《两角分别相等的两个三角形相似》课件（两套）

第二十七章相似27.2.1相似三角形的判定第4课时两角分别相等的两个三角形相似学习目标1.探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理；2.掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法；（重点、难点）3.掌握判定两个直角三角形相似的方法.问题1

观察学生与老师的直角三角板（30°与60°），会相似吗？测量一下，得出你的猜想.观察与思考导入新课问题2两个人画出两个三角形，使三个角分别为60°，45°,75°.①分别量出两个三角形三边的长度；②这两个三角形相似吗?讲授新课如图，△ABC与△A′B′C′中，∠A=∠A′,∠B=∠B′，探究下列问题：（1）请你借助刻度尺度量AB,BC,AC,A′B′,B′C′,A′C′的长，并计算出它们的比值.由此，你能得到什么？CAA'BB'C'合作探究两角分别相等的两个三角形相似一我发现这两个三角形是相似的（2）试证明△ABC∽△A′B′C′.

证明：在△ABC的边AB（或AB的延长线）上，截取AD=A′B′，过点D作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC，∠ADE=∠B.∵∠B=∠B′，∴∠ADE=∠B′.又∵

AD=A′B′，∠A=∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC.CAA'BB'C'DE由此得到相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似.

如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.

AEFBCD证明:∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC.

∴△ADE∽△EFC.（两角分别相等的两个三角形相似）练一练典例精析例1.如图，△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°,∠E=80°

,∠F=60°

．求证：△ABC∽△DEF.

AFECBD证明：∵在△

ABC中，∠A=40°，∠B=80°，∴∠C=180°－∠A－∠B=60°.∵在△

DEF中，∠E=80°，∠F=60°.∴∠B=∠E，∠C=∠F.

∴△ABC∽△DEF（两角分别相等的两个三角形相似）.例2

如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P,求证:PA·PB=PC·PD.证明:连接AC，DB.∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角∴∠A=_______同理∠C=_______∴△PAC∽△PDB∴______

即PA·PB=PC·PD∠D∠B如图，

∠ABD=∠C,AD=2，AC=8，求AB的长.

ABCD解：∵∠A=∠A，∠ABD=∠C，

∴△ABD∽△ACB.∴AB:AC=AD:AB.∴AB2=AD·AC.∵AD=2，AC=8，∴AB=4.做一做判定两个直角三角形相似二如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C′=90°.CAA'BB'C'探究归纳根据前面的判定定理，不难得知当

或

时，Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.∠A=∠A′∠B=∠B′由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.思考：对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”判定它们全等，那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=90°,∠C′=90°,

.求证:Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.CAA'BB'C'目标：证明：设____________=k.由

，得

∴∴＿＿＿＿＿＿＿＿∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.勾股定理CAA'BB'C'由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.当堂练习1．如图，已知AB∥DE，∠AFC＝∠E，则图中相似三角形共有(

)A．1对B．2对C．3对D．4对C证明：∵△ABC的高AD、BE交于点F，∴∠FEA=∠FDB=90°,∠AFE

=∠BFD(对顶角相等).∴△FEA

∽△FDB，∴2.如图，△ABC

的高AD、BE交于点F．求证：

3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D.若AB=6,AD=2,则AC=.

BD=.

BC=.18

DBCA4.如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．证明：∵∠BAC=∠1+∠DAC

,∠DAE=∠3+∠DAC，∵∠1=∠3，∴∠BAC=∠DAE.∵∠C=180°－∠2－∠DOC

，∠E=180°－∠3－∠AOE.

又∵∠DOC=∠AOE（对顶角相等），∴∠C=∠E.∴△ABC∽△ADE

两角分别相等的两个三角形相似利用两角判定三角形相似课堂小结直角三角形相似的判定27.2.1相似三角形的判定第4课时1.理解定理“两角对应相等，两三角形相似”；2.能灵活地选择定理判定相似三角形.这两个三角形的三个内角的大小有什么a关系？三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？三个内角对应相等.观察你与老师的直角三角尺,相似吗？画一个三角形，使三个角分别为60°，45°,75°.①分别量出两个三角形三边的长度；②这两个三角形相似吗?即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_______．相似一定需三个角对应相等吗？相似三角形的判别方法：如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似吗？

CAA'BB'C'∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ΔABC∽ΔA'B'C'用数学符号表示：相似三角形的判别(两个角分别对应相等的两个三角形相似.)【例1】弦AB和CD相交于⊙o内一点P，求证：PA·PB=PC·PD.ABCDPO证明:连接AC、BD∵∠A、∠D都是所对的圆周角，∴∠A=∠D.同理:∠C=∠B.∴△PAC∽△PDB.即PA·PB=PC·PD.【例2】如图所示，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似．

C'B'A'CBA解析：∵∠B＝∠B′＝90°（已知），∠A＝∠A′（已知），∴△ABC∽△A′B′C′（两个角分别对应相等的两个三角形相似．）ABCED在△ABC中，D、E分别是AB、AC延长线上的点，且DE∥BC，试说明△ABC与△ADE相似．解析:

∵DE∥BC（已知）∴∠AED＝∠C（两直线平行，内错角相等），∵∠EAD＝∠CAB.（对顶角）∴△ADE∽△ABC.（两组对应角分别相等的两个三角形相似.）ABCDEABCDE21OCBADOCDABABCDE常见的相似图形ABDC图11.填一填（1）如图1，点D在AB上，当∠

＝∠

时，

△ACD∽△ABC.（2）如图2，已知：点E在AC上，若点D在AB上，则满足

条件

，就可以使△ADE与原△ABC相似.ABCE图2ACD

B

(或者∠ACB＝∠ADC)DE//BCD(或者∠C＝∠AED)(或者∠B＝∠ADE)2．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．解析：∵DE:EA=2:3∴DE：DA=2：5∵EF∥AB∴△DEF∽△

DAB∴DE：DA=EF：AB2：5=4：ABAB=10CD=103.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC.AEFBCD解析:∵DE∥BC，EF∥AB（已知），∴∠ADE＝∠B＝∠EFC（两直线平行同位角相等）∠AED＝∠C.（两直线平行同位角相等）∴△ADE∽△EFC.（两个角分别对应相等的两个三角形相似．）解析：

∵∠A=∠A，∠ABD=∠C∴△ABD∽△ACB∴AB:AC=AD:AB∴AB2=AD·AC∵AD=2，AC=8∴AB=4.4.已知如图，∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB.ABCD解析：（1）△ABC与△FOA相似,因为直线l垂直平分线段AC，所以∠AFO=∠CFO=∠BAC，又∠AOF=∠ABC＝90°，所以△ABC与△FOA相似.（２）四边形AFCE是菱形，⊿AOE≌⊿COF，所以AE＝CF，又AE＝CE，AF＝CF，所以，