsinθ

sinθcosθ

sin

2θ2sin2

θsin2

θ

.

2

cos2

θ(

)

(

)2(

2

)3|

|θ

=

时等号成立，故3

2,故矩形周长大于3

.'

'

'

'A

B

+

B

C

>+

2

cos2

θ)33

2,当且仅当（3

)3

cos(||)|>>|(3===新高考全国卷计算量大，它的大不是加减乘除的量大，而是过程复杂，综合性强。每道题几乎都是计算，而且公

式应用计算的单纯考查很少，大部分是技巧计算。这也是说这个时候简单的就去追求基础计算，其实是本末倒置了，你练的再多也是于事无补。话题：如何过运算关？运算:数学的童子功--永远没有过头一说话题：如何过运算关？数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养。主要包括:理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。•

基础计算•

技巧计算•

过程计算•

公式计算3.4.2.1.1.基础计算：指的就是我们狭义上认为的计算——加减乘除、整数、分数、无理数、复数、整式、分式，它们的确是重中之重，是基础中的基础，是底层素养。(1）在计算训练中不要进行过多的机械练习，基础性计算与技巧性计算练习要兼顾。(2）

一定要限时、规范。(3）不要抱着一次搞定的思路去搞计算。话题：如何过运算关？(1）公式应用计算就是高中阶段的“基础计算。比如三角函数中的基本关系式、和差公式、倍角公式、辅助角公式。(2）涉及到学生对于公式、概念的认知，对概念的内涵和外延的认知。(3）通过练习识别、记忆公式，然后能够在解题时选择、应用，

那么应用的前提就是要记清楚、要理解。2.公式计算：主要指的是在初、高中，

尤其是在高中，有大量

的结合公式、定义、规则进行的计算，它牵扯的不是简单的加加减减，而是涉及到对公式、定义、规则的认知、掌握。话题：如何过运算关？2.公式计算(1）针对的是特定结构、特定形式的一些特定做法，我们平时所说的题型就是如此，范围比较广、也比较杂，的确需要一定的积累。(2）如果说基础计算是厨师的刀工，

那么技巧计算就是厨师做出的一道道菜肴。(3）对于技巧计算的训练，

一般是要通过一定的刷题量的，但是一定要注意的是:刷题也有

有思考、总结。话题：如何过运算关？3.技巧计算：在高考数学中的体现，主要是一些题目利用性质的

简化计算，还有一些放缩计算，一些具体结构的转化和处理技巧。(1）在最后的计算结果之前，可能前面所有都是过程，不断的联立、变形、化简

……可能都没有一个确定的结果。(2）在过程计算中，公式应用计算和技巧计算是其中的基本构成模块，但更重要的是思路的梳理和对整体过程的把握。4.过程计算：可以认为它是公式应用计算的升级，指的是在一个解题过程中，

我们需要综合使用各种公式应用计算，技巧计算，需要考虑各种相关因素，比如设元的选择，比如分类讨论，进而梳理出一个完整的过程来解决问题。话题：如何过运算关？在中间过程信息整理能力发挥关键作用(基于高考评价体系的关键能力考查---任子朝等.《数学通报》，

2020.8:15-20)【2022全国

2卷】21.已知双曲线C

:

−

=

1(a

>

0,

b

>

0)

的右焦点为F(2,

0)

,渐近线方程为y=x

.（1）求

C

的方程；（2）过

F的直线与

C的两条渐近线分别交于

A,B两点,点P

(x1

,

y1

),

Q

(x2

,

y2

)

在

C上,且x1

>

x2

>

0,

y1

>

0

．过

P且斜率为−3

的直线与过

Q且斜率为的直线交于点

M.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立：①M

在AB

上；

②PQ∥AB

；③|

MA|=|

MB

|

.注：若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.22bya2x2信息整理能力是指在对大量、无序的信息进行筛选、分类、归纳并形成新的意义的过程中所需要的多种能力，这是创新性解决问题的重要能力。在2022年的新高考中，

利用结构不良型试题对信息处理能力进行了考查。问

题条件或数据部分缺失或冗余是结构不良试题中重要的一类，新高考中的属于条件缺失试题。题目给出了题干，同时给出几个条件，让学生自己挑选，补充到题干中，证明试题的结论。信息处理能力还包括对图形信息的处理。一.2024经验——会“整理”批判性思维能力要求学生在面对各种复杂问题时独立思考、敢于质疑，运用已有知识进行审慎思考、分析推理，得出可靠的结论；

根据对问题情境的分析，从多元性、情境性、关联性、层次结构性、动态平衡性、开放性和时序性等方面把握问题与事物的本质。批判性思维是重要的能力素养，是理性思维的高度体现，批判性思

维的培养对于培养人

的优良品质与创造力具有重要的意义。高考数学

突出对批判性思维能力的考查，考

查学生推理论证、发现错误、修正错

误的能力，以及发现解决问题的方向

和方法的能力。在解决问题过程中，批判性思维能力发挥主要作用

(基于高考评价体系的关键能力考查---任子朝等.《数学通报》，

2020.8:15-20)一.2024经验——会“批判”第三，坚持稳中求进，加大试题区分度，增强高考选拔功能。第二，以“三线（核心价值、能力素养、情境载体）

”为框架。第一

，以高考评价体系、高中数学课程标准为命题指引。第四，有效引导教学，打破“

以纲定考”，

实现教考衔接。

第五，“授人以鱼”不如“授人以渔”。价值引领、素养导向、能力立意二.2024动向第二，以“三线(核心价值金线、能力素养银线、情境载体串联线)”为框架，深刻认识和理解“无价值，不入题”“无思维，

不命题”“无情境，不成题”的命题思想。“无价值，不入题”是指

高考紧扣时代主题与时代精神，加强对学生理想信念、

道德品质、奋斗精神、爱国情怀等方面的引导和考查，将立德树人这一核心价值融入高考试题中。“无思维，不命题

”是指高考突出对学生关键能力、思维过程和思维品质的考查要求，加强对信息获取与加工、逻辑推理与论证、科学

探究与思维建模、批判性思维与创新思维以及语言组织与表达等的考查。“无情境，

不命题”是指紧密结合社会热点

问题、经济社会发展成就、科学技术进步、生产生活实际等创

设真实情境，增强试题的开放性与探究性，

考查学生灵活运用所学知识方法发现问题、分析问题和解决实际问题的能力，第一，以高考评价体系为命题指南。不论是全国统一命题还是分省命题，高考评价体系是高考命题的根本指南，这就需要我们深刻认识高考的核心功能，准确把握高考的考查内容和考查要求，确立立德树人的价值引领，明确关键能力的考查重心。与此同时，高

考命题还将依据新修订的高中课程标准和高校人才选拔要求，进行高考试题命制。第三，坚持稳中求进，加大试题区分度，增强高考选拔功能。

一方面，保持高考命题整体平稳，在考试内容覆盖上保持平衡，在命题素材选择上保持平实，在试题设问上保持平和，在试卷结构设计上保持平稳。另一方面，

高考改变相对固化的试题布局，优化设题设计，降低学生死记硬背和机械刷题的收益，进一步加大对关键能力和学科素养的考查力度，不断增强试题的应用性、探究性、开放性，加大试题的区分度，让那些具有科学精神、

创新能力和批判性思维的学生脱颖而出，更好地服务高校招生、创新人才选拔和国家人才强国战略。第四，有效引导教学，打破“

以纲定考”,实现教考衔接。

高考命题充分发挥高考指挥棒的正向指挥作用，与引导教学回归课表、回归课堂，实现“招—考一教-学”良性互动。高考命题严格依据高中课程标准，确保“

内容不超范围，深度不超要求”,考查内容限定在课程标准范围之内；高考命题遵循教育规律，进一步深化基础性考查，强调对基础知识全面深刻的理解和融会贯通的运用，引导学生要知其然，

更要知其所以然，学有所思、思有所疑、疑有所问、问有所悟。强调在深刻理解基础上的融会贯通、灵活运用，不考死记硬背、不出偏题怪题，平和中有新意，灵

活中见潜力，实践中出真知，引导中学教师把教学重点从总结解题技巧转向培养学生关键能力和学科素养。第五，“授人以鱼”不如“授人以渔”。不少进入新高考省份的学生和教师认为高考试题难度加大了，一时难以适应高考命题内容和考查方式的变化。而这种表面上难度的增加往往：来

自命题逻辑的变革和试题形式的创新，也即高考命题由原来的“知识立意”转向了“知识为基，能力为重”的考查，同时增加了试题的开放性、灵活性和探究性。长期以来，高考复习采用“题型+套路十海量重复练习”的模式，广大一线师生为了适应新高考付出了很多的努力。有不

少学校和师生采用“

以

不变应万变”的应对方式，也即依旧采取传统的备考策略：总结近年高考新题型+提取和归纳解题套路十实施题海战术。这种“授人以鱼”的备考方式从一开始就注定与新高考背道而驰，进入新高考的学生会发现这种“重复刷题”很难起作用了，题海战术

的收益越来越低。正如我们反复分析和论证的，关键能力和学科素养已经成为新高考的考查重心，开放性、探究性和灵活性已成为高考命题的一般要求，而传统的套路化和题海战术是很难有效提高关键能力和学科素养的。所以，有效应对新高考的策略应该是“授人以渔(加强关键能力和学科素养的训练)”而非“授人以鱼(