新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习 单元质检卷六平面向量复数北师大版

单元质检卷六平面向量、复数

(时间：120分钟满分：150分)

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.(2021北京,2)在复平面内，复数Z满足(Li)Z2,则z=()

A.2+iB.2-iC.1-iD.l÷i

2.已知向量aɪ(l,2),b=(2,x),且a-bɪ-l,贝IJX的值等于()

D∙1

3.已知i是虚数单位,若复数z*,则Z的共辗复数2=)

a4.3.

A.-+-1B.Hi

55

4.3.「43.

Cr.一+—1D.r--------1

5555

4.(2021山东临沂一模)如图，若向量改对应的复数为z,且/z∕'=√亏,则±=()

Z

1.2.12.

Aa.-+-1Bd.——ι

5555

12.12.

rC.------1Dn.一+l—1

5555

5.如图,在矩形ABCD中，AB咤,AD=∖,£为边国的中点,F为跖的中点，则而•荏=()

A.3B.2

c∙lD∙Ξ

6.(2021福建厦门模拟)向量a=(l,2),b=(x,1).若(a4))_L(a4)),则矛=()

A.-2B.÷-√r2C.±2D.2

7.已知向量a=(l,√∑),,/b∕=2,∕a4)Λ√Π,则a与b的夹角为()

8.在4/8C中,==CAAB,贝UsinA；sinB；sinC=（）

A.5/3/4

B.5/4/3

C.√5/2∕√3

D.√5：√3.∙2

9.若勿∈R,则复数翌在复平面内所对应的点不可能在（）

1-1

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

10.已知平面向量a=（2,2）,b=（l,必），且∕2a4√=∕a÷b∕,则（）

A.a∙b=4B.a∙b=0

C.m--∖D./b∕⅛

IL设Z为复数,则下列选项错误的是（）

A.∕zP=zz

B.z=IZF

C.若∕z∕=l,则∕z+i∕的最大值为2

D.若∕z-l∕=l,则0<∕z∕W2

12.已知产为△/比■所在平面内一点，则下列选项错误的是(）

A.若对+3而+2万次,则点尸在C的中位线上

B.若与+PB+PC-O,则一为a1的重心

C.若荏∙ACX),则为锐角三角形

D.若丽=^AB+IΛC,则C与△/"的面积比为3/2

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知向量a=(见D,b=(4,4，向量a在b上的投影向量的模为次,则m=.

14.(2021山东省实验中学二模)设向量a=(l,w),b=(2,1),且b∙(2a÷b)%则以ɪ.

15.(2021湖北七市联考)在矩形ABCD中,AB2AD=∖,设然与M交于点0,则布•

BO=.

16.(2021天津，15)在边长为1的等边三角形46C中，。为线段况■上的动点，Z½L46且交Λ9于点

E.DF〃AB立交/C于点∕ξ则/2而+而/的值为,(DE+DF)∙用的最小值

为.

三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知复数Z=历(6∈R),笠是纯虚数，i是虚数单位.

1+1

(1)求复数Z；

(2)若复数E+z)2在复平面内对应的点在第二象限,求实数小的取值范围.

18.(12分)(2021江苏海门第一中学高三期末)在平面直角坐标系X如中，已知点/1(1,3),8(2,-

2),C(4,D.

⑴若说=3而,求点。的坐标；

(2)设实数A■满足(■+2诟)•丽N,求实数A的值.

19.(12分)已知a=(cos%,sinx),b=(l,0),c=(4,4).

(1)若a〃(c~b),求tanx∖

⑵求∕a4√的最大值,并求出对应的X的值.

20.(12分)如图,在长方形ABCD中,E为迫"的中点,少为边比■上一点,且乌=|.设希ɪa,AD⅛.

CB3

⑴试用基｛a,b｝表示族,前;

(2)若。为长方形4况力内部一点,且而=[a*b,求证:七G,F三点共线.

21.(12分)已知。为坐标原点,6?=(2CoSx,√3),0β^(sinΛ≠√3COSx,T),若f(x)切•而+2.

(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；

(2)当XG(0,：)时,若函数g(x)=f(x)加有零点,求实数m的取值范围.

22.(12分)已知el,e2是平面内的两个不共线向量,AB-2el÷e2,FF=-eι+λe2,EC=-2ei2,且4£C三

点共线.

(1)求实数，的值；

(2)若eι=(2,1),ez=(2,-2),求百？的坐标;

(3)已知。(3,5),在(2)的条件下,若A,B,C,〃四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A的坐标.

单元质检卷六平面向量、复数

1.D解析：由题意可得zWτ=⅛∖=竽2=l+i∙

1-1(1-71)(1+1)2

故选D.

2.D解析：因为a=(l,2),b=(2,x),所以a∙b=lX2+2X=T,解得x=∣.

故选D.

则2=+∣i,故选A.

4.D解析:根据图形可设Z=TMi,-0,

因为∕zΛ√5,所以J(∙l)2+>=√5,解得的,

所以z=-l÷2i,贝吃二T-2i,

山1、［11-l+2i-1+211.2.

所以二=——=---------=----=~+-1.

z-l-2i(-l-2i)(-l+2i)555

故选D.

5.B解析：以力为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,

则/(0,0),£(1,1),尸(IW),...不=(Il),荏=(1,1),

：.AF-AE=-+-=2.

22

故选B.

6.C解析：(方法l)a÷bɪ(l⅛,3),a-bɪ(l-ɪ,1),

因为(a÷b)J.(a~b),所以(a÷b)∙(a-b)M),

即(1+x)(1-χ)÷34),解得X=±2.

(方法2)因为(a÷b)J.(a-b),所以(a也)∙(a-b)ɪθ,

即a-b4),即∕a∕=∕b∕,所以x=±λf.

故选C.

7.D解析:因为∕a∙b∕WI5,所以(a~b)2=13,即a~~2a∙b÷b-13.

设a与b的夹角为0,则3-2√3X2Xcos，用=13,解得COSO=号，

所以a与b的夹角为

6

故选D.

8.D解析：由题意,在中,改产=蛆产=CA-AB,设中角A,B,，所对的边分别为

a,b,c,

L

利用向量的数量积的定义可知竺哼曳=加。:eggs(JtT),即竺署=竺哭=如詈,

222222222

畔.α+c-b-a-b--a+b-c=--b--e----∂---+---c-----a--

2ac22ab-------12bc

222J2

即2才+2/-2,2⊂34a√∙36"-3c=66÷6C-65,

设2百也才」々孑埒^2k,QO,

z

解得a=ξ)kiI)Ck,TAk,所以a√5k,Λ≡√3fc,c=^4ki

所以由正弦定理可得a：b：C=SirL4；sin夕/sinfW≡：√3/2.

故选D.

(m+i)(l+i)

9.D解析:N=

l-ɪ(l∙i)(l+i)

m-l.m+1.

二—+——1,

22

当加1时,对应的点在第一象限;

第TeKl时,对应的点在第二象限;

当/Z7<-l时,对应的点在第三象限.

故选D.

10.A解析：由∕2a-b∕=∕a÷b/,得2a・bɪa1所以2(2+2血2÷4,解得m=l,则/b∕=>J2,a・b，

故选A.

11.B解析：设z=a+bi(a,⅛∈R).

对于A,/z>'1=a-f-b',zz={a+b∖)(a-⅛i)=~+从故A正确;

对于B,z={a+bx)1=a-I)+2abi,IZF==M+6、故B错误；

对于C,∣z∣=∖表示Z在复平面内对应的点Z在以原点为圆心的单位圆上，∕z+i∕表示点Z与点(0,-1)

之间的距离,故∣z+i/的最大值为2,故C正确；

对于D,∕z-l∕=l表示Z在复平面内对应的点Z在以(1,0)为圆心，1为半径的圆上，∕z∕表示点Z与原

点(0,0)之间的距离,故OWlZIW2,故D正确.

故选B.

12.C解析:对于A,设4?中点为〃,比'中点为£

∙/PA+3PB-f2PC-0,：.PA+PB=~2(PB+PC),

.∖2PD=APE,KPPD=2EP,：.P,D,£三点共线，

又应为△/回的中位线，.∙.点尸在△/欧的中位线上，故A正确；

对于B,设46中点为D,由丙+PB+PC=O,得可+PB=jPC=CP,

又以+而2而，；.而之而，；.尸在中线G9上,且需=2,

。为4∕6C的重心，故B正确；

对于C,：万•左，0,二荏与三夹角为锐角，即力为锐角，但止匕时6,C有可能是直角或钝角，故无法

说明448C为锐角三角形,故C错误；

对于D,1♦族=：而+|记.《(前一砌号画一都)力，

ΛPB+2PC4),

二户为线段式＞上靠近C的三等分点，即加=IBC,

=

∙*∙S△八nc:S^ABP=BC:BPQi∙2,故D正确.

故选C.

13.2或-2解析：由题意可知，向量a在b上的投影数量为IɪIU看二m∣=泮吗=遍两边

∖b∖√42+m2√16+m2

平方，可得著⅛石,解得,片-2或m2

16+m2

14.-1解析：I向量a解1,而,b=(2,1),

・，.2a÷b=(4,2m+l).

Vb∙(2a÷b)=7,

.∙.8÷2∕"1=7,

解得m=-∖.

15.3解析:刀.丽=T前J而=;（前+而）.（而一荏）

ɪ（ʌθ2-AB2）

J（12-22）=Λ

44

16.1ɪɪ解析:设缈=x,Xe（O彳），∙.FW为边长为1的等边三角形,施二必

/BDE侬°,BDZ,DE=聒X,DC=∖tx.

'：DF〃AB,：,ADFC为近次为1-2%的等边三角形,鹿，冰;

(2,BE+DF)2=4BE2-f4BE-DF+DF2=4χ-f4x(l^,x)XcosOo+(l-2x)'l,

.,.∕2BE+DF∕=1.

'：(DE+DF)∙^DA=(DE+DF)∙(DE+^EA)=^DE2+DF-EA

zr(√3ɪ)'÷(l-2x)•(1-χ)⅛x-3x÷l⅛

当X磊时，（屁+丽）•砺取最小值为余

(b-2)+(b+2)ib-2b+2.

17.解⑴∙.∙z二6i(b∈R),.∙.急=警=器需--------------------=---------1--------1

l+il+i(l+0(l-ι)222

又名是纯虚数，.••竽R,

1+12

β

..b=2yBPz=2i.

⑵Tzj=2i,勿∈R,；・（而+z）2=（勿*2i）,∕÷4勿i÷4i'=（∕z∕-4）Mzzzi.

又复数在复平面内对应的点在第二象限，.∙∙*1't,S

（4m>0,

解得0<⅛<2,故实数小的取值范围为（0,2）.

18.解⑴因为4(1,3),6(2,-2),C(4,1),

所以刀=(1,-5).设D{x,y),则而=(XM,尸1).

因为荏书而，

所以(1,τ)=(3χ-12,3尸3),

f_13

所以期2==：；解得;二，

V3，

所以点。的坐标为(学看).

(2)OC=(4,1),Mβ÷2OC=(⅛÷8,-5A÷2).

因为(领母而)•瓦N,所以4(h8)X七右2)N,解得人30.

19.解(I)c4>=(3,4),

由a/7(c~b)得4cosxTsinx4),

.,Sinx4

.・tanʃɪ=--------=

COSX3

(2)Va÷b=(cosΛ÷l,Sinx),

.,.(a⅛)'jz(cos%÷l)'÷sin∖v⅛+2CoSx,

/a⅛∕=yj2+2cosx,

当cosx=l,即XekM,4∈Z时，∕a÷b/取得最大值为2.

20.⑴解版=而+反=而+g反=同+［屈巾*,

^EF=EC+^CF=-AB+-CB=-AB--AD=ɪa-b.

232323

(2)证明√4G=~a^ʌ^b,EG=AG-AE=-a~b,