学考专题06 函数零点与函数模型（解析版）

学考专题06函数零点与函数模型考点归纳考点归纳函数的零点对于函数，我们把的实数叫做函数的零点函数的零点与方程的根和图象与轴交点的关系函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴交点的横坐标方程的实数解函数的零点函数的图象与轴有交点零点存在性定理如果函数在区间的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间至少有一个零点，即存在，使得，这个也是方程的解真题训练真题训练一、单选题1．（2023秋·广东·高三统考学业考试）函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合函数零点的存在性定理即可得出结果.【详解】因为是连续的减函数，，，，，有，所以的零点所在的区间为．故选：C2．（2022秋·广东·高三校考学业考试）函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用零点存在定理判断后可得正确的选项.【详解】因为均为上的增函数，故为上的增函数，故至多有一个零点，.而，，因为的图象不间断，由零点存在定理可知在区间有且只有一个零点，故选：D.【点睛】本题考查函数的零点的位置，注意根据零点存在定理和函数的单调性来判断，在应用零点存在定理判断零点的位置时，需函数的图象是连续不间断，本题属于基础题.3．（2023·广东·高三学业考试）方程的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析函数的单调性，利用零点存在定理可得出结论.【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数在上也为增函数，因为，，，，由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为.故选：C.4．（2023·广东·高三统考学业考试）函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依次判断各个区间端点处函数值的符号，根据零点存在定理可判断得到结果.【详解】由题意得：定义域为,且在定义域上为增函数,故至多一个零点,；；

零点所在区间为故选：【点睛】本题考查利用零点存在定理判断零点所在区间的问题，属于基础题.5．（2023·广东·高三统考学业考试）函数的零点在区间．A． B． C． D．【答案】B【详解】分析：由零点存在定理直接跑到即可.详解：∵，，∴函数的零点在区间．故选．点睛：本题考查零点存在定理的应用，属基础题.二、填空题6．（广东广州·高二学业考试）若函数的零点在区间上,则的值为.【答案】1【分析】利用函数的单调性，结合零点存在性定理求解作答.【详解】依题意，函数的定义域为：，且函数在上单调递增，而，则函数的唯一零点在区间上，所以.故答案为：17．（2023秋·广东·高三统考学业考试）某数学练习册，定价为40元.若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券.某班购买x(x∈N*，x≤40)本，则总费用与x的函数关系式为(代金券相当于等价金额).【答案】，【分析】由题意，将购买x本书，按0＜x＜10、10≤x＜20、20≤x≤40有三种不同的购书方案写出对应的函数模型，最后将它们整合为分段函数的形式即可【详解】当0＜x＜10时，＝40x当10≤x＜20时，＝35x－10当20≤x≤40时，＝30x－20综上，有，故答案为：，【点睛】本题考查了函数的应用，根据实际问题由不同的购买方案得到不同的函数模型，最后整合为分段函数形式8．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是【答案】【解析】由题意可得函数在区间上单调递增，再根据函数在上有零点，可得，由此求得a的范围．【详解】函数的图象的对称轴方程为，故函数在区间上单调递增，再根据函数在上有零点，可得，解得−2<a<0.故答案为:.【点睛】本题主要求函数的零点的判定定理，二次函数的性质，属于基础题．三、解答题9．（2023秋·广东·高三统考学业考试）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表：每户每月用水量水价不超过的部分3元超过的部分但不超过的部分6元超过的部分9元(1)甲用户某月的用水量为，求甲用户该月需要缴纳的水费；(2)乙用户某月缴纳的水费为54元，求乙用户该月的用水量．【答案】(1)30元(2).【分析】(1)直接根据图表数据求解;(2)建立分段函数模型可求解.【详解】（1）甲用户该月需要缴纳的水费：元.（2）设用水量为，需要缴纳的水费为，由题可知，整理得，当时，，当时，，当时，，所以令，解得，因此乙用户该月的用水量为.10．（2023秋·广东佛山·高三统考学业考试）某公司为奖励员工实施了两种奖励方案，方案一：每卖出一件产品奖励4.5元；方案二：卖出30件以内（含30件）的部分每卖出一件产品奖励4元，超出30件的部分每卖出一件产品奖励7元．（1）记利用方案二员工甲获得的日奖励为Y（单位：元），日卖出产品数为．求日奖励Y关于日卖出产品数n的函数解析式；（2）员工甲在前10天内卖出的产品数依次为22，23，23，23，25，25，25，29，32，32，若将频率视为概率，如果仅从日平均奖励的角度考虑，请利用所学的统计学知识为员工甲选择奖励方案，并说明理由．【答案】（1）；（2）选择方案一，理由见解析.【分析】（1）由题意可得分和两种情况求解函数解析式；（2）先求出员工甲日平均卖出的产品件数，然后分别求两种奖励方案中的奖励大小，再比较可得答案【详解】（1）当时，．当时，．综上可知：（2）根据数据，可估算员工甲日平均卖出的产品件数为．

员工甲根据方案一的日平均奖励为（元），

员工甲根据方案二的日平均奖励为，

因为，所以建议员工甲选择方案一．11．（2023·广东·高三学业考试）某移动公司推出两种不同的通话套餐类型供客户选择：套餐一：零月租，按照0.4元/分钟计算话费；套餐二：月租为40元，包含通话100分钟，若通话时长超过100分钟，则按照0.2元/分钟计算话费.(1)写出两种套餐对应的话费与月通话时长之间的函数关系.(2)如果某用户月通话时长为200分钟，则他选择哪个套餐会更划算？【答案】(1)答案见解析(2)他选择套餐二会更划算【分析】（1）根据题意直接进行求解即可；（2）运用代入法进行求解判断即可.【详解】（1）设通话时长为（分）设套餐一话费与月通话时长之间的函数关系，由题意可知：；设套餐二话费与月通话时长之间的函数关系，由题意可知：；（2）如果某用户用套餐一，当用户月通话时长为200分钟，他的话费为元；如果某用户用套餐二，当用户月通话时长为200分钟，他的话费为元，显然，因此他选择套餐二会更划算.12．（2023·广东·高三学业考试）某市出租车的票价按以下规则制定：起步公里为2.6公里，收费10元；若超过2.6公里的，每公里按2.4元收费.(1)设A地到B地的路程为4.1公里，若搭乘出租车从A地到B地，需要付费多少？(2)若某乘客搭乘出租车共付费16元，则该出租车共行驶了多少公里？【答案】(1)元(2)公里【分析】（1）设出租车行驶公里，根据题设写出付费额的分段函数形式，进而求从A地到B地需要的付费；（2）由题意出租车行驶公里数，结合解析式列方程求该出租车共行驶的公里数.【详解】（1）设出租车行驶公里，则付费额，所以元.（2）由题意，出租车行驶公里数，令，则公里.13．（广东广州·高二学业考试）已知函数f（x）=ax2+2x﹣2﹣a（a≤0），（1）若a=﹣1，求函数的零点；（2）若函数在区间（0，1]上恰有一个零点，求a的取值范围．【答案】（1）当a=﹣1时，函数f（x）的零点是1；（2）﹣1≤a≤0或a≤﹣2.【分析】（1）令f（x）=﹣x2+2x﹣1=0，求解即可；（2）讨论当a=0时和当a＜0时二次函数在区间（0，1]的零点分别求参数范围即可.【详解】（1）当a=﹣1时，f（x）=﹣x2+2x﹣1，令f（x）=﹣x2+2x﹣1=0，解得x=1，∴当a=﹣1时，函数f（x）的零点是1．（2）①当a=0时，2x﹣2=0得x=1，符合题意．②当a＜0时，f（x）=ax2+2x﹣2﹣a=a（x﹣1）（x+），则x1=1，x2=﹣，由于函数在区间（0，1]上恰有一个零点，则﹣或﹣≤0，解得或a≤﹣2，综上可得，a的取值范围为﹣1≤a≤0或a≤﹣2．【点睛】解本题的关键是处理二次函数在区间上零点问题，对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：一是，开口；二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；三是，判别式，决定于x轴的交点个数；四是，区间端点值.四、应用题14．（2023·广东·高三学业考试）为落实中央“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫基地投入300万元研发资金用于蔬菜的开发与种植，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金数比上一年增长.（1）以2021年为第1年，分别计算该企业第1年、第2年投入的研发资金数，并写出第年该企业投入的研发资金数（万元）与的函数关系式以及函数的定义域；（2）该企业从哪年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元？【答案】（1），；（2）从年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元.【分析】（1）由题设，应用指数函数模型，写出前2年的研发资金，进而确定函数解析式及定义域；（2）由（1）得，利用指数的性质、对数运算求解集，进而判断从哪年开始研发资金数将超过600万元即可.【详解】（1）由题设，第1年研发资金为：万元；第2年研发资金为：万元；∴第年研发资金：且定义域为；（2）由（1）知：，即，∴，故从第8年即年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元.15．（2023秋·广东·高三统考学业考试）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与x成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？并求出该值．【答案】5km；最小费用为8万元【分析】先设出，代入自变量及对应的函数值，求出，从而得到两项费用之和，利用基本不等式求出最小值.【详解】设，当时，，∴，∴，∴两项费用之和为．当且仅当时，即当时等号成立．即应将这家仓库建在距离车站处，才能使两项费用之和最小，且最小费用为8万元．16．（2023秋·广东·高三统考学业考试）某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量（件）与销售单价（元/件）可近似看作一次函数的关系．设商店获得的利润（利润销售总收入总成本）为元．（1）试用销售单价表示利润；（2）试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？【答案】（1）；（2）当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件．【分析】（1）由利润销售总收入总成本可得答案；（2）对于配方法即可求得最大值．【详解】（1）.（2），∴当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件．17．（2023·广东·高三统考学业考试）某企业十年内投资一个项目，2022年投资200万，之后每一年的投资额比前一年增长10%.(1)求该企业在2024年该项目的头投资金额；(2)该企业在哪一年的投资金额将达到400万元?（参考数据：）【答案】(1)242万元；(2)2030年．【分析】（1）根据增长率的定义求解；（2）结合指数函数模型列方程求解．【详解】（1）由题意2023年投资额为，2024年投资额为（万元）；（2）设第年投资金额将达到400万元，即，，，，因此在第9年即2030年投资金额将达到400万元．18．（2023秋·广东·高三统考学业考试）吉祥物“冰墩墩”在北京年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为万元.每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于等于万盒时，；当产量大于万盒时，，若每盒玩具手办售价元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）.(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？【答案】(1)(2)万盒【分析】（1）根据题设公式，讨论产量小于等于万盒和产量大于万盒两种情况，从而写出所求函数关系式；（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.【详解】（1）当产量小于等于万盒时，,当产量大于50万盒时，故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为（2）当时，当时，当时，当产量为万盒时，该企业在生产中所获利润最大.19．（2023秋·广东·高三统考学业考试）某工厂生产某种零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于产量