《27.1 图形的相似》教案、导学案、同步练习

第二十七章相似27.1图形的相似【教学目标】1．从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似；(重点)2．理解成比例线段的概念，会确定线段的比．(难点)【教学过程】一、情境导入如图是两张大小不同的世界地图，左边的图形可以看作是右边的图形缩小得来的．由于不同的需要，对某一地区，经常会制成各种大小的地图，但其形状(包括地图中所描绘的各个部分)肯定是相同的．日常生活中我们会碰到很多这种形状相同、大小不一定相同的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似图形．像这样的图形有哪些性质？下面我们就一起探讨一下吧！二、合作探究探究点一：相似图形观察下面图形，指出(1)～(9)中的图形有没有与给出的图形(a)、(b)、(c)形状相同的？解析：通过观察寻找与(a)，(b)，(c)形状相同的图形，在所给的9个图形中仔细观察，然后作出判断．解：通过观察可以发现：图形(4)、(8)与图形(a)形状相同；图形(6)与图形(b)形状相同；图形(5)与图形(c)形状相同．方法总结：判断两个图形的形状是否相同，应仔细观察，当两个图形的形状除了大小没有其他任何差异时，我们才可以说这两个图形形状相同．探究点二：比例线段【类型一】判断四条线段是否成比例下列各组中的四条线段成比例的是()A．4cm，2cm，1cm，3cmB．1cm，2cm，3cm，5cmC．3cm，4cm，5cm，6cmD．1cm，2cm，2cm，4cm解析：选项A.从小到大排列，由于1×4≠2×3，所以不成比例，不符合题意；选项B.从小到大排列，由于1×5≠2×3，所以不成比例，不符合题意；选项C.从小到大排列，由于3×6≠4×5，所以不成比例，不符合题意；选项D.从小到大排列，由于1×4＝2×2，所以成比例，符合题意．故选D.方法总结：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．【类型二】利用成比例线段的定义，求线段的长已知线段a、b、c、d是成比例线段，其中a＝2m，b＝4m，c＝5m，则d＝()A．1mB．10mC.eq\f(5,2)mD.eq\f(8,5)m解析：∵线段a、b、c、d是成比例线段，∴a∶b＝c∶d，而a＝2m，b＝4m，c＝5m，∴d＝eq\f(b·c,a)＝eq\f(4×5,2)＝10(m)．故选B.方法总结：求线段之比时，要先统一线段的长度单位，然后根据比例关系求值．【类型三】利用比例尺求距离若一张地图的比例尺是1∶150000，在地图上量得甲、乙两地的距离是5cm，则甲、乙两地的实际距离是()A．3000mB．3500mC．5000mD．7500m解析：设甲、乙两地的实际距离是xcm，根据题意得1∶150000＝5∶x，x＝750000(cm)，750000cm＝7500m.故选D.方法总结：比例尺＝图上距离∶实际距离．根据比例尺进行计算时，要注意单位的转换．探究点三：相似多边形【类型一】利用相似多边形的性质求线段和角如图所示，给出的两个四边形是相似形，具体数据如图所示，求出未知边a、b的长度及角α的值．解析：根据相似多边形对应角相等和对应边成比例解答．解：因为四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，所以∠B′＝∠B＝63°，∠D′＝∠D，eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,B′C′)，所以eq\f(4,16)＝eq\f(a,20)＝eq\f(4.5,b)，所以a＝5，b＝18.在四边形A′B′C′D′中，∠D′＝360°－(84°＋75°＋63°)＝138°.∠α＝∠D＝∠D′＝138°.方法总结：若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．在书写两个多边形相似时，要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上．【类型二】相似多边形的判定如图，一块长3m、宽1.5m的矩形黑板ABCD如图所示，镶在其外围的木质边框宽75cm.边框的内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩形EFGH相似吗？为什么？解析：两个矩形的四个角虽然相等，但四条边不一定对应成比例，判定两个矩形是否相似，关键是看对应边是否成比例．解：不相似．∵矩形ABCD中，AB＝1.5m，AD＝3m，镶在其外围的木质边框宽75cm＝0.75m，∴EF＝1.5＋2×0.75＝3m，EH＝3＋2×0.75＝4.5m，∴eq\f(AB,EF)＝eq\f(1.5,3)＝eq\f(1,2)，eq\f(AD,EH)＝eq\f(3,4.5)＝eq\f(2,3).∵eq\f(1,2)≠eq\f(2,3)，∴内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩形EFGH不相似．方法总结：判定两个多边形相似，需要对应角相等，对应边成比例，这两个条件缺一不可．三、板书设计1．相似图形的概念；2．比例线段；3．相似多边形的判定和性质．【教学反思】本节课中对相似多边形的特征的教学要注意难度的把握，不要过高要求学生掌握更多的内容．学生能了解性质，并能简单运用即可，重要的还是后续的相似三角形的学习，当相似三角形的特征掌握之后，再进一步研究相似多边形的性质，学生就比较容易掌握.第二十七章相似27.1图形的相似学习目标：从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．了解成比例线段的概念，会确定线段的比．2.知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．3.会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．学习重、难点：1.重点：相似图形的主要特征与识别．2.难点：运用相似多边形的特征进行相关的计算．学习过程：依标独学1、同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？2、小组讨论、交流．得到相似图形的概念．相似图形3、如图，是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗?二、围标群学实验探究：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB和CD，那么这两条线段的比是多少？成比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．【注意】（1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；线段的比是一个没有单位的正数；（2）四条线段成比例，记作或；（3）若四条线段满足，则有．小应用：一张桌面的长，宽，那么长与宽的比是多少？（1）如果，，那么长与宽的比是多少？（2）如果，，那么长与宽的比是多少？三、探索1、如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等．2．【结论】：（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比_______．反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______．几何语言：在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中若．则四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似（2）相似比：相似多边形________的比称为相似比．问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？结论：相似比为1时，相似的两个图形______，因此________形是一种特殊的相似形．四、自我检测1．在比例尺为1：10000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm，求两地的实际距离．2．如图所示的两个直角三角形相似吗？为什么？3．如图所示的两个五边形相似，求未知边、、、的长度．五、归纳小结《相似——图形的相似》同步检测1附答案一、填空题1、形状的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的或而得到的。2、相似多边形的对应角，对应边；如果两个多边形的对应角，对应边的比，那么这两个多边形相似。相似多边形对应边的比称为。3、下面各组中的两个图形，是形状相同的图形，是形状不同的图形.4、如图，在正六边形ABCDEF与正六边形中∵正六边形的每个内角都等于120°∴∠A=∠A′，，，，，；又∵AB=BC=CD=DE=EF=FA=；∴=＇∴正六边形ABCDEF∽正六边形5、如图，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，已知∠A=120°，∠B=85°∠C1=75°，AB=10，A1B1=16，CD=18，则∠D1=，C1D1=，它们的相似比为。6、若(a–b):b=3:2,则a:b=_________。7、已知两个相似园形的相似比是3∶4，其中一个园形的半径长为4cm，那么另一个园形的半径长为。8、若四边形ABCD与四边形的相似比为3∶2，那么四边形与四边形ABCD的相似比为。9、在比例尺1∶10000000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8cm，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为km。二、选择题10、下列说法中正确的是（）A．两个平行四边形一定相似B．两个菱形一定相似C．两个矩形一定相似 D．两个等腰直角三角形一定相似11、下列说法中正确的是（）A．两个直角三角形相似B．两个等腰三角形相似C．两个等边三角形相似 D．两个锐角三角形相似12、下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（）A．1．2．3．4B．1.2.2.4C．3.5.9.13 D．1.2.2.313、若四边形ABCD∽四边形，且AB∶=1∶2 ，已知BC=8，则的长是（）A．4B．16C．24 D．6414、Rt△ABC的两条直角边分别为3cm、4cm，与它相似的Rt△的斜边为20cm，那么Rt△的周长为（）A．48cmB．28cmC．12cm D．10cm三、解答题15、证明：任意两个正六边形是相似形16、如图所示为一矩形木框，四周为宽度相同的木条，那么这个矩形框的里、外两个矩形是相似形吗？假设木框长为30cm宽为20cm，木条的宽度为2cm，试加以验证。17、某同学将一张报纸对折后，发现对折后的半张报纸与整张报纸恰好相似，如图所示,求整张报纸的长和宽的比是多少？18、在中国地理地图册上，连接上海，香港，台湾三地构成一个三角形，用刻度迟测得他们之间的距离。上海----香港5.4cm,上海-----台湾3cm,香港------台湾3.6cm.飞机从台湾直飞到上海的距离为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的空中飞行距离是多少千米？答案1相同.放大.缩小2相等.成比例相等.成比例相似比3.(3)(5)(1)(2)(4)(6)4∠B=∠B＇∠C=∠C＇∠D=∠D＇∠E=∠E＇∠F=∠F＇B＇C＇=C＇D＇=D＇E＇=E＇F＇=F＇A＇BC／B′C′=CD/C′D′=DE/D′E′=EF/E′F′=FA/F′A′5.80°144/55/86.5/27.16/382：3980°10.D11.C12.B13.B14A15略16.不相似∵26/30≠16/20∴不相似17.AD:AB=√2;118.3:1286=(3.6+5.4):XX=3858千米《相似——图形的相似》同步检测2附答案一、请认真观察下面各组中的两个图形，哪些是形状相同的图形，哪些是形状不同的图形.二、仔细辨认哟！观察下面图形，指出（1）~（9）中的图形有没有与给出的图形（a）、（b）、（c）形状相同的？三、请你画一画，试着把下面的两个图形利用给出的格点放大四、填空1.放大镜下的图形和原来的图形（）相似图形，哈哈镜中的图形和原来的图形（）相似图形（填“是”或“不是”）2.小颖的妈妈为小颖缝制了一个长50cm，宽30cm的矩形坐垫，又在坐垫的周围缝上一圈宽3cm的花边，妈妈说：“里外两个矩形是相似形”，小颖说：“这两个矩形不是相似形”，你认为谁说得对？并说明你的理由（）３.如果两个相似多边形的最长边分别为３５cm和１４cm，那么最短边分别为５cm和（）cm五、想一想如图：已知A（0，－2），B（－2，1），C（3，2）图4—3—1（1）求线段AB、BC、AC的长.（2）把A、B、C三点的横坐标、纵坐标都乘以2，得到A′、B′、C′的坐标,求A′B′、B′C′、A′C′的长.（3）以上六条线段成比例吗？（4）△ABC与△A′B′C′的形状相同吗？参考答案一、（3）、（5）组中的图形形状相同（1）、（2）、（4）、（6）组中的图形形状不同二、图形（4）、（8）与图形（a）形状相同图形（6）与图形（b）形状相同图形（5）与图形（c）形状相同三、略四、１.是不是２.小颖说的对３.２cm五、解：如图（见原题图）A（0，－2），B（－2，1），C（3，2）（1）由勾股定理得：AB=BC=AC==5（2）由已知得A′（0，－4），B′（－4，2），C′（6，4）由勾股定理得：A′B′=B′C′=A′C′==10（3）∵∴这六条线段成比例（4）△ABC与△A′B′C′的形状相同.《相似——图形的相似》同步检测3附答案一、选择题（每题4分，共32分）1．下列各种图形相似的是（）A．（1）、（2）B．（3）、（4）C．（1）、（3）D．（1）、（4）2．下列图形相似的是（）（1）放大镜下的图片与原来的图片；（2）幻灯的底片与投影在屏幕上的图象；（3）天空中两朵白云的照片；（4）卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片．A．4组B．3组C．2组D．1组3．下列说法不一定正确的是（）A．所有的等边三角形都相似B．有一个角是100°的等腰三角形相似C．所有的正方形都相似D．所有的矩形都相似4．一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为()A．7.5米B．8米C．14.7米5．两个相似三角形的周长比为4︰9，则面积比为（）A．4︰9B．8︰18C．16︰81D．2︰36．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（）A．小明的影子比小强的影子长B．小明的影子比小强的影子短C．小明的影子和小强的一样长D．谁的影子长不确定7．如图，能使△ACD∽△BCA全等的条件是（）A．B．C．D．8．如图所示的测量旗杆的方法，已知AB是标杆，BC表示AB在太阳光下的影子，叙述错误的是（）A．可以利用在同一时刻，不同物体与其影长的比相等来计算旗杆的高B．只需测量出标杆和旗杆的影长就可计算出旗杆的高C．可以利用△ABC∽△EDB，来计算旗杆的高D．需要测量出AB、BC和DB的长，才能计算出旗杆的高二、填空题（每题4分，共32分）9．下列情形：①用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，看到的图象是相似的图形；②用彩笔在黑板上写上三个大字1、2、3，它们是相似图形；③用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”，这两个字是相似图形；以上说法你认为正确的是，错误的是．（填序号）10．若a，x，b，y成比例线段，则比例式为；若a=1，x=2，b=2.5，则y=．11．三