第8讲 函数的奇偶性与周期性（解析版）

第8讲函数的奇偶性与周期性基础知识1.函数的奇偶性偶函数奇函数定义设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有

,则称函数y=f(x)为偶函数

,则称函数y=f(x)为奇函数

图像特征关于对称

关于对称

2.函数的周期性(1)周期函数对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得对定义内的每一个x,都满足,那么就称函数f(x)为周期函数,非零常数T称为这个函数的周期.

(2)最小正周期对于一个周期函数f(x),如果在它的所有周期中存在一个,那么这个就称为f(x)的最小正周期.

1.-x∈Df(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)y轴原点2.(1)f(x+T)=f(x)(2)最小的正数最小的正数常用结论1.奇(偶)函数定义的等价形式:(1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数;(2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数.2.设f(x)的周期为T,对f(x)的定义域内任一自变量的值x,有如下结论:(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2|a|;(2)若f(x+a)=1f(x),则(3)若f(x+a)=f(x+b),则T=|a-b|.3.对称性与周期性之间的常用结论:(1)若函数f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|;(2)若函数f(x)的图像关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|;(3)若函数f(x)的图像关于直线x=a和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=4|b-a|.4.关于函数图像的对称中心或对称轴的常用结论:(1)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图像关于直线x=a对称;(2)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图像关于直线x=a+(3)若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图像关于点a+b2,0(4)若函数f(x)满足关系f(a+x)+f(b-x)=c,则函数f(x)的图像关于点a+b2,c2分类训练探究点一函数奇偶性及其延伸 微点1函数奇偶性的判断例1(1)已知函数f(x)=9-x2|6-x|-A.既是奇函数也是偶函数B.既不是奇函数也不是偶函数C.是奇函数,但不是偶函数D.是偶函数,但不是奇函数(2)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列说法中正确的是 ()A.f(x)+|g(x)|是偶函数B.f(x)-|g(x)|是奇函数C.|f(x)|+g(x)是偶函数D.|f(x)|-g(x)是奇函数例1[思路点拨](1)求出函数的定义域,化简函数的解析式,再利用函数奇偶性的定义求解即可;(2)根据奇函数与偶函数的定义对各选项进行判断即可.(1)C(2)A[解析](1)由9-x2≥0且|6-x|-6≠0,解得-3≤x≤3且x≠0,可得函数f(x)的定义域为{x|-3≤x≤3且x≠0},关于原点对称,所以f(x)=9-x2|6-x|-6=9-x26-x-6=9-x2-x(2)由题设知f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),于是有f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|-g(x)|=f(x)+|g(x)|,故A正确;f(-x)-|g(-x)|=f(x)-|g(x)|≠-[f(x)-|g(x)|],故B不正确;|f(-x)|+g(-x)=|f(x)|-g(x)≠|f(x)|+g(x),故C不正确;|f(-x)|-g(-x)=|f(x)|+g(x)≠-[|f(x)|-g(x)],故D不正确.故选A.[总结反思]函数具有奇偶性包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域.(2)判断f(x)与f(-x)的关系.在判断奇偶性时,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.常见特殊结构的奇、偶函数:f(x)=loga(x2+1-x)(a>0且a≠1)为奇函数,f(x)=ax+a-x(a>0且a微点2函数奇偶性的应用例2(1)若函数f(x)=g(x),x<0,2x-3,A.-52 B.C.-1 D.1(2)已知函数f(x)=2-2x,x≥0,2-x,x<0,则flg例2[思路点拨](1)根据f(x)是奇函数求出g(x)的解析式,根据分段函数的关系求解即可.(2)由f(x)+f(-x)=2,可得f(lg5)+f(-lg5)=f(lg2)+f(-lg2)=2,故flg15+flg12+f(lg2)+f(lg5)=4.(1)C(2)4[解析](1)∵函数f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),当x<0时,-x>0,则f(x)=-f(-x)=-12x+3(x<0),故f(x)=-12x+3,x<0,2x-3,x>0,∴f[g(-1)]=f[f((2)根据题意,函数f(x)=2-2x,x≥0,2-x,x<0,当x>0时,-x<0,则有f(x)=2-2x(x>0),f(-x)=2x又由lg2>0,lg5>0,得flg15+flg12+f(lg2)+f(lg5)=f(-lg5)+f(-lg2)+f(lg2)+f(lg5)=2+2=4.[总结反思]利用函数的奇偶性可以解决以下问题:(1)求函数值:将待求函数值利用奇偶性转化为求函数已知解析式的区间上的函数值.(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知解析式区间上,再利用奇偶性的定义求出.(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值.(4)画函数图像:利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图像.(5)求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值.微点3奇偶性延伸到其他对称性问题(从平移角度说说对称性问题)例3(1)(多选题)已知偶函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=0,则下列说法正确的是 ()A.函数f(x)是以2为周期的周期函数B.函数f(x)是以4为周期的周期函数C.函数f(x-1)为奇函数D.函数f(x-3)为偶函数(2)已知函数f(x+2)是偶函数,f(x)在(-∞,2]上单调递减,f(0)=0,则f(2-3x)>0的解集是 ()A.-∞,23∪(2,+∞)B.23,2C.-23,23D.-∞,-23∪23,+∞例3[思路点拨](1)利用偶函数关于y轴对称以及f(x)+f(2-x)=0可知f(x)是周期为4的周期函数,进而结合选项进行判断;(2)先由函数f(x+2)是偶函数,得到f(x)的图像关于直线x=2对称,进而得出f(x)的单调性,再分2-3x≥2和2-3x<2进行讨论,即可求出结果.(1)BC(2)D[解析](1)∵函数f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),又f(x)+f(2-x)=0,∴f(-x)+f(2+x)=0,则f(x)+f(2+x)=0,即f(2+x)=-f(x),∴f(4+x)=-f(2+x)=f(x),故函数f(x)是周期为4的周期函数,由此可知选项A错误,选项B正确;对于选项C,由f(x)+f(2-x)=0,可得f(x)的图像关于点(1,0)对称,由f(x)为偶函数,可得f(x)的图像关于点(-1,0)对称,将y=f(x)的图像向右平移1个单位得到函数y=f(x-1)的图像,则函数f(x-1)的图像关于原点对称,所以函数f(x-1)为奇函数,所以选项C正确;对于选项D,由题意不妨取满足条件的函数f(x)=cosπ2x,则f(x-3)=cosπ2(x-3)=cosπ2x-3π2=-sinπ2x(2)因为函数f(x+2)是偶函数,所以f(x)的图像关于直线x=2对称,由f(0)=0得f(4)=0,又f(x)在(-∞,2]上单调递减,所以f(x)在(2,+∞)上单调递增.当2-3x≥2,即x≤0时,由f(2-3x)>0得f(2-3x)>f(4),所以2-3x>4,解得x<-23;当2-3x<2,即x>0时,由f(2-3x)>0,得f(2-3x)>f(0),所以2-3x<0,解得x>23.因此,f(2-3x)>0的解集是-∞,-23∪23,+∞.[总结反思]由奇偶性延伸所得对称性问题的常见结论有:(1)若函数y=f(x)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x+a)的图像关于点(-a,0)对称(或关于直线x=-a对称);(2)若函数y=f(x+a)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x)的图像关于点(a,0)对称(或关于直线x=a对称).▶应用演练1.【微点1】(多选题)已知函数f(x)=x3+ax2(x+A.可能是偶函数B.可能是奇函数C.可能既是奇函数也是偶函数D.可能既不是偶函数也不是奇函数1.AD[解析]当a=0时,f(x)=x3xcosx=x2cosx其中x≠0,x≠kπ+π2,k∈Z,易知此时f(x)为偶函数,故A正确;当a≠0且a≠kπ+π2,k∈Z时,f(x)的定义域为xx≠-a且x≠kπ+π2,k∈Z,不关于原点对称,故此时f(x)既不是偶函数也不是奇函数,D正确;当a=kπ+π2,k∈Z时,f(x)=x2(x+a)(x+a)cosx=x2cos2.【微点3】已知函数f(x)在区间(-∞,2]上为增函数,且f(x+2)是R上的偶函数,若f(a)≤f(3),则实数a的取值范围是 ()A.(-∞,1] B.[3,+∞)C.[1,3] D.(-∞,1]∪[3,+∞)2.D[解析]由f(x+2)是R上的偶函数,可得f(x)的图像关于直线x=2对称,所以f(3)=f(1),又f(x)在(-∞,2]上为增函数,所以f(x)在(2,+∞)上为减函数.由f(a)≤f(3),可得a的取值范围为(-∞,1]∪[3,+∞),故选D.3.【微点3】若定义在R上的函数f(x+1)为偶函数,当x≤1时,f(x)=xex,则f(3)-f(5)的值 (A.恒小于0 B.恒等于0C.恒大于0 D.无法判断3.C[解析]由f(x)=xex,得f'(x)=1-xex,当x≤1时,f'(x)≥0,故f(x)在(-∞,1]上是增函数.∵f(x+1)为偶函数,∴f(x)在(1,+∞)上是减函数,∴f(3)-f(5)>0.故选C.4.【微点2】已知函数f(x)=lnx-11-4.-1[解析]由函数f(x)=lnx-11-ax为奇函数,得f(-x)=-f(x),即ln-x-11+ax=-lnx-11-ax=ln1-axx-1,∴-x-11+ax=1-axx-1,整理得1-x2=1-a2x2,解得a=±1.当a=1时,x-11-x=-1,不符合题意;当a=-1时,f(5.【微点2】若函数f(x)=2e|x|-x3e|x5.4[解析]f(x)=2e|x|-x3e|x|=2-x3e|x|,设g(x)=2-f(x)=x3e|x|,易知g(x)为奇函数,由题知g(x)在[探究点二函数的周期性及其应用例4(1)已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x)=f(x+2)恒成立,当x∈(-2,0]时,f(x)=x2,则当x∈(2,4]时,函数f(x)的解析式为 ()A.f(x)=x2-4 B.f(x)=x2+4C.f(x)=(x+4)2 D.f(x)=(x-4)2(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),当x∈(0,2]时,f(x)=x-sinπx,则∑i=12020f(i)=A.6 B.4 C.2 D.0例4[思路点拨](1)由函数的周期为2,得到f(x)=f(x-4),令x-4∈(-2,0],利用f(x)=f(x-4),即可求出当x∈(2,4]时的函数解析式;(2)由f(x+2)=-f(x)得出函数的周期为4,再由解析式可求出f(1),f(2)的值,再由f(x+2)=-f(x)求得f(3),f(4)的值,根据周期性求和即可.(1)D(2)D[解析](1)∵x∈R,f(x)=f(x+2),∴f(x)是以2为周期的周期函数,∴f(x-4)=f(x-2)=f(x).设x-4∈(-2,0],此时x∈(2,4],根据f(x)=f(x-4),得f(x)=f(x-4)=(x-4)2,因此,当x∈(2,4]时,f(x)=(x-4)2.故选D.(2)由函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为4的周期函数,当x∈(0,2]时,f(x)=x-sinπx,则f(1)=1-sinπ=1,f(2)=2-sin2π=2.又由f(x+2)=-f(x),得f(3)=-f(1)=-1,f(4)=-f(2)=-2,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,所以∑i=12020f(i)=505×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0[总结反思](1)注意周期性的常见表达式的应用.(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的解析式(或函数值)得到整个定义域内的解析式(或相应的函数值).(3)在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.变式题已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x-4),且x∈[0,4)时,f(x)=2x+a,x∈[0变式题12[解析]因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+a=0,解得a=-1,所以x∈[0,4)时,f(x)=2x-1,x∈[0,2),-32x+6,x∈[2,4).因为f(x+4)=f(x-4),所以f(x)=f(x+8),所以f(11)=f(3)=-32×3所以f(11)+f(15)=12探究点三以函数性质的综合为背景的问题 微点1奇偶性与单调性的结合例5(1)(多选题)下列函数中,既是奇函数又在(-∞,0)上单调的是 ()A.f(x)=e-x-ex3 B.fC.f(x)=3x-2sinx D.f(x)=x-x3(2)[2020·全国新高考Ⅰ卷]若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是 ()A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]例5[思路点拨](1)先通过函数奇偶性的定义判定各个选项函数的奇偶性,再借助导数判定单调性,依次分析即得解;(2)首先根据函数奇偶性与单调性得到函数f(x)在相应区间上的符号,再根据两个数的乘积大于等于零,分类转化为对应的不等式,最后求并集得结果.(1)AC(2)D[解析](1)A选项中,f(-x)=ex-e-x3=-f(x),故f(x)是奇函数,易知f(x)在(-∞,0)上单调递减,符合题意;B选项中,f(-x)=(-x)sin(-x)=f(x),故f(x)为偶函数,排除B;C选项中,f(-x)=3(-x)-2sin(-x)=-f(又f'(x)=3-2cosx>0恒成立,故f(x)在(-∞,0)上单调递增,符合题意;D选项中,f(-x)=(-x)-(-x)3=-f(x),故f(x)为奇函数,f'(x)=1-3x2,令f'(x)>0,解得-33<x<33,令f'(x)<0,解得x<-33或x>33,故f(x)在(-∞(2)因为定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,所以f(x)在(0,+∞)上也是单调递减,且f(-2)=0,f(0)=0,所以当x∈(-∞,-2)∪(0,2)时,f(x)>0,当x∈(-2,0)∪(2,+∞)时,f(x)<0,所以由xf(x-1)≥0可得x<0,-2≤x-1≤0或x>0,0≤x-1≤2或x=0,解得-[总结反思](1)有些综合题常常将奇偶性与单调性结合考查,通常是通过奇偶性转移符号或通过对称性判断单调性(如奇函数在对称区间单调性相同,而偶函数却相反),然后再根据单调性解诸如不等式、含参问题等;(2)对于抽象函数不等式的求解,应变形为f(x1)>f(x2)的形式,再结合单调性,脱去法则“f”变成常规不等式(如x1<x2或x1>x2)求解.微点2奇偶性与周期性的结合例6(1)已知函数f(x)是R上的偶函数,且对任意的x∈(0,+∞),都有f(x+3)=-f(x),当x∈(-3,0)时,f(x)=2x-5,则f(8)= ()A.11 B.5C.-9 D.-1(2)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,且满足f(x)=f(2-x),若f(1)=3,则f(1)+f(2)+…+f(50)=.

例6[思路点拨](1)根据条件得出f(x)在(0,+∞)上的周期为6,再根据f(x)是偶函数以及所给区间的函数解析式,可求出f(8)=f(2)=f(-2)=-9;(2)根据题意得f(x)的周期为4,利用f(x)为奇函数且周期为4可求出f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,根据周期性可求出结果.(1)C(2)3[解析](1)∵x>0时,f(x+3)=-f(x),∴f(x+6)=-f(x+3)=f(x)(x>0),∴f(x)在(0,+∞)上是周期为6的周期函数,又f(x)是偶函数,且当x∈(-3,0)时,f(x)=2x-5,∴f(8)=f(2)=f(-2)=-4-5=-9.故选C.(2)∵f(x)=f(2-x),∴f(x)的图像关于直线x=1对称,又f(x)为奇函数,∴f(x)是周期为4的周期函数,∴f(1)=f(5)=f(9)=…=f(49)=3,又f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,∴f(0)=f(2)=f(4)=…=f(50)=0,f(-1)=-f(1)=-3,∴f(-1)=f(3)=f(7)=…=f(47)=-3,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,∴f(1)+f(2)+…+f(50)=0×12+f(1)+f(2)=3.[总结反思]周期性与奇偶性结合的考题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转化,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.微点3奇偶性、周期性与单调性的结合例7已知周期为2的函数f(x)(x∈R)满足f(x-1)=f(1-x),当x∈[-1,0]时,f(x)=e-x.设a=f(log123),b=f(log210),c=f(log2200),则 (A.a>b>c B.a>c>bC.b>a>c D.c>b>a例7[思路点拨]由f(x)的周期为2,且f(x-1)=f(1-x),易知f(x)为偶函数,然后利用周期性和偶函数的性质把自变量log123,log210,log2200转化到区间[-1,0]上,再利用f(x)=e-x在[C[解析]∵f(x)的周期为2,且f(x-1)=f(1-x),∴f(x)=f(2-x)=f(-x),∴f(x)为偶函数,∴a=f(log23)=f(log23-2)=log234,b=f(log210)=f(log210-4)=flog258,c=f(log2200)=f(log2200-8)=flog22532,则-1<log258<log234<log22532当x∈[-1,0]时,f(x)=e-x,易知f(x)在[-1,0]上是减函数,∴b>a>c.故选C.[总结反思]解决周期性、奇偶性与单调性相结合的问题,通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.▶应用演练1.【微点1】下列函数是偶函数且在(0,+∞)上是增函数的是 ()A.f(x)=|lnx| B.f(x)=xC.f(x)=x-1x D.f(x)=31.D[解析]对于选项A,因为f(x)=|lnx|,所以其定义域为(0,+∞),不关于原点对称,所以函数f(x)=|lnx|为非奇非偶函数,故排除A;对于选项B,因为f(x)=x12=x,所以其定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以函数f(x)=x12为非奇非偶函数,故排除B;对于选项C,因为f(x)=x-1x,所以其定义域为{x|x≠0},关于原点对称,因为f(-x)=-x-1-x=-x-1x=-f(x),所以函数f(x)=x-1x为奇函数,故排除C;对于选项D,因为f(x)=3|x|,所以其定义域为R,关于原点对称,因为f(-x)=3|-x|=3|x|=f(x),所以函数f(x)=3|x|为R上的偶函数,又当x>0时,f(x)=3x,而指数函数y=3x为R上的增函数,所以函数f(x)=32.【微点1】已知函数f(x)=x(|x|+1),则不等式f(x2)+f(x-2)>0的解集为 ()A.(-2,1)B.(-1,2)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)2.D[解析]∵f(x)=x(|x|+1),∴f(-x)=-x(|-x|+1)=-x(|x|+1)=-f(x),∴f(x)为奇函数,由x≥0时,f(x)=x2+x,可知f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴f(x)在(-∞,0]上也单调递增,易知函数f(x)为R上的连续函数,故f(x)为R上的增函数.由f(x2)+f(x-2)>0,得f(x2)>-f(x-2),即f(x2)>f(2-x),∴x2>2-x,解得x<-2或x>1,故选D.3.【微点2】设f(x)是奇函数且满足f(x+1)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=5x(1-x),则f(-2020.6)= ()A.0.84 B.0.7 C.-1.6 D.-1.23.D[解析]∵f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=-f(x+1)=f(x),∴函数f(x)是周期为2的周期函数.又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(-2020.6)=f(-0.6)=-f(0.6)=-5×0.6×(1-0.6)=-1.2,故选D.4.【微点2】已知函数f(x)的图像关于原点对称,且满足f(x+1)+f(3-x)=0,当x∈(2,4)时,f(x)=-log12(x-1)+m,若f(2021)-12=fA.43 B.C.-43 D.-4.C[解析]因为函数f(x)的图像关于原点对称,所以f(x)为奇函数.因为f(x+1)+f(3-x)=0,所以f(x+1)=-f(3-x)=f(x-3),所以函数f(x)是周期为4的周期函数,则f(2021)=f(1).而f(-1)=-f(1),由f(2021)-12=f(-1)可得f(1)-12=-f(1),解得f(1)=13,又f(x+1)+f(3-x)=0,所以f(1)=-f(3)=log12(3-1)-m=5.【微点3】已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)是偶函数,f(x-1)是奇函数,f(x)在[-1,1]上单调递增,则 ()A.f(0)>f(2020)>f(2019)B.f(0)>f(2019)>f(2020)C.f(2020)>f(2019)>f(0)D.f(2020)>f(0)>f(2019)5.B[解析]由f(x+1)是偶函数,得f(x+1)=f(-x+1),即f(x)=f(-x+2),由f(x-1)是奇函数,得f(x-1)=-f(-x-1),即f(x)=-f(-x-2),所以-f(-x-2)=f(-x+2),所以f(-x+8)=-f(-x+4)=f(-x),所以f(x)是周期为8的周期函数.由f(x-1)是奇函数,得f(0-1)=f(-1)=0,因为f(x)在[-1,1]上单调递增,所以f(0)>0,f(2019)=f(3)=f(-1)=0,f(2020)=f(4)=-f(0)<0,所以f(0)>f(2019)>f(2020),故选B.同步作业1.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是 ()A.-13 B.C.-12 D.1.B[解析]根据偶函数的定义域关于原点对称,且f(x)是定义在[a-1,2a]上的偶函数,得a-1=-2a,解得a=13,又f(-x)=f(x),∴b=0,∴a+b=13.2.已知f(x)为定义在R上的奇函数,且f(1)=2,下列点中一定在函数f(x)图像上的是 ()A.(1,-2) B.(-1,-2)C.(-1,2) D.(2,1)2.B[解析]∵f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=2,∴f(-1)=-2,∴点(-1,-2)一定在函数f(x)的图像上.故选B.3.已知函数f(x)=a-2ex+1(a∈R)是奇函数,则f(ln2)的值为A.13 B.C.-23 D.-3.A[解析]因为函数f(x)=a-2ex+1(a∈R)是奇函数,所以f(0)=0,即a-2e0+1=0,解得a=1,所以f(x)=1-2ex+1,所以f(ln2)4.下列函数是奇函数的是 ()A.f(x)=xsinxB.f(x)=x+sinxC.f(x)=sinD.f(x)=x4.B[解析]在A中,f(x)=xsinx,则f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x),f(x)为偶函数,故A不符合题意;在B中,f(x)=x+sinx,则f(-x)=-x-sinx=-f(x),f(x)为奇函数,故B符合题意;在C中,f(x)=sinxx(x≠0),则f(-x)=sin(-x)-x=sinxx=f(x),f(x)为偶函数,故C不符合题意;在D中,y=f(x)=xsinx(x≠kπ,k∈Z),则f(-x)=-xsin(5.已知函数f(x)=sin(x+a)(x≤0),cos(A.a=π3,b=B.a=2π3,C.a=π3,b=D.a=2π3,5.C[解析]当x>0时,-x<0,f(x)=cos(x+b)=-sinx+b-π2,f(-x)=sin(-x+a)=-sin(x-a),因为函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x),即b-π2=-a+2kπ,k∈Z,即a+b=π2+2kπ,k∈Z,对比选项可知C符合题意.故选C6.已知函数f(x)=x2-2x,x≥0,-x2-26.(-2,0)∪(2,+∞)[解析]由题可得函数f(x)为奇函数,则不等式f(x)>f(-x)等价于f(x)>-f(x),即f(x)>0.当x≥0时,由f(x)=x2-2x>0,得x>2;当x<0时,由f(x)=-x2-2x>0,得-2<x<0.综上所述,不等式f(x)>f(-x)的解集为(-2,0)∪(2,+∞).7.已知定义在R上的奇函数f(x)是周期为5的周期函数,且满足f(1)=3,f(2)=6,则f(2018)-f(2019)+f(2020)=.

7.-3[解析]因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,又f(x)的周期为5,f(1)=3,f(2)=6,所以f(2018)-f(2019)+f(2020)=f(404×5-2)-f(404×5-1)+f(404×5+0)=f(-2)-f(-1)+f(0)=-f(2)+f(1)=-3.8.已知f(x)是R上的奇函数且在R上单调递增,则下列函数是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的有 ()①g(x)=|f(x)|;②h(x)=f(x2+x);③G(x)=f(|x|);④F(x)=ef(x)+e-f(x).A.①②③ B.①③④C.②③④ D.①②④8.B[解析]f(x)是R上的奇函数且在R上单调递增,故当x>0时,f(x)>f(0)=0.在①中,由g(-x)=|f(-x)|=|-f(x)|=g(x),得g(x)为偶函数,且当x>0时,g(x)=|f(x)|=f(x),可知g(x)在(0,+∞)上单调递增,符合题意;在②中,由h(-x)=f(x2-x)≠h(x),得h(x)不是偶函数,不符合题意;在③中,由G(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=G(x),得G(x)是偶函数,且当x>0时,G(x)=f(x),可知G(x)在(0,+∞)上单调递增,符合题意;在④中,由F(-x)=ef(-x)+e-f(-x)=e-f(x)+ef(x)=F(x),得F(x)为偶函数,且当x>0时,由f(x)>0,得ef(x)>1,因为y=x+1x在(1,+∞)上单调递增,所以F(x)=ef(x)+e-f(x)在(0,+∞)上单调递增,符合题意.故选B9.已知函数f(x)=ex-e-xex+e-x,实数m,n满足不等式f(2A.m+n>1 B.m+n<1C.m-n>-1 D.m-n<-19.C[解析]∵f(x)的定义域为R,f(-x)=e-x-exe-x+ex=-f(x),∴f(x)是R上的奇函数.又f(x)=1-e-2x1+e-2x=-1+21+e-2x,∴f(x)是R上的增函数.由f(2m-n)10.已知函数f(x)=|x+2|,g(x)=|x+t|,定义函数F(x)=f(x),f(x)≤g(x),g(xA.-4 B.-2 C.0 D.210.A[解析]易知函数f(x)的图像关于直线x=-2对称,函数g(x)的图像关于直线x=-t对称,若对任意的x∈R,都有F(x)=F(2-x),则函数F(x)的图像关于直线x=1对称,作出函数F(x)的图像,如图所示,由图可知,g(x)的图像关于直线x=4对称,所以-t=4,即t=-4,故选A.11.(多选题)设函数f(x)=2x+1,x>0,A.函数f(x)的值域为RB.函数f(|x|)为偶函数C.函数f(x)为奇函数D.函数f(x)是增函数11.BCD[解析]对于A,函数f(x)=2x+1,x>0,-2-x-1,x<0,当x>0时,f(x)=2x+1>2,当x<0时,f(x)=-2-x-1=-(2-x+1)<-2,故f(x)的值域不是R,A错误.对于B,函数f(|x|)的定义域为{x|x≠0},f(|-x|)=f(|x|),故函数f(|x|)为偶函数,B正确.对于C,函数f(x)=2x+1,x>0,-2-x-1,x<0,当x>0时,-x<0,有f(x)=2x+1,f(-x)=-2x-1=-f(x);当x<0时,-x>0,有f(x)=-2-x-1,f(-x)=2-x+1=-f(x).综上,f(-x)=-f(x)恒成立,函数f(x)为奇函数,故C正确.对于D,函数f(x)=2x+1,x>0,-2-x-1,x<0,当x>0时,f(x)=2x+1>2,f(x12.(多选题)已知奇函数f(x)是定义在R上的减函数,且f(2)=-1,若g(x)=f(x-1),则下列说法一定正确的是 ()A.g(1)=0B.g(2)=-1C.g(-x)+g(x)>0D.g(-x+1)+g(x+1)<012.AC[解析]因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,因为g(x)=f(x-1),所以g(1)=f(0)=0,故A正确;因为f(x)是定义在R上的减函数,所以f(2)<f(1)<f(0),又f(2)=-1,f(0)=0,所以-1<f(1)<0,所以-1<g(2)<0,故B不一定正确;因为g(x)=f(x-1),所以g(-x)=f(-x-1)=-f(x+1),所以g(-x)+g(x)=f(x-1)-f(x+1),因为f(x)是定义在R上的减函数,所以f(x-1)>f(x+1),所以f(x-1)-f(x+1)>0,即g(-x)+g(x)>0,故C正确;因为g(x)=f(x-1),所以g(-x+1)=f(-x)=-f(x),g(x+1)=f(x),所以g(-x+1)+g(x+1)=-f(x)+f(x)=0,故D错误.故选AC.13.已知函数f(x)的定义域为R,f(x-1)是奇函数,f(x+1)是偶函数,当-1≤x≤1时,f(x)=3x+1-13xA.f(2018) B.f(2019)C.f(2020) D.f(2021)13.D[解析]∵f(x-1)是奇函数,∴f(x)的图像关于点(-1,0)对称,即f(-x)=-f(-2+x).又f(x+1)为偶函数,∴f(x)的图像关于直线x=1对称,即f(-x)=f(x+2),∴f(x+2)=-f(x-2),可得f(x+4)=-f(x),∴f(x+8)=-f(x+4)=f(x),故函数y=f(x)的周期为8,∴f(2018)=f(2)=f(0)=1,f(2019)=f(3)=f(-1)=0,f(2020)=f(4)=f(-2)=-f(0)=-1,f(2021)=f(5)=f(-3)=-f(1)=-2,故f(2021)最小.故选D.14.若f(x)=2x-1,x>0,g(x),x14.-7[解析]当x<0时,-x>0,则f(-x)=2-x-1,又f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-2-x+1,所以g(x)=-2-x+1(x<0),所以g(-2)=-3,则f[g(-2)]=f(-3)=-7.15.已知函数f(x)=-2x(1)求a,b的值;(2)若对任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.1