湖北省七市州2024届高三下学期3月联合统一调研测试数学试题含答案

2024年湖北省七市州高三年级3月联合统一调研测试数学试卷命题单位：2024.3本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A.B.C.D.2.已知复平面内坐标原点为，复数对应点满足，则（）A.B.C.1D.23.已知正方形的边长为2，若，则（）A.2B.-2C.4D.-44.已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（）A.B.C.D.26.已知公差为负数的等差数列的前项和为，若是等比数列，则当取最大值时，（）A.2或3B.2C.3D.47.若，则（）A.B.C.D.8.能被3个半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是（）A.B.C.D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知为随机事件，，则下列结论正确的有（）A.若为互斥事件，则B.若为互斥事件，则C.若相互独立，则D.若，则10.如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（）A.动点轨迹的长度为B.三棱锥体积的最小值为C.与不可能垂直D.当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为11.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则下列结论正确的有（）A.函数的值域为B.函数的图象关于点成中心对称图形C.函数的导函数的图象关于直线对称D.若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数满足恒成立，且在区间上无最小值，则__________.13.已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则__________；当取最小值时，的面积为__________.14.已知函数有零点，当取最小值时，的值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，平面平面分别是的中点，与交于点.（1）求证：平面；（2）平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小.16.（本小题15分）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：一周参加体育锻炼次数01234567合计男生人数1245654330女生人数4556432130合计579111086460（1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；性别锻炼合计不经常经常男生女生合计（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和；（3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望.附：0.10.050.012.7063.8416.63517.（本小题15分）已知各项均不为0的数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）若对于任意成立，求实数的取值范围.18.（本小题17分）如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，设抛物线在点处的切线为.（1）若直线与轴的交点为，求证：；（2）过点作的垂线与直线交于点，求证：.19.（本小题17分）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：.（1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：；（2）已知函数，其中.（i）证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合；（ii）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.数学参考答案及评分标准2024.31-8BCBAABDC9.ACD10.ABD11.BCD12.13.；（填对一空得3分）14.15.解析：要求出被完全覆盖的最大的圆的半径，由圆的对称性知只需考虑三个圆的圆心构成等边三角形的情况，设三个半径为1的圆的圆心分别为，设被覆盖的圆的圆心为，如图所示，设圆与交于交于交圆于，方法1：设，，又，所以圆的最大半径为，下求的最大值，设，所以在为增函数，在为减函数，，即被完全覆盖的最大的圆的半径为.此时，即圆､圆､圆中的任一圆均经过另外两圆的圆心.方法2：同上，设，即当时，的最大值为，即被完全覆盖的最大的圆的半径为.此时，即圆､圆､圆中的任一圆均经过另外两圆的圆心.14.解析：设的零点为，则，即，设为直线上任意一点，坐标原点到直线的距离为，因为到原点的距离，下求的最小值，令，则在为减函数，在为增函数，即，此时，所以的斜率为，（此时）.15.（1）证明：因为为正三角形，是中点，所以，又因为平面平面，所以平面，又在平面内且相交，故平面（2）解：分别为的中点，，又平面过且不过，平面.又平面交平面于，故，进而，因为是中点，所以是的中点.方法1：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设平面法向量为，由，取，所以方法2：过点作的垂线，垂足为，连接.因为且平面，故有平面，平面与平面垂直且交线为，故平面，故直线与平面所成角在直角三角形巾，，所以因为半面，故，又，所以.任直角三角形中，，所以在直角三角形中，所以16.解：（1）列联表性别锻炼合计不经常经常男生72330女生141630合计213960零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；根据列联表的数据计算根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布，随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率.故.（3）10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，服从超几何分布：故所求分布列为012317.解析：（1）当时，两式相减得因为，故.所以及均为公差为4的等差数列：当时，由及，得.所以（2）由已知，即恒成立，设，则当，即时当，即时所以，故，所以18.解：设直线的方程为联立得：.（1）不妨设在第一象限，在第四象限，对于的斜率为的方程为，即为.令得直线的方程为：，令得.又，所以即得证.（2）方法1：过点的得垂线的方程为：，即则，解得的纵坐标为要证明，因为三点共线，只需证明：（*）..所以（*）成立，得证方法2：由知与轴平行①又的斜率为的斜率也为，所以与平行②由①②得，即得证19.解：（1）在曲线取一点.过点作的切线分别交于囚为即.（2）方法1：由题意得：不妨设，曲线在处的切线方程为：，即同理曲线在处的切线方程为：假设与重合，则，代入化简可得：两式消