学习概论与统计课件第一章随机事件及概率

概率论与数理统计山东经济学院统计与数学学院李秀红ProbabilityTheoryandMathematicalStatistics目录Ch1随机事件及其概率

Ch2随机变量及其分布Ch3多维随机变量及其分布Ch4随机变量的数字特征Ch5极限定理Ch6数理统计的基本概念Ch7参数估计Ch8假设检验Ch9回归分析课程介绍第一章随机事件及其概率引言

确定性现象：在一定条件下一定会发生或一定不会发生的现象

随机现象：在一定条件下可能发生也可能不发生的现象例1(1)太阳从东方升起(2)边长为a的正方形的面积为a2

(3)一袋中有10个白球，今从中任取一球为白球

（1)（2)（3）为确定性现象

随机现象：在一定条件下可能发生也可能不发生的现象例2(4)掷一枚硬币，正面向上(5)掷一枚骰子，向上的点数为2(6)一袋中有5个白球3个黑球，今从中任取一球为白球（4）（5）（6）为随机现象参考书：《概率论与数理统计》人大版

《概率统计学习指导》山经数学教研室编学习基础方法：1排列组合2微积分概率论与数理统计：研究和揭示随机现象的统计规律性的一门数学学科

§1随机事件

1.1随机试验与样本空间试验：为了研究随机现象，对客观事物进行观察的过程

1.随机试验随机试验：具有以下特点的试验称为随机试验，用E表示：（1）在相同的条件下可以重复进行；（可重复性）（2）每次试验的结果不止一个，并且在试验之前可以明确试验所有可能的结果；（结果的非单一性）（3）在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现那一种结果。（随机性）注意：今后所说的试验均指随机试验

E1：抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。

E2：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。

E3：抛一颗骰子，观察出现的点数。

在下面给出的试验中，讨论试验的结果。

E4：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。

E5：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。

E6：在区间[0,1]上任取一点，记录它的坐标。2.样本空间例:掷硬币——

1={正面，反面}

掷骰子——3={1,2,3,4,5,6}某灯泡的寿命：Ω5={t：t≥0｝由以上例子可见,样本空间的结构随着试验的要求不同而有所不同，样本空间的元素是由试验的目的所确定的.1.2随机事件记为ω。样本点ω.

Ω随机事件：试验E所对应的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，称事件，通常用大写字母A,B,C等表示。试验E的任何事件A都可表示为其样本空间的子集。样本空间Ω的仅包含一个样本点ω的单点集{ω}称为基本事件，也是一种随机事件。否则，称为复合事件(由两个或两个以上的基本事件构成的事件)。

事件发生：如果当且仅当样本点ω1,ω2,…,ωk有一个出现时，事件A就发生。用事件A中的样本点的全体来表示事件A，即

A={

1，2，…...k}必然事件：每次试验中一定发生的事件，用表示；不可能事件：每次试验中一定不发生的事件，用Φ

表示.例：观察掷一枚均匀的骰子出现点数的试验中，“点数小于7”是必然事件，“点数不小于7”是不可能事件。

事件——样本点的集合子集样本空间——全部样本点的集合全集

基本事件——一个样本点的集合单点集

复合事件——多个样本点的集合不可能事件——不包含任何样本点的集合空集必然事件——全体样本点的集合（即样本空间Ω）

全集

事件与集合的对应例5已知一批产品共100个,其中有95个合格品和5个次品。检查产品质量时，从这批产品中任一抽取10个来检查，则在抽取的产品中，“次品数不多于5个”“次品数多于5个”不可能事件Φ：事件A：“恰有一个次品”事件B：“至少有一个次品”事件C：“没有次品”随机事件必然事件Ω：基本事件基本事件包含5个基本事件包含2个基本事件:事件D：“有2个或3个次品”1.3事件间的关系及运算

引言

因为任一随机事件都是样本空间的一个子集，所以事件的关系和运算与集合的关系和运算完全类似。1、事件的包含与相等

**事件A的发生必然导致事件B的发生，则称事件B包含

事件

A，或称事件A

包含于

事件

B

，记为：A

B或B

A。样本空间BA属于

A的

必然属于

B注：对任一事件A有：

A

Ω例1：一袋子中有分别编号为

1、2、…、10的十个球，现从中任取一球，设A={取到5号球}，B={取到编号是奇数的球}，C={取到编号是1,3,5,7,9的球}，D={取到编号<3的球}，E={取到编号是偶数的球}。则：事件

A的发生必然导致事件

B的发生。故事件

B包含事件

A，即：B

A。

在例1中，B

={取到编号是奇数的球}，

C={取到编号是1,3,5,7,9的球}。则：事件Ｂ与事件Ｃ含有相同的样本点，故：Ｂ=Ｃ。

事件的相等

当事件Ｂ包含事件Ａ且事件Ａ也包含事件Ｂ时，则称：事件Ａ与事件Ｂ相等。记为Ａ=Ｂ。Ａ、Ｂ中含有相同的

注：

相等的两事件总是同时发生或同时不发生样本空间Ａ

ＢＡ

Ｂ

“两事件Ａ与Ｂ中至少有一个发生”这一事件称为事件Ａ与Ｂ的和（并）。记为：Ａ∪Ｂ或Ａ+Ｂ。Ａ∪Ｂ中的样本点是Ａ中的样本点与Ｂ中的样本点的和

在例1中，B

={取到编号是奇数的球}，

D={取到编号<3的球}。则：Ｂ∪Ｄ={取到编号为1,2,3,5,7,9的球}注意：

样本点重复时只写一次！注：对任合事件A，B

有

(1)A

A+B，B

A+B

(2)A+A=A，(3)A+Ω=Ω(4)A+Φ=Φ2、事件的和（并）事件和的推广样本空间A

B

“两事件Ａ与Ｂ都发生”这一事件称为事件Ａ与Ｂ的积（交）。记为：Ａ∩Ｂ或ＡＢ。Ａ∩Ｂ中的样本点是Ａ与Ｂ所共有的样本点。

在例1中，A={取到5号球}，

B

={取到编号是奇数的球}A∩BA则：Ａ∩Ｂ={取到编号为5的球}注：对任合事件A，B

有

(1)AB

A，(2)AA=A，（3）AΦ=Φ,（4）AΩ=A3、事件的积（交）事件交的推广

“n个事件

A1,A2,

,An

都发生”这一事件称为事件A1,A2,

,An的交。记为：A1∩A2∩

∩An或∩Ai。

i=1**类似地，也可定义无限多个事件的的交∩Ai。

4.事件的差样本空间在例1中A={取到5号球}B

={取到编号是奇数的球}

事件Ａ发生而事件Ｂ不发生，这一新事件称为事件Ａ与事件Ｂ的差，记为：Ａ－Ｂ。即：Ａ－Ｂ是把Ａ中属于Ｂ的元素去掉注意：一般Ａ－Ｂ=Ａ－ＡＢ特别地：（1）ＡＢ=φ时，Ａ－Ｂ=Ａ（2）ＡＢ=Ａ时，即Ａ

Ｂ时，Ａ－Ｂ=φ（3）ＡＢ=Ｂ时，即Ｂ

Ａ时，Ａ－Ｂ=Ａ－ＢA则Ｂ－Ａ＝{取到编号是1,3,7,9的球}

B样本空间AB样本空间AB样本空间BA在例1中A={取到5号球}，B={取到编号是偶数的球}

若两事件Ａ与Ｂ不可能同时发生，即A∩B=φ，则称事件Ａ与Ｂ互不相容（或互斥）；否则称Ａ与Ｂ是相容。注：基本事件之间互不相容则：事件Ａ与事件B互不相容。即ＡB＝φ。样本空间AB5、事件的互不相容（互斥）

若n个事件

A1，A2，…，An中任两个都不可能同时发生，即：AiAj=φ，(1≤i<j≤n，i≠j)，则称这n个事件是两两互不相容的（或互斥的）。它们的和记为：A1+A2+…+An

**事件的互不相容的推广

此概念还可以推广到

A1，A2，…，An，

…的情形。

样本空间

A

若两事件Ａ与Ｂ是互不相容的，且它们的和是必然事件，即（1）AB=φ（2）A∪B=Ω（或A+B=Ω）则：称事件Ａ与Ｂ是对立事件，称事件Ａ(事件Ｂ)是事件Ｂ

(事件Ａ)的对立事件(逆事件)。

记为：Ａ=Ｂ或

Ｂ=ＡA6、对立事件（逆事件）

注(1）对立事件是相互的:A是A的逆，A也是A的逆

在例1中，A={取到编号是奇数的球}，

B={取到编号是偶数的球}

则：事件A与事件Ｂ是对立事件,即Ｂ=A。

（2）一般A–B=A-AB=AB样本空间

A

两事件互不相容只表明不能同时发生（即：至多只能发生其中之一），但可以都不发生；而对立则表示有且仅有一个发生（即：肯定了至少有一个发生）。**对立事件与互不相容事件的联系与区别

两事件对立，必定互不相容，反之不然。A互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念只适用于两个事件。

这是因为：Ａ＝－Ａ。样本空间AＢＣ7、完备事件组（P18定义4.2)在例1中，设：Fi={取到i号球}，(i=1,2,…,10)

n若n个事件A1，A2，…，An两两互不相容，且

Ai=

i=1

（1）A1∪A2∪…∪An=

(2)AiAj=φ，(1≤i<j≤n)，称这n个事件构成一个完备事件组（或Ω的一个划分）则：每个事件Fi是基本事件，且

Fi=

，即：全体Fi构成完备事件组。注：样本空间中全体基本事件构成完备事件组。所谓“Ω的一个划分”是“完备事件组”的一个直观解释A1A2样本空间ΩA3**事件间的运算律（1）交换律Ａ∪Ｂ=Ｂ∪ＡＡ∩Ｂ=Ｂ∩Ａ（2）结合律(Ａ∪Ｂ)∪C=Ａ∪(Ｂ∪C)

(Ａ∩Ｂ)∩C=Ａ∩(Ｂ∩C)（3）分配律(Ａ∪Ｂ)∩C=(Ａ∩C)∪(Ｂ∩C)(Ａ∩Ｂ)∪C=(Ａ∪C)∩(Ｂ∪C)（4）对偶律例1设A、B、C是试验E的随机事件，试用事件的运算符号表示下列事件

（1）A发生

（2）只有A发生

（3）A、B、C中恰有一个发生

（4）A、B、C同时发生

（5）A、B、C中至少有一个发生

（6）A、B、C中至多有一个发生

（7）A、B、C中恰有两个发生

（8）A、B、C中至少有两个发生

三次都取到合格品例2从一批产品中每次取出一个进行检验,事件Ai表示“第i次取到合格品”(i=1、2、3).试叙述下列事件:

（1）A1A2A3

（2）A1+

A2+A3

（3）A1-

A2-A3

至少有一次取到合格品

第一次取到合格品,第二和三次取到次品

P5：习题1-1。§2随机事件的概率

1、频率的定义及性质定义在n次重复试验中，若事件A发生了nA次，则称nA为事件A发生的频数，nA/n为事件A发生的频率，记为f

n(A).性质（1）非负性对任意事件A，0

fn(A)1（2）规范性fn(Φ)=0,

fn(Ω)=1（3）可加性若事件A与B互不相容，则

fn(A+B)=fn(A)+fn(B)

2.1频率2、频率与概率

概率的统计定义

定义在相同的条件下，重复进行n次试验，事件A发生的频率稳定地在0到1之间的某一常数p附近摆动，且一般说来，n越大，摆动幅度越小，则称常数P为事件A的概率，记作P(A)

注意（1）频率的稳定值为概率，所以，一般n充分大时，常用频率作为概率的近似值（2）概率是先于试验而存在的2.2概率的定义及性质

设试验的样本空间为Ω，设对每个事件A,都有一个实数P(A)与之对应，满足下列三条公理：(2)规范性:P(Ω)=1

(3)完全可加性（可列可加性）:若Ak(k=1，2，…)两两互不相容，则

Ｐ(Ai)=Ｐ(Ai)

i=1i=1

定义2.1(概率的定义)(1)非负性:对于任一事件A，都有P(A)≥0则称函数P(A)为事件A的概率。概率的主要性质性质1不可能事件的概率为零，即P(φ)=0.性质2(有限可加性)若A1，A2，…，An两两互不相容，则性质3设

是事件A∈Ω的对立事件，则有：证明因由性质2有即：故：性质4（1）任给A，B两事件，则：P(A－B)＝P(A)－P(AB)（2）若ＢＡ则：P(A－B)＝P(A)－P(B)

（3）若ＢＡ则：

P(A)≥P(B)证明：因且(A-B)与AB互不相容，由性质2(有限可加性)，得P(A)＝P(A-B)＋P(AB)P(A－B)＝P(A)－P(AB)当ＢＡ时，有：AB=B，故有：P(A－B)＝P(A)－P(B)当ＢＡ时，有P(A－B)＝P(A)－P(B)≥0,则P(A)≥P(B)性质5

对任一事件A，P(A)≤1.证明：因为A

Ω，由性质4

可得，P(A)≤P(Ω)=1

。证明因：

A+B=A+(B-AB)且A∩(B-AB)=Ф（即：A与B-AB互不相容），由性质2(有限可加性)得：性质6加法公式P(A+B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)一般的加法公式:代入上式得：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(B-AB)=P(B)-P(AB)又因AB包含于B，由性质4得：P(A+B)=P(A+(B-AB))=P(A)+P(B-AB)推论：当A与B互不相容时P(A+B)＝P(A)＋P(B)例1：（课本P9）已知P(B)=0.3,P(A∪B)=0.6,求P(A-B)解：由P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),得P(A)-P(AB)=P(A∪B)-

P(B)=0.6-0.3=0.3于是P(A-B)=P(A)-P(AB)

=P(A∪B)-

P(B)=0.6-0.3=0.3例2：（课本P9)某市发行“晚报”和“时报”两种报纸，订阅“晚报”的有45%，订阅“时报”的有35%，其中订阅两种报纸的有10%，求只订一种报纸的概率。 解：设事件A表示“订阅晚报”，B表示“订阅时报”，C

表示“只订一种报纸”，则P(A)=0.45，P(B)=0.35

，P(AB)=0.1

，求P(C)=?

而C=(A-B)∪(B-A)，(A-B)与(B-A)互不相容，由性质2和性质4，得P(C)=P(A-B)+P(B-A)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.45-0.1+0.35-0.1=0.6解：设A表示第一部电话不占线，B表示第二部电话不占线。在一小时内至少有一部电话不占线表示为

例3（补充)：有两部电话，在一小时内第一部电话占线的概率为0.6，第二部电话占线的概率为0.7，两部电话都不占线的概率为0.2，求在一小时内至少有一部电话不占线的概率。 由性质5得：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.3-0.2=0.5则P(A）=0.4P(B)=0.3P(AB)=0.2

A∪B自学书上P9例3Ex1-2P9§3古典概型与几何概型3.1古典概型古典概型是一种计算概率的数学模型，它是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象。古典概型定义若一随机试验满足下述两个条件：1)样本空间只含有有限多个样本点（有限性）；

2）每个样本点出现的可能性相等（等可能性）。

则称这种随机试验为古典概型即：Ω={ω1，ω2，…，ωn}即：对每个i=1，2，…，n有：P({ω1})=P({ω2})=…=P({ωn})=1/n

这是一类最简单却是常见的随机试验。例一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球，编号分别为1~10，现从中任取一球。

用i表示取到i号球，i=1,2,…,10，则该实验的样本空间={1,2,…,10}（有限多个样本点）,且每个样本点出现的可能性相同（1/10）。再如：[1]掷一枚均匀的硬币（1）有2个可能的结果（2）每个结果的出现都是等可能的[2]掷一枚均匀的骰子（1）有6个可能的结果（2）每个结果的出现都是等可能的[3]在5个白球3个黑球任取2个（1）有个可能的结果（2）每个结果的出现都是等可能的古典概型中事件概率的计算

在古典概型中，如果样本空间含n个基本事件（样本点）事件A包含的基本事件为k个，则定义事件Ａ的概率P(A)为：求概率问题计数问题例1将三枚均匀的硬币投掷一次，试求下列事件的概率：（1）恰好有一枚硬币正面朝上；（2）至少有一枚硬币正面朝上。

举例

[1]摸球问题（组合问题）

例1一袋中有大小、形状完全相同的5个白球4个黑球，从中任取3个球求：（1）恰有2个白球1个黑球的概率（2）没有黑球的概率（3）颜色相同的概率解设A={任取3个球，恰有2个白球1个黑球}

B={任取3个球，没有黑球}

C={任取3个球，颜色相同}P（A）=P（B）=P（C）=P11例2例5另如：1o52张牌中任取4张,求（1）2张红桃，1张方块，1张黑桃的概率（2）没有A的概率（3）4张大小相同的概率例3

一批产品100个，其中有6个废品。现从这批产品中任取3个，求取出的3个产品中正好有1个废品的概率。[2]排队问题（不可重复的排列问题）例1一套五卷的选集，随机的放到书架上，求各册自左向右或自右向左卷号恰为1、2、3、4、5顺序的概率。解设A——“各册自左向右或自右向左卷号恰为1、2、3、4、5顺序”样本空间包含的基本事件总数n=5！=120事件A中包含的基本事件个数k=2所以例把10本书任意地放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率设A——其中指定的三本书放在一起则

P（A）=———[3]分房问题(生日问题)（可重复的排列问题）例（P12例4）两封信随机地向标号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的4个邮筒投寄。求：（1）前两个邮筒各投入1封信的概率（2）第Ⅱ个邮筒恰好投入1封信的概率（3）两封信投入不同邮筒的概率解设A——前两个邮筒各投入1封信

B——第Ⅱ个邮筒恰好投入1封信

C——两封信投入不同邮筒而样本空间包含的基本事件总数n=42=16

事件A中包含的基本事件个数kA=2!=2事件B中包含的基本事件个数kB=C21C31=6事件C中包含的基本事件个数kC=P42=12则P（A）=2/16P（B）=6/16P（C）=12/16

P13例6[4]抽签问题(抓阄问题)

解：设Ａ——“他抽到会答考签”例抽签口试，共有a+b个考签，每个考生抽一张，抽过的不在放回。考生王某会答其中a个签上的问题，他是第k个抽签应考的人（k≤a+b)，求他抽到会答考签的概率。

1Ｃa

（a+b-1）！aP(Ａ)=———————=——

（a+b）！a+b注意：该结果与k无关古典概型的优、缺点

优点：古典概率可直接按公式计算，而不必进行大量的重复试验。缺点：有局限性：只能用于全部结果为有限个，且等可能性成立的情形。一、定义（P14）1、度量（测度）：对某区域D（线段、平面图形、立体）的大小的一种数量描述（长度、面积、体积），用(D)表示2、几何概型如果试验的每个基本事件可用一个几何区域Ω中的一点表示，全体基本事件可用几何区域Ω中的所有点表示.设区域G区域，向区域内随机地（等可能地）投点，点落入G的概率与区域G的测度成正比，而与该区域在中的位置、形状无关，则称此概率模型为几何概型3.2几何概型3、几何概率的求法（P15）随机试验的样本空间的测度为()，区域G（）的测度为(G)，用A表示“在区域中随机投点，而该点落入区域G中”这一事件，则事件A的概率为

例8（会面问题）甲乙两人约定在6时到7时之间在某处见面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去。假定每人在指定的1小时内任一时刻到达是等可能的，求两人能会面的概率。解设A——两人能会面x——甲到达约会地点的时刻

y——乙到达约会地点的时刻则样本空间

={（x，y）|0x60，0y60}A为区域G={（x，y）|0

|x-y|15}且G

于是P（A）=

06060xyG另解设A——两人能会面

x——甲到达约会地点的时刻

y——乙到达约会地点的时刻则样本空间

={（x，y）|6x7，6y7}A为区域G={（x，y）|0

|x-y|1/4}，且G

于是P（A）=

0xyG补充甲乙两艘轮船向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲乙两船的停泊时间都是一小时，求它们中的任何一艘都不需等候码头空出的概率。解设A——它们中任何一艘都不需等候码头空出

x——甲船到达码头的时刻

y——乙船到达码头的时刻则样本空间

={（x，y）|0x24，0y24}A为区域G={（x，y）||x-y|1}，且G

于是P（A）=

§4条件概率在研究事件的概率时，有时会考虑一定的附加条件,如在一个事件已经发生的条件下,考虑另外一个事件发生的可能性.4.1条件概率的概念令：Ａ={一个是男孩}Ｂ={一个是女孩}

引例考察有两个小孩的家庭,已知其中有一个是女孩,问另一个是男孩的概率。则：Ω={（男，男）、（男，女）、（女，男）、（女，女）}A={（男，男）、（男，女）、（女，男）}B={（男，女）、（女，男）、（女，女）}已知其中有一个是女孩,另一个是男孩的概率为一个是男孩的概率为

条件概率分析:

定义4.1

设A、B为任意两个事件，且P(A)>0，在事件A已经发生的条件下,事件B发生的概率,称为条件概率,记作P(B|A).注:(2)P(B)称为无条件概率(1)P(B∣A)的直观含义(3)一般地，P(B∣A)≠P(B)(4)性质：设P(A)>0

(2)P(Ω|A)=1

(3)若Ak(k=1，2，…)两两互不相容，则

Ｐ(Ai|A)=Ｐ(Ai|A)

i=1i=1

(1)对于任一事件B，都有0≤P(B|A)≤1例2P16-174.2条件概率的计算公式

定例理4.1设A,B是任意两个事件，则

证明

（以古典概型为例）样本空间A

B

B

新样本空间A

条件概率P(A|B)的实质是样本空间起了变化。新的样本空间缩小为只取Ｂ所包含的样本点。有利事件为AB。AB注意:应用此公式时P(B)P(AB)都是在原来的样本空间中考虑例2在１０件产品中，有３件不合格品，任取两次，每次取１件，取出后不放回，若已经发现第１件是合格品，求第２件也是合格品的概率。解：设Ａi={第i次取到合格品}，i=1，2。方法1(利用公式)

Ｐ(Ａ2|Ａ1)=6/9Ｐ(Ａ1)=Ｐ(Ａ1Ａ2)=方法2(直接求)

定理4.2对任意两事件A、B，都有P(AB)=P(A)P(B|A)(P(A)>0)

P(AB)=P(B)P(A|B)(P(B)>0)注：当P(AB)不容易直接求得时，可考虑利用P(A)与P(B|A)的乘积或P(B)与P(A|B)的乘积间接求得。对于任意n个事件A1,A2,

…,An,且P(A1A2…An-1)>0,则有

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)推广的乘法公式4.3乘法公式4%次品96%正品75%一等品例１：一批产品的次品率为4％，正品中一等品率为75％，现从这批产品中任意取一件，试求恰好取到一等品的概率。解：记A＝{取到一等品}，B＝{取到次品}，

＝{取到正品}。则有：P(B)=4/100P()=96/100P(A|)=75/100由于：Ａ故：Ａ＝Ａ，于是：

例210张考签中有4张难签，甲、乙、丙3人参加抽签（不放回），甲先，乙次，丙后，求甲、乙、丙都抽到难签的概率？

记A＝{甲抽到难签}，B＝{乙抽到难签}，

C＝{丙抽到难签}，

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=

P(A)=P(B|A)=P(C|AB)=

4.4全概率公式与贝叶斯公式定义4.2（样本空间Ω的一个划分)

n若n个事件A1，A2，…，An两两互不相容，且

Ai=

i=1

（1）A1∪A2∪…∪An=

(2)AiAj=φ，(1≤i<j≤n)，称这n个事件构成Ω的一个划分（或一个完备事件组）例如：一盒子中有编号为1—5的5个球，现从中任取一球，考察所取得球的号码X。则样本空间Ω={1，2，3，4，5}而A={X<3}，B={X=3},C={X>3}为Ω的一个划分A1={X为偶数}，B1={X为奇数}也是Ω的一个划分A1A2An一个事件发生.定理4.3

设A1,A2,,An构成样本空间的一个划分，并且P(Ai)>0,i=1,2,n,则对任意事件B，有

全概率公式证明：推论若事件A满足0<P(A)<1,

则对任意事件B，有某一事件B的发生有各种可能的原因

，如果B是由原因Ai(i=1,2,…,n)所引起，则A发生的概率是每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.P(AiB)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解全概率公式可看成是“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即：结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关，全概率公式表达了它们之间的关系。

P19例5：某商店新进一批产品100个，其中有3个次品。顾客在购买时无法分辨每件产品的优劣，而且每个顾客只能买一个，第一位顾客随机买走了一个，接着第二位顾客又随机买走了一个。试问第二位顾客买的产品是次品的概率。设Ａ1={第一位顾客买走的是次品}，Ａ2={第一位顾客买走的是正品}，B={第二位顾客买走的是次品}解：则P(A1)=，P(A2)=则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)补充例：12个乒乓球9新3旧，第一次比赛时取出3个用完后放回，第二次比赛又取出3个，求取出的3个球中有2个新球的概率。设Ａi={第一次取出的3个球中有i个新球}，(i=0，1，2，3)Ｐ(B|A0)=Ｐ(B|A1)=P(B|A2)=P(B|A3)=

B={第二次取出的3个球中有2个新球}=+++=0.455Ｐ(A0)=Ｐ(A1)=P(A2)=P(A3)=则：P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)解：P19例6

P19例7

某晶体管厂有三个车间生产同一型号的电子管，已知有1/2产品是第一个车间生产的，其他两个车间各生产1/4，第一、二两个车间生产的产品废品率为2%，第三车间生产的产品废品率为4%，（1）现从该厂产品中任取一个，问取到的产品是废品的概率是多少？（2）现已知从该厂产品中任取一个，结果是废品，但该产品是哪个车间生产的标记已经脱落，问厂方如何处理这个废品比较合理？（1）设Ａi={取到的产品是第i

个车间生产的}(i=1,2,3)，

B={取到的产品为次品}解：则P(A1)=，P(A2)=P(A3)=

P(B|A1)=2%

P(B|A2)=2%

P(B|A3)=4%则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)

=0.025实际中还有一类问题—“已知结果求原因”。这类问题在实际中常见，是已知某结果发生的条件下，求各原因发生的可能性大小，即求条件概率。贝叶斯公式就解决这类问题。利用条件概率的计算公式与全概率公式可导出贝叶斯公式：定理4.4(贝叶斯公式)：设A1

，A2，…An构成样本空间的一个划分，且

P(Ai)>0(i=1,2,…n),则对任意一概率不为零的事件B，有

2.贝叶斯公式证明:该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件B）发生的最可能原因.在贝叶斯公式中，P(Ai)（i=1，2，…）是在没有新的信息（不知道结果B是否发生）的情况下，人们对原因Ai发生可能性大小的认识。当有了新的信息（知道结果B发生），P(Ａi|Ｂ)是人们对原因Ai发生可能性大小的新的认识。

P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因Ai的先验概率和后验概率。应用贝叶斯公式计算后验概率，以此作出某种判断或决策贝叶斯公式的意义：假设导致“结果”B发生的“原因”Ai(i=1，2，…）两两不相容，现已知事件B发生了，若要计算导致B出现的“原因”Ai的概率，则可用贝叶斯公式求。即可从结果分析原因，所以又称为逆概率公式。P21例8

某医院对某疾病有一种有效的检验方法，可对0.95的该病患者和0.9的无该病者诊断无误，又由历史资料知道该病的发病率为0.0004,现有一人用这种方法检验出患该病，求此人确患该病的概率。由贝叶斯公式得：要求P(A|B)解：设A={患病}，A={无病}，B={检查出患病}，B={检查出无病}

则P(A)=0.0004，P(A)=0.9996

P(B|A)=0.95，P(B|A)=0.9

P(B|A)=1-0.9=0.1P21例9

例：有朋友自远方来，他坐火车、船、汽车、飞机的可能性分别是0.3、0.2、0.1和0.4，如果他坐火车、船、汽车来的话，迟到的概率分别是1/4、1/3、1/12，而坐飞机不会迟到。结果他迟到了，问他坐火车来的概率是多少？解：设A1={坐火车}，A2={坐船}，A3={坐汽车}，A4={坐飞机}，

B={迟到}。

由贝叶斯公式得：则P(A1)=0.3，P(A2)=0.2，P(A3)=0.1，P(A4)=0.4

P(B|A1)=1/4，P(B|A2)=1/3，P(B|A3)=1/12，P(B|A4)=0要求P(A1|B)课堂练习：市场供应的灯泡中甲厂产品0.6,乙厂产品占0.4,甲厂产品的次品率为0.05,乙厂产品的次品率为0.1,若买到一只灯泡是合格品，求它是由甲厂生产的概率。解：设A1={甲厂生产}，A2={乙厂生产}，B={合格品}

由贝叶斯公式得：则P(A1)=0.6，P(A2)=0.4

P(B|A1)=1-0.05=0.95，P(B|A2)=1-0.1=0.9要求P(A1|B)P22Ex6-10

P22第6题两台车床加工同一种零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02，加工的零件放一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍。求任取一零件是合格品的概率。设Ａi={第

i

台车床加工的零件}(i=1,2)，B={零件是合格品}解：则P(A1)=，P(A2)=

P(B|A1)=1-0.03=0.97

P(B|A2)=1-0.02=0.98则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)

=0.973§5事件的独立性设事件A和B，我们知道条件概率P(A|B)和无条件概率P(A)可能相等或不相等。显然P(A|B)=P(A)这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}，先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设由乘法公式知，当事件A、B独立时，有

P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.P(AB)=P(A)P(B)定义5.1：（事件的独立性）则称事件Ａ与Ｂ相互独立，简称独立。如果事件A，B，满足：注：当P(B)>０时，P(AB)=P(A)P(B)等价于P(A|B)=P(A)当P(A)>0时，P(AB)=P(A)P(B)等价于P(B|A)=P(B)

例

从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可见,P(AB)=P(A)P(B)

由于P(A)=4/52=1/13,故事件A、B独立.问事件A、B是否独立？解1:P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,可见P(A)=P(A|B),

由定理5.1知事件A、B独立.P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13解2:两事件是否独立可由定义或通过计算条件概率来判断:在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.

由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立.甲、乙两人向同一目标射击,记A={甲命中},B={乙命中}，A与B是否独立？例如（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）

一批产品共n件，从中抽取2件，设

Ai={第i件是合格品}i=1,2若抽取是有放回的,则A1与A2独立.因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.又如：因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.=P(A)[1-P(B)]=P(A)-P(AB)P(A)=P(A-A

B)A、B独立概率的性质=P(A)-P(A)P(B)仅证A与独立定理5.2

若两事件A、B独立,则

也相互独立.证明=P(A)P()故A与独立多个事件的独立性则称事件A1,A2,…An

互相独立即：

对于事件A1,A2,…An,若满足:

P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)

P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak)

……

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)对于三个事件A、B、C，若

P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.则称事件A1,A2,…An两两独立。注意：

对于事件A1,A2,…An,若只满足:

P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)即A1，…，An

中任意两个是独立的，两两独立相互独立对n(n>2)个事件?多个事件互相独立的性质：（2）若事件A1,A2,…An

互相独立，则它们及它们的对立事件中任意一部分也是互相独立。（3）若事件A1,A2,…An互相独立，则（1）若事件A1,A2,…An

互相独立，则A1,A2,…An

中任意k(k≥2)个事件也相互独立。独立性:是相对于概率P而言的,指两事件的发生互不影响。互不相容:是两个事件不可能同时发生，即没有公共的样本点，但并不涉及到事件的概率。两事件独立与两事件互不相容的区别若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,则A与B不独立.反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0,则A

、B不互斥.对独立事件，许多概率计算可得到简化独立性的概念在计算概率中的应用解：设A={甲投中}B={乙投中}C={丙投中}例1：（补充）甲、乙、丙三人各投篮一次，他们投中的概率分别为0.7,0.8,0.75,求（1）三人中恰好有一人投中的概率（2）三人都投中的概率（3）三人中至少有一人投中的概率ABC={三人都投中}A+B+C={三人中至少有一人投中}P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.70.80.75=0.42P(A+B+C)=1-P(A+B+C)=1-P(A)P(B)P(C)=1-0.30.20.25=0.985ABC+ABC+ABC={三人恰好有一人投中}P（ABC+ABC+ABC）=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）=0.70.20.25+0.30.80.25+0.30.20.75=0.14P(A1)=0.4P(A2)=0.5P(A3)=0.7P28第9题甲乙丙三人向同一飞机射击，击中的概率分别为0.4,0.5,0.7,如果只有一人击中，则飞机被击落的概率是0.2；如果有二人击中，则飞机被击落的概率为0.6；如果三人都击中，则飞机必被击落。求飞机被击落的概率。解：设A1={甲击中敌机}A2={乙击中敌机}A3={丙击中敌机}B1={只有一人击中飞机}B2={只有两人击中飞机}B3={三人击中飞机}B4={三人全没击中飞机}C={飞机被击落}

P(B1)=0.40.50.3+0.60.50.