山东省潍坊市2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试题

山东省潍坊市2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、作图题

1.如图，在，ABC中，点尸，。分别在边8C及CB的延长线上，S.BQ=CP.

(1)实践与探索：利用尺规按下列要求作图(不写作法，保留作图痕迹).

①作NPQM=ZCBA,且点M在QC的上方；

②在QW上截取QR=BA；

③连接PR.

(2)猜想与验证：试猜想线段AC和股的数量关系，并证明你的猜想.

二、计算题

2.规定：。是不为1的有理数,我们把丁匚称为。的差倒数，如：2的差倒数是工=-1,

L—a1-2

一的差倒数是五u.

已知4=3,%是%的差倒数，的是出的差倒数，的是巴的差倒数，……，以此类推,

请分别与出。2，'。5,。6的值与。2023的值.

三、问答题

3.已知长方形纸片ABCD,点E,F,G分别在边AB,DA,BC上，将三角形AEF沿

EF翻折，点A落在点A，处，将三角形EBG沿EG翻折，点B落在点B，处.

⑴点E,A',B，共线时，如图①，求/GEF的度数；

⑵点E,N,B，不共线时，如图②③，设/GEF=a,.万’’，请分别写出a、

B满足的数量关系式，并说明理由.

DCDCDC

EBAEBAEB

图①图②图⑤

四、计算题

4.阅读材料：

111

①方程x+—=2+工的解为：王=2；x=—；

x222

222

②方程x+—二^H—的解为：％=机；x=一；

xmm2

③方程x--=m——的解为：玉=机；9=——.

xmm

归纳解法：④方程无+£=万+£的解为：%=__________；x2=__________

xb

22

应用解决：⑤利用④中的结论，直接解关于X的方程：X+二=。+二.

x-1a-1

五、应用题

5.某班为了从甲、乙两人中选出一人担任班长，进行了一次测评活动，邀请了五位老

师作为评委，对学生进行个人测评，全班50位同学进行民主测评，结果如图所示：

①个人测评得分&）算法：去掉一个最高分和一个最低分后，再算出平均分;

②民主测评得分（尤2）算法：“优”票数义3+“良”票数x2+“中”票数x1；

③综合得分（X）算法：J=0.4为+0.6%.

【问题解决】

（1）如果只采用个人测评规则，你认为获胜者是谁；

（2）分别求甲的民主测评得分和乙的民主测评得分；

试卷第2页，共4页

(3)综合得分高的学生当选为班长，通过计算，判断最终当选的是甲还是乙？

六、问答题

6.(1)如图1,已知：在/IBC中，AB^AC,2。平分/ABC,8平分，AC3,过

点、D作EF〃BC,分别交A3、AC于E、/两点，则E尸与BE、CF之间的数量关系，

并说明理由；

(2)如图2,若将(1)中“ABC中，A3=AC”改为“若，ABC为不等边三角形，”其

余条件不变，则所与8E、C/之间的数量关系是什么？证明你的结论；

(3)已知：如图3,。在ABC外，AB>AC,且平分/ABC,CD平分；ABC的

外角/ACG,过点。作DE〃3C,分别交A3、AC于E、/两点，则所与BE、CF

之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明.

7.(1)如图，在ASC中，/B4C=90。，AB=AC,点。在3C上，且BD=54,点E

在BC的延长线上且CE=C4,试求一ZME的度数；

(2)如果把第(1)题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么/。钻的度数

会改变吗？说明理由；

(3)如果把第(1)题中“/B4c=90。”的条件改为“N3AC>90。"，其余条件不变，那

么NZME与/B4C有怎样的大小关系？

七、证明题

8.实践与探究

AA

MG

Y二"cB上-—C

图①图②

(1)操作一：如图①，已知三角形纸片ABC,AB=AC,ZB=30°,将三角形纸片沿过

点A的直线折叠，折痕为AD,点B的对应点为点E,AE与交于点凡且近〃AC,

贝UZZM;三度；

(2)操作二：如图②，将△。芯沿D尸继续折叠，点E的对应点为点G.DG与AF交于

点、M,DG与AC交于点、N,则图②中度数为30。的角共有个.

(3)根据以上操作所得结论，解答下列问题：

①求证：/\AMN%ADMF；

②若3C=3,则线段MN的长为.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.⑴见解析

(2)RP=AC,理由见解析

【分析】(1)按照尺规作图的方法作出图形即可;

(2)利用SAS证明ARQP乌AABC即可得到结论即=AC.

【详解】(1)解：如图所示,

(2)解：结论RP=AC.理由如下，

•/BQ=CP,AQP^BC,

由作图知，ZPQM=ZCBA,QR=BA,

：.△RQWAABC(SAS),

RP=AC.

【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题

意，灵活运用所学知识解决问题.

c1212

a

2.«2=~~'。3=§，&-J，5=~~>。6=］，“2023—3

【分析】本题主要考查的是有理数的计算一规律型.首先根据差倒数的求法分别求出前面的

几个数，从而得出规律，根据规律即可求解.

【详解】解：％=3,g为生的差倒数，

11

,3匚TN

又由为出的差倒数，

12

7.=----------二—

答案第1页，共9页

又。4为〃3的差倒数,

3

又〃5为%的差倒数，

11

••。5==，

1-32

2

同理。6=］，%=3,

故。"的值以3、-g和彳这3个数字进行循环，

-2023+3=674…1,

一。2023=3.

3.（1）NQEF=90。；（2）如图②，结论：2a+p=180.理由见解析.

【分析】（1）根据翻折不变性得：ZAEF=ZA，EF,NBEG=NB，EG,由此即可解决问题.

⑵根据翻折不变性得到：ZAEF=ZAEF,NBEG=NB'EG,根据/AEB=180分别列等式

可得图②和③的结论即可.

【详解】⑴如图①中，由翻折得：^AEF=ZA'EF,ZBEG=ZB'EG,

lAB'EF+2ZB'EG=180,

NGEF=NB'EF+ZB'EG=90.

（2）如图②,结论：2a+p=180.

理由：如图②中，由翻折得：ZAEF=ZAgNBEG=NB，EG

/GEF=a,ZAEB'=/3,

2ZA'EF+2NB'EG+ZA'EB'=180,

2a+p=180

如图③，结论：2a-p=180,

理由：ZAEF=ZA'EF,ZBEG=ZB'EG,

./GEF=a,ZA'EB'=J3,

答案第2页，共9页

/.2ZArEF+2/B'EG-NA'EE=180,

.•.2a—0=180.

【点睛】本题考查矩形的性质、翻折不变性等知识，解题的关键是灵活应用翻折不变性解决

问题，属于基础题，中考常考题型.

4.®b；7；⑤x=“；无2="^

ba—1

【分析】本题主要考查了分式方程的解法，观察方程可以得到方程左边的式子与右边的式子

之间的关系，用加代替方程左边式子中的X,即得到右边的式子，方程的解中，第一个解是

右边的式子的第一项，第二个解是右边式子的第二项，根据次规律即可求解，正确观察已知

条件中的式子的特点，以及方程的解与式子之间的联系是解题的关键.

【详解】解：阅读：

①方程X+，=2+3的解为：匕=2；尤2=:，

x22

222

②方程XH—=m-\—的解为：x=m•x=—,

xmx2

33

③方程％--=m——的解为：玉=也；

xm

归纳：

④方程无+£=力+：的解为：%=b；

xbb

应用：⑤利用④中的结论，直接解关于犬的方程：%+=2=。+=2,

X~16Z—1

22

解：方程可变为：(x-l)H-------=(«-1)+-----,

2

利用④中的结论得：=x-l=-

a+1

经检验，方程的解为：士=<7；

a—1

5,⑴甲

(2)139分，148分

⑶乙

【分析】本题考查了平均数和加权平均数的应用，解题的关键是正确计算平均数和加权平均

数.

答案第3页，共9页

（1）分别计算甲、乙个人测评的平均分，比较即可；

（2）按照民主测评得分的算法，分别计算即可；

（3）分别计算甲、乙的综合得分，比较即可.

90+92+94

【详解】（1）解：甲的个人测评得分为一-——=92（分），

乙的个人测评得分为"+:+%=89（分），

92>89,

获胜者是甲；

（2）甲的民主测评得分为40x3+7x2+5x1=139（分），

乙的民主测评得分为45x3+6x2+1x1=148（分），

二甲的民主测评得分为139分，乙的民主测评得分为148分；

（3）甲的综合得分为0.4x92+0.6x139=120.2（分），

乙的综合得分为0.4x89+0.6x148=124.4（分），

124,4>120.2,

最终当选的是乙.

6.（1）BE+CF=EF,理由见解析；（2）BE+CF=EF,理由见解析；（3）BE-CF=EF,

理由见解析

【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握

以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

（1）根据等边对等角可得NABC=/ACB,由角平分线的定义可得=由等

角对等边可得DB=OC,由平行线的性质可得=?AFE1ACB,

NEDB=NCBD,ZFDC=ZBCD,从而得出NEBD=NEDB,NFDC=NBCD,进而得出

BE=DE,CF=DF,AE=AF,即可得证；

（2）由角平分线的定义可得=AFCD=ABCD,由平行线的性质可得

ZEDB=ZCBD,NFDC=NBCD,从而得到ZEBD=NEDB,NFDC=/BCD,进而得到

BE=DE,CF=DF,即可得证；

（3）由（1）知3E=ED,由平行线的性质可得NEDC=NOCG=NACO,推出CF=O尸，

即可得证.

【详解】解：（1）BE+CF=EF.

理由如下：

答案第4页，共9页

AB=AC,

:.ZABC=ZACBf

Q5D平分/ABC,CD平分/ACB,

:.ZEBD=/CBD,NFCD=NBCD,

:"DBC=NDCB,

DB=DC9

EF\BC,

:.ZAEF=ZABC,?AFE?ACB,ZEDB=ZCBD,ZFDC=ZBCD,

..ZEBD=ZEDB,ZFDC=/BCD,

:.BE=DE,CF=DF,AE=AF,

BE+CF=DE+DF=EF,

即5£+CF=石产；

(2)BE+CF=EF,

Q3D平分/ABC,CD平分/ACS,

:.ZEBD=ZCBDfZFCD=ZBCD,

EF|BC,

:.ZEDB=ZCBDf/FDC=/BCD,

:.ZEBD=ZEDB,ZFDC=ZBCD,

:.BE=DE,CF=DF,

:.BE+CF=DE+DF=EF,

^BE+CF=EF.

(3)BE-CF=EF,

由(1)知BE二ED,

EF|BC,

.\ZEDC=ZDCG=ZACD,

:.CF=DF,

又ED-DF=EF,

:.BE-CF=EF.

7.(1)45°；(2)不变，理由见解析；(3)ZDAE=^ZBAC,理由见解析

答案第5页，共9页

【分析】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质；角的度

数常常要用到“三角形的内角和是180度”这一隐含的条件和三角形的一个外角等于与它不

相邻的两个内角的和.

(1)由等腰直角三角形的性质可得/3=NACB=45。，由三角形内角和定理结合等边对等

角可得==一/8)=67.5。，再由CE=C4,求出

?CAEIE-1ACB22.5?,最后由ZZME=ZS4E—Z&4D,进行计算即可；

2

(2)设NG4£=x,则？E1CAEx,ZACB=2x,ZB=90°-2x,由三角形内角和定理

结合等边对等角可得/区4£>=/8£%=，180。-/8)=》+45。，再求出/54£=90。+工，最后

由ZDAE=ZBAE-ZBAD计算即可得解；

(3)T^ZCAE=X,?BADy,则？8180?2y,?E2CAEx,

?BAE180??B?E2y-x,再分别表示出/DM、ZBAC,即可得解.

【详解】解：(1)AB=AC,4c=90。，

../3=ZACB=45°,

BD=BA,

/.ZBAD=ABDA=1(180°-ZB)=67.5°,

CE=CA,

ZCAE=ZE=-ZACB=22.5°,

2

在.ABE中，ZBAE=180°-Zfi-ZE=112.5°,

ZDAE=ZBAE-ZBAD=112.5°-67.5°=45°；

(2)不改变.

设NC4£=x,

CA=CE,

/E=NCAE=x,

:.ZACB=ZCAE-^-ZE=2x,

在,ABC中，ZBAC=90°,

...ZB=90°-ZACB=90°-2x,

BD=BA,

答案第6页，共9页

/BAD=ZBDA=；(180°一/B)=尤+45°

在一ABE中，ZBAE=180°-ZB-ZE^180o-(900-2x)-x=900+x,

ZDAE=NBAE—ZBAD=(90°+x)-(x+45°)=45°；

(3)ZDAE=-ZBAC.

2

理由：

设NC4£=X,?BADy,贝！I?8180?2y,?E?CAEx,

:.ZBAE=l?,0°-ZB-ZE=2y-x,

ZDAE=ZBAE—ABAD=2y—x—y=y—x,?BAC?BAE?CAE2y-x-x=2y-2x,

:.ZDAE=-ZBAC.

2

8.(1)45

(2)7

(3)①见解析②史二1

【分析】（1）等边对等角，得到NB=NC=30。，三角形的内角和定理，得至1J/R4c=120°,

折叠得到NB=NE=30。，ZBAD=ZEAD,平行，得到/C4E=/E=30。，进而求出—

的度数，即可得出结果；

（2）由（1）得到N3=NC=30。，/C4E=/E=30。，ZBAE=90°,推出/FDE=30。，

根据折叠得到NG=NE=30°,ZGDF=ZFDE=30。，即可得出结论；

（3）①推出ZADM=45°=ZDAF,得到ZW=■,利用ASA证明AAMN/△4WF即可；

②利用含30度的直角形的性质，求出各线段的长度，利用尸+CF进行求解即可.

【详解】（1）解：：三角形纸片ABC,AB^AC,ZB=30°,

Z.ZB=ZC=30°,

ZfiL4C=180°-ZB-ZC=120°,

•••折叠，

AZB=ZE=30°,ZBAD=ZEAD,

'：DE//AC,

：.NC4E=ZE=30°,

ZBAE=ZBAC-ZEAC=90°