高考数学理北师大版一轮复习训练4-4三角函数的图像与性质

核心考点·精准研析考点一三角函数的定义域、值域(最值)

1.函数y=QUOTE的定义域为.

2.(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)=sinQUOTE3cosx的最小值为.

3.函数f(x)=13sinQUOTE的值域为.

【解析】1.要使函数有意义,必须使sinxcosx≥0.利用图像,在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sinx和y=cosx的图像.在[0,2π]内,满足sinx=cosx的x为QUOTE,QUOTE,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以原函数的定义域为QUOTE.答案:QUOTE2.f(x)=sinQUOTE3cosx=cos2x3cosx=2cos2x3cosx+1=2QUOTE+QUOTE,因为1≤cosx≤1,所以当cosx=1时,f(x)min=4,故函数f(x)的最小值为4.答案:43.因为1≤sinQUOTE≤1,所以3≤3sinQUOTE≤3,所以2≤13sinQUOTE≤4,所以函数f(x)=13sinQUOTE的值域为[2,4].答案:[2,4]1.求三角函数的定义域的实质解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数的图像求解.2.求解三角函数的值域(最值)常见三种类型(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值).(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最值).(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数,可先设t=sinx±cosx,化为关于t的二次函数求值域(最值).【秒杀绝招】图像性质解T1,sinxcosx=QUOTEsinQUOTE≥0,将xQUOTE视为一个整体,由正弦函数y=sinx的图像与性质知2kπ≤xQUOTE≤π+2kπ(k∈Z),解得2kπ+QUOTE≤x≤2kπ+QUOTE(k∈Z).所以定义域为QUOTE.特殊值法解T2,易知f(x)≥4,又x=0时,f(x)=4,所以f(x)的最小值为4.考点二三角函数的单调性

【典例】1.(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)=cosxsinx在[0,a]上是减函数,则a的最大值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.π2.函数f(x)=sinQUOTE的单调递减区间为.导学号

【解题导思】序号联想解题1看到“f(x)=cosxsinx在[0,a]上是减函数”想到化简f(x)解析式,[0,a]是某个减区间的子集2看到“f(x)=sinQUOTE”想到运用诱导公式转化为f(x)=sinQUOTE【解析】1.选C.f(x)=cosxsinx=QUOTEcosQUOTE在QUOTE上单调递减,所以[0,a]⊆QUOTE,故0<a≤QUOTE.2.f(x)=sinQUOTE,欲求f(x)单调递减区间,只需求y=sinQUOTE的单调递增区间.由2kπQUOTE≤2xQUOTE≤2kπ+QUOTE(k∈Z),得kπQUOTE≤x≤kπ+QUOTE(k∈Z).所以f(x)的单调递减区间为QUOTE(k∈Z).答案:QUOTE(k∈Z)【思维多变】若f(x)=cosxsinx在[a,a]上是减函数,则a的最大值是 ()A.QUOTEB.QUOTE C.QUOTE D.π【解析】选A.f(x)=cosxsinx=QUOTEcosQUOTE在QUOTE上单调递减,所以[a,a]⊆QUOTE,故a≥QUOTE且a≤QUOTE,解得0<a≤QUOTE.1.求三角函数单调区间的方法首先化简成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可.2.已知单调区间求参数的三种方法子集法求出原函数的相应单调区间,由已知区间是该区间的子集,列不等式(组)求解求补集法由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解周期性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过QUOTE周期列不等式(组)求解1.(2020·侯马模拟)已知函数f(x)=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=QUOTE时取得最小值,则f(x)在[0,π]上的单调递增区间是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为0<θ<π,所以QUOTE<QUOTE+θ<QUOTE,又因为f(x)=cos(x+θ)在x=QUOTE时取得最小值,所以QUOTE+θ=π,θ=QUOTE,所以f(x)=cosQUOTE.由0≤x≤π,得QUOTE≤x+QUOTE≤QUOTE.由π≤x+QUOTE≤QUOTE,得QUOTE≤x≤π,所以f(x)在[0,π]上的单调递增区间是QUOTE.2.若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间QUOTE上单调递增,在区间QUOTE上单调递减,则ω=.

【解析】因为f(x)=sinωx(ω>0)过原点,所以当0≤ωx≤QUOTE,即0≤x≤QUOTE时,y=sinωx是增函数;当QUOTE≤ωx≤QUOTE,即QUOTE≤x≤QUOTE时,y=sinωx是减函数.由已知QUOTE=QUOTE,所以ω=QUOTE.答案:QUOTE考点三三角函数的周期性、奇偶性、对称性

命题精解读1.考什么:(1)周期性,奇偶性、对称性等.(2)考查逻辑推理,数学运算等核心素养,以及转化与化归的思想.2.怎么考:与诱导公式、三角恒等变换结合考查求周期,参数等.3.新趋势:以考查与诱导公式、三角恒等变换结合为主.学霸好方法求周期的三种方法(1)利用周期函数的定义:f(x+T)=f(x).(2)利用公式:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为QUOTE,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为QUOTE.(3)利用图像:图像重复的x轴上一段的长度.①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是QUOTE个周期.②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.周期性【典例】1.(2019·全国卷Ⅱ)若x1=QUOTE,x2=QUOTE是函数f(x)=sinωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω= ()A.2 B.QUOTE C.1 D.QUOTE2.(2019·北京高考)函数f(x)=sin22x的最小正周期是. 导学号

【解析】1.选A.由于x1=QUOTE,x2=QUOTE是函数两个相邻的极值点,故QUOTE=QUOTEQUOTE=QUOTE,所以T=π,即ω=QUOTE=2.2.f(x)=QUOTE(1cos4x),最小正周期T=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE涉及三角函数的性质问题有哪些注意事项?提示:(1)考虑利用三角恒等变换将函数化为一个角的一种函数形式.(2)掌握一些简单函数的周期:如:①y=Asin(ωx+φ)的周期为QUOTE.②y=Atan(ωx+φ)的周期为QUOTE.③y=|sinx|的周期为π.④y=|tanx|的周期为π.奇偶性、对称性【典例】(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中,以QUOTE为周期且在区间QUOTE单调递增的是 导学号()A.f(x)=|cos2x| B.f(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|【解析】选A.分别画出函数的图像可得选项A的周期为QUOTE,选项B的周期为QUOTE,而选项C的周期为2π,选项D不是周期函数.结合图像的升降情况可得A正确.1.函数y=QUOTEsin2x+cos2x的最小正周期为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.π D.2π【解析】选C.y=QUOTEsin2x+cos2x=2sinQUOTE,T=QUOTE=π.2.(2020·渭南模拟)同时具有以下性质:“①最小正周期是π;②图像关于直线x=QUOTE对称;③在QUOTE上是增函数;④图像的一个对称中心为QUOTE”的一个函数是 ()A.y=sinQUOTE B.y=sinQUOTEC.y=sinQUOTE D.y=sinQUOTE【解析】选C.因为最小正周期是π,排除A选项;当x=QUOTE时,对于B,y=sinQUOTE=0,对于D,y=sinQUOTE=QUOTE,因为图像关于直线x=QUOTE对称,所以排除B、D选项,对于C,sinQUOTE=1,sinQUOTE=0,且在QUOTE上是增函数,故C满足条件.3.(2018·江苏高考)已知函数y=sin(2x+φ)QUOTE的图像关于直线x=QUOTE对称,则φ的值是.

【解析】正弦函数的对称轴为QUOTE+kπ(k∈Z),故把x=QUOTE代入得QUOTE+φ=QUOTE+kπ(k∈Z),φ=QUOTE+kπ(k∈Z),因为QUOTE<φ<QUOTE,所以k=0,φ=QUOTE.答案:QUOTE1.函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为 ()A.QUOTE,k∈ZB.QUOTE,k∈ZC.QUOTE,k∈ZD.QUOTE,k∈Z【解析】选D.由五点法作图知,QUOTE解得QUOTE所以f(x)=cosQUOTE,令2kπ<πx+QUOTE<2kπ+π,k∈Z,解得2kQUOTE<x<2k+QUOTE,k∈Z.所以f(x)的单调递减区间为QUOTE,k∈Z.【一题多解】选D.由图像知T=2×QUOTE=2,当x=QUOTE=QUOTE时,f(x)取得最小值,因为T=2,所以当x=QUOTE1=QUOTE时取到最大值.所以f(x)的一个单调递减区间为QUOTE,f(x)单调递减区间为QUOTE,k∈Z.2.(2020·洛阳模拟)已知函数f(x)=sin(sinx)+cos(sinx),x∈R,则下列说法正确的是 ()A.函数f(x)是周期函数且最小正周期为πB.函数f(x)是奇函数C.函数f(x)在区间QUOTE上的值域为[1,QUOTE]D.函数f(x)在区间QUOTE上是增函数【解析】选C.对于A,f(x+π)=sin[sin(x+π)]+cos[sin(x+π)]=sin(sinx)+cos(sinx)=sin(sinx)+cos(sinx)≠f(x),A错误;对于B,f(x)=si