2023年中考数学复习：隐圆-强化练习题汇编(含答案)

2023年中考数学专题复习：隐圆强化练习题汇编

一、选择

1.如图，四边形ABC。中，连接AC、BD,点。为AB的中点，若NACB=90°,

则下面结论不一定正确的是（）

B.NDAC=NDBC

C.ZBCD+ZBA£»=180"

D.点A、C、。到点。的距离相等

2.如右图，在矩形ABCD中，46=10,AD=U,P为矩形内一点，ZAPB=90°,连接

3.如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3.尸是△ABC内部的一个动点,

且满足NB4C=/PCB,则线段P8的最小值为（）

A.yB.V13-1C.V13-2D.3

4.如图，在RtaABC中，NABC=90°,42=8,BC=6,。为线段A3上的动点，连接

CD,过点2作BE,CO交CD于点E,则在点。的运动过程中，求线段AE的最小值为

（）

A

5^5

A.10B.V73-3C.5D.——

4

5.如图，在正方形A3CD中，AB=2,尸是正方形ABC。内一点，若NAPB=90°,则尸。

的最小值是（）

A.1B.V5C.V5-1D.V5+1

6.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,C4=4,C3=6,点。是AC边上的动点，连接

BD,过点。作于点E,则AE的最小值为（）

7.Rtz^ABC中，ABLBC,AB=4,BC=3,尸是AABC内部的一个动点，满足NB43=N

PBC,则线段CP长的最小值为（）

16-

A.—B.1C.Vy13-3yD.V13-2

8.如图，ZkABC为等边三角形，AB=3.若尸为AABC内一动点，且满足NB48=NACP

则线段P8长度的最小值为（）

C

'P

AB

9.如图，点A,8的坐标分别为A(3,0)、B(0,3),点C为坐标平面内的一点，且

BC=2,点M为线段AC的中点，连接OM则OM的最大值为()

qAx

A.-V2+1B.-V2C.V2+|D.3V2+2

22

10.如图，在矩形ABC。中，AB=6,BC=S,点E为平面内一动点，且。E=2,连接BE,

点M为BE的中点，则AM的最小值为()

4___________D

A.3B.4C.3V2D.10-2V5

二、填空

1

ZDBC=^ZBDC.其中NZMC=25°,那么

1.如图，在四边形A3CQ中，AB=AC=ADf

ZBAC=_______.

D

F

B

2.如图，在四边形ABC。中，AB=AC=AD,ZCAD^2ZBAC,若N8C£)=105°,则/

BDC=_______.

A

c

3.如图，在四边形ABC。中，AB=BC=BD.若NA8C=112°,则/AOC=

D

4.如图，在正方形A8C£）中，AB=2,尸是8。边上的一个动点，连接AE过点8作BE

±AF于E,在点F变化的过程中，线段DE的最小值是.

5.如图，正方形ABCD的边长为4,点£、尸分别是8C,边上的动点，且CE+CP=4,

OE和AF相交于点尸，在点E,尸运动的过程中，C尸的最小值为.

6.如图示，A,8两点的坐标分别为（-2,0）,（3,0）,点C在y轴上，且/ACB=45°,

则点C的坐标为

7.如图，等边△ABC中，AB=2V3,尸是△ABC内部的一个动点，且满足NPBC,

求线段“长的最小值

8.如图，△ABC中，A8=AC=2,BC=25。点是△ABC所在平面上的一个动点，且/

BDC=60°,则△D2C面积的最大值是.

9.如图，正方形ABC。的边长为4,点E是正方形外一动点，且点E在CQ的右侧，ZAED

=45°,尸为的中点，当E运动时，线段PE的最大值为.

10.如图，点。为边长是4国的等边△ABC边A2左侧一动点，不与点A,B重合的动点。

在运动过程中始终保持120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值

11.在等边三角形ABC中，D,E分别是AC,BC上的点，AE与3。相交于点P.若ABCD

的面积是128，BE=6,ZAPB=120°,则AABP的外接圆的半径长为.

BE

12.如图，四边形ABC。中，AB=AD=6,BD=4,ZBCD=30°,我们知道满足条件的点

C不是唯一的，则AC长的最大值为.

13.如图.A(3,0).动点B到点M(3,4)的距离为1,连接80,8。的中点为C,则

线段AC的最小值为.

X

第24章一一隐圆（答案）

一、选择

1.如图，四边形A8C。中，连接AC、点。为A8的中点，若乙4。8=NAC8=90°,

则下面结论不一定正确的是（）

A.DC=CB

B.ZDAC=ZDBC

C.ZBC£）+ZBAD=180°

D.点A、c、到点。的距离相等

【解答】解：：点。为AB的中点，ZADB=ZACB=90°,

：.D,C在以。为圆心，A8为直径的圆上，如图，

ZDAC=ZDBC,NBCD+/A4O=180°,点A、C、。到点O的距离相等,

当/D4C=/BAC时，DC=CB,而题目中未给出.

故选：A.

2.如右图，在矩形ABCD中，AB=10,AD=U,P为矩形内一点，N4尸8=90°,连接

72V61

A.8B.2vnC.10D.

61

【解答】解：如图，以AB为直径作O。，连接0。在矩形ABC。内部交O。于点P,则

此时尸。有最小值.

A

D

O

矩形ABCD中，AB=10,AD=12,

；.0P=A0=5,ZBAD=90°,

0D=yjAO2+AD2=V52+122=13,

：.PD=OD-0P=13-5=8,

即PD的最小值为8.

故选：A.

3.如图，在RtaABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3.尸是△ABC内部的一个动点,

且满足/B4C=NPCB,则线段网的最小值为（）

A.—B.V13-1C.V13-2D.3

【解答】解：；/ACB=90°,

/.ZACP+ZPCB=90°,

•：NPAC=/PCB,

：.ZCAP+ZACP^9Q°,

ZAPC=90°,

...点尸在以AC为直径的。。上，连接OB交0。于点P,此时P8最小,

在RtZXCBO中，ZOCB=90°,BC=3,OC=2,

：.OB=y/OC2+BC2=V22+32=V13,

：.PB=OB-OP=V13-2.

；.PC最小值为同-2.

故选：C.

4.如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=8,BC=6,。为线段AB上的动点，连接

CD,过点B作BE-LCD交CD于点E,则在点。的运动过程中，求线段AE的最小值为

()

A.10B.V73-3C.5D.——

4

【解答】解：设8。的中点为点0,以。为圆心，8C为直径画圆，如图：

1

・••点E在以。为圆心，半径为-BC=3的圆上,

2

:点E在半径为3的。。上，

：.OE=OB=3,

VZABC=9Q°,48=8,

：.AO=yjAB12+B02=V82+32=V73,

•••两点之间线段最短，

...当A、0、E三点共线时，AE取得最小值，

止匕时，AE=AO-OE=V73-3,

故选：B.

5.如图，在正方形A2CZ）中，AB=2,P是正方形ABCD内一点，若NAPB=90°,则PC

的最小值是（）

A.1B.V5C.V5-1D.V5+1

【解答】解：如图所示：取AB的中点O,以。为圆心,OA为半径作。0.

:a

\0，:

、/

VZAPB=90°,

・••点尸在。。上.

VAB=2,

1

・・・0尸=1,-AB=1.

2

当。、P、。在一条直线上时，尸。有最小值.

PC的最小值=0C-0P=yJOB2+BC2-0P=V5-1,

故选：c.

6.如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,CA=4,CB=6,点。是AC边上的动点，连接

BD,过点C作CE±BD于点E,则AE的最小值为（）

BN------------------------------

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：如图，取BC中点R连接AE、EF.

D

•：CE_LBD,ZBEC=90°,

・••点E在以8C长为直径的圆周上上运动，当点A、E、尸在同一直线上时，AE最短.

VCA=4,CB=6,

1

；・BF=^BC=3,

：.AF=V42+32=5,

：.AE=AF-BF=5-3=2f

即AE的最小值为2.

故选：A.

7.RtZXABC中，AB±BC,A8=4,BC=3,P是△ABC内部的一个动点，满足NB43=N

PBC,则线段CP长的最小值为（）

16,—,—

A.—B.1C.V13-3D.V13-2

【解答】解：VZABC=90°,

ZABP+ZPBC=90°,

'：ZPAB=ZPBC

：.ZBAP+ZABP=90°,

AZAPB=90°,

・••点尸在以A3为直径的OO上，连接OC交OO于点尸，此时PC最小，

在RtZXBCO中，ZOBC=9Q°,BC=3f03=2,

・•・0C=70B2+BC2=V22+32=V13,

・•・CP=OC-OP=V13-2.

・・・C尸最小值为，n—2.

故选：D.

8.如图，AIBC为等边三角形，AB=3.若尸为△ABC内一动点，且满足NE42=NACP,

则线段网长度的最小值为（）

A.1.5B.V3C.1V3D.2

【解答】解：：△ABC是等边三角形，

AZABC=ZBAC=6Q°,AC=AB=3,

,：ZPAB=ZACP,

：.ZPAC+ZACP=6Qa,

ZAPC=120°,

点P的运动轨迹是公，

设前所在圆的圆心为。，当。、尸、3共线时，尸8长度最小，设。8交AC于。，如图所示:

此时必=PC,OB±AC,

则AZ)=CD=%C=|,ZPAC=ZACP=30°,ZABD=|zABC=30°,

：.PD=畤,BD二号,

：.PB=BD-PD=竽-5=遮.

故选:B.

9.如图，点A,B的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)，点C为坐标平面内的一点，且

BC=2,点M为线段AC的中点，连接OM,则的最大值为()

【解答】解：如图，作点A关于点。的对称点4(-3,0),

则点。是A4,的中点，

又：点〃是AC的中点，

OM是△AYC的中位线，

：.OM=^A'C,

...当AC最大时，0M最大，

:点C为坐标平面内的一点，且BC=2,

...点C在以B为圆心，2为半径的02上运动，

...当AC经过圆心8时，A'C最大，即点C在图中。位置.

AC=A8+BC=3夜+2.

，。加的最大值=擀a+1.

10.如图，在矩形ABCD中，AB=6,8c=8,点E为平面内一动点，且。E=2,连接BE,

点M为BE的中点，则AM的最小值为()

A.3B.4C.3V2D.10-2V5

【解答】解：由题意知：E点在以。为圆心，以2为半径的圆上，连接2。，取的中

点O,连接AO,MO,

B--------------

在矩形ABC。中，ZBAD=90°,AB=8,BC=6,

：.BD=V62+82=10,

为的中点，

1

.U.AO=请0=5,

为BE的中点，DE=2,

1

：.OM=^DE=\,

'：AM>AO-OM,即AM>4,

...当A,O,M三点共线时，AM有最小值为4,

故选：B.

二、填空

1

1.如图，在四边形ABC。中，AB=AC=ADfZDBC=^ZBDC.其中ND4C=25°,那么

ZBAC=75°

B

【解答】解：如图:

9

：AB=AC=ADf

：.B,C、。在以A为圆心，以AB为半径的同一个圆上,

VZDAC=25

1

AZDBC=JZDAC=12.5°,

1

ZDBC=与NBDC,

：.ZBDC=3ZDBC=37.5°,

：.ZBAC=2ZBDC=15°,

故答案为：75°.

2.如图，在四边形ABC。中，AB=AC=ADfZCAD=2ZBAC,若N3CD=105°,则N

BDC=25°

【解答】解：以A为圆心，A5为半径画圆,

:・NCAD=2NCBD,NBAC=2NBDC,

'：ZCAD=2ZBAC,

：.ZCBD=2ZBDC,

VZCBD+ZBDC+ZBCD=18O°,

.•.3ZCBD+1050=180°,

：.ZCBD=25°.

故答案为：25°.

3.如图，在四边形ABC。中，AB=BC=BD,若NA8C=112°,则NAZ)C=124

【解答】解：,.,A3=BO=8C,

・・・A、D、。在以5为圆心，以为半径的圆上,

如图，作圆周角NAEC,

VZABC=U2°,

i

：.ZE=^^ABC=56°,

:四边形AOCE是02的圆内接四边形,

ZADC+ZE=180°,

AZADC=180°-56°=124°,

故答案为：124.

4.如图，在正方形A2CZ）中，AB=2,尸是2。边上的一个动点，连接AR过点B作BE

于E,在点尸变化的过程中，线段。E的最小值是—遍-]

在以AB为直径圆心为0的圆上，

...当。、E、。三点共线的时候线段OE最小,

：AB=2,四边形ABC。为正方形，

.".AO=1=OE,AD=2,

：.0D=y/OA2+AD2=V5,

/.段DE最小值为OD-OF=V5-1.

故答案为：V5-1.

5.如图，正方形A3CD的边长为4,点E、尸分别是3C,CD边上的动点，且CE+CF=4,

。石和Ab相交于点尸，在点E,厂运动的过程中，CP的最小值为2乘一2

【解答】解：在正方形A3CD中，AD=CD=BC=4,ZADC=ZBCD=9Q°,

VCE+CF=4,CF+DF=4,

：.CE=DF,

(AD=DC

在△AO/和△£)(?£中，\AADF=乙DCE,

DF=CE

：.AADF^ADCE(SAS),

；・NDAF=NCDE,

VZADE+ZCDE=90°,

：.ZDAP+ZFDP^90°,

ZAPD=90°,

・・・点尸在以A。为直径的圆上，

设的中点为G,

由图形可知：当C、P、G在同一直线上时，C尸有最小值，如图所示:

VCZ)=4,DG=2,

CG=V42+22=24,

：.CP=CG-PG=2岳-2,

故答案为：2V5-2.

B

6.如图示，A,8两点的坐标分别为(-2,0),(3,0)，点C在y轴上，且/AC8=45°,

则点C的坐标为(0,6)或(0,-6).

【解答】解：在无轴的上方作等腰直角△ABF,FB=FA,ZBAF=90°,以尸为圆心,

朋为半径作OF交y轴于C,连接CB,CA.

1

VZACB=^ZAFB=45°,

VB(-2,0),A(3,0),AAB尸是等腰直角三角形,

：.F(-,-),FA=FB=FC=设C(0.m),

222

15,5^2c

贝!J(一)02+(一—机)’=(---)一,

222

解得m=6或-1(舍弃)

：.C(0,6),

根据对称性可知C(0,-6)也符合条件，

综上所述，点C的坐标为(0,6)或(0,-6).

故答案为(0,6)或(0,-6).

7.如图，等边△ABC中，AB=2V3,尸是△ABC内部的一个动点，且满足

求线段C尸长的最小值2.

【解答】解：以A8为边向左作等边三角形48。，作△A3。使得外接圆OO.连接OC,

/.ZABC=60°,

,：ZPAB=ZPBC,

：.ZPAB+ZPBA=ZPBC+ZPBA=ZABC=60°,

ZAPB=120°,

,.•△AOB是等边三角形，

.\ZD=60°,

AZD+ZAPB=180°,

点尸在(DO上，

VAB=2V3,。外心，

：.OA=OB=2,02平分NAB。，

AZABO=30°,

.\ZOBC=90°,

；.OC=yj0B2+BC2=J22+(2V3)2=4,

J.PC^OC-OP,

:.PC2,

...PC的最小值为2,

故答案为2.

8.如图，/XABC中，AB=AC=2,BC=2V3,。点是△ABC所在平面上的一个动点，且/

BDC=60°,则△O8C面积的最大值是3旧

D

【解答】解：如图，作AXLBC于

:AB=AC=2,BC=2®

：.BH=”C=V3,

：.AH=J22-(A/3)2=1,

AfJ1

.•.sin/ABC=/

ZABC^ZACB=3Q°,Nft4c=120°,

以A为圆心，AB为半径作G)A,延长HA交0A于点。，

,：ZBDC=60°,

1

...点。在O。上运动，当。运动到如图的位置时，△D8C面积的最大值，最大值为：-x

2V3x3=3A/3.

故答案为：3次.

9.如图，正方形48C。的边长为4,点E是正方形外一动点，且点E在CD的右侧，Z

AE£>=45°,尸为AB的中点，当E运动时，线段PE的最大值为2+2a.

【解答】解：如图，连接AC,BD交于点0,连接P。，EO,

VZAED=45°,ZACD=45°,

C,E,。四点共圆，

,/正方形ABCD的边长为4,

：.OE=OD=^BD=2y[2,

•.•尸为AB的中点，。是8。的中点，

1

：.0P=^AD=2,

'：PEWOP+OE=2+2/，

当点0在线段PE上时，PE=OP+OE=2+2V2,

即线段PE的最大值为2+2位，

故答案为：2+2段.

10.如图，点。为边长是4g的等边△ABC边左侧一动点，不与点A,B重合的动点。

在运动过程中始终保持/4。8=120。不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是

16V3_.

【解答】解：：△ABC是等边三角形，

，A8=AC=BC=4V5,ZACB=ZABC^ZBAC=60°,

VZADB=120",

：.ZADB+ZACB=180°,

，四边形ACBD是圆内接四边形，

OA^OB=孚AB=字x4V3=4,

，OO直径为8.

如图，作四边形ACBD的外接圆O。，将△ADC绕点C逆时针旋转60°,得到△8/1C,

D

:.CD=CH,NDAC=/HBC,

四边形ACBD是圆内接四边形，

：.ZDAC+ZDBC=1SO°,

：.ZDBC^ZHBC=1SO°,

・••点。，点'点”三点共线，

•:DC=CH,ZCDH=60°,

・・・△DC"是等边三角形，

,/四边形ADBC的面积S=SAADC+S&BDC=S&CDH=亨"

...当CD最大时，四边形AO2C的面积最大，

，当CD为。。的直径时，CD的值最大，

即CD=8,

叵

四边形ADBC的面积的最大值为-C£)2=16V3,

4

故答案为：16

11.在等边三角形ABC中，D,E分别是AC