中考数学一轮复习精讲精练(全国通用)第六讲 二次函数综合大题-满分之路（解析版）

模块三函数第六讲二次函数综合大题直击中考胜券在握,【解析】【分析】(2)如图1中，过点P作PEBy轴交AD于点E.设P(1,则E).因为(3)如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT,则T(-5,6),设DT交y轴于点Q,则BADQ=45°,作点T关于AD的对称点T(1,-6【详解】设直线l的解析式为y=kx+m(k≠0),(2)如图1中，过点P作PE//y轴交AD于点F.i),J图1,【点睛】(3)在(2)的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD,此时在y轴左侧的抛物线上存在点P,使【答案】(1)2;(2);(3)【解析】【分析】(1)先根据对称轴得出b=2a,再由点C的坐标求出c=2,最后将点A的坐标代入抛物线解析式求解，即(2)分两种情况，团、当点D在x轴上方时，先判断出AE=BE,进而得出点E在直线x=-1上，再求出点E的坐标，最后用待定系数法求出直线l的解析式；团、当点D在x轴下方时，判断出BD//AC,即可得出结(3)先求出点D的坐标，进而求出△ABD的面积，得出△PBD的面积，认进而表示出PF,最后用面积建立方程求解，即进而表示出PF,最后用面积建立方程求解，即可得出结论.【详解】:抛物线的解析式为y=ax²+2ax+2,:抛物线的解析式(2)团、当点D在x轴上方时，如图1,综上，直线l的解析式(3)由(2)知，直线BD的解析式【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，垂直平分线的性质，坐标系中求出点D的坐标是解本题的关键.3.(2023·甘肃兰州中考)如图1,二次函数y=a(x+3)(x-4)轴上一动点.的图象交坐标轴于点A,B(0,-2),点P为x图1图1(3)如图2,将线段PB绕点P逆时针旋转90得到线段PD.【解析】(1)根据B点的坐标以及已知条件，将B的坐标代入即可求得a的值，进而求得抛物线的解析式；D(a+2,-a)将点D的坐标代入(1)中抛物线解析式中即可求得D点的坐标情形2,方法同情形1;P的坐标.【详解】(3)如图，当点D在x轴下方时，过点D作DF⊥AP于点F,令x=0,解得y=-2∵将线段PB绕点P逆时针旋转90得到线段PD,设OP=DF=a(a>0),解得a₁=8,a₂=-3(舍去),∵△BOP=△MHB,此时xp=XE【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点，正切的定义，三角形全等的性质与判定，分类讨论是解题的关键.4.(2023·青海西宁中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函3的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C的坐标为(-2,0),抛物线经过A,B,C三点.(1)求抛物线的解析式；(2)直线AD与y轴负半轴交于点D,且∠BAO=∠DAO,求证：OB=OD;(3)在(2)的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴1交于点E,连接BE,在第一象限内的抛物线上是否存在一点P,使四边形BEAP的面积最大?若存在，请求出点P的坐标及四边形BEAP面积的最大值；若不存在，请说明理由.【答案】(1);(2)见解析；(3)存在，当P点坐标是村，四边形BEAP面积的最过点E作EM⊥y轴于点MOE点的横坐标是2,即EM=2,抛物线开口向下，函数有最大值团当t=3时，△BPA面积的最大值此时四边形BEAP的面积最大【点睛】求二次函数的最值，求图形的面积等知识，求图形面积时用到了割补法，这是在求面积方法，用到了转化思想，即求四边形面积最大值问题转化为求三角形面积最大值问题.A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合).(1)求抛物线的解析式；(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M,使OABM为等腰三角形?若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标.【答案】(1)抛物线解析式为：y=x²+2x-3;(2)6;(3)存在.M₁(-1,(-1,0),M₄(-1,-1).【解析】【分析】(1)根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c(2)由(1)求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算.【详解】解：(1)团直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，,解得：,解得：(3)存在.EM₁(-1,√6),M₂(-1,-V6).BM₃(-1,0),M₄(-1,-6)(不合题意舍去).0),M₄(-1,-1).6.(2023·辽宁锦州中考)如图1,在平面直角坐标系中，直线1分别与x轴、y轴交于点A,C,经过点C的抛物线与直线的另一个交点为点D,点D的横坐标为6.(1)求抛物线的表达式.(2)M为抛物线上的动点.线OM对称的直线BD',当直线BD'与坐标轴平行时，直接写出点M的横坐标.【解析】【分析】(1)先由直线解析式求出A,C,D的坐标，再由C,D坐标求出抛物线解析式；(2)①设N(n,O),由平移与坐标关系可得点M的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可；②因为直线BD'与坐标轴平行，所以BD'Zr轴和BD'Cy轴分类讨论，以BD'@x轴为例，画出草图，由于BM平分aDBD',又RAOB=&D'BM,等量代换，可以证得AOB是等腰三角形，求出AB的长度，并且有A和D点坐标，求出回DAO的三角函数值，过B作BH@x轴于H,在直角CABH中，利用AB的长度，和@BAH的三角函数值，求出AH和BH的长度，得到B点坐标，进一步得到直线OB的解析式，联立直线OB和抛物线解析式，求得交点M点坐标，当BD'@y轴，用同样的方法解决.【详解】解：(1)令x=0,则BC点坐标为(0,1),令y=0,令x=6,则OD点坐标为EMN//CD,由平移与坐标关系可得M(n+6,图1EEBAH=ODAQ,),设直线OB的解析式为y=kx,代入点B得，,第二种情况，如图2,当BD'Ey轴时，设BD'交x轴于G,EECOB=0OBG,EECBO=2OBG=2COB,BCE&BG,BGBx轴，EECEG=OBGO=BCOG=90°,团直线OB的解析式为y=2x,【点睛】-3).(3)在(2)的条件下，过点P作x轴的垂线1,在1上是否存在点D,使△BCD是直角三角形，若存在，【分析】(2)如图1,过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E,过P作PF⊥x轴交直线BC于点F,设D(3,m),【点睛】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线状的最大值问题转化为求的最大值问题是解题的关键.8.(2023·辽宁朝阳中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴分别交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式及对称轴；(3)点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，请直接写出点M的坐标.【答案】(1)y=-x²+2x+3,对称轴x=1;(2)P(1,1)或(2,1);(3)1【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解即可.(2)如图1中，连接BD,设BD的中点T,连接PT,设P(1,m).求出PT的长，构建方程求出m即(3)分两种情形：当点M在第一象限时，@BMN是等边三角形，过点B作BTBBN交NM的延长线于T,设N(1,t),设抛物线的对称轴交x轴于E.如图3-2中，当点M在第四象限时，设N(1,n),过点B作BTEBN交NM的延长线于T.分别利用相似三角形的性质求出点M的坐标，再利用待定系数法求解，【详解】(2)如图1中，连接BD,设BD的中点T,连接PT,设P(1,m)EZNPD=90°,DT=TB,解得m=1或2,@P(1,1),或(2,1).(3)当点M在第一象限时，GBMN是等边三角形，过点B作BTEBN交NM的延长线于T,设N(1,t),作TEx轴于点J,设抛物线的对称轴交x轴于E.BZNMB=ANBM=60°,))REMBT=30°,BT=√3BN,ZAMBT=aBTM=30°,ZZNBE+QTBJ=90°,OTBJ+BBTJ=2ENBE=@BTJ,解得t=-2√3(舍弃)如图3-2中，当点M在第四象限时，设N(1,n),过点B作BTBBN交NM的延长线于T.同法可得T(3-√3n,则解得(舍弃)!综上所述，满足条件的点M的坐标为)或(1+√3,【点睛】bx+c图象过A、B两点.0).【详解】(2)抛物线的对称轴为直：故设P(1,p),Q(m,n)@B,C关于对称没对称，且对称轴与x轴垂直，RZBC与对称轴垂直，且BC//x轴②BC//PQ,且BC=PQ综上所述，Q点坐标为(1,【点睛】或(3,0)或(-1,0)查学生综合运用这些性质进行计算和推理的能力.A(-1,0),B(m,0)两点，与y轴交于点C,连接BC.(1)若OC=20A,求抛物线对应的函数表达式；(2)在(1)的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；上),使得以B,G,E,F为顶点的四边形成为矩形?若存在，求出点E,F的坐标；若不存在，说明理由.【解析】【分析】(1)由题意易得OC=20A_2,则有C(0,2),然后把点C的坐标代入求解即可；(2)由(1)可得C(0,2),B(4,0),然后可求出线段BC的解析式；,过点P作PERy轴，交BC于点E,i),则有E进而可根据铅垂法进行求解点P的坐标；点,,分类求解即可.【详解】(2)由(1)可得抛物线解析式：2,C(0,2),B(4,0),设线段BC的解析式为y=kx+b,把点B、C代过点P作PEEy轴，交BC于点E,如图所示：(3)存在，理由如下：由题意可把点B的坐标代入直b得：联立抛物线与直线BG的解析式得：,@m>0,且四边形BEGF是矩形，分别作EHBx轴于点H,过点G、B作过点F与x轴平行的直线的垂线，分别交于点M、N,如图，@四边形BEGF是矩形，,,,,B△GFM~△FBN,即GM·BN=FN·FM,解得：m=3(负根舍去),【点睛】本题主要考查二次函数的综合、矩形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的综合、矩形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.(1)抛物线的解析式为(2)当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，连接EF,点P在x轴上，在抛物线上是否存在点Q,使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；若不存在请说明理由.【答案】(1)y=-x²-2x+3;(2)备用图【解析】AC=√OA²+OC²=3√2,过点E作EN⊥x轴，垂足为N,交AC于点M,设E(n,-n²-2n+3),则M(n,n+3),BEM=n²-2n+3-(n+3)=-(3)存在，符合题意的点Q坐标为)或(或(2+Y,-5);当点Q在x轴上方抛物线上时，又@EQj/PF,团点Q的纵坐标与E的纵坐标相同，,时为E点，【点睛】掌握待定系数法求抛物线解析式与直线解析，平行四边形面积，二次函关键.12.(2023·湖南张家界中考)如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点C(2,-3)且与x轴交于原点及点B(8,0).xx(1)求二次函数的表达式；(4)若点P为OO上的动点，且