高中数学北师大版必修2第一章7.2棱柱棱锥棱台和圆柱圆锥圆台的体积作业

,[学生用书单独成册])[A.基础达标]1．若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是等边三角形，其面积为eq\r(3)，则这个圆锥的体积为()A．3π B.eq\f(\r(3),3)πC.eq\r(3)π D.eq\f(\r(3),2)π解析：选B.设圆锥的底面半径为R，依题意知该圆锥的高即轴截面的高h＝eq\f(\r(3),2)·2R＝eq\r(3)R，所以eq\f(1,2)·2R·eq\r(3)R＝eq\r(3)，解得R＝1.所以V＝eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.2．将两个棱长为10cm的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5cm的正四棱柱，则该四棱柱的高为()A．8cm B．80cmC．40cm D.eq\f(16,5)cm解析：选B.设正四棱柱的高为hcm，依题意得5×5×h＝2×103，解得h＝80(cm)．3.一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,2)C．1 D.eq\f(1,3)解析：选A.由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的体积V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2,2)×1))×1＝eq\f(1,2).4．正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则该正三棱柱的体积是()A.eq\f(8\r(3),9) B.eq\f(4\r(3),9)C.eq\f(2\r(3),9) D.eq\f(4\r(3),9)或eq\f(8\r(3),9)解析：选D.当2为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a＝eq\f(2,3)，底面面积S＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),9)，正三棱柱的高h＝4，所以正三棱柱的体积V＝Sh＝eq\f(4\r(3),9)；当4为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a′＝eq\f(4,3)，底面面积S′＝eq\f(\r(3),4)a′2＝eq\f(4\r(3),9)，正三棱柱的高h′＝2，所以正三棱柱的体积V′＝S′h′＝eq\f(8\r(3),9).所以正三棱柱的体积为eq\f(4\r(3),9)或eq\f(8\r(3),9).5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是()A．8－eq\f(2π,3) B．8－eq\f(π,3)C．8－2π D.eq\f(2π,3)解析：选A.由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是V＝23－eq\f(1,3)×π×12×2＝8－eq\f(2π,3).6．如图，在棱长为1的正方体中，Q为棱C1C的中点，则三棱锥C1­BD1Q的体积为________．解析：三棱锥C1­BD1Q也可以写成三棱锥B­C1D1Q.底面积Seq\s\do5(棱锥△C1D1Q)＝eq\f(1,4)，高BC＝1，则Veq\s\do5(棱锥C1­BD1Q)＝V棱锥eq\s\do5(B­C1D1Q)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×1＝eq\f(1,12).答案：eq\f(1,12)7．如图是一个几何体的三视图，其中主视图和左视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为eq\r(2)的等腰梯形，则该几何体的体积是________．解析：由三视图可知此几何体为一圆台，上底半径为2，下底半径为1，不难求出此圆台的高，如图，h＝eq\r(（\r(2)）2－12)＝1，故体积V＝eq\f(1,3)π(22＋2×1＋12)×1＝eq\f(7π,3).答案：eq\f(7π,3)8．若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的__________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的________倍．解析：圆柱的体积公式为V圆柱＝πr2h，底面半径不变，高扩大为原来的4倍时，其体积也变为原来的4倍；高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42＝16倍．答案：4169．四边形ABCD中，A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)，D(0，3)，将四边形绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积．解：因为C(2，1)，D(0，3)，所以圆锥的底面半径r＝2，高h＝2.所以V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(8,3)π.因为B(1，0)，C(2，1)，所以圆台的两个底面半径R＝2，R′＝1，高h′＝1.所以V圆台＝eq\f(1,3)πh′(R2＋R′2＋RR′)＝eq\f(1,3)π×1×(22＋12＋2×1)＝eq\f(7,3)π，所以V＝V圆锥＋V圆台＝5π.10．一几何体的三视图如图：(1)画出它的直观图；(2)求该几何体的体积．解：(1)其直观图如下(2)这个几何体是一个三棱锥．由三视图知：AC＝5cm，作BD⊥AC于D，则BD＝eq\f(12,5)cm，得S底＝5×eq\f(12,5)×eq\f(1,2)＝6(cm2)，高h＝6cm，得V＝eq\f(1,3)×6×6＝12(cm3)．[B.能力提升]1．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是()A.eq\f(352,3)cm3 B．144cm3C.eq\f(224,3)cm3 D.eq\f(160,3)cm3解析：选B.该几何体是一个组合体，上面是一个正四棱柱，其底面是边长为4的正方形，且高为2，下面是一个正四棱台，其高为3，下底面是边长为8的正方形，所以V＝4×4×2＋eq\f(1,3)×3×(64＋16＋eq\r(64×16))＝144(cm3)．2．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则此几何体的体积是()A．112cm3 B.eq\f(224,3)cm3C．99cm3 D．224cm3解析：选B.由三视图可知该几何体上面是四棱锥，下面是个正方体，则体积V＝eq\f(1,3)Sh＋a3＝eq\f(1,3)×4×4×2＋43＝eq\f(32,3)＋64＝eq\f(224,3)(cm3)．3．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.解析：由三视图可知，这是由下面是一个长方体，上面是一个平躺着的四棱柱构成的组合体，长方体的体积为：3×4×2＝24(m3)，四棱柱的体积为eq\f(（1＋2）,2)×1×4＝6(m3)，所以该几何体的体积为24＋6＝30(m3)．答案：304．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h＝________．解析：设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为eq\f(1,3)πR2h，圆柱形容器内的液体体积为π(eq\f(a,2))2h.根据题意，有eq\f(1,3)πR2h＝π(eq\f(a,2))2h，解得R＝eq\f(\r(3),2)a.再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得eq\f(\f(\r(3),2)a,a)＝eq\f(h,a)，所以h＝eq\f(\r(3),2)a.答案：eq\f(\r(3),2)a5．如图1，一个正四棱柱形(底面是正方形，侧棱和底面垂直)的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形(顶点在底面的射影是底面的中心)实心装饰块，容器内盛有2升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P(图2)．判断下列四种说法的正误．(1)正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；(2)将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P；(3)任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P；(4)若往容器内再注入2升水，则容器恰好能装满．解：以图1中，过P的水面为截面，将棱柱分成2部分，上部分的容积为2升，下部分的容积为2升，整个容器的容积为4升．点P在容器的中心，故(2)(4)是对的．正四棱锥形装饰块所占的容积为1升，则正四棱锥的高等于正四棱柱高的eq\f(3,5)，故(1)错误．(3)显然是错误的．6．(选做题)如图，有个水平放置的圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米、4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间．(精确到0.01秒)解：如图，设水面的半径为r分米，则EH＝(r－2)分米，BG＝2分米，在△ABG中，因为EH∥BG，所以eq\f(AH,AG)＝eq\f(EH,BG).因为AH＝2分米，所以eq\f(2,5)＝e