学考专题12 概率统计（原卷版）

学考专题12概率统计考点归纳考点归纳1．简单随机抽样(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．(2)常用方法：抽签法和随机数法．2．分层抽样(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)分层抽样的应用范围当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．3．频率分布直方图(1)纵轴表示eq\f(频率,组距)，即小长方形的高＝eq\f(频率,组距)；(2)小长方形的面积＝组距×eq\f(频率,组距)＝频率；(3)各个小方形的面积总和等于1.频率分布直方图中的常见结论(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．4．频率分布表的画法第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝eq\f(极差,组数)；第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．5．条形图、折线图及扇形图(1)条形图：建立直角坐标系，用横轴(横轴上的数字)表示样本数据类型，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据每个样本(或某个范围内的样本)的数量多少画出长短不同的等宽矩形，然后把这些矩形按照一定的顺序排列起来，这样一种表达和分析数据的统计图称为条形图．(2)折线图：建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据样本值和数量的多少描出相应各点，然后把各点用线段顺次连接，得到一条折线，用这种折线表示出样本数据的情况，这样的一种表示和分析数据的统计图称为折线图．(3)扇形图：用一个圆表示总体，圆中各扇形分别代表总体中的不同部分，每个扇形的大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小，这样的一种表示和分析数据的统计图称为扇形图．6．百分位数、众数、平均数的定义(1)如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数．一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．(2)第25百分位数又称第一四分位数或下四分位数；第75百分位数又称第三四分位数或上四分位数．(3)众数一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．(4)平均数一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x1，x2，…，xn的平均数eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．7．样本的数字特征之方差如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的(1)标准差s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).(2)方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]．8.平均数、方差的公式推广(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq\x\to(x)，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是meq\x\to(x)＋a.(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.9．古典概型特点(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．(2)每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．10．古典概型概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数)＝eq\f(m,n).求古典概型概率的步骤(1)判断试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；(3)利用公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事件A的概率.11．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．真题训练真题训练一、单选题1．（2023秋·广东·高三统考学业考试）为做好“新冠肺炎”疫情防控工作，我市各学校坚持落实“双测温两报告”制度，以下是某宿舍6名同学某日上午的体温记录：36.3，36.1，36.4，36.7，36.5，36.6（单位：），则该组数据的第80百分位数为（

）A．36.7 B．36.6 C．36.5 D．36.42．（2023秋·广东·高三统考学业考试）某校高一学生550人，高二学生500人，高三学生450人，现有分层抽样，在高三抽取了18人，则高二应抽取的人数为（

）A．24 B．22 C．20 D．183．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知样本的平均数是9，方差是2，则（

）A．41 B．71 C．55 D．454．（2023秋·广东·高三统考学业考试）10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（

）A． B． C． D．5．（2023秋·广东·高三统考学业考试）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（）A． B． C． D．6．（2023秋·广东·高三统考学业考试）某工厂随机抽取部分工人，对他们某天生产的产品件数进行了统计，统计数据如表所示，则该组数据的产品件数的第60百分位数是（

）件数7891011人数36542A．8.5 B．9 C．9.5 D．107．（2023·广东·高三统考学业考试）某校对学生在寒假中参加社会实践活动的时间（单位：小时）进行调查，并根据统计数据绘制了如图所示的频率分布直方图，其中实践活动时间的范围是[9，14]，数据的分组依次为：[9，10），[10，11），[11，12），[12，13），[13，14]．已知活动时间在[9，10）内的人数为300，则活动时间在[11，12）内的人数为（）A．600 B．800 C．1000 D．12008．（2023·广东·高三统考学业考试）从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，则下列每对事件互斥但不对立的是（）A．“至少有1件次品”与“全是次品”B．“恰好有1件次品”与“恰好有2件次品”C．“至少有1件次品”与“全是正品”D．“至少有1件正品”与“至少有1件次品”9．（2023·广东·高三统考学业考试）现要完成下列2项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；②东方中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（

）A．①抽签法，②分层随机抽样 B．①随机数法，②分层随机抽样C．①随机数法，②抽签法 D．①抽签法，②随机数法10．（2023秋·广东·高三统考学业考试）某工厂抽取件产品测其重量（单位：）．其中每件产品的重量范围是．数据的分组依次为、、、，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在内的产品件数为（

）A． B． C． D．11．（2023·广东·高三统考学业考试）甲乙两人进行射击比赛，每人射击5次，射击成绩如下表：甲命中的环数88987乙命中的环数791086根据上述数据，下列判断正确的是（

）A．甲、乙的平均成绩相同，甲的成绩更稳定B．甲、乙的平均成绩相同，乙的成绩更稳定C．甲、乙的平均成绩不同，甲的成绩更稳定D．甲、乙的平均成绩不同，乙的成绩更稳定12．（2023秋·广东·高三统考学业考试）下列说法中，正确的是（）A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方根C．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于对应各组的频数13．（2023秋·广东·高三统考学业考试）有一组数据，将其从小到大排序如下：157，159，160，161，163，165，168，170，171，173.则这组数据的第75百分位数是（

）A．165 B．168 C．170 D．17114．（2023·广东·高三统考学业考试）某人连续投篮两次，则他至少投中一次的对立事件是（

）A．至多投中一次 B．两次都投中C．只投中一次 D．两次都没投中15．（2023·广东·高三统考学业考试）若，则三个数称之为勾股数，从3，4，12，13中任取两个，能和5组成勾股数的概率是（

）A． B． C． D．16．（2023·广东·高三统考学业考试）已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法正确的是（）A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第74个数据和第75个数据的平均数17．（2023·广东·高三学业考试）明明同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（

）A．三次均未中靶 B．只有两次中靶C．只有一次中靶 D．三次都中靶18．（2023秋·广东·高三统考学业考试）某企业有甲､乙､丙三个工厂，甲厂有200名职工，乙厂有500名职工，丙厂有100名职工，为宣传新修订的个人所得税法，使符合减税政策的职工应享尽享，现企业决定采用分层抽样的方法，从三个工厂抽取40名职工，进行新个税政策宣传培训工作，则应从甲厂抽取的职工人数为（

）A．5 B．10 C．20 D．2519．（2023秋·广东·高三统考学业考试）某小组六名学生上周的体育运动时间为、、、、、，则该小组体育运动时间的平均数和方差是（

）A．、 B．、 C．、 D．、20．（2023·广东·高三统考学业考试）从3本不同的数学书和1本语文书中任取两本，则取出的两本书中有语文书的概率为（）A． B． C． D．21．（2023·广东·高二统考学业考试）2020年双十二这一天，某实体店新进两款棉服，统计如表所示，现用分层随机抽样的方法从新进的商品中抽取6件，再从这6件中任抽2件检测，则抽到的2件均为甲款的概率为（）棉服甲款乙款进货数量2010A． B． C． D．22．（2023·广东·高三统考学业考试）某校高二年级有50人参加2020“希望杯”数学竞赛，他们竞赛的成绩制成了如下的频率分布表，根据该表估计该校学生数学竞赛成绩的平均分为（

）分组[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]频率0.20.40.30.1A．70 B．73 C．78 D．81.523．（2023·广东·高三学业考试）某同学计划2023年高考结束后，在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观，则大学恰好被选中的概率为（

）A． B． C． D．24．（2023·广东·高三统考学业考试）甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得分，未击中目标得分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和，且甲、乙两人各射击一次得分之和为的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则值为（）A． B． C． D．二、填空题25．（2023·广东·高三统考学业考试）已知某校高一高二高三的人数分别为400、450、500，选派该校学生参加志愿者活动，采用分层抽样的方法选取27人，则高二抽取的人数为.26．（2023秋·广东·高三统考学业考试）从甲、乙、丙名同学中选出名同学参加活动，则甲、乙两人中恰有一人被选中的概率为．27．（2023·广东·高三学业考试）某校高二年级有男生510名，女生490名，若用分层随机抽样的方法从高二年级学生中抽取一个容量为200的样本，则女生应抽取名.28．（2023秋·广东·高三统考学业考试）袋内装有质地、大小完全相同的6个球，其中红球3个、白球2个、黑球1个，现从中任取两个球.对于下列各组中的事件A和事件B：①事件A：至少一个白球，事件B：都是红球；②事件A：至少一个白球，事件B：至少一个黑球；③事件A：至少一个白球，事件B：红球、黑球各一个；④事件A：至少一个白球，事件B：一个白球一个黑球.是互斥事件的是.（将正确答案的序号都填上）29．（2023·广东·高三学业考试）幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数．某机构从某社区随机调查了10人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，9.5，8.3，8.8，则这组数据的中位数是三、解答题30．（2023秋·广东佛山·高三统考学业考试）某公司为奖励员工实施了两种奖励方案，方案一：每卖出一件产品奖励4.5元；方案二：卖出30件以内（含30件）的部分每卖出一件产品奖励4元，超出30件的部分每卖出一件产品奖励7元．（1）记利用方案二员工甲获得的日奖励为Y（单位：元），日卖出产品数为．求日奖励Y关于日卖出产品数n的函数解析式；（2）员工甲在前10天内卖出的产品数依次为22，23，23，23，25，25，25，29，32，32，若将频率视为概率，如果仅从日平均奖励的角度考虑，请利用所学的统计学知识为员工甲选择奖励方案，并说明理由．31．（2023·广东·高三学业考试）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图估计分数的样本数据的70%分位数；（2）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中女生的人数.32．（2023·广东·高二统考学业考试）全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2019年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下表：空气质量指数（）[0，50](50，100](100.150](150.200](200.250]空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染天数2040m105(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数.33．（2023·广东·高三学业考试）某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查，调查结果如下表：阅读名著的本数12345男生人数31213女生人数13312（1）试根据上述数据，求这个班级女生阅读名著的平均本数；（2）若从阅读5本名著的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率；（3）试比较该班男生阅读名著本数的方差与女生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．34．（2023·广东·高三统考学业考试）某班有男生27名，女生18名，用分层抽样的方法从该班中抽取5名学生去敬老院参加献爱心活动.（1）求从该班男生、女生中分别抽取的人数；（2）为协助敬老院做好卫生清扫工作，从参加活动的5名学生中随机抽取2名，求这2名学生均为女生的概率.35．（2023·广东·高三统考学业考试）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占.现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组第组第组得到的频率分布直方图如图所示：（1）求的值（