数学培优竞赛新方法(九年级)-第24讲-三角形的四心

第24讲三角形的四心几何是数学中的这样一局部，其中视觉思维占主导地位，几何直觉是增强数学理解力的有效途径，而且他可以使人增加勇气，提高修养。------阿蒂亚知识纵横重心、外心、内心、垂心统称为三角形的“四心”，由于三角形的四心处在特殊的位置上，因而它们是具有丰富而独特的性质，这些性质是解与四心相关问题的根底。〔1〕重心三角形的三条中线的交点叫三角形的重心。如图，设是的重心，那么〔2〕外心三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心。如图，设是的外心，那么内心三角形三条角平分线的交点叫三角形的内心。如图，设是的内心，那么到三角形各边距离相等；垂心三角形三边的高所在直线的交点叫三角形的垂心。如图，设是的垂心，那么共六组四点共圆。例题求解【例1】如图，中，．假设上的中线垂直相交于点，那么可用的代数式表示为。〔第19届江苏省竞赛题〕思路点拨设，那么由重心性质有；建立的方程组。【例2】点是锐角三角形的内心，分别是点关于边的对称点，假设点在的外接圆上，那么等于．()A.B.C.D.〔“CASIO杯”全国初中数学竞赛题〕思路点拨由〔为的内切圆半径〕，得同时是外接圆的圆心。【例3】，点在上，，经三点的圆交于〔如图〕．求证：为的内心．思路点拨连，即需证为角平分线的交点，充分利用与圆有关的角，将问题转化为角相等问题的证明【例4】如下图,分别与圆相切于点，连结与交于，连结.求证：〔江苏省竞赛题〕思路点拨设圆心为，证明是的垂心，那么，由切线性质得；一定通过切点【例5】如图，中，是斜边上的高，分别是的内心。求证：〔1〕〔2〕.〔武汉市竞赛题〕分析在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等，故通过证交角等于的方法证两线垂直，再用全等三角形证两线段相等。欧拉线【例6】求证：〔1〕三角形的一个顶点到垂心得距离，是外心到对边距离的2倍〔2〕三角形的垂心、重心、外心在一条直线上，且垂心到重心的距离是外心到重心的距离的2倍。学习训练根底夯实如图，□中，是的中点，,那么□的面积为。如图，是的内心，是的内心，是的内心．假设的度数为整数，那么的最小度数为。3.如图，从圆外一点作⊙的两条切线，连，设交⊙于点，那么点是的心.〔第1题〕〔第2题〕〔第3题〕如图，是的斜边上的高，分别是的内心，假设,那么=。如图，锐角三的垂心为，三条高的垂足为那么是的〔〕A.垂心B.重心C.内心D.外心如图，设锐角的三条高线相交于，假设，那么的值为〔〕A.B.C.D.〔第4题〕〔第5题〕〔第6题〕锐角的顶点到垂心的距离等于它的外接圆的半径，那么的度数是〔〕.A.B.C.D.(全国初中数学竞联赛题)8.如图，内接于⊙，于点，于点，相交于点．假设，那么⊙的半径为〔〕A.B.C.D.〔2011年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题〕如图，设是的中线，的外心分别为,直线与交于点，假设，求证.〔“我爱数学”夏令营竞赛题〕能力拓展10.如图，设为三角形的三条高，假设，那么=.〔第10题〕〔第11题〕11.如图，中，，的内切圆圆心作，分别与相较于，那么=.〔全国初中数学竞赛试题〕12.假设锐角的三边比是，它的外心到三边的距离分别为，那么等于〔〕。A.B.C.D.13.如果一个三角形的面积和周长都被同一条直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的〔〕A.内心B.外心C.重心D.垂心14.如图，的三条中线的长分别是，求的面积。15.如图，是的内心，的延长线分别交的外接圆于交于求证：〔第22届加拿大奥林匹克试题〕综合创新16.锐角三的外心为，外接圆半径为，延长，分别与对边