学习概率论与数理统计课件第4章

第四章随机变量的数字特征数学期望方差*协方差与相关系数大数定律与中心极限定理数学期望的引例MathematicalExpectation例如：某7人的高数成绩为90，85，85，80，80，

75，60，则他们的平均成绩为以频率为权重的加权平均数学期望E(X)MathematicalExpectation定义设离散型随机变量的概率分布为离散型随机变量随机变量X的数学期望，记作E（X），即XP41/451/261/4数学期望的计算已知随机变量X的分布律：例求数学期望E（X）解连续型随机变量的数学期望E(X)连续型随机变量定义设连续型随机变量X的概率密度为f(x),则即数学期望的计算已知随机变量X的密度函数为例

求数学期望。解

数学期望的意义试验次数较大时，X的观测值的算术平均值在E(X)附近摆动数学期望又可以称为期望值(ExpectedValue)，均值(Mean)E(X)反映了随机变量X取值的“概率平均”,是X的可能值以其相应概率的加权平均。二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望(X,Y)为二维离散型随机变量(X,Y)为二维连续型随机变量设(X,Y)的联合密度为例(1)求k(2)求X和Y的边缘密度(3)求E(X),E(Y).(1)由解所以所以得113时(2)（３）时113113（３）另解无需求边缘分布密度函数随机变量的函数的数学期望定理1：一维情形设是随机变量X的函数,离散型连续型概率密度为服从

已知上的均匀分布，求的数学期望。因为

所以

例解随机变量的函数的数学期望定理2：二维情形联合概率密度为设是随机变量X，Y的函数,连续型离散型15例设相互独立的随机变量X，Y的密度函数分别为

求E（XY）解

数学期望的性质相互独立时当随机变量.C为常数..设（X,Y）在由4个点（0，0）（3，0），（3，2),(0,2)决定的矩形域内服从均匀分布，求E(X+Y),E(X2)E(Y2),E(XY).302练一练答案：0-1分布的数学期望X服从0-1分布，其概率分布为P(X=1)=pP(X=0)=1-pXP011-pp若X服从参数为p的0-1分布，则E(X)=p分布律数学期望IfX~B(n,p),thenE(X)=np二项分布的数学期望分布律X服从二项分布，其概率分布为数学期望二项分布可表示为个０－１分布的和其中则泊松分布的数学期望If,then

分布律数学期望均匀分布的期望分布密度数学期望X~N(μ，σ2）正态分布的期望分布密度数学期望指数分布的期望分布密度数学期望数学期望在医学上的一个应用AnapplicationofExpectedValueinMedicine考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对10个人在逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？分析：设随机抽取的10人组所需的化验次数为X我们需要计算X的数学期望，然后与10比较化验次数X的可能取值为1，11先求出化验次数X的分布律。(X=1)=“10人都是阴性”（X=11)=“至少1人阳性”结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数注意求X期望值的步骤！

1、概率p对是否分组的影响问题的进一步讨论若p=0.2，则当p>0.2057时，E(X)>10

2、概率p对每组人数n的影响当p=0.2时，可得出n<10.32，才能保证EX<10.当p=0.1时，为使例独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为p1和p2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为p1

+

p2设产生故障的仪器数目为X则X的所有可能取值为0，1解所以方差大数定律方差的引入E(X1)=5X2P235781/81/81/21/81/8E(X2)=5X1P4561/41/21/4设有两种球形产品，其直径的取值规律如下：

两种产品的直径均值是相同的，但产品2的偏差大，如果需要使用直径为5的产品，则产品1较产品2理想。方差（Variance）的定义定义均方差（标准差）与有相同的量纲设是一随机变量，如果存在，则称为的方差，记作或即方差的计算公式Proof.一维随机变量的方差设离散型随机变量X的概率分布为离散型连续型设连续型随机变量X的分布密度为f(x)其中方差的计算E(X1)=5X2P235781/81/81/21/81/8E(X2)=5X1P4561/41/21/4例设有两种球形产品，其直径的取值规律如下：求D(X1),D(X2)解0-1分布的方差XP011-pp分布律方差其中二项分布的方差IfX~B(n,p),thenD(X)=np(1-p)分布律方差X~B(n,p)其中推导？泊松分布的方差Ifthen分布律方差推导？均匀分布的方差分布密度方差正态分布的方差分布密度方差指数分布的方差分布密度方差常见分布及其期望和方差列表P84分布名称数学期望E（X）方差D（X）0-1分布二项分布泊松分布均匀分布正态分布指数分布方差的计算步骤Step1:计算期望E(X)Step2:计算E(X2)Step3:计算D(X)离散型连续型离散型连续型方差的性质相互独立时当随机变量C为常数

a为常数证明二维随机变量的方差(X,Y)为二维离散型随机变量

二维随机变量的方差

(X,Y)为二维连续型随机变量是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为求.练一练解因为相互独立，所以而所以例

某地出产的某品种的苹果的总量X服从正态分布。若E(X)=148,D(X)=162.写出X的分布律和概率密度，并用积分表示解若随机变量X服从均值为2，方差为σ2的正态分布，且P{2<X<4}=0.3,求P{X<0}。练一练所以解若随机变量X服从均值为2，方差为σ2的正态分布，且P{2<X<4}=0.3,求P{X<0}。练一练所以得所以例

已知一批玉米种子的发芽率是75％，播种时每穴种三粒，求每穴发芽种子粒数的数学期望、方差及均方差.,

,

.设发芽种子数为X，则X服从二项分布，且解设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射击命中的概率为0.4，求X的数学期望。练一练所以例某动物的寿命X（年）服从指数分布，其中参数＝0.1，求这种动物的平均寿命及标准差.所以这种动物的平均寿命为10年，标准差为10年.解因为服从指数分布，且练一练设随机变量X服从参数为1的指数分布，求解X的密度函数为

练一练设随机变量X服从参数为1的指数分布，求所以而所以解X的密度函数为

练一练设随机变量X服从参数为1的指数分布，求所以证毕证明

证毕证明

大数定律大数定律在大量的随机现象中，随机事件的频率具有稳定性

大量的随机现象的平均结果具有稳定性

概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理，称为大数定律（lawoflargenumber)切比雪夫（Chebyshev)不等式设随机变量X具有有限数学期望EX和方差DX，则对于任意正数，如下不等式成立。——切比雪夫不等式

证明设X为连续型随机变量，其密度函数为则证毕切比雪夫（Chebyshev)不等式的应用在随机变量X的分布未知的情况下，只利用X的期望和方差，即可对X的概率分布进行估值。例已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在5200~9400之间的概率。解设X表示每毫升血液中含白细胞个数，则则而所以练一练设随机变量X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计概率

练习设随机变量X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计概率解

样本平均数稳定性定理

定理设随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立，且服从同一分布，并具有数学期望及方差，则对于任意正数，恒有观测量X在相同的条件下重复观测n次，当n充分大时，“观测值的算术平均值接近于期望”是一大概率事件。即依概率收敛于即n充分大时，——辛钦大数定理伯努利大数定理（频率的稳定性）

定理设是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数恒有

定理的应用：可通过多次重复一个试验，确定事件A在每次试验中出现的概率中心极限定理（Centrallimittheoem)客观背景：客观实际中，许多随机变量是由大量相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从正态分布。

概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。独立同分布的中心极限定理设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，服从同一分布，且有有限的数学期望和方差，则随机变量的分布函数满足如下极限式定理的应用：对于独立的随机变量序列，不管服从什么分布，只要它们是同分布，且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这些随机变量之和近似地服从正态分布例一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，相互独立，且具有同一分布。其数学期望是2mm，均方差是0.05mm，规定总长度为20±0.1mm时产品合格，试求产品合格的概率。解设部件的总长度为X，每部分的长度为Xi（i=1,2,…,10)，则由定理4.5可知：X近似地服从正态分布即续解则产品合格的概