中考数学一轮复习精讲精练(全国通用)第一讲 与圆有关的概念及性质-满分之路（解析版）

第一讲与圆有关的概念及性质知识梳理夯实基础知识点1:与圆有关的概念1.圆的定义形成的封闭曲线叫做圆，固定的端点0叫做圆心，线段OA的长为r,叫做半径.以点0为圆心的圆，记作“⊙0”,读作“圆0”.注：圆也可以看成到定点的距离等于定长的点的集合.2.圆的有关概念圆心相同、半径不同的圆叫做同心圆。能够重合的两个圆叫做等圆半圆圆的任意一条的两端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“~”表示。大于半圆的弧叫做,如ABC;小于半圆的弧叫做,如AB.连接圆上任意两点的叫做弦，如弦AC弓形经过的弦叫做直径，如直径BC圆心角顶点在的角叫做圆心角，如∠AOB。圆周角顶点在圆上，并且都与圆还有另一个交点的角叫做圆周角，如∠ACB。3.确定圆的条件不在同一条直线上的三个点确定一个圆。(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是圆所在的平面内任意一条过圆心的直线.对称轴是直径”,而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”.2.圆的对称轴有无数条.圆心，圆的这种性质叫做圆的旋转不变性.知识点2:垂径分弦1.垂径定理：垂直于弦的直径,并且弦所对的两条弧，2.垂径定理的逆定理：平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。注意：定理中括号内“非直径”这三个字不能省略，否则定理不成立。知识点3:圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧,所对的弦相等，所对弦的弦心距相2.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等。可简记为：在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等。(1)定理(推论)成立的前提条件是“在同圆或等圆中”,缺少这一前提条件定理(推论)不成立。(2)在这个推论中，四组量中只要有一组量“不等”,其余各组量也“不等”。知识点4:圆周角定理及其推论定理常见图形CCOBC0A0CB推论1.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角,相等的圆周角所2.半圆或直径所对的圆周角是;90°的圆周角所对的弦是。知识点5:圆内接四边形的概念和定理边形叫做圆的内接四边形的外接圆。0BDC角,且任何一个外角都等于它的内对角。直击中考胜券在握1.(2023·长沙中考)如图，点A,B,C在00上，∠BAC=54°,则∠BOC的度数为()【分析】【详解】【点睛】此题考查圆的知识，圆周角定理，垂径定理，以及勾股定理，熟记圆周角定理及垂径定理是解题的关键.A.40cm²B.20c【答案】D【分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，从而得到OC的长，即可求出BBOC的面积，再根据三线合一定理得到BF=CF,则由此求解即可.【详解】解：连接OB,BAC是8O的直径，弦BDaAO于E,BD=8cm,AE=2cm.AA【点睛】12.(2023·山东滨州中考)如图，0O是ABC的外接圆，CD是○O的直径.若CD=10,弦AC=6,则cos∠ABC的值为()【详解】,【分析】如图，连接BC,设圆与x轴相切于点D,连接MD交BC与点E,结合已知条件，则可得BC⊥MD,勾股定理求解EM,进而即可求得B的坐标.【详解】如图，连接BC,设圆与x轴相切于点D,连接MD交BC与点E,则MD⊥x轴，QAB为直径，则∠ACB=90°,【点睛】本题考查了圆的性质，直径所对的圆周角是直角，垂径定理，切线的性质，勾股定理，坐标与图形，掌握以上知识是解题的关键.19.(2023·四川德阳中考)如图，在圆内接五边形ABCDE中，②EABD+2C+3CDE+OE=430°,则口CDA=【答案】70【分析】【详解】故答案为70.【点睛】本题考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，运用圆内接四边形的的度数为【分析】BACB和BADB为弦AB所对的圆周角，连接OA、OB,如图，过O点作OHΩAB于H,根据垂径定理得到AH,则利用余弦的定义可求出EOAH=30°,所以BAOB=120°,然后根据圆周角定理得到&ACB=【详解】过0点作OHZAB于H,则【点睛】【分析】h最大，延长AO交BC于H,如图，根据垂径定理得到AH⊥BC,所以BH=CH=1,OH=√3,则【详解】∴当点A在DE上(不含D、E点)时，△ABC为锐角三角形，延长AO交BC于H,如图，【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等一半.半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径定理和勾股定22.(2023·辽宁盘锦中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴【分析】先利用圆内接四边形的性质得到8ABO=60°,再根据圆周角定理得到AB为aD的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB=2,OA=2√3,所以A(-2√3,0),B(0,2),然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标.【详解】BD点坐标为(-√3,1).故答案为(-√3,1).【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于一半.半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了坐标与图形性质.23.如图，BO与@OAB的边AB相切，切点为B.将@OAB绕点B按顺时针方向旋转得到aO'A'B,使点O'落【答案】80【分析】根据切线的性质得到aOBA=90°,连接00',如图，再根据旋转的性质得A=BA'=20°,BABA′=ROBO',BO=BO',则判断2OO'B为等边三角形得到@OBO'=60°,所以ABA'=60°,然后利用三角形外角性质计算【详解】解：2ZO与BOAB的边AB相切B2OBA=90°,连接00',如图，RRIOAB绕点B按顺时针方向旋转得到aO'A'B,BZA=@A'=20°,@ABA'=@OBO',BO=BO',BBOO'B为等边三角形，,,故答案为：80.【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了旋转的性质.24.如图，0O是△ABC的外接圆，CD=1,则DE的长是【答案】【分析】角三角形的性质和勾股定理可得DG,AG,可求AD,再根据相似三角形的判定和性质可求DE.【详解】,,,,在RtZAGO,故答案为：【点睛】考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的难点是求出AD的长.25.(2023·济宁中考)如图，在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,D.AC与BD相交于点【答案】4【分析】连结OC,设@0的半径为r,由DC²=CE·CA和BACD=ZDCE,可判断BCADEECDE,得到aCAD=BCDE,再根据圆周角定理得ZCAD=ZCBD,所以ECDB=ZCBD,利用等腰三角形的判定得BC=DC,证明OCRAD,利用平行线分线段成比例定理得到,则PC=2CD=4√2,然后证明△PCB~△PAD,利用相似比得到再利用比例的性质可计算出r的值即可.【详解】解：连结OC,如图，设○O的半径为r,DC²=CECA∴OC//AD,即.【点睛】相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是用，都要具备应有的条件方可.也考查了圆周角定理. 【详解】考点：1、圆周角定理，2、平行线的性质，3、圆的性质，4、圆心角与弦的关系定27.(2023·山东临沂中考)如图，已知在00中，AB=BC=CD,OC与AD相交于点E.求证：(2)四边形BCDE为菱形.【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(2)证明BDEFZBBCF,得到DE=BC,证明四边形BCDE为平行四边形，再根据BC=CD得到BC=CD,从而【详解】解：(1)连接BD,AB=BC=CD(2)连接CD,BC=CDDZDEFZEBCF(ASA),团四边形BCDE是平行四边形，又BC=CD,【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF.28.(2023·北京中考)如图，0O是ABC的外接圆(1)求证：∠BAD=∠CAD;(2)连接BO并延长，交AC于点F,交⊙O于点G,连接GC.若0O的半径为5,OE=3,求GC和【答案】(1)见详解；(2)GC=6,【分析】(2)由题意可先作图，由(1)可得点E为BC的中点，则有,进而可得【详解】②BD=CD(2)解：由题意可得如图所示：由(1)可得点E为BC的中点，8OO的半径为5,【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂F,交○0于点D,连接BD,BE.【分析】(2)通过证明EDBF2EDAB,利用对应边成比例求解即可.【详解】②DE=DB:BZDBF=BDAB.☑DE=DB【点睛】30.(2023·苏州中考)如图，四边形ABCD内接于00,∠1=∠2,延长BC到点E,使得CE=AB,连接ED.(1)求证：BD=ED;【答案】(1)见解析；(2)【分析】(1)由圆内接四边形的性质可知∠A+∠BCD=180°,再由∠DCE+∠BCD=180°,即可得出∠A=∠DCE.根据圆周角定理结合题意可知AD=CD,即得出AD=CD.由此易证(2)过点D作DM⊥BE,垂足为M.根据题意可求出BE=10,结合(1)可知即可求出CM=1.根据题意又可求出∠2=30°,利用三角函数即可求出最后再利用三角函数【详解】图AD=CD(2)解：如图，过点D作DM⊥BE,垂足为M.BC=6,AB=CE=4,由(1)知BD=ED.【点睛】本题为圆的综合题.考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形，利用数形结合的思想并正确作出辅助线是解答本题的关键.31.(2023·浙江省湖州中考)如图，已知AB是@O的直径，∠ACD是AD所对的圆周角，∠ACD=30°.(1)求∠DAB的度数；(2)过点D作DE⊥AB,垂足为E,DE的延长线交团O于点F.若AB=4,求DF的长.【分析】(1)连结BD,根据圆周角性质，得∠B=∠ACD;根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余可得到答案.【详解】(1)连结BD∵∠DAB=60°,DE⊥AB,且AB是直径【点睛】根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即32.(2023·杭州中考)如图，锐角三角形ABC内接于○O,∠BAC的平分线AG交○0于点G,交BC边于点F,连接BG.(2)已知AB=a,AC=AF=b,求线段FG的长(用含a,b的代数式表示).∠ABD=∠CBE,求证：BG²=GE·GD.【分析】(1)由题目已知角平分线相等得到两个相等，同弧所对的两个圆周角相等，从而证明两三角形相似；(2)由(1)中的相似可以得到线段成比例，再由FG=AG-AF即可求得；(3)要证BG²=GE·GD即证。DGB∽△BGE,已知条件有一对角相等，利用外角关系可以证明∠BDG=∠EBG,从而得证.【详解】所以∠BAG=∠FAC,又因为∠G=∠C,因为AC=AF,所以AG=AB,所以FG=AG-AF=a-b.又因为∠BAG=∠CAG,又因为∠DGB=∠BGE,所以BG²=GE·GD【点睛】本题考查了圆的圆周角概念，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，解题关键是要根据已知条件找到相似的两个三角形并通过角度的转换从而证明相似.33.如图，四边形ABCD内接于以BC为直径的圆，圆心为0,且AB=AD,延长CB、DA交于P,过C点作PD的垂线交PD的延长线于E,且PB=BO,连接OA.(1)求证：OARCD;(2)求线段BC:DC的值；【分析