第10讲 指数与指数函数（原卷版）

第10讲指数与指数函数基础知识1.根式n次方根概念如果存在实数x,使得xn=a,则x称为a的,其中n>1,n∈N*

性质当n是时,a的n次方根为x=

n当n是时,正数a的n次方根为x=±na,负数的偶次方根0的任意正整数次方根均为0,记为n0=根式概念当na有意义的时候,na称为,n称为,a性质当n为奇数时,nan当n为偶数时,na2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂:amn=nam(a>0,m,n∈N*②正数的负分数指数幂:a-mn=1amn=1nam(a>0,③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂.

(2)有理数指数幂的性质①asat=(a>0,s,t∈Q);

②(as)t=(a>0,s,t∈Q);

③(ab)s=(a>0,b>0,s∈Q).

3.指数函数的图象与性质y=ax(a>0且a≠1)a>10<a<1图象定义域R值域

性质过定点

当x>0时,;

当x<0时,

当x>0时,;

当x<0时,

在R上是

在R上是

常用结论1.函数y=ax+b(a>0且a≠1)的图象恒过定点(0,1+b).2.指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象以x轴为渐近线.分类训练探究点一指数幂的化简与求值1.化简[3(-5)2A.5 B.5 C.-5 D.-52.化简a23b12·-3a12b13÷1A.6a B.-a C.-9a D.9a23.计算:(32×3)6+(-2020)0-4×1649

-12+44.已知x+x-1=3,则x32+[总结反思]指数幂运算的一般原则:(1)指数幂的运算首先将根式、负分数指数幂统一为正分数指数幂,以便利用法则计算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数,先化成假分数.(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.探究点二指数函数的图象及应用例1(1)函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=(a-1)x2-2x-1在同一个坐标系内的图象可能是()图2-10-1(2)函数y=ax(a>0且a≠1)与y=xb的图象如图2-10-2所示,则下列不等式一定成立的是 ()图2-10-2A.ba>0 B.a+b>0C.ab>1 D.loga2>b[总结反思](1)研究指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1),-1,1a.(2)与指数函数有关的函数图象问题的研究,往往利用指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象.(3)一些指数方程、不等式问题,往往结合相应的指数型函数图象,利用数形结合求解.变式题(1)函数f(x)=12|x+1|的图象大致为 ()图2-10-3(2)设函数f(x)=e|lnx|(e为自然对数的底数),若x1≠x2且f(x1)=f(x2),则下列结论一定不成立的是 ()A.x2·f(x1)>1B.x2·f(x1)=1C.x2·f(x1)<1D.x2·f(x1)<x1·f(x2)探究点三利用指数函数的性质解决有关问题 微点1比较指数式的大小例2(1)已知a=3615,b=343,c=9A.b<a<c B.a<b<cC.a<c<b D.c<a<b(2)(多选题)已知实数a,b满足等式12a=13b,下列关系式可能正确的是 ()A.0<b<a B.0<a<bC.b<a<0 D.a=b=0[总结反思]比较指数式的大小,其依据是指数函数的单调性,原则上是将待比较的指数式化为同底的指数式,并要注意底数的范围是(0,1)还是(1,+∞),若不能化为同底,则可化为同指数或利用中间变量比较.微点2解简单的指数方程或不等式例3(1)已知关于x的不等式2x-a>0在区间-1,-12上有解,那么实数a的取值范围是 ()A.-∞,12 B.-∞,22C.12,22 D.22,+∞(2)若f(x)为偶函数,当x≥0时满足f(x)=2x-4,则不等式f(x-2)>0的解集为.

[总结反思](1)af(x)=ag(x)(a>0且a≠1)⇔f(x)=g(x).(2)af(x)>ag(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当0<a<1时,等价于f(x)<g(x).(3)有些含参数的指数不等式,需要分离变量,转化为求有关函数的最值问题.微点3指数函数性质的综合问题例4(1)已知函数f(x)=3x+13x,则使得f(2x)>f(x+1)成立的x的取值范围是 ()A.(-∞,1) B.(1,+∞)C.-13,1 D.-∞,-13∪(1,+∞)(2)若关于x的不等式4ax-1<3x-4(a>0且a≠1)对于任意的x>2恒成立,则a[总结反思]指数函数性质的综合问题,主要涉及单调性、奇偶性、最值等,应在有关性质的基础上,结合指数函数的性质进行解决,而指数函数性质的重点是单调性,注意利用单调性实现问题的转化.▶应用演练1.【微点1】下列关系中正确的是 ()A.12

23<15

23<12B.12

13<12

23<15C.15

23<12

13<12D.15

23<12

23<122.【微点1】(多选题)已知a=2,b=55,c=77,则 (A.a>b B.c>b C.b>c D.b>a3.【微点2】若关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0有解,则实数a的取值范围是 ()A.(-∞,-8]∪[0,+∞) B.(-∞,-4)C.[-8,-4) D.(-∞,-8]4.【微点2】已知函数f(x)=ex(1+x),那么不等式f(x)<0的解集是 ()A.(-∞,-e) B.(-∞,-1)C.(-∞,1) D.(-∞,e)5.【微点3】已知幂函数f(x)=(m-1)2xm2-4m+2在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-t,若对任意x1∈[1,6),总存在x2∈[1,6),使得f(x1)=g(x2A.t<1 B.t≥28或t≤1C.t>28或t<1 D.1≤t≤28同步作业1.若函数f(x)=(a2-3a+3)ax是指数函数,则 ()A.a>0且a≠1 B.a=1C.a=1或a=2 D.a=22.设m,n∈R,则“m<n”是“12m-n>1”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若指数函数f(x)=ax在区间[0,2]上的最大值和最小值之和为10,则a的值为 ()A.13 B.C.±3 D.±14.化简a3b2·3ab2A.ab BC.ba D.5.已知函数g(x)=3x+t的图象不经过第二象限,则t的取值范围为 ()A.t≤-1 B.t<-1C.t≤-3 D.t≥-36.函数f(x)=3x+5的值域是.

7.已知a=235,b=325,c=5A.b<a<c B.a<b<cC.c<b<a D.c<a<b8.已知函数f(x)=12x2-2x+1,x∈[1,4],当x=a时,f(x)取得最大值b,则函数g(x)=a|x+图K10-19.已知0<a<b<1,则 ()A.(1-a)1b>(1-aB.(1-a)b>(1-a)C.(1+a)a>(1+b)bD.(1-a)a>(1-b)b10.(多选题)已知函数f(x)=2021x-2021-x+1,则下列说法正确的是 ()A.函数f(x)是奇函数B.关于x的不等式f(2x-1)+f(2x)>2的解集为14,+∞C.函数f(x)是R上的增函数D.函数f(x)的图象的对称中心是(0,1)11.2019年7月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间T(单位:年)的衰变规律满足N=N0·2-T5730(N0表示碳14原有的质量),则经过5730年后,碳14的质量变为原来的;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的37至12,据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到年之间.(参考数据:lg2≈0.12.已知函数f(x)=13

ax2-4x+3,若f(x13.已知函数f(x)=2x+(a-a2)·4x,其中a∈R.(1)当a=2时,求满足f(x)≥0的实数x的取值范围;(2)若x∈(-∞,1]时,函数f(x)的图象总在直线y=-1的上方,且a