中考数学一轮复习精讲精练(全国通用)第一讲 平面直角坐标系和函数-满分之路（解析版）

第一讲平面直角坐标系和函数知识梳理夯实基础1、各象限内点的坐标特征点P(x,y)在第一象限⇔x>0,y>0第二象限第三象限y(十，十)第一象限第四象限点P(x,y)在第二象限⇔x<0,y>0点P(x,y)在第三象限⇔x<0,y<0点P(x,y)在第四象限⇔x>0,y<02、坐标轴上的点的特征5、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔.横纵坐标互为相反数，即(x=-y)注意：坐标轴上的点不属于任何象限。6、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。7、点到坐标轴及原点的距离 (3)点P(a,b)到原点的距离等于√a²+b²y轴或原点对称的点的坐标的特征点P(a,b)与关于x轴对称点的坐标为点P(a,b)沿x轴向右(或向左)平移m个单位后对应点的坐标是(a±m,b);点P(a,b)沿y轴向上(或向下)平移n个单位后对应点的坐标是(a,b±n).在x轴或平行于x轴的直线上的两点R(x₁,y),R(x₁,y)间的距离为|x₁-x₁在y轴或平行于y轴的直线上的两点R(x,y;),R(x,y₂)间的距离为|y₁-y₂则线段PR₂的中点坐标为任意两点R(xj,y₁),P(x₂,y₂),则线段RB=√(x-x₂)²+(y₁-y₂)知识点2:函数在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为,数值始终不变的量为【注意】个变化过程中”,当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变.例如，在s=t中，当量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量.③变量、常量与字母的指数没有关系，如S=πr²中，变量是“S”和“r”,常量是“π”.④判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化.的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.取值范围内的每一个值，s都有唯一确定的值与之对应，我们就称t是自变量，s是t的对函数定义的理解，主要抓住以下三点：①有两个变量.②函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化.③函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同，如：函数y=x²,当x=1和x=-1时，y的对应值都是1.④在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数.3、函数取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围，函数自变量的取值范围的确定必须考虑两个方面：①不同类型的函数关系式中自变量取值范围的求解方法；②当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义.函数解析式形式自变量取值范围中，自变量的取值范围应使该问题具有实际意义与二次根式分别求出它们的取值范围，再取公共部分函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式.①函数解析式是等式.②函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数.③书写函数的解析式是有顺序的.y=2x-1表示y是x的函数，若x=2y-1,则表示x是y的函数，即求y关于x的函数解析式时，必须用含x的代数式表示y,也就是等式左边是一个变量y,右边是一个含x的代数式.④用数学式子表示函数的方法叫做解析式法.y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值.5、函数的图象及其画法一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.画函数的图象，可以运用描点法，其一般步骤如下：①列表：表中列举一些自变量的值及其对应的函数值，自变量的取值不应使函数值太大或太小，以便于描点，点数一般以5到7个为宜.②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点.描点时，要注意横、纵坐标的符号与点所在的象限(或坐标轴)之间的关系，描出的点大小要适中，位置要准确.③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.函数的表示方法一般有三种：解析式法、列表法和图象法，表示函数关系时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用.7、判断分析函数图象的突破点③弄清图象上的转折点，最高(低)点所表示的意义④弄清上升线和下降线所表示的意义直击中考胜券在握1.(2023·广东黄埔·一模)在平面直角坐标系中，点(3,-4)关于y轴对称的点的坐标为()A.(3,4)【分析】平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于x轴的对称点的坐标是(x,-y),关于y轴的对称点的坐标是【详解】【点睛】(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.2.(2023·成都中考)在平面直角坐标系xOy中，点M(-4,2)关于x轴对称的点的坐标是()A.(-4,2)关于x轴对称的两个点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据规律解答即可.【详解】【点睛】本题考查的是关于x轴对称的两个点的坐标关系，掌握“关于x轴对称的两个点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数.”是解题的关键.【答案】C【分析】先根据题意求出点P关于x轴的对称点P'坐标，根据点P'在第四象限列方程组，求解即可.【详解】【点睛】本题考查点关于坐标轴对称点求法，以及根据象限点去判断参数的取值范围，能根据题意找见相关的关系4.(2023·天津和平·八年级期末)已知点A(-1,0),B(0,-3),点C(2,-2),过点C作x轴的平行线交直线AB于点D,则线段CD的长为()B.25D.11A.【答案】C【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出点D坐标，进而可求出CD的长.【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b,团当y=-2时，由-2=-3x-3得：【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、坐标与图形，熟练掌握待定系数法求出点D坐标是解答的关键.5.(2023·无锡中考)函数的自变量x的取值范围是()A.x≠2B.x<2C.x≥【分析】根据被开放式的非负性和分母不等于零列出不等式即可解题.【详解】【点睛】C点的坐标为()【分析】【详解】答案选A.【点睛】本题考查了平面直角坐标系的坐标的找法，正确7.(2023·广西二模)在平面直角坐标系中，有A(-2,a+2),B(a-3,4)的距离为()A.1B.2【答案】A根据AB//x,则A、B两点的纵坐标相等，求得a,利用横坐标之差即可求解.【详解】∴A,B两点间的距离为：-1-(-2)=1.【点睛】本题考查了平面内点的位置的确定，平行于坐标轴的点的特点，两点之间的距离，理解平行于坐标轴的线【分析】【详解】团点D的坐标为(5,4).【点睛】B(-2,m),当线段AB最短时，m的值为()【分析】【详解】AB=√(3+2)²+(4-m)²=√(4-m)²+25故答案为C.此题考查了平面直角坐标系中动点问题，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键.10.(2023·重庆B卷)小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆阅读书报后按原路回到家.如图，反映了小明离家的距离y(单位：km)与时间t(单位：h)之间的对应关系.下列描述错误的是()A.小明家距图书馆3kmB.小明在图书馆阅读时间为2hC.小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4hD.小明去图书馆的速度比回家时的速度快【答案】D【分析】根据题意，首先分析出函数图象中每一部分所对应的实际意义，然后逐项分析即可.【详解】根据题意可知，函数图象中，0-1h对应的实际意义是小明从家到图书馆的过程，走过的路程为3km,故A1-3h对应的实际意义是小明在图书馆阅读，即阅读时间3h后直到纵坐标为0,对应的实际意义为小明从图书馆回到家中，显然，这段时间不足1h,从而小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4h,故C正确；显然，从图中可知小明去图书馆的速度为3km/h,回来时，路程同样是3km,但用时不足1h,则回来时的速度大于3km/h,即大于去时的速度，故D错误；【点睛】本题考查函数图象与实际行程问题，理解函数图象所对应11.(2023·菏泽中考)如图(1),在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC//x轴，直线y=2x+1沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a,直线在x轴上平移的距离为b,a、b间的函数关系图象如图(2)所示，那么矩形ABCD的面积为()【分析】根据平移的距离b可以判断出矩形BC边的长，根据a的最大值和平移的距离b可以求得矩形AB边的长，【详解】如图：根据平移的距离b在4至7的时候线段长度不变，由图(2)知线段最大值为√5,即BE=√5【点睛】A.4B.3【分析】利用乙用80秒跑完400米求速度可判断①;利用甲先走3秒和12米求出甲速度，根据乙追甲相差12米【详解】解：①B乙用80秒跑完400米②8乙出发时，甲先走12米，用3秒钟，团乙追上甲所用时间为t秒，团离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米；故②不正确；当乙到达终点停止运动后，甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44<x<89;甲距终点距离为：400-12-4×80=400-332=68米，甲距离终点还有68米.故④正确；正确的个数为3个.【点睛】本题考查一次函数的图像应用问题，仔细阅读题目，认真观察图像，从图像中获取信息，掌握一次函数的图像应用，列不等式与解不等式，关键是抓住图像纵轴是表示两人之间的距离，横坐标表示乙出发时间，拐点的意义是解题关键.13.(2023·河南中考)如图1,矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C,P两点间的距离为x,PA-PE=y,图2是点P运动时Y随x变化的关系图象，则BC的长为(【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及AE=5,再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值.【详解】解：由图2可知，当P点位于B点时，PA-PE=1,即AB-BE=1,B(BE+1)²+BE²=AE²,即BE²+BE-12=0【点睛】决本题的关键是能正确理解题意，能从图像中提取相关信息，能利用14.(2023·威海中考)如图，在菱形ABCD中，AB=2cm,∠D=60°,点P,Q同时从点A出发，点P到达D点时，两点停止运动.设运动时间为x(s),-APQ的面积为y(cm²),则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是()A.【答案】A【分析】先证明DCAB=BACB=EACD=60°,再分O≤x≤1、1<x≤2、2<x≤3三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解.【详解】ECABC,ACD都是等边三角形，故D选项不正确；图1故B选项不正确；PQ=x-2,【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数图象与性质，利用三角函数解三角形等知识，根据题意分类讨论列出函数解析式是解题关键.15.(2023·郴州中考)如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°.点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动.设P点经过的路程为x,以点A,D,P为顶点的三角形的面积为y,则下列图象能反映y与x的函数关系的是()A.【答案】A【分析】当点P在AB上运动时，过点P作AD上的高记作h,可得含30°角的直角三角形，根据含30°角直角三角形的性质可得AD边上的高h是AP的一半，即,再根据三角形面积公式列出面积表达式即可判断；当点P运动到B点时，过点B作BEBAD于点E,由题意易得AB=AD=BC=4,BE=2√3,当点P在线段BC上时，BADP的面积保持不变，当点P在CD上时，过点P作AD上的高记作h,可得含30°角的直角三角形，根据含30°角直角三角形的性质可得AD边上的高h是等于积公式列出面积表达式即可判断.【详解】解：当点P在AB上运动时，过点P作AD上的高记作h,,,再根据三角形面团边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°,当点P在CD上时，过点P作AD上的高记作h,本题主要考查函数图象及菱形的性质、勾股定理，熟练掌握函数图象及菱形的性次移动到点A,第二次移动到点A.……,第n次移动到点A,,则点A₂₁的坐标是()A.(1010,0)B.(1010,1)c.(1011,0)D.由此得出纵坐标规律：以1,1,0,0的顺序，每4个为一个循环，可求出点Ao₂₁的纵坐标，然后根据A₁(2,0),A(4,0),A₂(6,0),L,A(0,1),A₂(1,1),A(1,0),A(2,0),A(2,1),A(3,由此得出纵坐标规律：以1,1,0,0的顺序，每4个为一个循环，【点睛】问题.【答案】A【详解】分析：根据定义可将函数进行化简.详解：当-1≤x<0,[x]=-1,y=x+1故选A.18.(2023·扬州中考)在平面直角坐标系中，若点P(1-m,5-2m)在第二象限，则整数m的值为【答案】2【分析】根据第二象限的点的横坐标小于0,纵坐标大于0列出不等式组，然后求解即可.【详解】回整数m的值为2,故答案为：2.【点睛】本题考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键.19.(2023·凉山州中考)函数中，自变量x的取值范围是_.【答案】x2-3且x≠0【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0,分母不等于0列不等式组求解.【详解】解：根据题意得：x+32