浙江省温州市南浦实验中学2023--2024学年上学期九年级开学考试数学试卷

浙江省温州市南浦实验中学2023-2024学年九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）1．（3分）要使二次根式有意义，则a的取值可以是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣22．（3分）今年上半年，我国新能源汽车销量达到3750000辆．数据3750000用科学记数法表示为（）A．0.375×107 B．3.75×107 C．3.75×106 D．375×1043．（3分）如图，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的位置可以在（）A．① B．② C．③ D．④4．（3分）下列因式分解的结果正确的是（）A．4a2﹣1＝（4a+1）（4a﹣1） B．a2﹣2ab﹣b2＝（a﹣b）2 C．2a2+a＝﹣a（2a+1） D．a2+a﹣6＝（a﹣2）（a+3）5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（5，﹣6）关于点P（0，m）对称的点A在x轴上，则m的值为（）A．﹣3 B． C． D．36．（3分）如图是九（1）班学生每分钟跳绳个数的频数分布直方图（每一组包括前一个边界值，不包括后一个边界值），根据图上信息，下列说法错误的是（）A．九（1）班有学生42人 B．九（1）班学生每分钟跳绳个数的众数一定为150个 C．九（1）班学生每分钟跳绳个数的中位数一定在140～160个之间 D．九（1）班每分钟跳绳个数不少于140个的学生占7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC上，E为AB的中点，连结DE，DE＝，AC＝4AD，AD＝1，则BC的长为（）A． B．3 C． D．48．（3分）某车间需加工某工件560个，为更快完工，在原计划基础上再增调一批工人，增调人员后该车间每小时比原计划多加工60个工件，且能提早3小时完成任务，设原计划该车间每小时可加工x个工件，则可列方程（）A． B． C． D．9．（3分）若双曲线与直线y＝k2x（k1k2≠0）的两个交点分别为（x1，y1），（x2，y2），若3x1y2+x2y1＝8，则下列结论一定成立的是（）A．k1＝﹣2 B．k1＝2 C．k2＝﹣2 D．k2＝210．（3分）如图，正方形ABCD，EFGH的中心互相重合，边AD，AB，BC，CD分别与边HE，EF，FG，GH交于点I，J，K，L，连结IJ，JK，KL，LI．若∠AIE＝45°，EH＝4IH，正方形ABCD的面积比正方形EFGH的面积大4，则四边形IJKL的面积为（）A．16 B．18 C．20 D．24二、填空题（本题有5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）﹣9的倒数是．12．（4分）如图，直线a∥b，若∠1＝2∠2，则∠1的度数为．13．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+x+4＝1（a≠0）有两个相同的实数解，则a的值为．14．（4分）如图，点A在函数的图象上（点A在第一象限），过点A分别作x轴，y轴的平行线，交双曲线于点B，C，连结BC，若△ABC的面积为，则k的值为．15．（4分）如图1是一种伸缩式的鞋架，它有平放和斜放两种使用方式．鞋架每侧有6根长度相等的支架，支点O，P，Q为各支架的中点．鞋架平放得图2，面板BH的长为24cm，此时鞋架高度为54cm，则支架AD的长为cm；鞋架斜放得图3，此时调节杆AL的端点L正好卡在面板BH的调节孔点G处，AL＝13cm，HG＝10cm，∠AOB＝60°，则鞋架最高点H到地面MN的距离是cm．三、解答题（本题有7小题，共70分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）16．（8分）（1）计算：|﹣1|+﹣（﹣1）；（2）化简：•．17．（8分）如图，在4×4的菱形网格中，每个菱形的锐角内角都为60°，边长都为1，线段AB的两个端点都在格点上，请按下列要求作格点图形（顶点都在格点上的图形）．（1）在图1中，作矩形ABCD；（2）在图2中，作一个△ABE，使其面积为．18．（8分）小红家附近有A，B，C三个健身房，办年卡的费用分别为1500元，2800元，2000元．在三个健身房中各随机抽取20名顾客对他们所在的健身房进行评价，从低到高按照1分，2分，3分，4分，5分这五个档次评分，统计结果如图所示．B健身房C健身房平均数（分）4.254中位数（分）44众数（分）55（1）小红已经对B，C两个健身房的评分数据进行处理，如上表所示，请你求出A健身房评分的平均数，中位数和众数；（2）小红想选择其中一个健身房办年卡，她希望健身房的顾客评分尽可能高，又经济实惠，请从相关的统计量和费用进行分析，给出合理的选择建议．19．（10分）已知一次函数y1＝kx﹣1，y2＝（2k﹣1）x，其中．（1）若，求y1，y2图象的交点坐标；（2）当﹣1≤x≤4时，设y1的最大值为m，y2的最小值为n，若m﹣n＝2，求k的值．20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别在AC，AB上，连结DE并延长交CB的延长线于点F，连结CE．已知E为DF中点，∠BEC＝∠F．（1）求证：CD＝CF；（2）若AD＝DE＝10，求AC的长．21．（12分）根据下列素材，解决实际问题：如何购买饲料更划算？素材1某小型农场养殖黄牛和奶牛共80头．素材2每头牛每天需要吃饲料10kg，下表是黄牛和奶牛所用饲料的信息（饲料成袋售卖）：每袋质量售价黄牛饲料60千克40元/袋奶牛饲料75千克60元/袋农场中的牛3天共吃完37袋饲料．素材3该农场的饲料需求量大，饲料供应商给出优惠方案如下：每买4袋奶牛饲料赠送1袋黄牛饲料．问题解决任务1分析数量分别求出农场中黄牛和奶牛的数量．任务2统筹规划现农场中奶牛饲料已用完，黄牛饲料还有50袋，农场想购买一批饲料，费用不超过10000元．若全部饲料可供所有的牛恰好a天吃完（a为整数），求a的最大值．22．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为BC中点，连结ED，F，G分别为线段BE，ED上的点，EG＝BF，连结AF，FG．【探索发现】通过观察和测量，猜想AF与FG的数量关系：；【特例计算】当F为线段BE的中点时，求AF与FG的长；【推理证明】请通过推理验证【探索发现】中的猜想；【拓展运用】点G关于BC的对称点为点G'，以AF，FG'为邻边构造平行四边形AFG′H．若点H到BC的距离是BF的2倍，求BF的长．参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）1．（3分）要使二次根式有意义，则a的取值可以是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2【解答】解：由题意，得a﹣1≥0，解得a≥1，观察选项，只有选项C符合题意．故选：C．2．（3分）今年上半年，我国新能源汽车销量达到3750000辆．数据3750000用科学记数法表示为（）A．0.375×107 B．3.75×107 C．3.75×106 D．375×104【解答】解：3750000用科学记数法表示为3.75×106．故选：C．3．（3分）如图，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的位置可以在（）A．① B．② C．③ D．④【解答】解：对于A，如图，此时，四边形ACBD不是平行四边形，故A不符合题意；对于B，如图，此时，AD∥BC，且AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故B符合题意；对于C，如图，此时，四边形ABCD不是平行四边形，故C不符合题意；对于D，如图，此时，四边形ABDC不是平行四边形，故D不符合题意．故选：B．4．（3分）下列因式分解的结果正确的是（）A．4a2﹣1＝（4a+1）（4a﹣1） B．a2﹣2ab﹣b2＝（a﹣b）2 C．2a2+a＝﹣a（2a+1） D．a2+a﹣6＝（a﹣2）（a+3）【解答】解：A.4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1），故A错误，不符合题意；B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，故B错误，不符合题意；C.2a2+a＝a（2a+1），故C错误，不符合题意；D．a2+a﹣6＝（a﹣2）（a+3），故D正确，符合题意．故选：D．5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（5，﹣6）关于点P（0，m）对称的点A在x轴上，则m的值为（）A．﹣3 B． C． D．3【解答】解：过A作AH⊥y轴于H，∵点A（5，﹣6），∴AH＝5，OH＝6，∵点A与点A′关于点P（0，m）对称，∴AP＝A′P，在△APH与△A′PO中，，∴△APH≌△A′OP（AAS），∴OP＝PH＝OH＝3，∴m＝﹣3，故选：A．6．（3分）如图是九（1）班学生每分钟跳绳个数的频数分布直方图（每一组包括前一个边界值，不包括后一个边界值），根据图上信息，下列说法错误的是（）A．九（1）班有学生42人 B．九（1）班学生每分钟跳绳个数的众数一定为150个 C．九（1）班学生每分钟跳绳个数的中位数一定在140～160个之间 D．九（1）班每分钟跳绳个数不少于140个的学生占【解答】解：A．九（1）班的学生数为6+12+14+10＝42（人）．故选项A不符合题意；B．每分钟跳绳个数的众数不一定是150个．故选项B符合题意；C．．∵九（1）班学生人数有42人，∴中位数是第21个数和第22个数的平均数，∵第21个数和第22个数在140～160这一组中，∴每分钟跳绳个数的中位数一定在140～160个之间，故选项C不符合题意；D．∵九（1）班每分钟跳绳个数不少于140个的学生人数占总人数的＝，∴每分钟跳绳个数不少于140个的学生占总人数的．故选项D不符合题意．故选：B．7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC上，E为AB的中点，连结DE，DE＝，AC＝4AD，AD＝1，则BC的长为（）A． B．3 C． D．4【解答】解：如图，过E作EF⊥AC于F，∵∠C＝90°，∴∠AFE＝∠C，∴EF∥BC，∵E为AB的中点，∴点F是AC的中点，∴AF＝AC，∵AC＝4AD，AD＝1，∴AC＝4，∴AF＝2，∴DF＝1，∵DE＝，∴EF＝＝，∵E为AB的中点，点F是AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BC＝2EF＝2．故选：A．8．（3分）某车间需加工某工件560个，为更快完工，在原计划基础上再增调一批工人，增调人员后该车间每小时比原计划多加工60个工件，且能提早3小时完成任务，设原计划该车间每小时可加工x个工件，则可列方程（）A． B． C． D．【解答】解：由题意得，﹣＝3，故选：D．9．（3分）若双曲线与直线y＝k2x（k1k2≠0）的两个交点分别为（x1，y1），（x2，y2），若3x1y2+x2y1＝8，则下列结论一定成立的是（）A．k1＝﹣2 B．k1＝2 C．k2＝﹣2 D．k2＝2【解答】解：∵双曲线与直线y＝k2x（k1k2≠0）的两个交点分别为（x1，y1），（x2，y2），∴点（x1，y1）与点（x2，y2）关于原点对称，∴x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，k1＝x1y1，k2＝x2y2，∵3x1y2+x2y1＝8，∴﹣3x2y2﹣x2y2＝﹣4x2y2＝﹣4k2＝8，∴k2＝﹣2，故选：C．10．（3分）如图，正方形ABCD，EFGH的中心互相重合，边AD，AB，BC，CD分别与边HE，EF，FG，GH交于点I，J，K，L，连结IJ，JK，KL，LI．若∠AIE＝45°，EH＝4IH，正方形ABCD的面积比正方形EFGH的面积大4，则四边形IJKL的面积为（）A．16 B．18 C．20 D．24【解答】解：设IH＝x，则EH＝4x，如图，∵正方形ABCD，EFGH的中心互相重合，∴∠BAD＝∠IDL＝∠IHN＝∠MEJ＝90°，∵∠AIE＝45°，∴∠AIM＝∠AMI＝∠EMJ＝45°，∴△AMI、△HIN、△EMJ、△EOH均为等腰直角三角形，∴∠HPI＝∠HOE＝90°，∴△HIP为等腰直角三角形，∴IP＝HP＝IH＝x，OE＝OH＝EH＝2x，∴ME＝IH＝x，MI＝2x，AI＝DN＝x，MJ＝IN＝x，∴AD＝3x，∵正方形ABCD的面积比正方形EFGH的面积大4，∴（3x）2﹣（4x）2＝4，解得：x1＝，x2＝﹣（舍去），∴AM＝AI＝MJ＝2，∴AJ＝4，∴IJ2＝AI2+AJ2＝22+42＝20，同理可得DL＝AI，AD＝AJ，∴△AJI≌△DIL（SAS），∴IJ＝IL，∠AJI＝∠DIL，∵∠AIJ+∠AJI＝90°，∴∠AIJ+∠DIL＝90°，∴∠JIL＝90°，同理可得∠ILK＝∠IJK＝90°，∴四边形IJKL是正方形，∴四边形IJKL的面积为IJ2＝20，故选：C．二、填空题（本题有5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）﹣9的倒数是﹣．【解答】解：﹣9的倒数是﹣．故答案为：﹣12．（4分）如图，直线a∥b，若∠1＝2∠2，则∠1的度数为120°．【解答】解：如图，∵直线a∥b，∴∠2+∠3＝180°，∵∠1＝∠3，∴∠1+∠2＝180°，∵∠1＝2∠2，∴∠1＝120°，故答案为：120°．13．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+x+4＝1（a≠0）有两个相同的实数解，则a的值为．【解答】解：∵ax2+x+4＝1（a≠0）有两个相等的实数根，∴Δ＝1﹣12a＝0，且a≠0，解得：a＝．故答案为：．14．（4分）如图，点A在函数的图象上（点A在第一象限），过点A分别作x轴，y轴的平行线，交双曲线于点B，C，连结BC，若△ABC的面积为，则k的值为﹣．【解答】解：设A（m，），∵AB∥x轴，AC∥y轴，∴B（，），C（m，），∵△ABC的面积为，∴AB•AC＝（m﹣）（）＝，解得k＝﹣（正值舍去），故答案为：﹣．15．（4分）如图1是一种伸缩式的鞋架，它有平放和斜放两种使用方式．鞋架每侧有6根长度相等的支架，支点O，P，Q为各支架的中点．鞋架平放得图2，面板BH的长为24cm，此时鞋架高度为54cm，则支架AD的长为26cm；鞋架斜放得图3，此时调节杆AL的端点L正好卡在面板BH的调节孔点G处，AL＝13cm，HG＝10cm，∠AOB＝60°，则鞋架最高点H到地面MN的距离是46cm．【解答】解：如图，过O作OK⊥AB．∴AK＝KB＝12，OK＝54÷6＝9，∴AO＝＝13，∴AD＝2AO＝26．如图：连AB，过H作HR⊥AB．∵∠ALB＝∠AOB＝60°，LA＝LB，∴△ALB是等边△，∴∠LBA＝60°，∴∠RHB＝30°，∴RB＝HB＝（10+13）＝，∴HR＝RB＝，∴H到地面MN的距离＝4HR＝4×＝46．故答案为：26，46．三、解答题（本题有7小题，共70分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）16．（8分）（1）计算：|﹣1|+﹣（﹣1）；（2）化简：•．【解答】解：（1）|﹣1|+﹣（﹣1）＝1﹣2+1＝0；（2）•＝•＝．17．（8分）如图，在4×4的菱形网格中，每个菱形的锐角内角都为60°，边长都为1，线段AB的两个端点都在格点上，请按下列要求作格点图形（顶点都在格点上的图形）．（1）在图1中，作矩形ABCD；（2）在图2中，作一个△ABE，使其面积为．【解答】解：（1）如图1中，矩形ABCD即为所求；（2）如图2中，△ABE即为所求．18．（8分）小红家附近有A，B，C三个健身房，办年卡的费用分别为1500元，2800元，2000元．在三个健身房中各随机抽取20名顾客对他们所在的健身房进行评价，从低到高按照1分，2分，3分，4分，5分这五个档次评分，统计结果如图所示．B健身房C健身房平均数（分）4.254中位数（分）44众数（分）55（1）小红已经对B，C两个健身房的评分数据进行处理，如上表所示，请你求出A健身房评分的平均数，中位数和众数；（2）小红想选择其中一个健身房办年卡，她希望健身房的顾客评分尽可能高，又经济实惠，请从相关的统计量和费用进行分析，给出合理的选择建议．【解答】解：（1）平均数：＝3.6，中位数：＝3.5，众数：3，答：A健身房评分的平均数，中位数和众数分别为3.6、3.5、3；（2）∵4.25＞4＞3.6，∴B健身房、C健身房评分较高，∵2000＜2800，∴C健身房评分较高，且经济实惠．19．（10分）已知一次函数y1＝kx﹣1，y2＝（2k﹣1）x，其中．（1）若，求y1，y2图象的交点坐标；（2）当﹣1≤x≤4时，设y1的最大值为m，y2的最小值为n，若m﹣n＝2，求k的值．【解答】解：（1）当时，y1＝x﹣1，y2＝﹣x，解得，∴y1，y2图象的交点坐标为（，﹣）；（2）在y1＝kx﹣1中，．∴y1随x的增大而增大，∵﹣1≤x≤4，∴当x＝4时，y1的最大值m＝4k﹣1，在y2＝（2k﹣1）x中，，∴y2随x的增大而减小，∴当x＝4时，y2的最小值为n＝4（2k﹣1），∵m﹣n＝2，∴4k﹣1﹣4（2k﹣1）＝2，解得k＝．20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别在AC，AB上，连结DE并延长交CB的延长线于点F，连结CE．已知E为DF中点，∠BEC＝∠F．（1）求证：CD＝CF；（2）若AD＝DE＝10，求AC的长．【解答】（1）证明：∵E为DF中点，∴DE＝FE，∵∠ABC＝90°，∵∠BEF＝90°﹣∠F，∵∠BCE＝90°﹣∠BEC，∵∠BEC＝∠F，∴∠BEF＝∠BCE，∴∠BEF+∠BEC＝90°，即∠CEF＝90°＝∠CED，在△CDE和△CFE中，，∴△CDE和△CFE（SAS），∴CD＝CF；（2）解：过点D作DG∥CF，交AB于G，过点E作EH∥CF，交AC于H，∴∠AGD＝∠ABC＝90°，∵AD＝DE＝10，∴AG＝GE，∴AD＝DH＝10，∵DE＝FE，∴CH＝DH＝10，∴AC＝30．21．（12分）根据下列素材，解决实际问题：如何购买饲料更划算？素材1某小型农场养殖黄牛和奶牛共80头．素材2每头牛每天需要吃饲料10kg，下表是黄牛和奶牛所用饲料的信息（饲料成袋售卖）：每袋质量售价黄牛饲料60千克40元/袋奶牛饲料75千克60元/袋农场中的牛3天共吃完37袋饲料．素材3该农场的饲料需求量大，饲料供应商给出优惠方案如下：每买4袋奶牛饲料赠送1袋黄牛饲料．问题解决任务1分析数量分别求出农场中黄牛和奶牛的数量．任务2统筹规划现农场中奶牛饲料已用完，黄牛饲料还有50袋，农场想购买一批饲料，费用不超过10000元．若全部饲料可供所有的牛恰好a天吃完（a为整数），求a的最大值．【解答】解：任务1：设农场中奶牛的数量为x只，黄牛的数量为y只，，解得：，答：场中奶牛的数量为30只，黄牛的数量为50只．任务2：+×40≤10000，解得：a≤22.5，因为a为整数，所以a的最大值是22．22．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为BC中点，连结ED，F，G分别为线段BE，ED上的点，EG＝BF，连结AF，FG．【探索发现】通过观察和测量，猜想AF与FG的数量关系：AF＝FG；【特例计算】当F为线段BE的中点时，求AF与FG的长；【推理证明】请通过