压轴小题07 三维想象解决立体几何综合问题（原卷版）

压轴小题07三维想象解决立体几何综合问题压轴压轴秘籍立体几何基础公式所有椎体体积公式：，所有柱体体积公式：，球体体积公式：球体表面积公式：，圆柱：圆锥：长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式已知长宽高求体对角线：已知共点三面对角线求体对角线：棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.欧拉定理(欧拉公式)(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).（1）=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数F与棱数E的关系：；（2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：.5．空间的线线平行或垂直设，，则；.夹角公式设，b＝，则.6．异面直线所成角=（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）7．直线与平面所成角，(为平面的法向量).8..二面角的平面角（，为平面，的法向量）.异面直线间的距离(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).点到平面的距离（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.球的表面积和体积公式球的表面积：S＝4πR2球的体积：V＝eq\f(4,3)πR3球的切接概念空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的外接球空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.墙角模型（三条直线两两垂直）补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).直棱柱外接球之汉堡模型（1）补型：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同（2）作图：构造直角三角形，利用勾股定理直三校柱内接于一球（棱柱的上下底面为直角三角形）R底面外接圆的半径r的求法（1）正弦定理（2）直角三角形：半径等于斜边的一半（3）等边三角形：半径等于三分之二高（4）长（正）方形：半径等于对角线的一半正棱锥类型h-R2+侧棱垂直与底面-垂面型R侧面垂直与底面-切瓜模型如图：平面PAC⊥平面BAC,AB⊥BC(AC为小圆直径)

（1）由图知球心O必为△PAC的外心,即△PAC在大圆面上,先求出小圆面直径AC的长;

（2）在△如图：:平面PAC⊥平面BAC（1）确定球心O的位置,由图知P,O,H三点共线;

（2）算出小圆面半径AH=r,算出棱锥的高PH=h

（3内切球如图：求任意三棱雉的内切球半径(等体积法)

（1）先求出四个表面的面积和整个椎体的体积;

（2）设内切球半径为r,建立等式:VP⇒

（3）解出r结论：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为.压轴训练压轴训练一、单选题1．（2023秋·江苏常州·高三常州高级中学校考开学考试）将一个半径为的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知正四面体的棱长为，为棱上的动点（端点、除外），过点作平面垂直于，与正四面体的表面相交．记，将交线围成的图形面积表示为的函数，则的图象大致为（

）A． B．C． D．3．（2023·江苏南通·三模）已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）如图①，已知边长为4的等边分别为边的中点，现以为折痕将折起为四棱锥，使得，如图②，则四棱锥的外接球体积为（

）A． B． C． D．5．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据.三面角是由有公共端点且不共面的三条射线，，以及相邻两射线间的平面部分所组成的图形，设，，，平面与平面所成的角为，由三面角余弦定理得.在三棱锥中，，，，，，则三棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．6．（2023·江苏南通·统考模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，，点M在该三棱锥的外接球O的球面上运动，且满足，则三棱锥的体积最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题7．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）已知正四面体的棱长为2，下列说法正确的是（

）A．正四面体的外接球表面积为B．正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值C．正四面体的相邻两个面所成二面角的正弦值为D．正四面体在正四面体的内部，且可以任意转动，则正四面体的体积最大值为8．（2023秋·江苏南京·高三统考开学考试）在中，，，D是AB的中点．将沿CD翻折，得到三棱锥，则（

）A．B．当时，三棱锥的体积为C．当时，二面角的大小为D．当时，三棱锥的外接球的表面积为9．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知正三棱柱分别为棱的中点，则（

）A． B．面C． D．面10．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知正方体的棱长均为为线段的中点,,其中,则下列选项正确的是（

）A．当时,B．当时,的最小值为C．若直线与平面所成角为,则点的轨迹长度为D．当时,正方体被平面截的图形最大面积为11．（2023秋·江苏扬州·高三仪征市第二中学校考期中）已知正方体的棱长为4，正四面体的棱长为a，则以下说法正确的是（

）A．正方体的内切球直径为4B．正方体的外接球直径为C．若正四面体可以放入正方体内自由旋转，则a的最大值是D．若正方体可以放入正四面体内自由旋转，则a的最小值是12．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知正方体的棱长为，，，其中，，则下列说法中正确的有（

）A．若平面，则 B．若平面，则C．存在，，使得 D．存在，使得对于任意的，都有13．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）在四面体的四个面中，有公共棱的两个面全等，，，，二面角大小为，下列说法中正确的有（

）A．四面体外接球的表面积为B．四面体体积的最大值为C．若，，则D．若，，则14．（2023春·江苏苏州·高三统考开学考试）六面体中，底面ABCD、分别是边长为4和2的正方形，侧面、侧面均是直角梯形，且，．若该六面体为台体，下列说法正确的是（

）A．六面体的体积为28B．异面直线与的夹角的余弦值为C．二面角的正弦值为D．设P为上底面上一点，且，则P的轨迹为一个圆15．（2023春·江苏南京·高三南京市第五高级中学校考阶段练习）已知正四棱台的上下底面边长分别为4，6，高为，E是的中点，则（

）A．正四棱台的体积为B．平面平面C．AE∥平面D．正四棱台的外接球的表面积为104π16．（2023·江苏南通·二模）如图，正三棱锥A-PBC和正三棱锥D-PBC的侧棱长均为，BC2．若将正三棱锥A-PBC绕BC旋转，使得点A，P分别旋转至点处，且，B，C，D四点共面，点，D分别位于BC两侧，则（

）A．B．平面BDCC．多面体的外接球的表面积为D．点A，P旋转运动的轨迹长相等17．（2023·江苏·高三专题练习）如图，在平行四边形中，，，，沿对角线将△折起到△的位置，使得平面平面，下列说法正确的有（

）A．三棱锥四个面都是直角三角形 B．平面平面C．与所成角的余弦值为 D．点到平面的距离为18．（2023春·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）如图，点M是棱长为l的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（

）A．不存在点M满足平面B．存在无数个点M满足C．当点M满足时，平面截正方体所得截面的面积为D．满足的点M的轨迹长度是19．（2023·江苏·统考二模）在正四棱柱中，已知，，则下列说法正确的有（

）A．异面直线与的距离为B．直线与平面所成的角的余弦值为C．若该正四棱柱的各顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为D．以A为球心，半径为2的球面与该正四棱柱表面的交线的总长度为20．（2023·江苏南京·统考二模）已知四棱柱的底面为正方形，，，则（

）A．点在平面内的射影在上B．平面C．与平面的交点是的重心D．二面角的大小为21．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）如图，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，点分别在半圆弧（均不含端点）上，且在球上，则（

）

A．当点在的三等分点处，球的表面积为B．球的表面积的取值范围为C．当点在的中点处，过三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形D．当点在的中点处，三棱锥的体积为定值22．（2023秋·江苏苏州·高三江苏省梁丰高级中学校考阶段练习）如图，矩形中，为边的中点，沿将折起，点折至处平面分别在线段和侧面上运动，且，若分别为线段的中点，则在折起过程中，下列说法正确的是（

）

A．面积的最大值为B．存在某个位置，使得C．三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为D．三棱锥体积最大时，点到平面的距离的最小值为.23．（2023·江苏无锡·校联考三模）用一个平行于正三棱锥底面的平面去截正三棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做正三棱台.如图，在正三棱台中，已知，则（

）

A．在上的投影向量为B．直线与平面所成的角为C．点到平面的距离为D．正三棱台存在内切球，且内切球半径为24．（2023·江苏南通·统考模拟预测）在边长为2的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线BD折成空间四边形A'BCD，使得．设E，F分别为棱BC，A'D的中点，则（

）A． B．直线A'C与EF所成角的余弦值为C．直线A'C与EF的距离为 D．四面体A'BCD的外接球的表面积为25．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知正方体的棱长为1，为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（

）A．B．二面角的大小为C．点到平面距离的取值范围是D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为26．（2023·江苏苏州·模拟预测）在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点，为的中点，是平面内异于点的一点，则（

）A．存在点，使得直线与平面相交B．对任意点均有C．线段长度的最小值为D．过的平面截三棱锥的外接球所得的截面面积可能为27．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）圆柱高为1，下底面圆的直径长为2，是圆柱的一条母线，点分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（

）．A．若，则点的轨迹为圆B．若直线与直线成，则的轨迹是抛物线的一部分C．存在唯一的一组点，使得D．的取值范围是28．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）棱长为1的正方体中，点为线段上一点（不包括端点），点为上的动点，下列结论成立的有（

）A．过的截面截正方体所得的截面多边形为等腰梯形B．的最小值为C．当点为线段中点时，三棱锥的外接球的半径为D．两点间的最短距离为29．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，点分别在线段和上．给出下列四个结论中所有正确结论的序号是（

）

A．的最小值为1B．四面体的体积为C．存在无数条直线与垂直D．点为所在边中点时，四面体的外接球半径为三、填空题30．（2023·江苏徐州·江苏省沛县中学校考模拟预测）在三棱锥中，，且，则直线PC与平面ABC所成角的余弦值为.31．（2023·江苏·校联考模拟预测）在棱长为6的正四面体中，已知点为该四面体的外接球的球心，则以为球心，为半径的球面与该四面体的表面形成的交线长为．32．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是.33．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）三棱锥中，，为边长为2的等边三角形，二面角的余弦值为，①三棱锥的体积最大为；②当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为.34．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）已知菱形ABCD的边长为1，，将沿AC翻折，当三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为.35．（2023·江苏淮安·统考模拟预测）已知四面体各顶点都在半径为3的球面上，平面平面，直线与所成的角为，则该四面体体积的最大值为.36．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知正四面体的棱长为3，点满足，过点作平面平行于和，设分别与该正四面体的棱，，相交于点，，，则四边形的周长为，四棱锥的体积的最大值为.37．（2023秋·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为．38．（2023秋·江苏南京·高三校联考阶段练习）在正三棱锥中，底面的边长为4，E为AD的中点，，则以D为球心，AD为半径的球截该棱锥各面所得交线长为．四、双空题39．（2023·江苏南京·校联考一模）如图，在矩形中，，，，，分别为，，，的中点，与交于点，现将，，，分别沿，，，把这个矩形折成一个空间图形，使与重合，与重合，重合后的点分别记为，，为的中点，则多面体的体积为