济南市重点中学九年级上学期期中考试数学试卷及答案解析（共六套）

济南市重点中学九年级上学期期中考试数学试卷（一）一、选择题1、计算a3•（）2的结果是（

）A、aB、a3C、a6D、a92、下列式子：①﹣2＜0；②2x﹣3y＜0；③x=3；④x+y．其中不等式的个数有（

）A、1B、2C、3D、43、一个等腰三角形有一个角是40°，则它的底角是（

）A、40°B、70°C、60°D、40°或70°4、把多项式4x2y﹣4xy2﹣x3分解因式的结果是（

）A、4xy（x﹣y）﹣x3B、﹣x（x﹣2y）2C、x（4xy﹣4y2﹣x2）D、﹣x（﹣4xy+4y2+x2）5、分式﹣可变形为（

）A、﹣B、C、﹣D、6、关于x的方程（a﹣1）x2+x﹣2=0是一元二次方程，则a满足（

）A、a≠1B、a≠﹣1C、a≠±1D、为任意实数7、下列数值中不是不等式5x≥2x+9的解的是（

）A、5B、4C、3D、28、如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线AC的长是（

）A、1B、C、2D、29、一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（

）A、（x+4）2=17B、（x+4）2=15C、（x﹣4）2=17D、（x﹣4）2=1510、如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（

）A、8B、10C、12D、1411、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，那么点A的对应点A1的坐标为（

）A、（4，3）B、（2，4）C、（3，1）D、（2，5）12、如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（

）A、x＞﹣2B、x＞0C、x＞1D、x＜1二、填空题13、分解因式：x3﹣6x2+9x=________．14、当m=2016时，计算：﹣=________．15、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是________．16、若关于x的不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是________．17、如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC=________°．18、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是________．三、解答题19、解方程(1)﹣=1；(2)2x2﹣3x﹣2=0．20、解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．21、某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．22、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AE∥BC，DE∥AB．证明：(1)AE=DC；(2)四边形ADCE为矩形．23、已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．24、如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．(1)求证：DE=CF；(2)求EF的长．25、2014年12月28日“青烟威荣”城际铁路正式开通，从烟台到北京的高铁里程比普快里程缩短了81千米，运行时间减少了9小时，已知烟台到北京的普快列车里程约为1026千米，高铁平均时速为普快平均时速的2.5倍．(1)求高铁列车的平均时速；(2)某日王老师要去距离烟台大约630千米的某市参加14：00召开的会议，如果他买到当日8：40从烟台至城市的高铁票，而且从该市火车站到会议地点最多需要1.5小时，试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗？答案解析部分一、<b>选择题</b>1、【答案】A【考点】分式的乘除法【解析】【解答】解：原式=a3•=a，故选A．【分析】先算出分式的乘方，再约分．2、【答案】B【考点】有理数大小比较【解析】【解答】解：①﹣2＜0；②2x﹣3y＜0是用不等号连接的式子，故是不等式．故选：B．【分析】根据不等式的定义对各小题进行逐一分析即可．3、【答案】D【考点】等腰三角形的性质【解析】【解答】解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角==70°；当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，故它的底角的度数是70°或40°．故选D．【分析】由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分40°的角是顶角和底角两种情况讨论．4、【答案】B【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】【解答】解：4x2y﹣4xy2﹣x3=﹣x（x2﹣4xy+4y2）=﹣x（x﹣2y）2，故选：B．【分析】先提公因式﹣x，再运用完全平方公式进行分解即可得到答案．5、【答案】D【考点】分式的基本性质【解析】【解答】解：﹣=﹣=，故选D．【分析】先提取﹣1，再根据分式的符号变化规律得出即可．6、【答案】A【考点】一元二次方程的定义【解析】【解答】解：∵方程（a﹣1）x2+x﹣2=0是关于x的一元二次方程，∴a﹣1≠0，解点a≠1．故选：A．【分析】根据一元二次方程的定义得到a﹣1≠0，由此可以求得a的值．7、【答案】D【考点】不等式的解集【解析】【解答】解：移项得，5x﹣2x≥9，合并同类项得，3x≥9，系数化为1得，x≥3，所以，不是不等式的解集的是x=2．故选：D．【分析】根据一元一次不等式的解法，移项、合并，系数化为1求出不等式的解集，再根据各选项确定答案．8、【答案】D【考点】菱形的性质【解析】【解答】解：连结AC交BD于O，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，AD=AB=2，而∠DAB=60°，∴△ADB为等边三角形，∴OA=AB=，∴AC=2OA=2．故选D．【分析】连结AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得AC⊥BD，OA=OC，AD=AB=2，则可判断△ADB为等边三角形，根据等边三角形的性质得OA=AB=，所以AC=2OA=2．9、【答案】C【考点】解一元二次方程-配方法【解析】【解答】解：方程变形得：x2﹣8x=1，配方得：x2﹣8x+16=17，即（x﹣4）2=17，故选C【分析】方程利用配方法求出解即可．10、【答案】C【考点】三角形中位线定理【解析】【解答】解：∵点D、E分别是边AB，BC的中点，∴DE是三角形BC的中位线，AB=2BD，BC=2BE，∴DE∥BC且DE=AC，又∵AB=2BD，BC=2BE，∴AB+BC+AC=2（BD+BE+DE），即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，∵△DBE的周长是6，∴△ABC的周长是：6×2=12．故选：C．【分析】首先根据点D、E分别是边AB，BC的中点，可得DE是三角形BC的中位线，然后根据三角形中位线定理，可得DE=AC，最后根据三角形周长的含义，判断出△ABC的周长和△DBE的周长的关系，再结合△DBE的周长是6，即可求出△ABC的周长是多少．11、【答案】D【考点】坐标与图形变化-平移【解析】【解答】解：由坐标系可得A（﹣2，6），将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，点A的对应点A1的坐标为（﹣2+4，6﹣1），即（2，5），故选：D．【分析】根据平移规律横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减进行计算即可．12、【答案】C【考点】一次函数与一元一次不等式【解析】【解答】解：当x＞1时，x+b＞kx+4，即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．故选：C．【分析】观察函数图象得到当x＞1时，函数y=x+b的图象都在y=kx+4的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．二、<b>填空题</b>13、【答案】x（x﹣3）2【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】【解答】解：x3﹣6x2+9x，=x（x2﹣6x+9），=x（x﹣3）2．故答案为：x（x﹣3）2．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．14、【答案】m﹣2【考点】分式的加减法【解析】【解答】解：原式===m﹣2，故答案为：m﹣2．【分析】由于是同分母的分式的加减，直接把分子相减即可求解．15、【答案】3【考点】角平分线的性质【解析】【解答】解：作DE⊥AB于E，∵AD是∠CAB的角平分线，∠C=90°，∴DE=DC，∵DC=3，∴DE=3，即点D到AB的距离DE=3．故答案为：3．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DC即可得解．16、【答案】m≤2【考点】解一元一次不等式组【解析】【解答】解：解不等式x﹣m＞1，得：x＞m+1，∵不等式组得解集是x＞3，∴m+1≤3，解得：m≤2，故答案为：m≤2．【分析】根据不等式组解集的确定方法：同大取大可得m+1≤3，解得m的范围．17、【答案】15【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∠AED=90°，∴∠A=∠ABD，∵∠ADE=40°，∴∠A=90°﹣40°=50°，∴∠ABD=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=65°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°，故答案为：15．【分析】根据线段垂直平分线求出AD=BD，推出∠A=∠ABD=50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC，即可得出答案．18、【答案】8【考点】菱形的判定与性质，矩形的性质【解析】【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=AC=2，OD=BD，AC=BD，∴OC=OD=2，∴四边形CODE是菱形，∴DE=CEOC=OD=2，∴四边形CODE的周长=2×4=8；故答案为：8．【分析】先证明四边形CODE是平行四边形，再根据矩形的性质得出OC=OD，然后证明四边形CODE是菱形，即可求出周长．三、<b>解答题</b>19、【答案】（1）解：﹣=1，去分母得：x（x+1）﹣（2x﹣1）=（x+1）（x﹣1），解得：x=2，经检验x=2是原方程的解，则分式方程的解为x=2（2）解：2x2﹣3x﹣2=0，（2x+1）（x﹣2）=0，解得：x1=﹣，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法，解分式方程【解析】【分析】（1）观察可得最简公分母是（x+1）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程，然后求解即可得出答案；（2）根据十字相乘法把方程进行因式分解，然后求解即可．20、【答案】解：，由不等式①移项得：4x+x＞1﹣6，整理得：5x＞﹣5，解得：x＞﹣1，由不等式②去括号得：3x﹣3≤x+5，移项得：3x﹣x≤5+3，合并得：2x≤8，解得：x≤4，则不等式组的解集为﹣1＜x≤4．在数轴上表示不等式组的解集如图所示，【考点】在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组【解析】【分析】将不等式组的两不等式分别记作①和②，由不等式①移项，将x的系数化为1，求出x的范围，由不等式②左边去括号后，移项并将x的系数化为1求出解集，找出两解集的公共部分，确定出原不等式组的解集，并将此解集表示在数轴上即可．21、【答案】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，（18﹣3x）（6﹣2x）=60，化简整理得，（x﹣1）（x﹣8）=0．解得x1=1，x2=8（不合题意，舍去）．答：人行通道的宽度是1m【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米2，列出一元二次方程．22、【答案】（1）证明：在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC，∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴BD=AE，∵BD=DC，∴AE=DC（2）证明：∵AE∥BC，AE=DC，∴四边形ADCE为平行四边形．又∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE为矩形【考点】等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定【解析】【分析】（1）等腰三角形的三线合一，可证明BD=CD，因为AE∥BC，DE∥AB，所以四边形ABDE为平行四边形，所以BD=AE，从而得出结论．（2）先证明四边形ADCE为平行四边形，再证明有一个角是直角即可．23、【答案】（1）解：由题意得，a=1，b=2m，c=m2﹣1，∵△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）=4＞0，∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根（2）解：∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，∴32+2m×3+m2﹣1=0，解得，m=﹣4或m=﹣2【考点】一元二次方程的解，根的判别式【解析】【分析】（1）找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；（2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．24、【答案】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DEBC，∵延长BC至点F，使CF=BC，∴DEFC，即DE=CF（2）解：∵DEFC，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC=EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，∴DC=EF=．【考点】等边三角形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质【解析】【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DEBC，进而得出DE=FC；（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长．25、【答案】（1）解：设普快的平均时速为x千米/小时，高铁列车的平均时速为2.5x千米/小时，由题意得，﹣=9，解得：x=72，经检验，x=72是原分式方程的解，且符合题意，则2.5x=180，答：高铁列车的平均时速为180千米/小时（2）解：630÷180=3.5，则坐车共需要3.5+1.5=5（小时），王老师到达会议地点的时间为1点40．故他能在开会之前到达【考点】分式方程的应用，一元一次不等式的应用【解析】【分析】（1）设普快的平均时速为x千米/小时，高铁列车的平均时速为2.5千米/小时，根据题意可得，高铁走（1026﹣81）千米比普快走1026千米时间减少了9小时，据此列方程求解；（2）求出王老师所用的时间，然后进行判断．济南市重点中学九年级上学期期中考试数学试卷（二）一、选择题1、下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A、B、C、D、2、如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（

）A、3B、2.5C、4D、3.53、如图，在⊙O中，=，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（

）A、40°B、30°C、20°D、15°4、用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时，原方程可变形为（

）A、（x+2）2=1B、（x+2）2=7C、（x+2）2=13D、（x+2）2=195、方程2x2=3x的解为（

）A、0B、C、-D、0，6、如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是（

）A、60°B、90°C、120°D、150°7、有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（

）A、x（x﹣1）=45B、x（x+1）=45C、x（x﹣1）=45D、x（x+1）=458、如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（

）A、60m2B、63m2C、64m2D、66m29、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…则该函数图象的对称轴是（

）A、直线x=﹣3B、直线x=﹣2C、直线x=﹣1D、直线x=010、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c＞0；③a+c＜b；④b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是（

）A、1B、2C、3D、4二、填空题11、已知关于x的方程x2+x+2a﹣1=0的一个根是0，则a=________．12、方程（x﹣1）2=4的根是________．13、若二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点，则m的取值范围是________．14、如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB=110°，则∠α=________．15、如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为________．三、解答题16、关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．17、如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．①若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；②若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；③将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．18、为进一步发展基础教育，自2017年以来，某县加大了教育经费的投入，2017年该县投入教育经费6000万元．2019年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2020年该县投入教育经费多少万元．19、如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）(1)求m的值及抛物线的顶点坐标．(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．20、某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克．(1)设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；(2)若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？21、已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形(1)求证：△DFB是等腰三角形；(2)若DA=AF，求证：CF⊥AB．22、如图，抛物线y=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点，过点A的直线y=﹣x+4交抛物线于点C．(1)求此抛物线的解析式；(2)在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标．答案解析部分一、<b>选择题</b>1、【答案】D【考点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．2、【答案】C【考点】勾股定理，垂径定理【解析】【解答】解：连接OA，∵AB⊥OP，∴AP==3，∠APO=90°，又OA=5，∴OP===4，故选C．【分析】连接OA，根据垂径定理得到AP=AB，利用勾股定理得到答案．3、【答案】C【考点】圆心角、弧、弦的关系【解析】【解答】解：连接CO，如图：∵在⊙O中，=，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=40°，∴∠AOC=40°，∴∠ADC=∠AOC=20°，故选C．【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=40°，再由圆周角定理即可得出结论．4、【答案】B【考点】解一元二次方程-配方法【解析】【解答】解：x2+4x=3，x2+4x+4=7，（x+2）2=7．故选B．【分析】把方程两边加上7，然后把方程左边写成完全平方式即可．5、【答案】D【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】【解答】解：方程整理得：2x2﹣3x=0，分解因式得：x（2x﹣3）=0，解得：x=0或x=，故选D【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．6、【答案】D【考点】旋转的性质【解析】【解答】解：旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°．故选：D．【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．7、【答案】A【考点】二次函数的图象，二次函数的性质【解析】【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为x（x﹣1），∴共比赛了45场，∴x（x﹣1）=45，故选A．【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x﹣1）场，再根据题意列出方程为x（x﹣1）=45．8、【答案】C【考点】二次函数的应用【解析】【解答】解：设BC=xm，则AB=（16﹣x）m，矩形ABCD面积为ym2，根据题意得：y=（16﹣x）x=﹣x2+16x=﹣（x﹣8）2+64，当x=8m时，ymax=64m2，则所围成矩形ABCD的最大面积是64m2．故选C．【分析】设BC=xm，表示出AB，矩形面积为ym2，表示出y与x的关系式，利用二次函数性质求出面积最大值即可．9、【答案】B【考点】二次函数的图象，二次函数的性质【解析】【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2．故选：B．【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．10、【答案】C【考点】二次函数的图象，二次函数的性质【解析】【解答】解：∵二次函数的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，∴a＜0，c＞0，故②正确；∵0＜﹣＜1，∴b＞0，故①错误；当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故③正确；∵二次函数与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故④正确正确的有3个，故选：C．【分析】由二次函数的开口方向，对称轴0＜x＜1，以及二次函数与y的交点在x轴的上方，与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．二、<b>填空题</b>11、【答案】【考点】一元二次方程的解【解析】【解答】解：根据题意得：0+0+2a﹣1=0解得a=．故答案为：．【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=0代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求得a的值．12、【答案】3或﹣1【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】解：∵x﹣1=±2，∴x=1±2，∴x1=3，x2=﹣1．【分析】利用直接开平方法解答即可．13、【答案】m＞1【考点】抛物线与x轴的交点【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点，∴方程x2+2x+m=0没有实数根，∴判别式△=22﹣4×1×m＜0，解得：m＞1；故答案为：m＞1．【分析】由题意可得二次方程无实根，得出判别式小于0，解不等式即可得到所求范围．14、【答案】140°【考点】圆周角定理【解析】【解答】解：优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，∵四边形ACBD内接与⊙O，∠C=110°，∴∠ADB=180°﹣∠C=180°﹣110°=70°，∴∠AOB=2∠ADB=2×70°=140°．故答案为140°．【分析】在优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，先由圆内接四边形的性质求出∠ADB的度数，再由圆周角定理求出∠AOB的度数即可．15、【答案】15【考点】二次函数的性质，菱形的性质【解析】【解答】解：∵D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，∴设D（x，﹣x2+6x），∵顶点C的坐标为（4，3），∴OC==5，∵四边形OABC是菱形，∴BC=OC=5，BC∥x轴，∴S△BCD=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+15，∵﹣＜0，∴S△BCD有最大值，最大值为15，故答案为15．【分析】设D（x，﹣x2+6x），根据勾股定理求得OC，根据菱形的性质得出BC，然后根据三角形面积公式得出∴S△BCD=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+15，根据二次函数的性质即可求得最大值．三、<b>解答题</b>16、【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根，∴△=（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）=4m+5＞0，解得：m＞﹣．（2）解：m=1，此时原方程为x2+3x=0，即x（x+3）=0，解得：x1=0，x2=﹣3【考点】解一元二次方程-因式分解法，根的判别式，解一元一次不等式【解析】【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出△＞0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）结合（1）结论，令m=1，将m=1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．17、【答案】解：①如图，△A1B1C1为所作，因为点C（﹣1，3）平移后的对应点C1的坐标为（4，0），所以△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，所以点A1的坐标为（2，2），B1点的坐标为（3，﹣2）②因为△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，所以A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）③如图，△A2B3C3为所作，A3（5，3），B3（1，2），C3（3，1）【考点】坐标与图形变化-平移，坐标与图形变化-旋转【解析】【分析】①利用点C和点C1的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点A1，B1的坐标；②因为△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，所以A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；③利用网格和旋转的性质画出△A2B3C3，然后写出△A2B3C3的各顶点的坐标．18、【答案】（1）解：设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意得：6000（1+x）2=8640解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去），答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%（2）解：因为2019年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20%，所以2020年该县投入教育经费为：y=8640×（1+0.2）=10368（万元），答：预算2020年该县投入教育经费10368万元【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据2017年该县投入教育经费6000万元和2016年投入教育经费8640万元列出方程，再求解即可；（2）根据2019年该县投入教育经费和每年的增长率，直接得出2020年该县投入教育经费为8640×（1+0.2），再进行计算即可．19、【答案】（1）解：把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，解得：m=2，∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为：（1，4）（2）解：连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，∵点C（0，3），点B（3，0），∴，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．【考点】二次函数的性质【解析】【分析】（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；（2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．20、【答案】（1）解：根据题意得：y=（200+20x）×（6﹣x）=﹣20x2﹣80x+1200（2）解：令y=﹣20x2﹣80x+1200中y=960，则有960=﹣20x2﹣80x+1200，即x2+4x﹣12=0，解得：x=﹣6（舍去），或x=2．答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元【考点】二次函数的应用【解析】【分析】（1）根据“每天利润=每天销售质量×每千克的利润”即可得出y关于x的函数关系式；（2）将y=960代入（1）中函数关系式中，得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．21、【答案】（1）证明：∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，∵△AEF为等边三角形，∴∠CAB=∠EFA=60°，∴∠B=30°，∵∠EFA=∠B+∠FDB，∴∠B=∠FDB=30°，∴△DFB是等腰三角形（2）证明：过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，∵△AEF是等边三角形，∴FM=EM=a，AM=a，在Rt△DAM中，AD=AF=2a，AM=a，∴DM=5a，∴DF=BF=6a，∴AB=AF+BF=8a，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，∵AE=EF=AF=2a，∴CE=AC﹣AE=2a，∴∠ECF=∠EFC，∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，∴CF⊥AB．【考点】等腰三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理【解析】【分析】（1）由AB是⊙O直径，得到∠ACB=90°，由于△AEF为等边三角形，得到∠CAB=∠EFA=60°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，根据等边三角形的性质得到FM=EM=a，AM=a，在根据已知条件得到AB=AF+BF=8a，根据直角三角形的性质得到AE=EF=AF=CE=2a，推出∠ECF=∠EFC，根据三角形的内角和即可得到结论．22、【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于两点A（4，0），B（﹣1，0），∴，解得，∴此抛物线的解析式为：y=x2﹣3x﹣4（2）解：如图1，作点B关于直线AC的对称点F，连接DF交AC于点E，由（1）得，抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4，∴D（0，﹣4），∵直线y=﹣x+4交抛物线于点C，∴解得，或，∴C（﹣2，6），∵A（4，0），∵直线AC解析式为y=﹣x+4，直线BF⊥AC，且B（﹣1，0），∴直线BF解析式为y=x+1，设点F（m，m+1），∴G（，），∵点G在直线AC上，∴﹣+4=，∴m=4，∴F（4，5），∵D（0，﹣4），∴直线DF解析式为y=x﹣4，解得∴直线DF和直线AC的交点E（，）．【考点】待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点，轴对称-最短路线问题【解析】【分析】（1）直接把点A（4，0），B（﹣1，0）代入抛物线y=ax2+bx﹣4求出a、b的值，进而可得出抛物线的解析式；（2）先判断出周长最小时BE⊥AC，即作点B关于直线AC的对称点F，连接DF，交AC于点E，联立方程组即可．济南市重点中学九年级上学期期中考试数学试卷（三）一、选择题1、已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是（

）A、y=﹣B、y=﹣C、y=D、y=2、如图，由五个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图是（

）A、B、C、D、3、点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）都在反比例函数y=﹣的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（

）A、y3＜y1＜y2B、y1＜y2＜y3C、y3＜y2＜y1D、y2＜y1＜y34、如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A（2，4），顶点为（﹣1，0），则sinα的值是（

）A、B、C、D、5、如图，已知矩形ABCD中，AB=2，BC=3，F是CD的中点，一束光线从点A出发，通过BC边反射，恰好经过点F，那么反射点E与点C的距离为（

）A、1B、2C、1或2D、1.56、在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|=0，则△ABC一定是（

）A、直角三角形B、等腰三角形C、等边三角形D、等腰直角三角形7、一次函数y=x+m（m≠0）与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中是（

）A、B、C、D、8、如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y=的图象上，且OA⊥OB，cosA=，则k的值为（

）A、﹣3B、﹣4C、﹣D、﹣29、如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD=，则△ABC的边长为（

）A、3B、4C、5D、610、如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（

）A、9：4B、3：2C、4：3D、16：9二、填空题11、已知△ABC与△DEF相似且面积比为9：25，则△ABC与△DEF的相似比为________．12、在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为________．13、如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了4个单位到达B点后，观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为________（结果保留根号）．14、如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=________．15、如图，在已建立直角坐标系的4×4的正方形方格纸中，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P，A，B为顶点的三角形与△ABC相似（C点除外），则格点P的坐标是________．16、如图，水库大坝的横截面是梯形，坝顶AD宽5米，坝高10米，斜坡CD的坡角为45°，斜坡AB的坡度i=1：1.5，那么坝底BC的长度为________米．17、如图，当太阳在A处时，小明测得某树的影长为2米，当太阳在B处时又测得该树的影长为8米．若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为________米．18、如图，等腰△ABC中，AB=AC，BC∥x轴，点A，C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△ABC的面积为________．三、解答题19、计算：(1)﹣22×+|1﹣|+6sin45°+1(2)3tan30°﹣2tan45°+2sin60°+4cos60°．20、如图，在△ABC中，∠A=135°，AB=20，AC=30，求△ABC的面积．21、如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的高．求证：△DCE∽△ACB．22、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣3，0），与反比例函数y=在第一象限的图象交于点B（3，m），连接BO，若△AOB面积为9，(1)求反比例函数的表达式和直线AB的表达式；(2)若直线AB与y轴交于点C，求△COB的面积．23、如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一高压输电的铁架，小山的斜坡的坡度i=1：，斜坡BD的长是50米，在山坡的坡底B处测得铁架顶端A的仰角为45°，在山坡的坡顶D处测得铁架顶端A的仰角为60°．(1)求小山的高度；(2)求铁架的高度．（≈1.73，精确到0.1米）24、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值；(2)连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．答案解析部分一、<b>选择题</b>1、【答案】B【考点】待定系数法求反比例函数解析式【解析】【解答】解：设反比例函数图象设解析式为，将点（﹣1，2）代入得，k=﹣1×2=﹣2，则函数解析式为y=﹣．故选B．【分析】设解析式为，由于反比例函数的图象经过点（﹣1，2），代入反比例函数即可求得k的值．2、【答案】D【考点】简单组合体的三视图【解析】【解答】解：从上面看可得一行正方形的个数为3，故选D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．3、【答案】A【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：∵反比例函数y=﹣中k=﹣3＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵x1＜x2＜0，∴A、B两点在第二象限，C点在第三象限，∴y2＞y1＞y3．故选A．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0＜x3即可得出结论．4、【答案】D【考点】坐标与图形性质，锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：作AC⊥x轴于点C，由题意得，BC=3，AC=4，由勾股定理得，AB=5，则sinα==，故选：D．【分析】作AC⊥x轴于点C，根据点的坐标特征求出点A、B的坐标，得到CA、CB的长，根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义解答即可．5、【答案】A【考点】矩形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∵∠AEB=∠CEF，∴△ABE∽△FCE，∴AB：FC=BE：CE，∵AB=2，BC=3，CF=1，∴CE=1．故选：A．【分析】易得△ABE和△FCE相似，那么利用相似三角形的对应边成比例可得EC长．6、【答案】D【考点】特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：由，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|=0，得2cosA=，1﹣tanB=0．解得A=45°，B=45°，则△ABC一定是等腰直角三角形，故选：D．【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案．7、【答案】C【考点】一次函数的图象，反比例函数的图象【解析】【解答】解：A、对于反比例函数图象得到m＜0，则对于y=x+m与y轴的交点在x轴下方，所以A选项不正确；B、因为y=x+m中，k=1＞0，所以其图象必过第一、三象限，所以B选项不正确；C、对于反比例函数图象得到m＜0，则对于y=x+m与y轴的交点在x轴下方，并且y=x+m的图象必过第一、三象限，所以C选项正确；D、对于y=x+m，其图象必过第一、三象限，所以D选项不正确．故选C．【分析】根据一次函数的图象性质，y=x+m的图象必过第一、三象限，可对B、D进行判断；根据反比例函数的性质当m＜0，y=x+m与y轴的交点在x轴下方，可对A、D进行判断．8、【答案】B【考点】反比例函数的图象，反比例函数的性质【解析】【解答】解：过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠BOF+∠EOA=90°，∵∠BOF+∠FBO=90°，∴∠EOA=∠FBO，∵∠BFO=∠OEA=90°，∴△BFO∽△OEA，在Rt△AOB中，cos∠BAO==，设AB=，则OA=1，根据勾股定理得：BO=，∴OB：OA=：1，∴S△BFO：S△OEA=2：1，∵A在反比例函数y=上，∴S△OEA=1，∴S△BFO=2，则k=﹣4．故选：B．【分析】过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，由OA与OB垂直，再利用邻补角定义得到一对角互余，再由直角三角形BOF中的两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，又一对直角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形BOF与三角形OEA相似，在直角三角形AOB中，由锐角三角函数定义，根据cos∠BAO的值，设出AB与OA，利用勾股定理表示出OB，求出OB与OA的比值，即为相似比，根据面积之比等于相似比的平方，求出两三角形面积之比，由A在反比例函数y=上，利用反比例函数比例系数的几何意义求出三角形AOE的面积，进而确定出BOF的面积，再利用k的集合意义即可求出k的值．9、【答案】A【考点】等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：设△ABC的边长为x，∵△ABC是等边三角形，∴∠DCP=∠PBA=60°．∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠BAP+∠ABP，∠APD=60°，∴∠BAP=∠CPD．∴△ABP∽△CPD．∴=，∴=．∴x=3．即△ABC的边长为3．故选A．【分析】根据题意可得：设△ABC的边长为x，易得：△ABP∽△PCD；故可得：=；即=，解得△ABC的边长为3．10、【答案】D【考点】翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：设BF=x，则CF=3﹣x，B'F=x，又点B′为CD的中点，∴B′C=1，在Rt△B′CF中，B'F2=B′C2+CF2，即x2=1+（3﹣x）2，解得：x=，即可得CF=3﹣=，∵∠DB′G+∠DGB'=90°，∠DB′G+∠CB′F=90°，∴∠DGB′=∠CB′F，∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′，根据面积比等于相似比的平方可得：===．故选D．【分析】设BF=x，则CF=3﹣x，B'F=x，在Rt△B′CF中，利用勾股定理求出x的值，继而判断△DB′G∽△CFB′，根据面积比等于相似比的平方即可得出答案．二、<b>填空题</b>11、【答案】3：5【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF相似且面积比为9：25，∴△ABC与△DEF的相似比为3：5．故答案为：3：5．【分析】根据相似三角形的面积比等于其相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的相似比．12、【答案】7或17【考点】解直角三角形【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，cos∠B=，∴解得BC=7或BC=17．故答案为：7或17．【分析】根据在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，可以利用余弦定理求得BC的长，从而可以解答本题．13、【答案】【考点】坐标与图形性质，解直角三角形【解析】【解答】解：过点B作y轴的垂线，垂足为点C．在Rt△ABC中，∵AB=4，∠BAC=45°，∴AC=BC=4．在Rt△OBC中，∵∠OBC=30°，∴OC=BC•tan30°=，∴AO=AC+CO=4+．∴A（0，4+）．【分析】过点B作y轴的垂线，垂足为点C．由题可知∠BAC=45°，则AC=BC=4；因为∠OBC=30°，所以OC=，所以AO=AC+CO=4+．14、【答案】【考点】解直角三角形【解析】【解答】解：如下图：延长AD、BC交于E点，因为∠A=60°，∴∠E=90°﹣60°=30°．∵CD=3，∴CE=3×2=6，则BE=2+6=8．∵tan30°==，∴AB=8×tan30°=8×=．【分析】延长AD、BC交于点E，构造直角三角形解题．15、【答案】（1，4）或（3，1）或（3，4）【考点】坐标与图形性质，相似三角形的性质【解析】【解答】解：如图：此时AB对应P1A或P2B，且相似比为1：2，故点P的坐标为：（1，4）或（3，4）；△ABC≌△BAP3此时P的坐标为（3，1）；∴格点P的坐标是（1，4）或（3，1）或（3，4）．【分析】根据题意作图，可以作相似比为1：2的相似三角形，还要注意全等的情况，根据图形即可得有三个满足条件的解．16、【答案】30【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】【解答】解：分别过A、D作AE⊥BC、DE⊥BC，垂足为E、F，可得：BE∥CF，又∵BC∥AD，∴AD=EFAE=DF由题意，得EF=AD=5，DF=AE=10，∵斜坡CD的坡角为45°，∴CF=DF×cot45°=10×1=10∵斜坡AB的坡度i=1：1.5，∴BE=1.5AE=15，∴坝底BC=BE+EF+CF=15+5+10=30米．故答案为：30．【分析】首先过A、D作AE⊥BC、DE⊥BC，可得四边形AEFD是矩形，又由斜坡CD的坡角为45°，斜坡AB的坡度i=1：1.5，根据坡度的定义，即可求解．17、【答案】4【考点】相似三角形的应用，平行投影【解析】【解答】解：如图，∵两次日照的光线互相垂直，∴∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°，∴∠ECD=∠F，又∵∠CDE=∠FDC=90°，∴△CDE∽△FDC，∴=，由题意得，DE=2，DF=8，∴=，解得CD=4，即这颗树的高度为4米．故答案为：4．【分析】在图形标注字母，然后求出△CDE和△FDC相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，然后代入数据进行计算即可得解．18、【答案】【考点】反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：设点B的坐标为（，m），则点C的坐标为（，m），∵AB=AC，BC∥x轴，∴点A的坐标为（，m），∴S△ABC=BC•（yA﹣yB）=×（﹣）×（m﹣m）=．故答案为：．【分析】设点B的坐标为（，m），则点C的坐标为（，m），根据等腰三角形的性质找出点A的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论．三、<b>解答题</b>19、【答案】（1）解：原式=﹣8+﹣1+3+1=﹣4（2）解：原式=3×﹣2×1+2×+4×=﹣2++2=2【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值【解析】【分析】（1）原式利用乘方的意义，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．20、【答案】解：过点B作BE⊥AC，∵∠A=135°，∴∠BAE=180°﹣∠A=180°﹣135°=45°，∴∠ABE=90°﹣∠BAE=90°﹣45°=45°，在Rt△BAE中，BE2+AE2=AB2，∵AB=20，∴BE==10，∵AC=30，∴S△ABC=AC•BE=×30×10=150．【考点】解直角三角形【解析】【分析】过点B作BE⊥AC，根据勾股定理可求得BE，再根据三角形的面积公式求出答案．21、【答案】证明：∵在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠C是公共角，∴△CDE∽△CAB，∴CD：CE=CA：CB，∴CD：CA=CE：CB，∴△DCE∽△ACB【考点】相似三角形的判定【解析】【分析】首先由在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，证得△CDE∽△CAB，即可得CD：CA=CE：CB，继而证得结论．22、【答案】（1）解：∵A点的坐标为（﹣3，0），∴OA=3，又∵点B（3，m）在第一象限，且△AOB面积为9，∴OA•m═9，即×3m=9，解得m=6，∴点B的坐标为（3，6），将B（3，6）代入y=中，得6=，则k=18，∴反比例函数为：y=，设直线AB的表达式为y=ax+b，则解得∴直线AB的表达式为y=x+3（2）解：在y=x+3中，令x=0，得y=3，∴点C的坐标为（0，3），∴OC=3，则△COB的面积为：OC×3=×3×3=【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】（1）利用△AOB面积为9，求出m的值，即可求出反比例函数解析式，再利用A，B的坐标求出一次函数式．（2）先求出OC，再利用△COB的面积为=OC×3，求出△COB的面积．23、【答案】（1）解：如图，过D作DF垂直于坡底的水平线BC于点F．由已知，斜坡的坡比i=1：，于是tan∠DBC=，∴坡角∠DBC=30°．于是在Rt△DFB中，DF=DBsin30°=25，即小山高为25米（2）解：设铁架的高AE=x．在Rt△AED中，已知∠ADE=60°，于是DE=，在Rt△ACB中，已知∠ABC=45°，∵AC=AE+EC=AE+DF=x+25，又BC=BF+FC=BF+DE=25x，由AC=BC，得x+25=25x．∴x=25≈43.3，即铁架高43.3米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】【分析】（1）过D作DF垂直于坡底的水平线BC于点F，再由斜坡的坡比的概念，可得坡角为30°；解Rt△DFB可得DF即山高；（2）首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形Rt△AED与Rt△ACB，解可得AC与BC的大小，再由AC=AE+EC，进而可求出答案．24、【答案】（1）解：根据勾股定理得：BA=分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时，，∵BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8，∴，解得，t=1，②当△BPQ∽△BCA时，，∴，解得，t=；∴t=1或时，△BPQ∽△BCA（2）解：过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：则PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，∴∠NAC=∠PCM，∵∠ACQ=∠PMC，∴△ACQ∽△CMP，∴，∴，解得t=．【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA=BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC=BQ：BA，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM=CQ：MP，代入计算即可．济南市重点中学九年级上学期期中考试数学试卷（四）一、选择题1、下列方程中，是关于x的一元二次方程的为（

）A、2x2=0B、4x2=3yC、x2+=﹣1D、x2=（x﹣1）（x﹣2）2、用配方法解一元二次方程x2﹣6x+4=0，下列变形正确的是（

）A、（x﹣6）2=﹣4+36B、（x﹣6）2=4+36C、（x﹣3）2=﹣4+9D、（x﹣3）2=4+93、一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（

）A、x1=1，x2=2B、x1=1，x2=﹣2C、x1=﹣1，x2=﹣2D、x1=﹣1，x2=24、若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0的根的情况是（

）A、没有实数根B、有两个相等的实数根C、有两个不相等的实数根D、无法判断5、若x1，x2是方程x2﹣6x+10=0的两根，则x1+x2的值是（

）A、10B、6C、﹣6D、以上都不对6、如果关于x的二次方程a（1+x2）+2bx=c（1﹣x2）有两个相等的实数根，那么以正数a，b，c为边长的三角形是（

）A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、任意三角形7、若函数y=a是二次函数且图象开口向上，则a=（

）A、﹣2B、4C、4或﹣2D、4或38、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值为0，则（

）A、a＞0，b2﹣4ac=0B、a＜0，b2﹣4ac＞0C、a＞0，b2﹣4ac＜0D、a＜0，b2﹣4ac=09、如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．①b2＞4ac；②4a+2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．上述4个判断中，正确的是（

）A、①②B、①②④C、①③④D、②③④10、在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为（﹣1，﹣1），（1，﹣2），将△ABC绕点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的坐标为（

）A、（4，1）B、（4，﹣1）C、（5，1）D、（5，﹣1）11、下列图形中，是中心对称图形又是轴对称图形的有（

）①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤等腰梯形；⑥线段；⑦角．A、2个B、3个C、4个D、5个12、如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A=40°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是（

）A、110°B、80°C、40°D、30°二、填空题13、已知方程2x2﹣mx﹣10=0的一根是﹣5，求方程的另一根为________，m的值为________14、若方程（k﹣1）x2﹣x+=0有两个实数根，则k的取值范围是________15、一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y=﹣2x2相同，试写出这个函数解析式________16、如果抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，2），它的对称轴是x=2，那么=________．17、如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，现将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=5，则PP′的长度为________三、解答题18、解方程(1)x2﹣7x+10=0(2)3（x﹣2）+x2﹣2x=0．19、根据条件求二次函数的解析式(1)二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=3，最小值为﹣2，且过（0，1）点．(2)抛物线过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣5）三点．20、已知方程x2+2（m﹣2）x+m2+4=0有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大40，求m的值．21、如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．(1)求点P与点P′之间的距离；(2)求∠APB的度数．22、已知函数y=x2﹣（m﹣2）x+m的图象过点（﹣1，15），设其图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），点C在图象上，且S△ABC=1，求：(1)求m；(2)求点A，点B的坐标；(3)求点C的坐标．23、夏津某一企业2014年完成工业总产值100万元，如果要在2016年达到169万元，那么2014年到2016年的工业总产值年平均增长率是多少？计划2018年工业总产值要达到280万元，若继续保持上面的增长率，该目标是否可以完成？24、如图，已知抛物线y=﹣[MISSINGIMAGE:,]x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C，D同时出发，当动点D到达原点O时，点C，D停止运动．(1)直接写出抛物线的解析式：________；(2)求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？(3)当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、<b>选择题</b>1、【答案】A【考点】一元二次方程的定义【解析】【解答】解：A、符合一元二次方程的定义，正确；B、方程含有两个未知数，故错误；C、不是整式方程，故错误；D、化简后3x﹣2=0，未知数的最高次数是1，故错误，故选：A．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．2、【答案】C【考点】解一元二次方程-配方法【解析】【解答】解：由原方程，得x2﹣6x=﹣4，配方，得x2﹣6x+9=﹣4+9，即（x﹣3）2=﹣4+9．故选：C．【分析】根据配方法的步骤先把方程移项，再两边加上9变形即可得到结果．3、【答案】D【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】【解答】解：x2﹣x﹣2=0（x﹣2）（x+1）=0，解得：x1=﹣1，x2=2．故选：D．【分析】直接利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根4、【答案】A【考点】根的判别式【解析】【解答】解：∵5k+20＜0，即k＜﹣4，∴△=16+4k＜0，则方程没有实数根．故选：A．【分析】根据已知不等式求出k的范围，进而判断出根的判别式的值的正负，即可得到方程解的情况．5、【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x+10=0的两根，∴x1+x2=﹣=6．故选B．【分析】由方程的系数结合根与系数的关系，即可得出x1+x2的值．6、【答案】C【考点】根的判别式【解析】【解答】解：方程化为（a+c）x2+2bx+a﹣c=0，根据题意得△=4b2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，所以b2+c2=a2，所以以正数a，b，c为边长的三角形为直角三角形．故选C．【分析】先把方程化为一般式，再根据根的判别式的意义得到△=4b2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，整理得b2+c2=a2，则可根据勾股定理的逆定理可判断三角形的形状．7、【答案】B【考点】二次函数的定义【解析】【解答】解：∵函数y=a是二次函数且图象开口向上，∴a2﹣2a﹣6=2，且a＞0，解得a=4．故选：B．【分析】根据二次函数的定义得到a2﹣2a﹣6=2，由抛物线的开口方向得到a＞0，由此可以求得a的值．8、【答案】D【考点】二次函数的最值【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值为0，∴a＜0，=0即b2﹣4ac=0．故选D．【分析】本题考查二次函数最大（小）值的求法．9、【答案】B【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式（组）【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确，由图象可知，x=2时，y＜0，∴4a=2b+c＜0，故②正确，由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜x1或x＞x2（x1，x2分别抛物线与x轴解得的横坐标，x1是左交点横坐标），故③错误，由图象可知，点（5，y2）分、到对称轴的距离比点（﹣2，y1）到对称轴的距离大，∴y2＞y1，故④正确．故选B．【分析】①根据抛物线与x轴有交点，即可判定正确．②由图象可知，x=2时，y＜0，即可判定正确．③错误，不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜x1或x＞x2（x1，x2分别抛物线与x轴解得的横坐标，x1是左交点横坐标）．④根据点（5，y2）分、到对称轴的距离比点（﹣2，y1）到对称轴的距离大，即可判定正确．10、【答案】D【考点】坐标与图形变化-旋转【解析】【解答】解：如图，A点坐标为（0，2），将△ABC绕点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的A′的坐标为（5，﹣1）．故选D．【分析】先利用B，C两点的坐标画出直角坐标系得到A点坐标，再画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后点A的对应点的A′，然后写出点A′的坐标即可．11、【答案】C【考点】轴对称图形【解析】【解答】解：②菱形；③矩形；④正方形；⑥线段；既是轴对称又是中心对称图形，故正确的有4个．故选：C．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．12、【答案】B【考点】旋转的性质【解析】【解答】解：根据旋转的性质可得：∠A′=∠A，∠A′CB′=∠ACB，∵∠A=40°，∴∠A′=40°，∵∠B′=110°，∴∠A′CB′=180°﹣110°﹣40°=30°，∴∠ACB=30°，∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，∴∠ACA′=50°，∴∠BCA′=30°+50°=80°，故选：B．【分析】首先根据旋转的性质可得：∠A′=∠A，∠A′CB′=∠ACB，即可得到∠A′=40°，再有∠B′=110°，利用三角形内角和可得∠A′CB′的度数，进而得到∠ACB的度数，再由条件将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′可得∠ACA′=50°，即可得到∠BCA′的度数．二、<b>填空题</b>13、【答案】1①-8【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：设方程的另一个根是x．根据根与系数的关系，得﹣5x=﹣5，x=1．又﹣5+x=，则m=﹣8．【分析】根据一元二次方程的两根之积求得方程的另一根，再根据两根之和求得m的值．14、【答案】k≤且k≠1【考点】根的判别式【解析】【解答】解：∵方程（k﹣1）x2﹣x+=0有两个实数根，∴△=b2﹣4ac=2﹣k﹣k+1≥0，k≠1，2﹣k≥0，解得：k≤且k≠1．故答案为：k≤且k≠1．【分析】首先利用根的判别式△=b2﹣4ac≥0，根据一元二次方程的意义和二次根式的意义得出k﹣1≠0，2﹣k≥0，三者结合得出答案即可．15、【答案】y=﹣2（x﹣2）2+1或y=2（x﹣2）2+1【考点】待定系数法求二次函数解析式【解析】【解答】解：图象顶点坐标为（2，1）可以设函数解析式是y=a（x﹣2）2+1又∵形状与抛物线y=﹣2x2相同即二次项系数绝对值相同则|a|=2因而解析式是：y=﹣2（x﹣2）2+1或y=2（x﹣2）2+1，故这个函数解析式y=﹣2（x﹣2）2+1或y=2（x﹣2）2+1．【分析】已知顶点坐标利用顶点式求解比较简单．16、【答案】﹣【考点】二次函数图象与系数的关系【解析】【解答】解：∵y=ax2+bx+c，∴抛物线对称轴为x=﹣，∵对称轴是x=2，∴﹣=2，解得=﹣，∵抛物线与y轴交于点A（0，2），∴c=2，∴=﹣×2=﹣，故答案为：﹣．【分析】利用对称轴公式可求得，由A点坐标可求得c的值，代入可求得答案．17、【答案】5【考点】旋转的性质【解析】【解答】解：∵△ACP′是由△ABP绕点A逆时针旋转后得到的，∴△ACP′≌△ABP，∴AP=AP′，∠BAP=∠CAP′．∵∠BAC=90°，∴∠PAP′=90°．∵AP=5，∴AP′=5，∴PP′=5．故答案为：5．【分析】根据旋转前后的图形全等，即可发现等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，进行计算即可．三、<b>解答题</b>18、【答案】（1）解：x2﹣7x+10=0，（x﹣2）（x﹣5）=0，x1=2，x2=5（2）解：3（x﹣2）+x2﹣2x=0，x2+x﹣6=0，（x+3）（x﹣2）=0，x1=﹣3，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】【分析】（1）根据十字相乘法把要求的式子进行因式分解，得到两个一元一次方程的解，然后求解即可；（2）先把给出的方程进行整理，得到方程x2+x﹣6=0，再因式因式分解，即可得出答案．19、【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2﹣2，把（0，1）代入得9a﹣2=1，解得a=，所以抛物线解析式为y=（x﹣3）2﹣2（2）解：设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），把（1，﹣5）代入得a•2•（﹣2）=﹣5，解得a=﹣，所以抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+x+【考点】二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征【解析】【分析】（1）设顶点式为y=a（x﹣3）2﹣2，然后把（0，1）代入求出a即可；（2）设交点式为y=a（x+1）（x﹣3），然后把（1，﹣5）代入求出a即可．20、【答案】解：设方程x2+2（m﹣2）x+m2+4=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2=﹣2（m﹣2），x1•x2=m2+4，∵+﹣x1•x2=﹣3x1•x2=40，∴[﹣2（m﹣2）]2﹣3（m2+4）=40，整理，得：m2﹣16m﹣36=0，解得：m1=﹣2，m2=18．∵方程x2+2（m﹣2）x+m2+4=0有两个实数根，∴△=[﹣2（m﹣2）]2﹣4（m2+4）=﹣16m≥0，∴m≤0，∴m的值为﹣2【考点】根的判别式，根与系数的关系【解析】【分析】设方程x2+2（m﹣2）x+m2+4=0的两个实数根分别为x1、x2，由根与系数的关系可知x1+x2=﹣2（m﹣2），x1•x2=m2+4，结合两个根的平方和比两根的积大40即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围，由此即可确定m的值．21、【答案】（1）解：连接PP′，由题意可知BP′=PC=10，AP′=AP，∠PAC=∠P′AB，而∠PAC+∠BAP=60°，所以∠PAP′=60度．故△APP′为等边三角形，所以PP′=AP=AP′=6（2）解：利用勾股定理的逆定理可知：PP′2+BP2=BP′2，所以△BPP′为直角三角形，且∠BPP′=90°可求∠APB=90°+60°=150°【考点】勾股定理的逆定理，旋转的性质【解析】【分析】（1）由已知△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，可得△PAC≌△P′AB，PA=P′A，旋转角∠P′AP=∠BAC=60°，所以△APP′为等边三角形，即可求得PP′；（2）由△APP′为等边三角形，得∠APP′=60°，在△PP′B中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出∠P′PB=90°，可求∠APB的度数．22、【答案】（1）解：∵函数y=x