高考数学理北师大版一轮复习测评9-3平行关系

核心素养测评四十六平行关系(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知直线a,b,平面α,β,aα,bα,则a∥β,b∥β是α∥β的()A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为直线a,b不一定相交,所以a∥β,b∥β时α,β不一定平行,而α∥β时平面α内任意直线都平行平面β,即a∥β,b∥β,因此a∥β,b∥β是α∥β的必要但不充分条件.2.给出下列关于互不相同的直线l,m,n和平面α,β,γ的三个命题:①若l与m为异面直线,lα,mβ,则α∥β;②若α∥β,lα,mβ,则l∥m;③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.其中真命题的个数为 ()A.3 B.2 C.1 D.0【解析】选C.①中当α与β不平行时,也可能存在符合题意的l,m.②中l与m也可能异面.③中QUOTE⇒l∥m,同理l∥n,则m∥n,正确.3.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中,下列判断正确的是()A.平面BME∥平面ACNB.AF∥CNC.BM∥平面EFDD.BE与AN相交【解析】选A.作出如图所示的正方体.易知AN∥BM,AC∥EM,所以AN∥平面BEM,AC∥平面BEM,又AN∩AC=A,所以平面ACN∥平面BEM.4.在三棱锥PABC中,点D在PA上,且PD=QUOTEDA,过点D作平行于底面ABC的平面,交PB,PC于点E,F,若△ABC的面积为9,则△DEF的面积是 ()A.1 B.2 C.4 D.QUOTE【解析】选A.由于平面DEF∥底面ABC,因此DE∥AB,DF∥AC,EF∥BC,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以△DEF∽△ABC,所以QUOTE=QUOTE,而S△ABC=9,所以S△DEF=1.5.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线 导学号()A.不存在 B.有1条C.有2条 D.有无数条【解析】选D.由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l,在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图所示,CD,AB均与平面EFGH平行,E,F,G,H分别在BD,BC,AC,AD上,且CD⊥AB.则四边形EFGH的形状为________________.

【解析】因为CD∥平面EFGH,而平面EFGH∩平面BCD=EF,所以CD∥EF.同理HG∥CD,所以EF∥HG.同理HE∥GF,所以四边形EFGH为平行四边形.又因为CD⊥AB,所以HE⊥EF,所以平行四边形EFGH为矩形.答案:矩形7.已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于A,C,过点P的直线n与α,β分别交于B,D且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为________________.

【解析】根据题意可得到如图两种情况:可求出BD的长分别为QUOTE或24.答案:24或QUOTE8.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β;②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n;③如果α∥β,mα,那么m∥β;④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________________.(填写所有正确命题的序号)

【解析】当m⊥n,m⊥α,n∥β时,两个平面的位置关系不确定,故①错误,经判断知②③④均正确,故正确命题为②③④.答案:②③④三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,点M,N分别为线段A1B,AC1的中点.求证:MN∥平面BB1C1C.【证明】如图,连接A1C.在直三棱柱ABCA1B1C1中,侧面AA1C1C为平行四边形.又因为N为线段AC1的中点,所以A1C与AC1相交于点N,即A1C经过点N,且N为线段A1C的中点.因为M为线段A1B的中点,所以MN∥BC.又因为MN⊈平面BB1C1C,BC平面BB1C1C,所以MN∥平面BB1C1C.10.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点,求证: 导学号(1)直线EG∥平面BDD1B1.(2)平面EFG∥平面BDD1B1.【证明】(1)连接SB,因为E,G分别是BC,SC的中点,所以EG∥SB.又因为SB平面BDD1B1,EG平面BDD1B1,所以直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD,因为F,G分别是DC,SC的中点,所以FG∥SD.又因为SD平面BDD1B1,FG平面BDD1B1,所以FG∥平面BDD1B1,且EG平面EFG,FG平面EFG,EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面BDD1B1.(15分钟35分)1.(5分)下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是 ()A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【解析】选B.①中易知NP∥AA′,MN∥A′B,所以平面MNP∥平面AA′B,可得出AB∥平面MNP(如图).④中,NP∥AB,能得出AB∥平面MNP.2.(5分)如图所示,ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=QUOTE,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=________________.

【解析】因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,所以MN∥PQ.因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,AP=QUOTE,所以CQ=QUOTE,从而DP=DQ=QUOTE,所以PQ=QUOTEa.答案:QUOTEa3.(5分)空间四边形ABCD的两条对棱AC,BD的长分别为5和4,则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中,周长的取值范围是________________.

【解析】设QUOTE=QUOTE=k,所以QUOTE=QUOTE=1k,所以GH=5k,EH=4(1k),所以周长=8+2k.又因为0<k<1,所以周长的范围为(8,10).答案:(8,10)4.(10分)如图所示的一块木料中,棱BC平行于平面A′B′C′D′.(1)要经过平面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线?(2)所画的线与平面ABCD是什么位置关系?并证明你的结论.【解析】(1)过点P作B′C′的平行线,交A′B′,C′D′于点E,F,连接BE,CF;作图如下:(2)EF∥平面ABCD.证明如下:易知BE,CF与平面ABCD相交,因为BC∥平面A′B′C′D′,又因为平面B′C′CB∩平面A′B′C′D′=B′C′,所以BC∥B′C′,因为EF∥B′C′,所以EF∥BC,又因为EF平面ABCD,BC平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.5.(10分)如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形. 导学号(1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1.(2)若平面ABCD∩平面B1D1C=直线l,证明:B1D1∥l.【证明】(1)由题设知BB1∥DD1且BB1=DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以BD∥B1D1.又BD平面CD1B1,B1D1平面CD1B1,所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1∥B1C1∥BC且A1D1=B1C1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥D1C.又A1B平面CD1B1,D1C平面CD1B1,所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B=B,BD,A1B平面A1BD,所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1,又平面ABCD∩平面B1D1C=直线l,平面ABCD∩平面A1BD=直线BD,所以直线l∥直线BD,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,四边形BDD1B1为平行四边形,所以B1D1∥BD,所以B1D1∥l.1.如图所示,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是()导学号A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.[QUOTE,QUOTE]【解析】选B.取B1C1的中点M,BB1的中点N,连接A1M,A1N,MN,可以证明平面A1MN∥平面AEF,所以点P位于线段MN上.因为A1M=A1N=QUOTE=QUOTE,MN=QUOTE=QUOTE,所以当点P位于M,N点时,A1P最大,当点P位于MN中点O时,A1P最小,此时A1O=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE≤|A1P|≤QUOTE,所以线段A1P长度的取值范围是QUOTE.2.如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线交点为O,M为P