第5讲 一元一次不等式八年级数学下册同步讲义（北师大版）

第5讲一元一次不等式

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1.掌握不等式的基本性质并能正确运用它们将不等式变形;

2.理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念，掌握在数轴上表示不等式的解的集合的方法；

3.掌握解一元一次不等式的方法和步骤并准确地求出不等式的解集.

班’知识精讲

知识点（H不等式的相关概念

1.不等式

用不等号连接起来的式子叫做不等式.

常见的不等号有五种：“W”、、“V"、、“W”.

2.不等式的解与解集

不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.

不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集.

不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，是实心

圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左.

3.解不等式

求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式.

要点诠释：

不等式的解与一元一次方程的解是有区别的：不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的

解则是一个具体的数值.

【知识拓展】（2021春•萍乡期末）“实数X不小于6”是指（）

A.x≤6B.x26C.x<6D.x>6

【即学即练】（2021春•建平县期末）据天气预报，2021年7月5日建平县最高气温是25C,最低气温是

22℃,则当天我县气温t（℃）的变化范围是（）

A.t>25B.t≤22C.22<f<25D.22≤f≤25

知识点02不等式的性质

性质1：

不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a>b,那么a±c>b±c.

性质2：

不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a>b,c>0,那么ac>bc（或色

性质3：

不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a>b,c<0,那么ac<bc（或区

C

b、

<-）.

c

要点诠释：

（1）不等式的其他性质：①若a>b,则bVa；②若a>b,b>c,则a>c；③若a2b,且b2a,•则

a=b；④若∕≤0,则a=0；⑤若ab>O或9>0,则a、b同号；⑥若ab<O或3<（）,则a、b异号.

bb

（2）任意两个实数a、b的大小关系：①a-b>O<=>a>b;②a-b=0u>a=b;③a-b<O=a<b.

不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a<6可转换为6>a,c2d可转换为公U

【知识拓展1］（2021春•饶平县校级期末）若2a+3b-1>3K2A试比较a,b的大小.

【即学即练1］（2021•梁园区校级一模）若a>8>0,c>d>0,则下列式子不一定成立的是（）

A.a-c>b-dB.C.ac>bcD.ac>bd

ba

【即学即练2】（2021秋•澧县期末）若a>b,则-2z?――2b.（用号或">"号填空）

【即学即练3】（2021春•万柏林区校级月考）利用不等式的性质，解答下列问题.

（1）①如果a-b<0,那么a6；

②如果a-b=0,那么ab∖

③如果a-b>09那么ab；

（2）比较2a与a的大小.

（3）若a>b,c>d.

①比较a+c与Hd的大小；

②比较a-4与b-c的大小.

【即学即练4】（2021春•未央区校级月考）若®<〃，且（a-5）m>（a-5）n,求a的取值范围.

【即学即练5］（2021春•饶平县校级期末）根据要求，回答下列问题：

（1）由2x>x-工，得2χ-χ>-L其依据是；

22

（2）由JLX>x-L得2x>6χ-3,其依据是；

32

（3）不等式JLX>工（X-I）的解集为

32

【即学即练6】（2021•连州市模拟）已知a>b,则下列结论正确的是（）

A.-2a>-2bB.a+c>b^cC.3a<3Z?D.ac>be

【即学即练7］（2021春•潍坊期末）若a>b,则下列不等式一定成立的是—.

A.a+2>b+2B3V0

44

C.-2a<-2bD.a<t）

【即学即练8】（2021•内江）已知非负实数a,b,C满足色∑L=U二2=旦二2,设S=a+2出3c的最大值为力,

234

最小值为n,则］的值为一.

m

知识点03—元一次不等式

1.一元一次不等式的概念

只含有一个未知数，且未知数的次数是1,系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式.其标准形式：

ax+b>0（aWO）或ax+b与0（aW0）,ax+b<O（aW0）或ax+bWO（aW0）.

2.一元一次不等式的解法

一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，•但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）

同一个负数时，不等号要改变方向.

解一元一次不等式的一般步骤：（D去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）化系数为L

要点诠释：

解一元一次不等式和解一元一次方程类似.不同的是：一元一次不等式两边同乘以（或除以）同一个负

数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方.

【知识拓展11（2021春•皇姑区校级期中）若χm-1>5是关于X的一元一次不等式，则m=.

【即学即练1］（2021春•饶平县校级期末）已知（62）/'<-3是关于X的一元一次不等式，试求。的值,

并解这个一元一次不等式.

【即学即练2】（2021春•平川区校级期末）在数学表达式：-4V0,2x+y>0,X=1,x+2x^-y,x≠5,x+2

>打3中，是一元一次不等式的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【即学即练3】（2021•南岗区校级开学）下列各式中，是一元一次不等式的有（）

（1）Λ+2+Λ∙2<2Λ-5+X；（2）2x^-χy+y↑（3）3x-4y与0;（4）-ɪ--5<x；（5）XW0；（6）a2+l>5.

2x

A.1个B.2个C.3个D.4个

【即学即练4】（2021春•甘孜州期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（）

A.x<yB.a+l）>0C.A>lD.3丫一1<0

X43

【即学即练5］（2021春♦冠县期末）若（桃1）∕∙i+2>0是关于X的一元一次不等式，则0=—.

f>-3

【知识拓展2］（2021秋•肇源县期末）若不等式组Ix无解，则a的取值范围是_______.

x<a

【即学即练1］（2021•滕州市一模）下列各数中，不是不等式2（X-3）+3<0的一个解的是（）

A.-3B.」C.ɪD.2

23

【即学即练2】（2021•河南模拟）用三个不等式x>-4,x<-l,x>l中的两个组成不等式组，其中有解

集的个数为（）

ʌ.0B.1C.2D.3

【即学即练3］（2021•新野县三模）已知关于X的不等式组［x>3有实数解，则卬的取值范围是______.

Ix≤m

【即学即练4］（2021春•沐阳县期末）如图，是关于X的不等式的解集示意图，则该不等式的解集为—.

O2

【即学即练5］（2021春♦陆河县校级期末）如图，此不等式的解集为

≡4~53401234^

【即学即练6］（2021春•天津期末）分别用含X的不等式表示如图数轴中所表示的不等式的解集：

①_I___I------1111►②IlllJ1——>

-1012345-101234

②；

②.

【即学即练7】（2021•潮阳区模拟）把某个关于X的不等式的解集表示在数轴上如图所示，则该不等式的解

集是（）

-J--L---------------i--------------L>

-3-2-1012

A.9-2B.x>-2C.Λ-<-2I）.XW-2

【即学即练8】（2021春•抚州期末）在实数范围内规定新运算“*”，基本规则是/6=a-26,已知不等式

Λ≈⅛W3的解集在数轴上表示如图所示，则ZB的值为.

IIl-JL-»

-2-1012

【即学即练9］（2021春•饶平县校级期末）解不等式7-2x>（l-√6）2,把它的解集在数轴上表示出来,

并求出它的正整数解.

【即学即练10］（2019•衢江区二模）如图，在数轴上，点力、8分别表示数1和-2户3.

（1）求X的取值范围；

（2）将X的取值范围在数轴上表示出来.

AB

----------••>

1----------2+3

图1

1III［1I,

-3-2-1O123

图2

【知识拓展3］（2021秋•龙凤区校级期末）若不等式（3a-2）∕2<3的解集是x<2,那么a必须满足（)

A.a=$B.a>AC.a<^-D.a=-2

6662

【即学即练1］（2021秋•济南期末）不等式-3xW6的解集为.

【即学即练2】（2021秋•鹿城区校级期中）若不等式（ffl-3）x>m--i,两边同除以（m-3）,得x<l,则

加的取值范围为.

【即学即练3】（2021秋•肇源县期末）若关于X的方程x+^=2x-l的解是负数，则X的取值范围是（）

A.k>-1B.k<-∖C.⅛≥-1D.A≤-1

【即学即练4】（2021•安徽模拟）解不等式织LW竺2.

34

【即学即练5】（2021•永定区模拟）解不等式：7x-2W5x,并把解集在数轴上表示出来.

.---------->

0

【即学即练6］（2021秋•清镇市期中）已知点M（-6,3-a）是第二象限的点，则a的取值范围是

【知识拓展4］（2021•陕西）求不等式-旦x+l>-2的正整数解.

5

【即学即练1］（2021∙长兴县模拟）整数X满足不等式2户1<8,则X的值可能是—.（写出一个符合的

值即可）

【即学即练2］（2021春•聊城期末）解不等式2二34红+1，并写出它的负整数解.

-2-3

【即学即练3](2021春♦鞍山期末)解不等式上(1-2Λ)》3(2X-D；并写出它所有的非负整数解.

【即学即练4](2021秋•朝阳区校级期中)不等式4(x-2)<2x-3的非负整数解的个数为()

A.2个B.3个C.4个D.5个

口能力拓展

1.比较α+Z>和a-b的大小.

2.等式5(x-2)+18<6(x-l)+17的最小整数解是方程2%一以=4的解，求a的值.

3.解不等式：3x+l+」—>」一+5x-l.

x+1x+∖

f∣i分层提分

题组A基础过关练

选择题（共4小题）

1.（2021秋•龙凤区校级期末）若不等式（3a-2）户2<3的解集是x<2,那么a必须满足（）

A.a=—B.a>—C.a<—D.a--—

6662

2.（2021•锦江区校级开学）若a>b,则下列不等式不一定成立的是（）

A.-2a<-2bB.am<bmC.a-3>⅛-3D-⅜+l>⅛+l

33

3.（2021秋•龙凤区期末）已知a<6,则下列不等式错误的是（）

A.a-7<b-7B.ac<bc

C.a<bD.l-3a>l-36

20202020

4.（2021秋•杜尔伯特县期末）若则下列各式正确的是（）

A.-2m<-2nB.C.1-ιri>\-nD.m<n

33

二.填空题（共6小题）

f>-3

5.（2021秋•肇源县期末）若不等式组x无解，则a的取值范围是_________

x<Ca

6.（2021秋•瓯海区月考）根据“3x与5的和是负数”可列出不等式.

7.（2021秋•青羊区校级期中）-√3<x<√M的所有整数的和是.

8.（2021秋•济南期末）不等式-3虑6的解集为.

9.（2021秋•澧县期末）若a>b,则-2a—-2b.（用"V”号或号填空）

10.（2020秋•开化县期末）若x<y,且（a-3）Xe（a-3）y,则a的取值范围是.

≡.解答题（共2小题）

11.（2021春•澄城县期末）已知（"3）x""+5<"-4是关于X的一元一次不等式，求这个不等式的解集.

12.（2021春•秦都区月考）解不等式：3Λ-4<4+2（ɪ-2）.

题组B能力提升练

一、单选题

1.在数学表达式：一3<0,a+b，x=3,x2+2xy>+y2,x≠5,x+2>y+3中，是一元一次不等式的

有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.不等式x-3W3x+l的解集在数轴上表示如下，其中正确的是（）

d

∙万丁马Tr6彳a

3.不等式2-3xN2x-8的非负整数解有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.如图，是关于X的不等式2χ-aW-l的解集，则a的取值是（）

I‘‘’—<!）—ɪ—■—►

-5-4-3-2-1O1

ʌ.a≤-1B.a≤-2C.a=-1D.a=-2

2

5.已知关于X的不等式（1—α）x>2的解集为x<——，则。的取值范围是（）

l-α

A.a>0B.a>IC.a<0D.a<1

6.若方程3机（1+1）+1=机（3—幻—5%的解是正数，则111的取值范围是（）

5555

A.m>—B.m<—C.m>——D.m<—

4444

2

7.若关于X的不等式〃zx+m<-九r+"的解集为x>——，则关于X的不等式ZnX—m>2nx—〃的解集是（）

3

444

B.x≤-C.x>—D.X<----

333

二、填空题

8.不等式5x-9≤3(x+l)的解集是.

9.己知不等式3χ-α≤0的正整数解恰是1，2,3,4,那么。的取值范围是.

112

10.不等式9一一x〉x+一的正整数解的个数为

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