《27.2.1相似三角形的判定》教案（三套）

《27.2.1相似三角形的判定》教案第一课时【教学目标】(一)知识与技能1、了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”；2、掌握“如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似”的判定定理。(二)过程与方法培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。（三）情感态度与价值观让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。〔教学重点与难点〕【教学重点】：两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1【教学难点】：探究判定引例﹑判定方法1的过程【教学过程】新课引入：ABDABDECF相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义2、回顾全等三角形的概念及判定方法（SSS）相似三角形的概念及判定相似三角形的思路。提出问题：如图27·2-1，在∆ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，DE交AC于点E，∆ADE与∆ABC有什么关系？分析：观察27·2-1易知AD=，AE=，∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，只需引导学生证得DE=即可，学生不难想到过E作EF∥AB。∆ADE∽∆ABC，相似比为。延伸问题：改变点D在AB上的位置，先让学生猜想∆ADE与∆ABC仍相似，然后再用几何画板演示验证。归纳：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。探究方法：探究1在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的对应角都相等，根据相似三角形的定义，这两个三角形相似。（学生小组交流）在学生小组交流的基础上引导学生思考证明探究所得结论的途径。分析：作A1D=AB，过D作DE∥B1C1，交A1C1于点E∆A1DE∽∆A1B1C1。用几何画板演示∆ABC平移至∆A1DE的过程 A1D=AB，A1E=AC，DE=BC∆A1DE≌∆ABC ∆ABC∽∆A1B1C1、归纳：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。符号语言：若，则∆ABC∽∆A1B1C1运用提高：P47练习题1（2）。P47练习题2（2）。课堂小结：说说你在本节课的收获。布置作业：1、必做题：P55习题27·2题2（1），3（1）。2、选做题：P55习题27·2题4，5。3、备选题：如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（）A、1对 B、2对 C、3对 D、4对设计思想：本节课主要是探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，因此在教学设计中突出了“探究”的过程，先让学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究，然后教师再应用“几何画板”等计算机软件作动态探究，从而给学生以深刻的实验几何的数学学习体验。此外，本课教学设计在引导学生知识重构的维度上重视应用“比较”“类比”“猜想”的教学法，促使学生尽可能进行“有意义”的而非“机械、孤立”的认知建构，并在这一建构过程中发展合情推理能力。配套课时练习1．△ABC与△DEF全等，则其相似比是2．已知△ABC∽△DEF，写出其对应角及对应边关系是。3．平行与三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形4．如图，在△ABC中，DE∥BC，△ADE∽，∠ADE=，DE/BC=，若AE=3，EC=2，则△ADE与△ABC的相似比为5．如图，CD∥EF∥AB，AC，BD相交于点O，则图中与△OEF相似的三角形为。6．已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则△ABC与△DEF相似比是；△DEF与△ABC的相似比是7．如图，△ABC∽△AEF，且相似比3：2，EF=8cm，则BC=cm8．如图，△ABC中，DE∥BC，MN∥AB，则图中与△ABC相似的三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，AD⊥AC，BC⊥AC，AB与CD相交于点E，过E点作EF⊥AC，交AC于F，写出图中所有的相似三角形，并说明理由。10．求作△DEF使他与已知△ABC相似且相似比3：2。11．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，BC=3，AB=6，则AD的长为（）A．1B．2C．1．5D．2．512．如图，在△ABC中，AB=3AD，DE∥BC，EF∥AB，若AB=9，DE=2，则线段FC的长度.13．如图，已知AE=BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G。若点E、F在边AB上，试判断EG+FH=AC是否成立，并说明理由。参考答案：1、1：1；2、∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AB/DE=BC/EF=AC/DF3、相似；4、△ABC，∠B，AD/AB=AE/BC，3：55、△OCD，△OAB；6、1：2，2：1；7、12；8、C9、△ABC∽△AEF，△CDA∽△CEF，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；△BCE∽△ADE，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似10、作图略；11、B；12、FC=14；13、成立，理由：因为FH∥EG∥AC，所以BE/AB=EG/AC，BF/AB=FH/AC所以BE/AB+BF/AB=EG/AC+FH/AC即：(BE+BF)/AB=(EG+FH)/AC又因为AE=BE，所以BE=AF，所以(AF+BF)/AB=1所以(EG+FH)/AC=1，即EG+FH=AC27．2．1相似三角形的判定第二课时【教学目标】：(一)知识与技能掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似的判定定理；掌握两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似的判定定理。(二)过程与方法会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似”及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的方法进行简单推理。(三)情感态度与价值观从认识上培养学生从特殊到一般的方法认识事物，从思维上培养学生用类比的方法展开思维；通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣。【教学重点】：掌握两个判定定理，会运用两个判定定理判定两个三角形相似【教学难点】：探究两个三角形相似的条件；运用两个三角形相似的判定定理解决问题。【教学过程】新课引入：1、复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1）2、回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程探究两个三角形相似判定方法2的途径提出问题：利用刻度尺和量角器画∆ABC与∆A1B1C1，使∠A=∠A1，和都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B1C1的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B1，∠C与∠C1是否相等？（学生独立操作并判断）分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC和B1C1的比都等于k，另外两组对应角∠B=∠B1，∠C=∠C1。延伸问题：改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。）探究方法：探究2改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生学习如何在动态变化中捕捉不变因素。）归纳：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成）AABCA1B1C1符号语言：若∠A=∠A1，==k，则∆ABC∽∆A1B1C1辨析：对于∆ABC与∆A1B1C1，如果=，∠B=∠B1，这两个三角形相似吗？试着画画看。（让学生先独立思考，再进行小组交流，寻找问题的所在，并集中展示反例。）应用新知：例1：根据下列条件，判断∆ABC与∆A1B1C1是否相似，并说明理由：（1）∠A＝1200，AB=7cm，AC=14cm，∠A1＝1200，A1B1=3cm，A1C1=6cm。（2）∠B＝1200，AB=2cm，AC=6cm，∠B1＝1200，A1B1=8cm，A1C1=24cm。分析:（1）==,∠A=∠A1＝1200 ∆ABC∽∆A1B1C1（2）==,∠B=∠B1＝1200但∠B与∠B1不是AB﹑AC﹑A1B1﹑A1C1的夹角，所以∆ABC与∆A1B1C1不相似。运用提高：1、P47练习题1（1）。2、P47练习题2（1）。课堂小结：说说你在本节课的收获。布置作业：必做题：P55习题27·2题2（2），3（2）。选做题：P56习题27·2题8。备选题：已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量（如图），若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的厚度x。设计思想：本节课主要是探究相似三角形的判定方法2，由于上节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，而本节课内容在探究方法上又具有一定的相似性，因此本教学设计注意方法上的“新旧联系”，以帮助学生形成认知上的正迁移。此外，由于判定方法2的条件“相应的夹角相等”在应用中容易让学生忽视，所以教学设计采用了“小组讨论＋集中展示反例”的学习形式来加深学生的印象。配套课时练习1．如果两个三角形的三组对应边，那么这两个三角形相似。2．下列命题中正确的有（）⑴△ABC的边长分别是5cm、6cm、8cm，△DEF的边长分别2．5cm，3cm，4cm，则△ABC∽△DEF。⑵过△ABC的边AB上点D作DE∥BC交AC于E，则△ABC∽△ADE。⑶△ABC的边长分别是2cm、4cm、6cm，△DEF的边长分别1cm，3cm，2cm，则△ABC∽△DEF。⑷有一个角相等的两个菱形一定相似。A．1个B．2个C．3个D．4个3．根据下列条件，判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。⑴AB=3cm，BC=4cm，AC=6cm；DE=9cm，EF=12cm，FD=16cm。⑵4．如图，要使△ABC∽△AEF，应补充的条件是或。5．根据下列条件，回答问题：⑴如图，已知△ABC与△DEF，判断两个三角形是否相似，并说明理由。⑵已知一个三角形的三边长分别是8cm、10cm、6cm，要制作一个三角形使其与之相似，且其中一边长是3cm，求另外两边的长度是多少？判断两三角形的形状，并说明理由。6．在□ABCD中，E在BC边上，AE交BD于F，若BE∶EC=4∶5，则BF∶FD等于（）A.4∶5 B.5∶4C.5∶9 D.4∶97.如果△ABC∽△A′B′C′，BC=3，B′C′=1.8，则△A′B′C′与△ABC的相似比为()A.5∶3 B.3∶2C.2∶3 D.3∶58.若△ABC∽△A′B′C′，AB=2，BC=3，A′B′=1，则B′C′等于()A.1.5 .3C.2 D.19.△ABC的三边长分别为、、2，△A′B′C′的两边长分别为1和，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边的长应等于()A. B.2C. D.210．如图O是△ABC内的一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，试猜想△ABC与△DEF的关系，并证明你的结论。11．下列命题中，真命题是（）A．两个钝角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个直角三角形一定相似D．两个等边三角形一定相似12、如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出它们的中点M、N．若测得MN＝15m，求A、B两点的距离。13．如图在正方形方格中，△ABC与△DEF都是格点三角形：⑴∠ABC=，BC=⑵判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论。参考答案：1、的比相等；2、D；3、(1)不能；(2)能，三边对应成比例的两个三角形相似4、EF∥BC或AE：AB＝AF：AC；5、(1)相似，三边对应成比例的两个三角形相似(2)4cm，5cm，直角三角形6、D；7、D；8、A；9、C10、DE＝；DF＝0.5AC；EF＝0.5BC；证明略。11、D；12、AB＝30；13、(1)135°；(2)BC＝；相似27．2．1相似三角形的判定第三课时【教学目标】(一)知识与技能掌握判定两个三角形相似的方法：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。(二)过程与方法培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法3与全等三角形判定方法（AAS﹑ASA）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。(三)情感态度与价值观让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。〔教学重点与难点〕【教学重点】：两个三角形相似的判定方法3及其应用【教学难点】：探究两个三角形相似判定方法3的过程【教学过程】：新课引入：复习两个三角形相似的判定方法1﹑2与全等三角形判定方法（SSS﹑SAS）的区别与联系：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法2）提出问题：观察两副三角尺，其中同样角度（300与600，或450与450）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？延伸问题：作∆ABC与∆A1B1C1，使得∠A=∠A1，∠B=∠B1，这时它们的第三角满足∠C=∠C1吗？分别度量这两个三角形的边长，计算﹑﹑，你有什么发现？（学生独立操作并判断）分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足∠C=∠C1，==。分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。）探究方法：探究3分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生观察在动态变化中存在的不变因素。）ABCABCA1B1C1符号语言：若∠A=∠A1，∠B=∠B1，则∆ABC∽∆A1B1C1应用新知：例2如图27·2-7，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，求证：PA·PB=PC·PD。分析：欲证PA·PB=PC·PD，只需，欲证只需∆PAC∽∆PDB，欲证∆PAC∽∆PDB，只需∠A=∠D，∠C=∠B。运用提高：P49练习题1。P49练习题2。课堂小结：说说你在本节课的收获。布置作业：必做题：P55习题27·2题2(3)。选做题：P57习题27·2题11。备选题：如图AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F，则图中相似三角形的对数有对。设计思想：本节课主要是探究相似三角形的判定方法3，由于上两节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1﹑判定方法2，因此本课教学力求使探究途径多元化，把学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究与应用“几何画板”等计算机软件作动态探究有机结合起来，让学生充分感受探究的全面性，丰富探究的内涵。协同式小组合作学习的开展不仅提高了数学实验的效率，而且培养了学生的合作能力。配套课时练习选择题：1.下列判断正确的是（）两个直角三角形相似B.两个相似三角形一定全等C.凡等边三角形都相似D.所有等腰三角形都相似2.下列各对三角形中一定不相似的是（）△ABC中，∠A=54°，∠B=78°△ABC中，∠C=48°，∠B=78°B.△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=15cm△ABC中，∠B=90°，AB=5，AC=13△ABC中，∠B=90°，AB=2.5a，BC=6aD.△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=5△ABC中，∠A=45°，AB=5如图，AB∥CD，AC、BD交于O，BO=7，DO=3，AC=25，则AC长为（）A.10B.12.5C.15D.17.5在△ABC中，MN∥BC，MC、NB交于O，则图中共有（）对相似三角形。A.1B.2C.3D.4二、填空题如图16，已知△ABC中D为AC中点，AB=5，AC=7，∠AED=∠C，则ED=。在梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，DC：AB=1：1.5，则AD：BC=。如图18在Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=6，AD=3.6，则BC=，BD=。已知：图19中AC⊥BD，DE⊥AB，AC、ED交于F，BC=3，FC=1，BD=5，则AC=。三、解答题1.已知：如图20□ABCD中E为AD的中点，AF：AB=1：6，EF与AC交于M。求：AM：AC。2.已知：如图21在△ABC中EF是BC的垂直平分线，AF、BE交于一点D，AB=AF。求证：AD=DF。已知：E是正方形ABCD的AB边延长线上一点，DE交CB于M，MN∥AE。求证：MN=MB已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4求证：BM·AC=MN·AB参考答案一、1.C；2.D；3.D；4.B。二、1.0.1；2.1：1.5；3.8，6.4；4.6。1.1：8；2.△DBF∽△ACB，；3.；4.略。27.2.1相似三角形的判定（1）一、教学目标1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．二、重点、难点1．重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理．2．难点：三角形相似的预备定理的应用．3．难点的突破方法（1）要注意强调相似三角形定义的符号表示方法（判定与性质两方面），应注意两个相似三角形中，三边对应成比例，每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后项分别是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错；（2）要注意相似三角形与全等三角形的区别和联系，弄清两者之间的关系．全等三角形是特殊的相似三角形，其特殊之处在于全等三角形的相似比为1．两者在定义、记法、性质上比；（3）要求在用符号表示相似三角形时，对应顶点的字母要写在对应的位置上，这样就会很快地找到相似三角形的对应角和对应边；（4）相似比是带有顺序性和对应性的（这一点也可以在上一节课中提出）：如△ABC∽△A′B′C′的相似比，那么△A′B′C′∽△ABC的相似比就是，它们的关系是互为倒数．这一点在教学中科结合相似比“放大或缩小”的含义来让学生理解；（5）“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”定理也可以简单称为“三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．三、例题的意图本节课的两个例题均为补充的题目，其中例1是训练学生能正确去寻找相似三角形的对应边和对应角，让学生明确可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素：即（1）对顶角一定是对应角；（2）公共角一定是对应角；最大角或最小的角一定是对应角；（3）对应角所对的边一定是对应边；（4）对应边所对的角一定是对应角；对应边所夹的角一定是对应角．例2是让学生会运用“三角形相似的预备定理”解决简单的问题，这里要注意，此题两次用到相似三角形的对应边成比例（也可以先写出三个比例式，然后拆成两个等式进行计算），学生刚开始可能不熟练，教学中要注意引导．四、课堂引入1．复习引入（1）相似多边形的主要特征是什么？（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且．我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且．（3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？2．教材P30的思考，并引导学生探索与证明．3．【归纳】三角形相似的预备定理平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．五、例题讲解例1（补充）如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素．对于（3）可由相似三角形对应边的比相等求出AD与DC的长．解：略（AD=3，DC=5）例2（补充）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质，有，又由AD=EC可求出AD的长，再根据求出DE的长．解：略（）．六、课堂练习1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（）A．两个直角三角形B．两个钝角三角形C．两个等腰三角形D．两个等边三角形2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对3．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．（CD=10）七、课后练习1．如图，△ABC∽△AED,其中DE∥BC，写出对应边的比例式．2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，写出对应边的比例式．3．如图，DE∥BC，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．27.2.1相似三角形的判定（2）一、教学目标1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．2．经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程；通过画图、度量等操作，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动充满着探索性和创造性．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．二、重点、难点重点：掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似．难点：（1）三角形相似的条件归纳、证明；（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．难点的突破方法（1）关于三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”，教科书虽然给出了证明，但不要求学生自己证明，通过教师引导、讲解证明，使学生了解证明的方法，并复习前面所学过的有关知识，加深对判定方法的理解．（2）判定方法1的探究是让学生通过作图展开的，我们在教学过程中，要通过从作图方法的迁移过程，让学生进一步感受，由特殊的全等三角形到一般相似三角形，以及类比认识新事物的方法．（3）讲判定方法1时，要扣住“对应”二字，一般最短边与最短边，最长边与最长边是对应边．（4）判定方法2一定要注意区别“夹角相等”的条件，如果对应相等的角不是两条边的夹角，这两个三角形不一定相似，课堂练习2就是通过让学生联想、类比全等三角形中SSA条件下三角形的不确定性，来达到加深理解判定方法2的条件的目的的．（5）要让学生明确，两个判定方法说明：只要分别具备边或角的两个独立条件——“两边对应成比例，夹角相等”或“三边对应成比例”就能证明两个三角形相似．（6）要让学生学会自觉总结如何正确的选择三角形相似的判定方法：这两种方法无论哪一个，首先必需要有两边对应成比例的条件，然后又有目标的去探求另一组条件，若能找到一组角相等，而这组对应角又是两组对应边的“夹角”时，则选用判定方法2，若不是“夹角”，则不能去判定两个三角形相似；若能找到第三边也成比例，则选用判定方法1．（7）两对应边成比例中的比例式既可以写成如的形式，也可以写成的形式．（8）由比例的基本性质，“两边对应成比例”的条件也可以由等积式提供．三、例题的意图本节课安排的两个例题，其中例1是教材P33的例1，此例题是为了巩固刚刚学习过的两种三角形相似的判定方法，（1）是复习巩固“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法；（2）是复习巩固“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法．通过此例题要让学生掌握如何正确的选择三角形相似的判定方法．例2是补充的题目，它既运用了三角形相似的判定方法2，又运用了相似三角形的性质，有一点综合性，由于学生刚开始接触相似三角形的题目，而本节课的内容有较多，故此例题可以选讲．四、课堂引入1．复习提问：(1)两个三角形全等有哪些判定方法？(2)我们学习过哪些判定三角形相似的方法？(3)全等三角形与相似三角形有怎样的关系？(4)如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？2．（1）提出问题：首先，由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？（2）带领学生画图探究；（3）【归纳】三角形相似的判定方法1如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．3．（1）提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？（2）教师带领学生探求证明方法．4．用上面同样的方法进一步探究三角形相似的条件：（1）提出问题：由三角形全等的SAS判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？（2）让学生画图，自主展开探究活动．（3）【归纳】三角形相似的判定方法2两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．五、例题讲解例1（教材P33例1）分析：判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，看是不是符合相似三角形的定义或三角形相似的判定方法，对于（1）由于是已知一对对应角相等及四条边长，因此看是否符合三角形相似的判定方法2“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”，对于（2）给的几个条件全是边，因此看是否符合三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”即可，其方法是通过计算成比例的线段得到对应边．解：略※例2（补充）已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长．分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明．计算得出，结合∠B=∠ACD，证明△ABC∽△DCA，再利用相似三角形的定义得出关于AD的比例式，从而求出AD的长．解：略（AD=）．六、课堂练习1．教材P34．2．2．如果在△ABC中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4cm，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10cm，A’C’=8cm，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？3．如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF．七、课后练习1．教材P42．1、3．2．如图，AB•AC=AD•AE，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△AED．※3．已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD•AD，求证：△ADC∽△CDP．27.2.1相似三角形的判定（3）一、教学目标1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．二、重点、难点1．重点：三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似”2．难点：三角形相似的判定方法3的运用．3．难点的突破方法（1）在两个三角形中，只要满足两个对应角相等，那么这两个三角形相似，这是三角形相似中最常用的一个判定方法．（2）公共角、对顶角、同角的余角（或补角）、同弧上的圆周角都是相等的，是判别两个三角形相似的重要依据．（3）如果两个三角形是直角三角形，则只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似．三、例题的意图本节课安排了两个例题，例1是教材P35的例2，是一个圆中证相似的题目，这个题目比较简单，可以让学生来分析、让学生说出思维的方法、让学生自己写出证明过程．并让学生掌握遇到等积式，应先将其化为比例式的方法．例2是一个补充的题目，选择这个题目是希望学生通过这个题的学习，掌握利用三角形相似的知识来求线段长的方法，为下节课的学习打基础．四、课堂引入1．复习提问：（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．（3）如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？——引出课题．五、例题讲解例1（教材P35例2）．证明：略（见教材P35例2）．例2（补充）已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．分析：要求的是线段DF的长，观察图形，我们发现AB、AD、AE和DF这四条线段分别在△ABE和△AFD中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．解：略（DF=）．六、课堂练习1．教材P36的练习1、2．2．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．3．下列说法是否正确，并说明理由．（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．七、课后练习1．已知：如图，△ABC的高AD、BE交于点F．求证：．2．已知：如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．（1）求证：AC•BC=BE•CD；（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．27.2.1相似三角形的判定（一）第一课时教学内容理解掌握平行线分线段成比例定理及应用．教学目标知识与技能会用符号“∽”表示相似三角形如△ABC∽△;知道当△ABC△的相似比为k时，△与△ABC的相似比为1/k．理解掌握平行线分线段成比例定理过程与方法在平行线分线段成比例定理探究过程中，让学生运用“操作—比较—发现—归纳”分析问题．情感态度与价值观在探究平行线分线段成比例定理过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．教学重点:理解掌握平行线分线段成比例定理及应用．教学难点:掌握平行线分线段成比例定理应用．教学方法操作—比较—发现—归纳”教学准备PPT课件教学过程一、创设情境复习引入课题（1）相似多边形的主要特征是什么？（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且．我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且．（3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？教师说明（1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形。（2）用符号“∽”表示相似三角形如△ABC∽△;（3）当△ABC与△的相似比为k时，△与△ABC的相似比为1/k．二、探究新知活动1(教材P40页探究1)如图27.2-1),任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2相交的平行线l3,l4,l5.分别量度l3,l4,l5.在l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度,AB︰BC与DE︰EF相等吗?任意平移l5,再量度AB,BC,DE,EF的长度,AB︰BC与DE︰EF相等吗?教师出示探究，提出问题．让学生操作画图，量度AB,BC,DE,EF的长度并计算比值，小组讨论，共同交流,回答结果．提出问题AB︰AC=DE︰（），BC︰AC=（）︰DF，师生共同交流．强调“对应线段的比是否相等”归纳总结：(板书并朗读)平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。在活动中,师生应重点关注：平行线分线段成比例定理中相比线段同线；活动2平行线分线段成比例定理推论思考：1、如果把图27.2-1中l1,l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图27.2-2（1），，所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？2、如果把图27.2-1中l1,l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图27.2-22），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？让学生观察思考，小组讨论回答；师生归纳总结：(板书并朗读)平行线分线段成比例定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段的比相等三、练习巩固问题：如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，AB=3，EC=1.求AD和BD.教师提出问题；学生阅题,小组讨论后解答问题.在活动中,教师应重点关注：在练习中检查学生对“平行线分线段成比例定理及推论”理解。课堂小结（1）谈谈本节课你有哪些收获．“三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．（2）相似比是带有顺序性和对应性的：如△ABC∽△A′B′C′的相似比，那么△A′B′C′∽△ABC的相似比就是，它们的关系是互为倒数．这一点在教学中科结合相似比“放大或缩小”的含义来让学生理解；五、布置作业1．如图，△ABC∽△AED,其中DE∥BC，找出对应角并写出对应边的比例式．2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，找出对应角并写出对应边的比例式．27.2.1相似三角形的判定（二）第二课时教学内容掌握相似三角形的判定定理及其运用教学目标知识与技能掌握用相似三角形的定义和判定定理判断两个三角形相似过程与方法在探索相似三角形判定定理过程中，体现解决问题的方法情感态度与价值观在探索相似图形的性质过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．教学重点:相似三角形判定定理的证明与应用教学难点:相似三角形判定定理的证明教学方法探究、归纳、总结、运用教学准备PPT课件教学过程一、创设情境问题：如果△ABC∽△ADE,那么你能找出哪些角的关系？边呢？教师出示图片，提出问题；让学生细心观察思考,小组讨论后回答问题:板书课题“相似三角形的判定”二、探究新知活动(教材P41页思考)如图27.2-3，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC有什么关系？教师出示并提出问题，组织学生思考．（1）△ADE与△ABC满足“对应角相等”吗？为什么？（2）△ADE与△ABC满足对应边成比例吗？由“DE∥BC”的条件可得到哪些线段的比相等？（3）根据以前学习的知识如何把DE移到BC上去？（作辅助线EF∥AB）学生小组讨论后回答问题教师板演证明过程。归纳总结：(板书并朗读)判定三角形相似的（预备）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。三、例题解析1、如图，AB∥EF∥CD，图中共有对相似三角形，写出来并说明理由；2、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．(设网球是直线运动)教师出示题目，提出问题；学生通过小组讨论(2人板演)在活动中,教师应重点关注：（1）学生参与活动的热情及应用能力；（2）学生对判定三角形相似的定理掌握情况．四、课堂小结谈谈本节课你有哪些收获．五、布置作业教材P54页，第5、6题27.2.1相似三角形的判定（三）第三课时教学内容掌握三角形相似的两个判定定理以及它们的运用教学目标知识与技能初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．过程与方法能够运用三角形相似的条件分析、解决问题的思路和方法．情感态度与价值观在探索三角形相似的判定方法过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．教学重点:掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似。教学难点:（1）三角形相似的条件归纳、证明；（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．教学方法探究、分析、归纳、总结教学准备PPT课件教学过程一、创设问题情境复习提问：(1)两个三角形全等有哪些判定方法？（SSSSASASAAAS）(2)我们学习过哪些判定三角形相似的方法？定义、（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。(3)相似三角形与全等三角形有怎样的关系？相似比k=1时，两个相似三角形全等二、探究新知活动：提出探讨问题：1、如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？2、可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？(教材P42页探究2)任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论。带领学生画图探究并取k=1.5；学生细心观察思考,小组讨论后回答问题（1）提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？（2）教师带领学生探求证明方法．（已知、求证、证明）如图27.2-4，在△ABC和△A′B′C′中，，求证△ABC∽△A′B′C′归纳：三角形相似的判定方法1如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．活动1、提出探讨问题：可否用类似于判定三角形全等的SAS方法，能否通过两个三角形的两组对应边的比相等和它们对应的夹角相等，来判定两个三角形相似呢？2、出示(教材P44页探究3)学生自主画图，展开探究活动．归纳：三角形相似的判定方法2两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．三、例题讲解教师出示题目，提出问题（教材P44例1）归纳分析：判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，画草图，看是否符合相似三角形的定义或三角形相似的判定方法中，对于（1）由于是已知一对对应角相等及四条边长，因此看是否符合三角形相似的判定方法2“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”，对于（2）给的几个条件全是边，因此看是否符合三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”即可，其方法是通过计算成比例的线段得到对应边．四、课堂练习教材P45．1、2、3．五、课堂小结(1)谈谈本节课你有哪些收获．六、布置作业教材P54．1、2（1）（2）、3．27.2.1相似三角形的判定（四）第四课时教学内容掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法以及运用．教学目标知识与技能掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．过程与方法经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．情感态度与价值观在探索三角形相似的判定方法过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．教学重点:三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似”教学重点：三角形相似的判定方法3的运用．教学方法探究、交流、归纳、总结教学准备PPT课件教学过程一、创设情境1、复习提问：（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．二、探究新知如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？——引出课题．（也可用两副三角板引出课题）归纳三角形相似的判定方法3如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似．三、例题讲解教师出示题目，提出问题（教材P46例2）．教师带领学生探求证明分析：要证PA•PB=PC•PD，需要证，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似．学生自主阅读（教材47页），展开探究活动四、课堂练习教材P48的练习1、2．五、课堂小结谈谈本节课你有哪些收获．六、布置作业：教材P54．2（3）、4．《27.2.1相似三角形的判定》同步练习第1课时平行线分线段成比例定理1．如图27－2－1，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝(B)A．7B．7.5C．8D．8.5【解析】∵a∥b∥c，∴eq\f(AC,CE)＝eq\f(BD,DF)，∴eq\f(4,6)＝eq\f(3,DF)，∴DF＝4.5，∴BF＝BD＋DF＝7.5.图27－2－1图27－2－22．如图27－2－2，若l1∥l2，那么以下比例式中正确的是(D)A.eq\f(MR,NR)＝eq\f(RP,RQ)B.eq\f(MR,NP)＝eq\f(NR,MQ)C.eq\f(MR,MQ)＝eq\f(RP,NP)D.eq\f(MR,RQ)＝eq\f(NR,RP)3．如图27－2－3，已知BD∥CE，则下列等式不成立的是(A)图27－2－3A.eq\f(AB,BC)＝eq\f(BD,CE)B.eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,CE)C.eq\f(AD,AE)＝eq\f(BD,CE)D.eq\f(AB,AC)＝eq\f(AD,AE)4.如图27－2－4，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC.已知AE＝6，eq\f(AD,DB)＝eq\f(3,4)，则EC的长是(B)图27－2－4A．4.5B．8C．10.5D．14【解析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．∵DE∥BC，∴eq\f(AD,DB)＝eq\f(AE,EC)，∵AE＝6，∴eq\f(3,4)＝eq\f(6,EC)，解得EC＝8，则EC的长是8.5．如图27－2－5所示，△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的值为(B)图27－2－5A．9B．6C．3D．4【解析】∵DE∥BC，∴eq\f(AD,BD)＝eq\f(AE,CE).∵AD＝5，BD＝10，AE＝3，∴eq\f(5,10)＝eq\f(3,CE)，∴CE＝6，故选B.6．如图27－2－6，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是(A)图27－2－6A．AB2＝BC·BDB．AB2＝AC·BDC．AB·AD＝BD·BCD．AB·AD＝AD·CD【解析】由△ABC∽△DBA可得对应边成比例，即eq\f(AB,DB)＝eq\f(BC,BA)，再根据比例的性质可知AB2＝BC·BD，故选A.7．如图27－2－7，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD＝1，BC＝3，则eq\f(AO,CO)的值为(B)A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,9)图27－2－7图27－2－88．如图27－2－8，已知DE∥AB，DF∥BC，下列结论中不正确的是(D)A.eq\f(AD,DC)＝eq\f(AF,DE)B.eq\f(CE,CB)＝eq\f(BF,AB)C.eq\f(CD,AD)＝eq\f(CE,DF)D.eq\f(AF,BF)＝eq\f(DF,BC)【解析】A正确，∵DE∥AB，DF∥BC，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE＝BF.∵DF∥BC，∴eq\f(AD,DC)＝eq\f(AF,BF)，∴eq\f(AD,DC)＝eq\f(AF,DE)；B正确，∵DE∥AB，∴eq\f(CE,CB)＝eq\f(CD,CA)，又DF∥BC，∴eq\f(CD,CA)＝eq\f(BF,AB)，∴eq\f(CE,CB)＝eq\f(BF,AB)；C正确，∵四边形DEBF是平行四边形，∴DF＝BE.∵DE∥AB，∴eq\f(CD,AD)＝eq\f(CE,BE)，∴eq\f(CD,AD)＝eq\f(CE,DF)；D不正确，∵DF∥BC，∴eq\f(AF,AB)＝eq\f(AD,AC)，又DE∥AB，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(BE,BC)，∴eq\f(AF,AB)＝eq\f(BE,BC)，又BE＝DF，∴eq\f(AF,AB)＝eq\f(DF,BC).9．如图27－2－9，已知AC∥DB，OA∶OB＝3∶5，OA＝9，CD＝32，则OB＝__15__，OD＝__20__．【解析】∵eq\f(OA,OB)＝eq\f(3,5)，∴OB＝eq\f(5,3)OA＝eq\f(5,3)×9＝15.设OD＝x，则OC＝32－x.∵AC∥DB，∴eq\f(OA,OB)＝eq\f(OC,OD)，∴eq\f(3,5)＝eq\f(32－x,x)，解得x＝20.图27－2－9图27－2－1010．如图27－2－10，已知l1∥l2∥l3，AM＝3cm，BM＝5cm，CM＝4.5cm，EF＝12cm，则DM＝__7.5__cm，EK＝__4.5__cm，FK＝__【解析】∵l1∥l2∥l3，∴eq\f(AM,BM)＝eq\f(CM,DM)，∴eq\f(3,5)＝eq\f(4.5,DM)，∴DM＝7.5cm.∵l1∥l2∥l3，∴eq\f(EK,EF)＝eq\f(AM,AB)，∴eq\f(EK,12)＝eq\f(3,8)，∴EK＝4.5cm∴FK＝EF－EK＝12－4.5＝7.5(cm)．11.如图27－2－11，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于(A)图27－2－11A.5∶8B．3∶8C.3∶5D．2∶5【解析】∵AD∶DB＝3∶5，∴BD∶AB＝5∶8，∵DE∥BC，∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8，∵EF∥AB，∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.12．如图27－2－12，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是(C)A.eq\f(ED,EA)＝eq\f(DF,AB)B.eq\f(DE,BC)＝eq\f(EF,FB)C.eq\f(BC,DE)＝eq\f(BF,BE)D.eq\f(BF,BE)＝eq\f(BC,AE)图27－2－12图27－2－1313．如图27－2－13，已知FG∥BC，AE∥GH∥CD，求证：eq\f(AB,BF)＝eq\f(ED,DH).【解析】观察图形，我们会发现AE∥GH∥CD，具备了平行线分线段成比例定理的基本图形，可推得eq\f(ED,DH)＝eq\f(AC,CG)；由FG∥BC，知它具备了定理推论中的“A”型的基本图形，可推得eq\f(AC,CG)＝eq\f(AB,BF)，从而可证得eq\f(ED,DH)＝eq\f(AB,BF).证明：∵AE∥GH∥CD，∴eq\f(ED,DH)＝eq\f(AC,CG).∵FG∥BC，∴eq\f(AC,CG)＝eq\f(AB,BF)，∴eq\f(ED,DH)＝eq\f(AB,BF).14．如图27－2－14，已知AB∥MN，BC∥NG，求证：eq\f(OA,OM)＝eq\f(OC,OG).证明：∵AB∥MN，∴eq\f(OA,OM)＝eq\f(OB,ON)，又∵BC∥NG，∴eq\f(OB,ON)＝eq\f(OC,OG)，∴eq\f(OA,OM)＝eq\f(OC,OG).图27－2－14图27－2－1515．如图27－2－15，▱ABCD中，E在CD延长线上，BE交AD于F.若AB＝3，BC＝4，DF＝1，求DE的长．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AD＝BC.∵AB∥DC，AD∥BC，∴eq\f(AF,DF)＝eq\f(BF,FE)＝eq\f(CD,DE)，∴eq\f(AB,DE)＝eq\f(AF,DF)，又∵AF＝AD－DF＝BC－DF＝3，∴eq\f(3,DE)＝eq\f(3,1)，∴DE＝1.16．如图27－2－16，已知AD是△ABC的角平分线，CE∥AD交BA的延长线于点E.求证：eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,DC).图27－2－16证明：∵AD∥CE，∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE.又∵∠BAD＝∠DAC，∴∠E＝∠ACE，∴AE＝AC.又∵CE∥AD，∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(BD,DC)，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,DC).第2课时相似三角形判定定理1、21．如图27－2－17，在△ABC中，DE∥BC，若eq\f(AD,BD)＝eq\f(1,2)，DE＝4cm，则BC的长为(B)图27－2－17A．8cmB．12cmC．11cmD．10cm【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(DE,BC).∵eq\f(AD,BD)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(1,3)＝eq\f(4,BC)，∴BC＝12cm，选择2.能说明△ABC∽△A′B′C′的条件是(D)A.eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)≠eq\f(BC,B′C′)B.eq\f(AB,AC)＝eq\f(A′B′,A′C′)，∠A＝∠C′C.eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,A′C′)，且∠B＝∠A′D.eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,B′C′)，且∠B＝∠B′3．如图27－2－18，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形，若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是(B)图27－2－18A．①和②相似B．①和③相似C．①和④相似D．②和④相似【解析】两个三角形两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如图27－2－19，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论：①BC＝2DE；②△ADE∽△ABC；③eq\f(AD,AE)＝eq\f(AB,AC).其中正确的有(A)A．3个B．2个C．1个D．0个【解析】点D，E分别是AB，AC的中点，所以由中位线定理得DE∥BC，且DE＝eq\f(1,2)BC，①正确；因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，②正确；由②得eq\f(AD,AE)＝eq\f(AB,AC)，③正确．故选A.图27－2－19图27－2－205．如图27－2－20，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是(B)A．∠AEF＝∠DECB．FA∶CD＝AE∶BCC．FA∶AB＝FE∶ECD．AB＝DC【解析】∵DC∥AB，∴△DCE∽△AFE，∴eq\f(FA,CD)＝eq\f(AE,DE)，故结论B错误．∵AE∥BC，∴△FAE∽△FBC，∴eq\f(FA,FB)＝eq\f(FE,FC)，即eq\f(FB,FA)＝eq\f(FC,FE)，∴eq\f(FA＋AB,FA)＝eq\f(FE＋EC,FE)，∴eq\f(AB,FA)＝eq\f(EC,FE)，即FA∶AB＝FE∶EC，故结论C正确．而A，D显然正确，∴应选B.6．在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，D为AC上一点，DC＝eq\f(2,3)AC，在AB上取一点E，得到△ADE，若△ADE与△ABC相似，则DE长为__6或8__．【解析】(1)当△AED∽△ABC时，此时图形为(a)，可得DE＝6；(2)当△AED∽△ACB时，此时图形为(b)，可得DE＝8.7．如图27－2－21，在△ABC中，已知DE∥BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3.(1)求eq\f(AD,AB)的值；(2)求BC.图27－2－21解：(1)∵AD＝4，DB＝8，∴AB＝AD＋DB＝4＋8＝12，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).(2)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AD,AB).∵DE＝3，∴eq\f(3,BC)＝eq\f(1,3)，∴BC＝9.8．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF.图27－2－22【解析】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC∽△DEF.解：∵AC＝eq\r(2)，BC＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，AB＝4，DF＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，EF＝eq\r(22＋62)＝2eq\r(10)，ED＝8，∴eq\f(AC,DF)＝eq\f(BC,EF)＝eq\f(AB,DE)＝eq\f(1,2)，∴△ABC∽△DEF.9．如图27－2－23，D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点．图27－2－23(1)求证：△DEF∽△ABC；(2)图中还有哪几个三角形与△ABC相似？解：(1)证明：∵D，F分别是△ABC的边BC，BA的中点，∴DF＝eq\f(1,2)AC，同理EF＝eq\f(1,2)CB，DE＝eq\f(1,2)AB，则eq\f(DF,AC)＝eq\f(EF,CB)＝eq\f(ED,AB)，∴△DEF∽△ABC；(2)∵E，F分别是△ABC的三边CA，AB的中点，∴EF∥BC，∴△AFE∽△ABC.同理，△FBD∽△ABC，△EDC∽△ABC.∴图中与△ABC相似的三角形还有△AFE，△FBD，△EDC.10．如图27－2－24，△ABC是等边三角形，D，E在BC边所在的直线上，且AB·AC＝BD·CE.求证：△ABD∽△ECA.图27－2－24证明：∵△ABC是等边三角形(已知)，∴∠ABC＝∠ACB＝60°(等边三角形的三个内角相等，都等于60°)，∴∠ABD＝∠ACE(等角的补角相等)．又AB·AC＝BD·CE(已知)，即eq\f(AB,EC)＝eq\f(BD,CA)，∴△ABD∽△ECA(两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似)．11．如图27－2－25，已知正方形ABCD中，F为BC上一点，且BF＝3FC，E为DC的中点．求证：△ADE∽△ECF.图27－2－25证明：∵正方形ABCD中，E为CD中点，∴CE＝ED＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)AD.∵BF＝3FC，∴FC＝eq\f(1,4)BC＝eq\f(1,4)AD＝eq\f(1,2)CE.∴eq\f(CF,CE)＝eq\f(DE,AD)＝eq\f(1,2)，即eq\f(CF,DE)＝eq\f(CE,AD).∵∠C＝∠D＝90°，∴△ADE∽△ECF.12．如图27－2－26，∠DAB＝∠CAE，且AB·AD＝AE·AC，请在图中找出与∠ADE相等的角，并说明理由．图27－2－26【解析】由AB·AD＝AE·AC得eq\f(AB,AE)＝eq\f(AC,AD)，如果证得它们的夹角相等，就可得到三角形相似，于是就有与∠ADE相等的角．解：∠C＝∠ADE，理由如下：∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE，∴∠DAE＝∠BAC.∵AB·AD＝AE·AC，∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(AC,AD)，∴△ABC∽△AED，∴∠ADE＝∠C.13.如图27－2－27，∠AOB＝90°，OA＝OB＝BC＝CD.请找出图中的相似三角形，并说明理由．图27－2－27解：△ABC∽△DBA.理由如下：设OA＝OB＝BC＝CD＝x，根据勾股定理，AB＝eq\r(x2＋x2)＝eq\r(2)x，AC＝eq\r(x2＋（2x）2)＝eq\r(5)x，AD＝eq\r(x2＋（3x）2)＝eq\r(10)x，∵eq\f(BC,AB)＝eq\f(x,\r(2)x)＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(AB,BD)＝eq\f(\r(2)x,2x)＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(AC,AD)＝eq\f(\r(5)x,\r(10)x)＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(BC,AB)＝eq\f(AB,BD)＝eq\f(AC,AD)，∴△ABC∽△DBA.第3课时相似三角形判定定理31．已知如图27－2－28(1)，(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图(2)中AB，CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是(A)图27－2－28A．都相似B．都不相似C．只有(1)相似D．只有(2)相似【解析】两角对应相等，或者两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等的两个三角形相似．2．△ABC和△DEF满足下列条件，其中使△ABC与△DEF不相似的是(C)A．∠A＝∠D＝45°38′，∠C＝26°22′，∠E＝108°B．AB＝1，AC＝1.5