2023高考数学复习 27　非对称韦达定理

微专题27非对称韦达定理

2知识拓展

在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，我们常联立方程组，利用韦达定理整

体代入来解决；但是有些情况，如有些定点、定值、定线问题，我们发现把韦达

定理整体代入并不能完全消除两根，把这类问题称之为非对称韦达定理.

题型聚焦分类突破研题型求突破

类型一两式相除，和积转化

I核心归纳

把韦达定理两式相除得到两根的和积关系，然后把两根的积(或和)式代入，是非

对称韦达定理化简时常用的方法.

例1(2022•南通一调)己知双曲线cΛ-^=l(π>0,⅛>0),四点M(4,阴,脑(3,

√2),M1-2,一坐］,M4(2,坐)中恰有三点在C上.

(1)求C的方程；

(2)过点(3,0)的直线/交C于P,Q两点，过点尸作直线x=l的垂线，垂足为

A.

证明：直线AQ过定点.

(1)解M3与Mi关于原点对称，由题意知双曲线一定过M3和％两点.

当双曲线过Mi,M3,M4时,

12I

有则不+方=°无解;

当双曲线过M2,M3,M4时,

α2=3,

解得

.bλ=∖,

故C的方程为［-V=L

(2)证明当直线/与X轴不重合时，设直线/：X=my+3代入亏一y2=l,

整理得—3)y2++6=O,

设尸(xι,yι),Q(X2,p),则A(1,ʃɪ),

V+"=一门，①

由韦达定理得J6

>kK，②

y+y2

①÷②得m,

即一加yι*=yι+”,

V2—Vl

直线AQ：厂yι=χ2f(L1)，

令尸0，解得X=箕手

y2—y1(my2+3)y2-3yι-myιy23yι+yι+y22(y2~~∙y1),.

..x-z==S===s:=2,直线

”一yιyι-y∖yι-y∖/-V

过定点(2,0).

当直线/与工轴重合时，直线AQ也过点(2,0).

训练1过椭圆C：f+f=l的左焦点B作不与X轴重合的直线MN与椭圆C相

交于M,N两点，过点M作直线/：x=-4的垂线，垂足为E

(1)已知直线EN过定点P,求定点P的坐标；

(2)点O为坐标原点，求AOEN面积的最大值.

解(1)由题意知尸1(一1,0),设直线MN方程为X=My—1,点Λ∕(xι,yι),N(X2,

)2),£(—4,yι),

X=my-1,

由'^+止_］得(3M2+4)y2-6∕ny-9=0,则yi+y2=3〃,；4,①

y"=新申，②

yι+产2m

①÷②得~9

直线硒的方程为y-y=M⅛(x+4)∙

.ʌ—Vl(X2÷4)

令y=0,得X=-------------------4

y2~y∖

—-yι(Iny2-1+4)4

y2-yi

一小yy-3yι

y2-y∖一

3

又MyIy2=—](yι+*),

3

ɔ(yι+v2)-3yι5

达一3αyι一2∙L-

故X——4——4—2

y2~y∖*-yι

因此直线EN过定点(一|,0).

,/—----——：---------12λ∕∕7t2÷1

(2)由∣yι-y2∣=g(yι+")--4y↑y2=3m2ψ4'

2

,β115λ∕m+115λ∕mM-l

2

付SMN=/PHyLy2∣=3/?/2+4=3∕n+3+l'

令/=[m2+],r≥ι,

EC⑸15

人」SM)EN-ɔ2I1-19

■•十3r+γ

在[1,+8)上单调递减，所以当，=1时，^OEN的面积取得最大值，为号.

故AOEN面积的最大值为学.

类型二第三定义法(斜率之积，e2~l)

I核心归纳

设A,B为圆锥曲线关于原点对称的两点，P为该曲线上异于A,B的点.

2212

⑴若圆锥曲线为椭圆，+g=l(α>b>O),则kpAkpβ=-^2=e2-∖.

ɔ712

(2)若圆锥曲线为双曲线，一$=l(a〉0,/?>0),则如√7>B=a=e2-l.

例2(2022•德州二模改编)已知椭圆C：5+]=l的左、右顶点分别为A,B,右

焦点为R过点尸的直线/与椭圆交于P,Q(点尸在X轴上方)，设直线AP,BQ

的斜率分别为力,kι,是否存在常数九使得%+求2=0?若存在，请求出2的值；

若不存在，请说明理由.

解由题意知尸(2,0),设PQ的直线方程为x=my+2,P(xι,yι),Q(X2,”)，

由产

[x=my+2,

得(9+5/)^+20/^-25=0,

ri1—20阳—25

则…==肃V"=后才

J=900(zn2+l)>0恒成立.

直线AP,BQ的斜率分别为配k2,

则e=T⅛,依=津

假设存在黑满足依+然2=0,

即Z1=一丸左2,则菅=T.

之=VX2—3

kιXi+3y2

yι(Zny2-1)myi”一yι

y2(myι+5)myxyi+Syi

法一(双参变单参)

,—20/72

>,*+^2=9+W5

由<、

一25

Uy=志谭

,

zπy∣+>24m

传yi”—5，

5(y1+y2)

所以

my∖yι-4

5(y1÷y2)

----------------Λ------------Vl

〃少券-yι__________4J

my∖yι+5y25(yι+2)

4+5”

»+5”1,1..

=后西『产T=尸"为定值.

yι

法二（和积转化法）

∕nyi"+5y2

myi)22—(yι+y2)+)'2

JXyly2+5”

一25〃。20m—5m

9+5m29÷5∕∕72，29÷5∕772"

—257Ti—25—

9+5m2+5y29+5m1+5y2

=]=-2=]=九=一],为定值.

法三(第三定义法)由4-3,0),3(3,0),得加4=」^,ZPS=二⅛,

X1IɔXɪ3

9972

又P在5+方=1上，得§+/=1，

即科=5(1苫卜施一词，

,9(9一小

故^-9

__5y∖yι_5

9=»+3加-39,

k∖__yι火2-3_5心一3X2-3_5(AnyI-1)(根*—1)

kιXi+3yι9y∖yι9y∖yι

54JIy2—〃(y1+y2)+1

9'y∖yι

2机

4/?/9+52]=∣=>-λ=∣≠>Λ=一•1为定值.

25)

法四（极点、极线法）

M

Av‹OlBx

由5+^^=l得F点对应的极线为与=1,即X=令AP∩BQ=M]∣,〃2),由心P

=kMA=^,ICBQ=kMB=q,得亲=/即丸=-/

T2

训练2(2022・潍坊模拟)已知双曲线C：宗一g=l(α>0,。>0)的虚轴长为4,直线

2χ->=0为双曲线C的一条渐近线.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设双曲线的左、右顶点分别为A,B,过点T(2,0)的直线/交双曲线C于M,

M点M在第一象限)，记直线MA的斜率为h,直线NB的斜率为kι,求证：誉为

定值.

-26=4,

⑴解由题意《匕C

-=2,

Ia

1'双曲线方程为％2—9=1.

[b=2,4

(2)证明由题意知，直线/过点(2,0),直线MN斜率不能为零，故设直线MN

方程为X=Tny+2,M(X1,yι),N(X2,*).

X~~ιτιyH-2,

由J)联立得(4/一Dy2+i6my+12=0,

4xz-yz-4=0,

〃/>0,

,16mC

则口"=-Zrp①

12G

②

H①∕m>∣+y24”?

而逐得后=一?’

.∙.吵”=—g+”),

法一(双参变单参)又％=尚ɪ,

.kιyιX2—[”7),i),2+yι4(."+丁)+)」ɪ

•∙fe-x1+1・k一加》'2+3)，2__,()]+”)+3)?一^3∙

法二(第三定义法)由题意得攵MA=一上，kMB=Ti,由％?一7=1,得贯=4(%?

X1I1X11•

.∙4MMMB=g_i=4,

=

即kτ∕CMB=R_ɪ4,

yi4(XI-1)

xι+1-y∖

_V2

X2-l

.k∖yiX2-14(XLI)(冗2-1)4(myι+l)(加/+1)

^h~χ∖+∖yι­y∖yz-^y∖yι

4[加2)]”+〃2(yι+")+1]

yy

=4Q+√1⅛+白

Iy∖yιy∖yι)

∣^o∣(4ni∖,462—1]1

=4Lm+m×ΓTj+-I2-J=^3∙

法三(极点、极线法)

点T(2,0)对应的极线方程为9亨r=1,即X=*i

延长NB交MA于Q,

则MA∩BN=Qg〃),

.,nn

K1KMAkrQA1ɔ,

—~l-1

2十I2

-Yl-∏

kι=km=kζ)B=j"=^"j-,

1^22

故I

高分训练对接高考重落实迎高考

一、基本技能练

1.已知A,B分别为双曲线C：x2-γ=l的左、右顶点，过双曲线的右焦点尸的

直线交双曲线于P,。两点(异于A,B),求直线AP,8。的斜率的比值.

解由题意知F(2,0),设直线尸。的方程为x="zy+2,P(Xι,ʃi),Q(X2,"),

χ2-

联立方程'得(3团2—l)y2+12mγ÷9=0,

x=my~∖-2,

ElI12m

则P+V=F匚P①

9

而①产y+)'24〃z

而②付

yιy23，

τ3

≤+

.∙my↑y2=r(yly2

又心P=#[，ZBQ=U7'

kλP_yιX2-1_yι(JTIy2+1)

kβQXi+1y2(my∖+3)yι

3

_wyy+yι__^W(y∣+")+yι_」

=叼y+3”=_[⑶+券)+3”=^3∙

所以直线AP,BQ的斜率的比值为一去

2.(2022.南通调研)在平面直角坐标系XO)，中，已知离心率为T的椭圆C⅛+p=

l(α>b>O)的左、右顶点分别是A,B,过右焦点尸的动直线/与椭圆C交于M,N

两点，AABM的面积最大值为2√5.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)设直线AM与定直线x=f(f>2)交于点T,记直线TF,AM,BN的斜率分别是ko,

kι,kι,若一，一,依成等差数列,求实数f的值.

解(1)设椭圆C的半焦距为g

依题意①

又AABM的面积最大值为2小,

所以;∙24∙0=2小，即αb=2小，②

又a2-b2=c2,(3)

联立①②③，得/=4,h2=3,c2=l,

92

所以椭圆C的标准方程为，+5=1.

(2)设直线/：x=my+∖,M(X1,ʃi),N(X2,y2),

x=my-∖-1,

联立方程组,

=1,

整理得(3m2+4R2+6my-9=0,

所以yι+v2=-q绘1

J3m+4

9

M-

3

故my∖y2=z^y∖+yi).

(f+2)yι

易得直线AM：y=m(x+2)与直线x=f相交于7∖t,

Xi+2

因为心,ko,总成等差数列,

所以2比=2+依,

(r+2)yι

即2.-+2=4一

t~∖xι+2X2-2'

20+2)_y2(%ι+2)

所以

-~∖^y∖(X2-2)

*(MyI+3)WyIy2+3"

y∖(Zny211)my∖yι-y∖

339

2Si+/)+3*»i+»2

=----------------------=-----------=§

313,

2Si+")-γι2yι+2y2

进而解得r=4,

所以实数，的值为4.

3.已知椭圆C：

a+方=l(α>">O)的离心率为：，其短轴长为2小，设直线/：x=4,过椭圆右焦点

尸的直线(不与X轴重合)与椭圆C相交于A,B两点，过点A作AO_U,垂足为

D.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求证：直线Bo过定点E,并求出定点E的坐标.

f_c_\

e~a~2,

⑴解由题意可得卜=2小，

.6F2=⅛2+C2,

(。=2,

解得心=小，

Ic=I,

故椭圆C的方程为7+日=L

(2)证明由题得尸(1,0),设直线AB：x=my+1(m∈R).A(xι,yι),QX2,y2),则

0(4,ʃi),

x=my+1,

联立方程＜^+f=1

得(3m2+4»2+6照一9=0,①

所以户十”=3加2+茶y'y2=3m2+4,且2"师”=3&1+*),

因为伙X2,”)，D(4,J1),所以直线8。的方程为>—>1=%二+(X—4),

42I

,金V2eyιV2-Vi,yι-y∖4v2-vɪ-∕ny1y2C

由1X=〃少+1'何产斫?龙一砺?4+P=砺?L吵-3'②