第06讲 排列与组合（人教A版2019选择性必修第三册）（解析版）

第06讲排列与组合【人教A版2019】·模块一排列与排列数·模块二组合与组合数·模块三课后作业模块一模块一排列与排列数1．排列(1)排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

(2)排列概念的理解

①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列.

②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同.

③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意.

(3)排列的判断

判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任取m(mn，n,m∈)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题.2．排列数(1)排列数定义

从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.

(2)排列数公式

=n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈，并且mn.(3)排列数公式的理解

①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有=n×(n-1)×(n-2)××(n-m+1)种不同的排法.

②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数.【考点1有关排列数的计算与证明】【例1.1】（2023上·高二课时练习）计算：(1)4A(2)A4【解题思路】（1）（2）利用排列数公式直接计算作答.【解答过程】（1）4A（2）A4【例1.2】（2023下·江苏扬州·高二统考期中）计算：(1)4A(2)A10【解题思路】（1）根据排列数的计算公式计算即可；（2）根据排列数的计算公式计算即可.【解答过程】（1）4A（2）A10【变式1.1】（2023·江苏·高二专题练习）计算：(1)A66(2)2A(3)若3Ax3=2【解题思路】（1）（2）（3）利用排列数公式化简求值或列方程求解即可.【解答过程】（1）A6（2）2A（3）由题设3×x!(x-3)!所以2(x+1)+6(x-1)=3(x-1)(x-2)，则3x又x∈N*，故【变式1.2】（2022·高二课时练习）（1）解不等式：3A（2）解方程：A2x+1【解题思路】（1）利用排列数公式后解不等式，求出x的范围，再由x∈N*可求出（2）利用排列数公式化简计算即可【解答过程】（1）由题意得3x+2x+1+12x即2x-1x-3≤0，所以因为x≥2，且x∈N*，所以不等式的解集为（2）易知2x+1≥4x≥3x∈N*所以x≥3由A2x+14=140化简得4x解得x1=3，x2所以原方程的解为x=3．【考点2无限制条件的排列问题】【例2.1】（2023上·高二课时练习）A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（

）A．3种 B．4种C．6种 D．12种【解题思路】根据排列的含义，以及排列数的计算，即得答案.【解答过程】由题意所有排列的方法种数为A3故选：C.【例2.2】（2023上·高二课时练习）5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有（

）A．20种 B．60种 C．120种 D．100种【解题思路】由已知可知，分配满足排列，求出排列数，即可得出答案.【解答过程】根据已知可知，不同的分配方法有A5故选：C.【变式2.1】（2023上·高二课时练习）身高互不相同的6个人排成2横3纵列照相，在第一行的每个人都比他同列身后的人个子矮，则不同的排法种数为（

）A．1 B．15 C．90 D．54【解题思路】先每次选2个人按照从矮到高的排列，再把每2人作为1列，可得答案.【解答过程】由题意可知每次选2个人按照从矮到高的排列有C6然后再把每2人作为1列，即有3列，这3列不同的排法有A3故不同的排法种数是15A3故选：C.【变式2.2】（2023下·山西运城·高二校考阶段练习）自然对数e也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，e的近似值约为2.7182818⋯，若用欧拉数的前6位数字2，7，1，8，2，8设置一个6位数的密码，则不同的密码有（

）个A．180 B．240 C．360 D．720【解题思路】根据排列数运算求解.【解答过程】∵因为2出现2次，8出现2次，∴不同的密码有A66故选：A.【考点3有限制条件的排列问题】【例3.1】（2023上·黑龙江鸡西·高三校考期末）2023年杭州亚运会期间，甲､乙､丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有（

）A．720 B．960 C．1120 D．1440【解题思路】根据题意，结合捆绑法和插空法，即可求解.【解答过程】把甲乙捆绑成一个元素，则题设中的7个元素变为6个元素，先排除去丙的5个元素，共有A5再在中间的4个空隙中，插入丙，共有C4所以甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有120×4×A2故选：B.【例3.2】（2023·河南开封·统考一模）现要从6名学生中选4名代表班级参加学校的4×100m接力赛，已知甲确定参加比赛且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，则合适的选择方法种数为（

A．84 B．108 C．132 D．144【解题思路】特殊位置优先排，分类求解可得.【解答过程】当甲跑第1棒时，则有A5当甲跑第4棒时，乙参加比赛则有A21A故合适的选择方法种数为60+24+24=108种．故选：B.【变式3.1】（2023·山东·统考一模）4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（

）A．36 B．72 C．81 D．144【解题思路】先将3名女生全排列，然后利用插空法，将4名男生排到3名女生之间的4个空位上，根据分步乘法计数原理，即可求得答案.【解答过程】由题意先将3名女生全排列，然后利用插空法，将4名男生排到3名女生之间的4个空位上，故共有A3故选：D.【变式3.2】（2023下·上海闵行·高二校考期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法错误的是（

）A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法D．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法【解题思路】根据给定条件利用组合知识可以判断A正确；利用特殊位置法可以判断B错误；相邻问题利用捆绑法可以判断C正确；不相邻问题利用插空法可以判断D错误.【解答过程】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有C62=15对于B，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有4A55对于C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有A33A对于D，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有A44A5故选：D.模块二模块二组合与组合数1．组合(1)组合的定义

一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

(2)组合概念的理解

①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质.

②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.

(3)排列与组合的联系与区别

联系：都是从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素.

区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合.2．组合数与组合数公式(1)组合数

从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.

(2)组合数公式

①连乘表示：

==.

这里，n,m∈，并且mn.

②阶乘表示：=.

规定：=1.3．组合数的性质(1)性质1：=

这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素后，剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的.

利用这个性质，当m>时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算.

(2)性质2：=+

这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法.

由分类加法计数原理可得：=+.

在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等.【考点1

有关组合数的计算与证明】【例1.1】（2023上·高二课时练习）设n为正整数，求值：(1)C2n-3(2)C13+n【解题思路】（1）根据题意列出不等式求出n值，再分别计算即可.（2）根据给定组合式结合组合数的定义列出不等式求得n值，再利用组合数的性质计算即得.【解答过程】（1）由题意知n-1≤2n-3,2n-3≤n+1,，∴2≤n≤4又∵n∈N*,∴n取2，当n=2时，值为4；当n=3时，值为7；当n=4时，值为11.（2）依题意，3n≤13+n17-n≤2nn∈N*，即所以，原式=C1918【例1.2】（2023上·高二课时练习）已知m是自然数，n是正整数，且m≤n．求证：(1)Cn(2)Cn+1【解题思路】代入阶乘公式，化简证明.【解答过程】（1）根据组合数公式，可以得到Cn（2）根据组合数公式，可以得到C=n!n-m+1m!n-m+1!【变式1.1】（2023上·高二课时练习）（1）计算：C（2）求等式Cn-15+【解题思路】（1）利用组合数的计算公式可得答案；（2）利用组合数的公式可求n的值.【解答过程】（1）原式＝C8（2）原方程可变形为Cn-15C即n-1n-2化简整理，得n2解此二次方程，得n＝9或n＝－6（不合题意，舍去），所以n＝9为所求．【变式1.2】（2023下·高二单元测试）已知n∈N*，n≥2，(1)求值：kC(2)化简：Cn【解题思路】（1）利用组合数的阶乘形式化简计算即可；（2）利用kCn【解答过程】（1）kCn=n!（2）由（1）知，kC则Cn【考点2组合计数问题】【例2.1】（2023上·甘肃白银·高二校考期末）某科技小组有6名学生，其中男生4人，女生2人，现从中选出3人去参观展览，则至少有一名女生入选的不同选法种数为（

）A．12 B．16 C．18 D．24【解题思路】至少有一名女生入选分为两类情况，利用组合相关知识即可求解.【解答过程】分两类：一类是选1个女生，则有C21C42种；另一类是选所以不同选法种数共有C2故选:B.【例2.2】（2023·四川自贡·统考一模）2023年成都大运会招募志愿者，现从某高校的6名志愿者中依次选出3名担任语言服务，2名担任人员引导，1名担任应急救助.每名志愿者只能担任一项，则甲乙不参与同一项志愿服务的选法有（

）种.A．28 B．36 C．40 D．44【解题思路】先求出总的选法数，再求出甲乙参与同一项的可能选法，采用间接法，即用总数减去不符合要求的选法数，即可求得答案.【解答过程】从6名志愿者中依次选出3名担任语言服务，2名担任人员引导，1名担任应急救助，每名志愿者只能担任一项，则共有C6其中甲乙参与同一项的可能选法有C4故甲乙不参与同一项志愿服务的选法有60-16=44种，故选：D.【变式2.1】（2023上·江西·高二校联考阶段练习）某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（

）A．18种 B．24种 C．36种 D．48种【解题思路】先按要求将五个人分为三组，要求将教师夫妇放在一组，确定分组方法种数，然后将所分的三组分配给三所不同的学校，利用分步乘法原理可求得结果.【解答过程】先将五个人分为三组，每组的人数分别为3、1、1或2、2、1，若三组的人数分别为3、1、1，则教师夫妇必在三人的一组，则教师夫妇这组还需从剩余的三人中抽1人，此时，不同的分组方法数为C3若三组人数分别为2、2、1，则两人一组的有一组是教师夫妇，只需将剩余三人分为两组，且这两组的人数分别为2、1，此时，不同的分组方法种数为C32接下来，将所分的三组分配给三所不同的学校，因此，不同的安排方案种数为3+3A3故选：C.【变式2.2】（2023上·山西忻州·高三校联考阶段练习）2023年杭州亚运会已圆满落幕，志愿者“小青荷”们让世界看到了新时代中国青年的风采.早在2021年5月，杭州A公司便响应号召，在全公司范围内组织亚运会志愿者的报名与培训，经过选拔，最终有3名党员和3名团员共6人脱颖而出.在彩排环节，需从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有（

）A．54种 B．45种 C．36种 D．18种【解题思路】根据全部情况中去掉不符合条件的情况即可结合排列组合求解.【解答过程】从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆一共有C6若游泳馆没有党员，篮球馆有党员，则有C3同理游泳馆有党员，篮球馆没有党员，则有C3故从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有90-18-18=54，故选：A.【考点3排列、组合的综合问题】【例3.1】（2023下·湖南长沙·高二统考期末）从A，B，C等8人中选出5人排成一排.(1)A必须在内，有多少种排法？(2)A，B，C三人不全在内，有多少种排法？(3)A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，都多少种排法？(4)A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？【解题思路】（1）先选后排，然后根据分步乘法原理计算即可；（2）正难则反，从反面出发，用全部的排法减去A，B，C三人全在内的排法即可；（3）相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，分步计算即可；（4）对所选的5人有无A，B进行分类讨论即可.【解答过程】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有C74种不同结果，再将这4人与A进行全排列有故由乘法原理可知共有C7（2）从8人中任选5人排列共有A85种不同排法，A，B，C三人全在内有由间接法可得A，B，C三人不全在内共有A8（3）因A，B，C都在内，所以只需从余下5人中选2人有C52种不同结果，A，B必须相邻，有A22种不同排法，由于C与A，B都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有A22种不同排法，再将A、B这个整体与C插入到选出的2人所产生的（4）分四类：第一类：所选的5人无A、B，共有A6第二类：所选的5人有A、无B，共有C6第三类：所选的5人无A、有B，共有C6第四类：所选的5人有A、B，若A排中间时，有C6若A不排中间时，有C63C综上，共有4440种不同排法.【例3.2】（2023下·江苏徐州·高二统考期中）用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的五位数(1)在组成的五位数中，所有偶数有多少个？(2)在组成的五位数中，大于31000的数有多少个？(3)在组成的五位数中，数字2和数字4不相邻的数有多少个？【解题思路】（1）根据当末位是0和末位是2或4，结合分类计数原理，即可求解；（2）分万位是4、万位为3千位为2,4和万位为3千位为1，结合分类计数原理，即可求解；（3）先排0,1,3，根据0排在三个数的第一位和0不排在三个数的第一位，结合分类计数原理，即可求解.【解答过程】（1）解：根据题意，当末位是0共有A44个，当末位是2或4共有C所以共有偶数为A44（2）解：由题意，万位是4共有A44个，万位为3千位为2或4共有万位为3千位为1共有A3所以大于31000的数共有A44（3）解：先排0,1,3,第一种：0排在三个数的第一位，共有A2第二种0不排在三个数的第一位，共有C2所以数字2和4不相邻的数共有A22【变式3.1】（2023下·江苏淮安·高二校联考期中）有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数.(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表.【解题思路】（1）分为2女3男和1女4男，两种情况，先选出5人，然后排列即可得出答案；（2）从剩余7人中，选出4人排列，即可得出答案；（3）先考虑选出某男生的职位，再从剩余7人中，先选出4人排列，即可得出答案；（4）先考虑选出某男生的职位，再从剩余6人中，先选出3人排列，即可得出答案.【解答过程】（1）先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男，所以先选有C53C所以共有不同选法45×120=5400（种）.（2）先在剩余的7人中选出4人，有C74=35种选法，然后排列，有A4（3）分步：第一步，先安排不担任语文科代表的某男生，有C4第二步，然后从剩余的7人中选出4人，有C7第三步，选出的4人排列，有A44根据分步乘法计数原理，共有不同选法4×35（4）第一步，安排某男生，有C3第二步，从剩余的6人中选出3人，有C6第三步，选出的3人排列，有A33根据分步乘法计数原理，共有不同选法3×20【变式3.2】（2023下·湖北宜昌·高二校联考期中）第18届亚足联亚洲杯将于2023年举行，已知此次亚洲杯甲裁判组有6名裁判，分别是A,B,C,D,E,F.（以下问题用数字作答）(1)若亚洲杯组委会邀请甲裁判组派裁判去参加一项活动，必须有人去，去几人由甲裁判组自行决定，问甲裁判组共有多少种不同的安排方法？(2)若亚洲杯组委会安排这6名裁判担任6场比赛的主裁判，每场比赛只有1名主裁判，每名裁判只担任1场比赛的主裁判，根据回避规则，其中A不担任第一场比赛的主裁判，C不担任第三场比赛的主裁判，问共有多少种不同的安排方法？(3)若亚洲杯组委会将这6名裁判全部安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，每名裁判只参加1项活动，问共有多少种不同的安排方法？【解题思路】（1）根据可去裁判的人数结合组合数的性质分析运算；（2）利用间接法，在所有排列情况下排除A担任第一场比赛的主裁判或C担任第三场比赛的主裁判的可能；（3）根据题意，分类讨论人数的分配情况运算求解.【解答过程】（1）由题意知：可去1,2,3,4,5,6名裁判，所以共有C61（2）这6名裁判担任6场比赛的主裁判，每场比赛只有1名主裁判，每名裁判只担任1场比赛的主裁判，共有A6若A担任第一场比赛的主裁判的方法数为A5若C担任第三场比赛的主裁判的方法数为A5若A担任第一场比赛的主裁判同时C担任第三场比赛的主裁判的方法数为A4所以A不担任第一场比赛的主裁判，C不担任第三场比赛的主裁判，共有A66（3）亚洲杯组委会将这6名裁判安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，则分类如下：①这6名裁判分为1人，1人，4人这三组，共有C6②这6名裁判分为1人，2人，3人这三组，共有C6③这6名裁判分为2人，2人，2人这三组，共有C62综上所述：组委会将这6名裁判安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，共有90+360+90=540（种）不同的安排方法.模块三模块三课后作业1．（2023下·江苏宿迁·高二统考期中）5A52A．74 B．98 C．124 D．148【解题思路】根据排列数与组合数公式，计算即可．【解答过程】5A故选：C．2．（2023下·江苏淮安·高二校考阶段练习）已知A3m-A．0 B．2或3 C．1或3 D．3【解题思路】根据给定条件，利用排列数、组合数求解作答.【解答过程】由A3m-而m∈N*，m≤3，有A31=3,故选：B.3．（2023·四川凉山·统考一模）五名同学彝族新年期间去邛海湿地公园采风观景，在观鸟岛湿地门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（

）A．12种 B．24种 C．48种 D．96种【解题思路】甲和乙相邻利用捆绑法，丙和丁不相邻用插空法，即先捆甲和乙，再与丙和丁外的一人共“2人”排列，再插空排丙和丁.【解答过程】甲和乙相邻，捆绑在一起有A2再与丙和丁外的1人排列有A2再排丙和丁有A3故共有A22故选：B.4．（2023下·高二课时练习）不等式A8A．2,8 B．2,6 C．7,12 D．8【解题思路】根据题意，利用排列数公式和排列数的性质，列出方程求得7<x≤8，结合x∈N*，即可求【解答过程】由A8x<A8x-2，可得又因为x≤8x-2≥0，解得2≤x≤8综上可得7<x≤8，又由x∈N*所以故选：D.5．（2023上·江西抚州·高二校考阶段练习）在某城市中，A，B两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地，途经C地，则不同的路线有（

）A．90种 B．105种 C．260种 D．315种【解题思路】根据分步乘法计数原理以及组合数的计算求得正确答案.【解答过程】由题可知，不同的路线有C3故选：B.6．（2023上·安徽合肥·高三校考阶段练习）2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（

）A．1120 B．7200 C．8640 D．14400【解题思路】相邻问题用捆绑法看成一个整体，丙不排在两端可先排好其他人后再排丙.【解答过程】甲与乙相邻有A22种不同的排法，将甲与乙看作是一个整体，与除丙外的5人排好，有再将丙排入隔开的不在两端的5个空中，有C5所以共有A2故选：B.7．（2023上·四川成都·高三成都实外校考阶段练习）寒冬己至，大雪纷飞，峨眉山顶银装素裹.成实外教育集团的5位学生相约一起爬山观景.其中3位女生，2位男生，在到达零公里时，为了安全起见，他们排队前进，为了照顾大家安全，2位男生不能相邻，且女生甲怕猴子，不能排在最后一个，则不同的排法种数共有（

）A．60 B．36 C．30 D．72【解题思路】种类一：一位男生在最后，先排女生，再排另一位男生；种类二：女生在最后，先排女生，注意女生甲特殊，优先排列，最后男生插空，最后分类相加.【解答过程】种类一：一位男生在最后，此时有A23位女生全排列有A3最后将剩余一位男生插入3女生所形成的4个空中，且不在女生最后，共3种情况，所以共2×6×3=36种情况；种类二：男生不相邻，可先排女生，又女生甲不在最后，所以女生甲有A2其他2为女生有A2最后2男生插入3女生所形成的4个空中，且不在女生最后，共A3共2×2×6=24种情况；综上所述，共36+24=60种情况，故选：A.8．（2023上·江苏盐城·高三校联考阶段练习）将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到A,B,C,D四个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在A社区的不同安排方法数为（

）A．24 B．36 C．60 D．96【解题思路】分A社区只有甲和A社区还有另一个志愿者两种类型，利用分步计数原理结合排列组合知识求不同的安排方法数.【解答过程】分两种情形：①A社区只有甲，则另4人在3个社区，此时有C4②A社区还有另一个志愿者，此时有C436+24=60，甲恰好被安排在A社区有60种不同安排方法.故选：C.9．（2023上·江西·高二统考阶段练习）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某一时期的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（

）

A．4 B．13 C．15 D．16【解题思路】解法一：间接方法，从总的条数中去掉不合要求的条数即可；解法二：直接方法，分3种情况进行求解，再相加即可.【解答过程】解法一：用间接方法，过这七个点中任意两个点作直线，一共有C7其中从共线的B，D，E，F的四点任选两点，一共有C4所得直线的条数为C7解法二：用直接方法，①过点B，D，E，F的直线只有1条；②过A，C，G中的任意两点作直线，可作3条；③从B，D，E，F任取一点，从A，C，G中任取1点作直线，可作直线条数为4×3=12，综上，所得直线的条数为1+3+12=16.故选：D.10．（2023下·江苏苏州·高三统考开学考试）将六枚棋子A，B，C，D，E，F放置在2×3的棋盘中，并用红、黄、蓝三种颜色的油漆对其进行上色（颜色不必全部选用），要求相邻棋子的颜色不能相同，且棋子A，B的颜色必须相同，则一共有（

）种不同的放置与上色方式A．11232 B．10483 C．10368 D．5616【解题思路】进行颜色分配，然后利用分类原理的相加和分步相乘的原理进行分析即可.【解答过程】①3个1，3个2，0个3如表：121212只用两种颜色，并选取两个位置放AB,此时有：A3②1个1，2个2，3个3如表：132323选用三种颜色（1+2+3，且只用一次的颜色放在拐角），并选取两个位置放AB,此时有：C4或313232选用三种颜色（1+2+3，且只用一次的颜色放在中间），并选取两个位置放AB,此时有：C2③2个1，2个2，2个3如表：132213选用三种颜色（2+2+2），并选取两个位置放AB，此时有：C3或123231选用三种颜色（2+2+2）,并选取两个位置放AB，此时有：C3所以不同的放置与上色方式有：36+96+48+18+18⋅故选：C.11．（2023下·新疆乌鲁木齐·高二校考期中）（1）计算：4A（2）证明：Cn【解题思路】（1）利用排列数公式可求得所求代数式的值；（2）利用组合数公式可证得结论成立.【解答过程】（1）4A（2）证明：CnCn因此，