锐角三角函数与几何图形的综合-中考数学复习题练习（教师版 ）

专题24锐角三角函数与几何图形的综合（解析版）

类型一锐角三角函数与矩形的综合

1.（2022秋•通川区期末）如图，在矩形纸片ABCO中，AB=5,BC=3,将ABCD沿BD折叠到aBEO位

8

D.

15

思路引领：利用矩形和折叠的性质可得BF=OF,设BF=X,则。F=X,AF=5-χ,在RtZ∖AO/中利用

勾股定理列方程，即可求出X的值，进而可得COSNA。凡

解：•••四边形ABCQ是矩形,

.∙.∕A=90°,AB//CD,AD=BC^3,AB=C£>=5,

NBDC=NDBF,

由折叠的性质可得NBQC=ZBDF,

."BDF=NDBF,

：.BF=DF,

设BF=x,贝UDF=x,AF=5-x,

在Rl△4£)尸中，32+(5-χ)2=/,

17

.∙.X=亏'

315

ΛcosΛADF=TT=F，

T

故选：C.

总结提升：本题主要考查矩形的性质、解直角三角形、折叠的性质、勾股定理等，解题关键是利用矩形

和折叠的性质得到DF=BF.

2.（2022•通辽）如图，在矩形ABCO中，E为AO上的点，AE=ABfBE=DE,则tanN3OE=.

思路引领：用含有AB的代数式表示AZX再根据锐角三角函数的定义进行计算即可.

解：・・•四边形A5CD是矩形，

ΛZA=900，

u

∖AB=AEf

设AB=a,则AE=a,BE=√α2÷a2=√2^=ED,

.∖AD=AE+DE=(√2+1)a,

a

在RtAABD中，IanZBDE=禁=,r、

AD(√I+i)α

故答案为：V2—1.

总结提升：本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质以及勾股定理，掌握直角三角形的边角关系和等

腰三角形的性质是正确解答的前提.

3.（2021•宁波模拟）把矩形纸片ABC。，先沿HE折叠使点B落在AO边上的B',再沿AC折叠，恰好点E

也落到AQ上，记为E.

求：（1）/皮EE的度数;

（2）/D4C的正切值.

思路引领：（1）由折叠的性质可证明四边形ABEF为正方形.4AEE为等腰三角形.故AE=AE,由N

BNE=/AEB'=45°,可推出NAEE=/AEE=67.5°,进而NB'EE*=/AEE-∕AEB'=22.5°；

（2）设正方形ABEB，的边长为“，由勾股定理得AE=√∑α=AE,BE=AE-AB'=①a-a,由同角的

p,p,

余角相等可推出ND4C=∕FEE,由此tan∕D4C=tan∕B,EE=就■,即可求得答案.

解：（1）由折叠性质可知，ΛABE=ZAB,E=9（）°,AB=AB',

又∕8A8'=90°,

.∙.四边形ABES为矩形,

5LAB=AB',

.∙.四边形ABEB，为正方形.

，NbAE=NAEB'=45°.

又沿AC折叠，点E也落到Ao上，故AE=AE,

180°—45°

NAEE=NAEE=U4把=675°,

；.NB'EE=NAEE-NAEB=67.5°-45°=22.5°.

(2)设正方形ABES的边长为“，如图所示.

则AB=BE=EB'=B'A=a,AE=√2α=AE1,

IBE=AE-AB'=√2α-a,

由折叠可知，AC垂直平分EE,

ΛZDAC+ZΛFF=90o,

又NB'EEl+NAEE=90°,

：.ZDAC^ZB'EE,

：.tanZDAC=tanZB'EE=-=也F=√2-1.

总结提升：本题考查了解直角三角形、正方形性质、折叠变换性质、等腰三角形性质等知识，解题关键在

于要熟悉折叠的性质，三角函数的定义.

类型一锐角三角函数与菱形的综合

3.（2022∙泸州）如图，在平面直角坐标系Xo），中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10,4）,四边形ABE/

是菱形，且tanZABE=*若直线I把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，

则直线/的解析式为（)

yi

A.y=3xB.y=-*r+学C.y=-2x+llD.y=-2x+12

思路引领：分别求出矩形OABC和菱形ABE尸的中心的坐标，利用待定系数法求经过两中心的直线即可

得出结论.

解：连接。8,AC,它们交于点例，连接BF,它们交于点M

则直线MN为符合条件的直线/,如图，

.∖OM=BM.

的坐标为(10,4),

：.M(5,2),AB=10,BC=4.

•；四边形ABEF为菱形，

BE=AB=10.

过点E作EGJ_AB于点G,

在RtABEG中，

4

VtanZABE=^,

.EG4

•∙--,=一,

BG3

设EG=4L,则8G=3鼠

：.BE=>JEG2+BG2=5k,

∙.5⅛=10,

：.k=2,

.∙.EG=8,BG=6,

ΛAG=4.

：.E(4,12).

的坐标为(10,4),A8〃X轴,

.∙.A(0,4).

；点N为AE的中点，

：.N(2,8).

设直线/的解析式为y^ax+b,

.f5α+b=2

''t2a+b=8'

.∙.直线/的解析式为y=-2Λ+12,

故选：D.

总结提升：本题主要考查了矩形和菱形的性质，中点坐标的特征，直角三角形的边角关系定理，利用待

定系数法确定函数的解析式是解题的关键.

4.(2022•长春)如图，在RtZ∖ABC中，NABC=90°,AB<BC.点。是AC的中点，过点。作。E_L4C

交BC于点E.延长ED至点F,使得。尸=DE,连结4E、AF,CF.

(1)求证：四边形AECF是菱形；

思路引领：(1)先证四边形4EC尸是平行四边形，再由。E_LAC,即可得出结论：

(2)设BE=a,则CE=4a,由菱形的性质得AE=CE=4a,AE//CF,则NBEA=NBCF,再由勾股定

理得AB=√15a,然后由锐角三角函数定义即可得出结论.

(1)证明：：点。是AC的中点，

.,.AD=CD,

"：DF=DE,

.∙.四边形AECF是平行四边形，

又：OEJ_AC,

•••平行四边形AEC尸是菱形；

,rBE1

(2)解：V—=

EC4

.∖CE=4BE,

设BE=a,则CE=4a,

由(1)可知，四边形AECF是菱形，

.,.AE=CE=4a,AE//CF,

.∙.NBEA=NBCF,

∙.∙∕A3C=90°,

：.AB=>∕AE2-BE2=√(4α)2-a2=√15a,

tanNBC尸=tanNBEA=霹=ɔʃ=√15,

故答案为：√15.

总结提升：本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数定义

等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.

5.(2016•岳麓区校级自主招生)如图，Z∖ABC中，∕BC4=90°,CD是边AB上的中线，分别过点C,D

作A4,8C的平行线交于点E,且QE交AC于点。，连接AE.

(1)求证：四边形A。CE是菱形；

(2)若4B=10,tan∕54C=±,求菱形A。CE的面积.

思路引领：(1)根据。E〃8C,EC//AB,得出EC〃。B且EC=OB,在RtZ∖ABC中，根据CO是边AB

上的中线，得出四边形AQCE是平行四边形，求出NA。。=NACB=90°,从而得出四边形AQCE是菱

形；

(2)在RtZxABC中，根据tanN8AC=煞=；,设BC=x,得出AC=28C=2x,再根据勾股定理求出X

的值，因为四边形力BCE是平行四边形，求出OE=BC=2遮，最后根据SADCE=*X4CXDE,代值计算

即可.

解：⑴'JDE∕∕BC,EC//AB,

.∙.四边形DBCE是平行四边形，

：.Ee〃DB,且EC=DB,

在Rt△力BC中，CO是边A8上的中线，

IAD=DB=CD,

EC=AD,

四边形ADCE是平行四边形，

.'.ED//BC,

：./A0。=ZACB,

：.ZΛCβ=90o,

NAOQ=NACB=90°,

四边形AZ)CE是菱形；

Rr-1

(2)在RtAABC中,tan∕BAC=器=分

设BC=x,

：.AC=IBC=Ix,

由勾股定理得：/+(2x)2=1()2,

解得：x=2√5,

；四边形DBCE是平行四边形，

：.DE=BC=2瓜

JSADCE=ɪ×AC×DE=∣×4√5×2√5=20.

总结提升：此题主要考查了菱形的性质和判定以及面积的计算，使学生能够灵活运用菱形知识解决有关

问题.

类型三锐角三角函数与正方形的综合

6.(2022•南通)如图，点O是正方形ABCQ的中心，AB=3√ΣRtZ∖BE尸中，ZfiEF=90o,EF过点D,

1

BE,BF分别交40,CD于点、G,M,连接。E,OM,EM.若BG=DF,IanNABG=m则4OEM的周

长为_______

思路引领：如图，连接80,过点F作FHLCz）于点H.解直角三角形求出AG,BG,利用相似三角形

的性质求出EG,DE,再证明FH=BC,推出BM=M凡求出MF,B。可得结论.

解：如图，连接8。，过点尸作尸”，8于点机

:四边形ABCD是正方形，

ΛΛB=AD=3√2,ZA=ZADC=90o,

Δ∩1

VtanZABG=而=可，

ΛAG=√2,DG=2√2,

ΛBG=^AB2-VAG2=J(3√2)2+(√2)2=2√5,

TNBAG=NDEG=90°,ZAGB=ZDGE9

：・∕∖BAGs∕∖DEG,

BAAGBG

：.—=—=—,ZABG=ZEDG

DEEGDG9

.3√2_√2_2√5

e<DE~EG~2√2,

.d底2店

•∙LJE-—ʒ-，ECJ-—ʒ-，

.,.BE=BG÷EG=2√5÷=

〈NADH=NFHD=90°,

.∖AD//FHf

：.ZEDG=ZDFH,

：.NABG=NDFH,

'：BG=DF=2小,ZA=ZFHD=Wo,

，丛BAG迫丛FHD(AAS),

：.AB=FHf

•：AB=BC,

：.FH=BCf

•；NC=NFHM=90°,

：.FH〃CB,

FMFH

•,_•___—____―-1f

BMCB

,FM=BM,

;EF=DE+DF=苧+2√5=

；.EM=∣βF=2√5,

VBO-=OD,BM=MF,

.∙.OM=步尸=√5,

11

OE=扣Q=/6=3,

J./X0EM的周长=3+遍+2√5=3+3√5,

解法二：辅助线相同.

证明48AGgZ∖∕7∕O,推出A8=HF=3√Σ,

再证明丝48CM,推出CM=HM=√Σ,

求出BD,DF,BF,利用直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，可得结论.

故答案为：3+3√5.

总结提升：本题考查正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性

质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全

等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

7.（2021•浦东新区校级自主招生）如图，小正方形面积为20,大正方形面积为100,求sin6∙cose.

思路引领：根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为10,小正方形的边长为2花，再根据直角三角

形的边角关系列式即可求解.

解：：小正方形面积为20,大正方形面积为100,

即A8=10,CD=2√5,

.'.AC=10cosθ,BC=10sinθ,

•：CD=AC-AD=AC-BC=2√5,

IOcosθ-IOsinθ=2V5,

.β.cosθ-sinθ=洛，

.,.(sinθ-cosθ)2=

sinsin2θ-2sinθ∙cosθ+cos2θ=

1

1-2sinθ∙cosθ=可，

2

.β.sinθ∙cosθ=耳.

总结提升：本题考查了解直角三角形，锐角三角形函数的定义，利用三角函数的定义表示直角三角形的

边解题的关键.

8.（2019∙朝阳区二模）【问题背景】如图1,在边长为1的正方形网格中，连接格点4、8和C、D,A8和

Co相交于点P,求IanNCP3的值.小马同学是这样解决的：连接格点3、E可得贝IJNA3E

=NCPB,连接AE,那么NCPB就变换到RtAASE中.则IanZCPB的值为

【探索延伸】如图2,在边长为1的正方形网格中，AB和CC相交于点P,求SinNAP。的值.

思路引领：【问题背景】在RtAABE中，利用正切函数的定义求出tan/ABE即可.

【探索延伸】如图2,连接CE,DE,作DWl.CE于M.先证明四边形ABCE是平行四边形，得出CE

//AB,那么NAP。=/Eaλ利用割补法求出aECQ的面积=芋，

由勾股定理求出CE=√17,那么根据三角形的面积公式得出OM=当骨，然后利用正弦函数定义求出

sin/ECO即可.

解：【问题背景】如图1，

∖'BE∕∕CD,

：.NABE=NCPB,

.".IanZABE=IanZCPB,

VZAEB=900,

.*.tanZCPB=tanZABE=需=警=3,

故答案为3.

【探索延伸】如图2,连接CE,DE,作。M_LCE于

∖,BC∕∕AE,BC=AE,

/.四边形ABCE是平行四边形,

ΛCE//AB,

.∙.NAPD=NECD.

,•,△石。。的面积=3义4-2*1乂4-2乂2乂3-$乂1乂3=¥，

1Ii

.∙.-CE∙DM=⅛,

22

,."CE=√Γ7,

.,,.11√I7

・・DyM=­ιτ~~f

.._..„_DM_11√17,_ll√170

•∙sin∠Z≤AytPDZn）—SinN/cEC。n=C=­∣γ—VγlγOh=—yyθ—.

总结提升：本题考查了解直角三角形，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，三角形的

面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，有一定难

度.

9.（2019春•江岸区校级月考）如图，每个小正方形的边长为1,四边形ABC。的每个顶点都在格点（小正

方形的顶点）上，S.AD=√37,CD=2√5.

（1）在图中补齐四边形ABCA

（2）直接写出四边形42C。的面积为；

（3）连AC,求tan∕4CB.

思路引领：（1）由AO=√^,CD=2√5,利用勾股定理以及网格特点即可确定。点位置，即可求解；

（2）所求四边形的面积等于长方形的面积减去四周三个直角三角形的面积以及梯形的面积；

（3）利用勾股定理求出AB?,BC2,AC2,根据勾股定理的逆定理得出∕A8C=90°,再根据正切函数的

定义求解.

解：（1）如图所示：

1111

(2)S四边形A88=6X5—ax6Xl-/4X2x2XlX(1+5)×2

=30-3-4-I-6

=16.

故答案为16.

(3)如图.

VΛB2=42+22=2O,BC2=l2+22=5,AC2=42+32=25,

.,.AB2+BC2=AC2,

，NABC=90°,

总结提升：本题考查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理，四边形的面积，锐角三角函数定义，难度

适中.确定出。点的位置是解题的关键.

10.(2020•余杭区一模)己知：PA=√2,PB=4,以4B为一边作正方形ABC。，使尸、。两点落在直线

AB的两侧.

(1)如图，当NAPB=45°时，求AB及PO的长；

(2)当/APB变化，且其它条件不变时，求尸。的最大值，及相应/APB的大小.

思路引领：(1)作辅助线，过点A作AELPB于点E,在Rt△/¾E中，已知NAPE,AP的值，根据三角

函数可将AE,PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在RtaABE中，根据勾股定理可将AB的值求

出;

求PD的值有两种解法，解法一：可将△以。绕点A顺时针旋转90°得至IJZkPAB,可得△/¾OgZ∖P∕B,

求PC长即为求P'8的长，在RtZiAP'P中，可将尸P'的值求出，在RtZ∖PP'B中，根据勾股定理可

将P'8的值求出；

解法二：过点P作AB的平行线，与D4的延长线交于尸，交P8于G,在Rt△?!EG中，可求出AG,EG

的长，进而可知PG的值，在RtG中，可求出「凡在Rt△2£)尸中，根据勾股定理可将PD的值求

出；

(2)将△力。绕点A顺时针旋转90°,得到4P'48,PD的最大值即为P,B的最大值，故当P∖尸、B

三点共线时,PB取得最大值,根据HB=尸产+PB可求PB的最大值,此时∕APB=180°-ZAPF=135°.

解：(1)①如图，作AEL尸B于点E,

「△APE中，NAPE=45°,PA=√2,

/7

.∙.4E=PE=√∑X与=1,

VPB=4,：.BE=PB-PE=3,

在RtZkABE中，ZAfB=90°,

.,.AB=√ΛE2+BE2=√10.

②解法一：如图，因为四边形ABC。为正方形，可将

∆PAD绕点A顺时针旋转90°得到4PZ8,

可得4B4O丝Z∖P48,PD=PB,PA^P'A.

ΛZMP'=90o,乙4PP=45",/PPB=90°

.,.PP1=∖[2PA=2,

.∖PD=P,B=yJPP'2+PB2=√22+42=2√5;

解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F,与D4的

延长线交PB于G.

在RtAAEG中，

可得4G=—4‰=―P2EG=3,PG=PE-EG=马.

CoS乙EAGcos4∆⅞ABEF=Φ3>33

在RtZXPFG中，

可得PF=PG∙cos∕FPG=PG∙cosNABE=争，FG=黑.

在RtZXPQF中，可得，

222

PD=y∕PF+(AD+AG+FG)=J怨尸+(√ιo+袈+ɪ)=2√5.

（2）如图所示,

将4B4Z）绕点A顺时针旋转90°

得到PO的最大值即为P8的最大值，

；△尸'PB中，P'B<PP,+PB,PP1=√2∕¾=2,PB=4,

且P、。两点落在直线AB的两侧，

，当产、P、B三点共线时，尸'8取得最大值（如图）

此时FB=PP+PB=6,即PB的最大值为6.

此时∕APB=I8O°-N4PP'=135度.

D

C

总结提升：考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力，在解题过程

中要求学生充分发挥想象空间，确定P8取得最大值时点P'的位置.

类型四锐角三角函数与圆的综合

11.(2022秋•郸州区期末)如图，Oo是△力BC的外接圆，点力在BC延长线上，且满足NCw=NB.

(1)求证：AQ是。。的切线；

(2)若AC是NB4。的平分线，SinB=1，BC=4,求。。的半径.

ɔ

思路引领：(1)连接。4,OC与AB相交于点E,如图，由OA=OC,可得∕0AC=∕0C4,根据圆周

角定理可得NB=*∕40C,由已知∕C4O=∕B,可得NAoC=2NC4O,根据三角形内角和定理可得/

OC4+NCA。+/AOC=I80°,等量代换可得NCAo+NCAQ=90°,即可得出答案；

(2)根据角平分线的定义可得NA4C=NOAC,由己知可得NBAC=根据垂径定理可得，OCLAB,

BE=AE,在RtZ∖8EC中，根据正弦定理可得SinB=盖=竿=|,即可算出CE的长度，根据勾股定理

可算出BE=√BC2-CE2的长度,设C)O的半径为r,则CE=OC-CE=r—导，在RtZ∖AOE中，OA2=

0尸+4片，代入计算即可得出答案.

证明：(1)连接04,OC与AB相交于点E,如图，

∖'OA=OC,

/OAC=NOCA,

■：AC=AC,

."B=；ZTlOC,

VZCAD=ZB,

・•・ZAOC=2ZCAD9

VZOCA+ZCAO+ZAOC=ISOo,

.β.2ZCA0+2ZCAD=ɪ80o,

：.ZCAO+ZCAD=90o,

.∖ZOAD=90o,

∙.∙Q4是。。的半径，

,AO是。。的切线；

解：(2)・・・AC是NAA。的平分线,

/.ZBAC=ZDACf

λ

∖ZCAD=ZBf

,NBAC=NB,

OCLAB,BE=AE,

在RtZ∖8EC中，

VBC=4,

CECE

.*.SinB=BC=~^

12

：.CE=号'

.,.BE=√BC2-CE2=J42-(第2=3

19

设Oo的半径为r,则CE=OC-CE=r-亏

在Rt∆AOEψ,

OA1=OE1+AE2,

I2=(r-ɪ)2+(^)2,

解得：片学.

BH

总结提升：本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形，熟练掌握切线的性质与判定,

垂径定理及解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键.

12.(2022•扬州)如图，AB为。。的弦，OCLoA交AB于点P,交过点B的直线于点C,且CB=CP.

(1)试判断直线BC与C)O的位置关系，并说明理由；

思路引领：(1)连接0B,由等腰三角形的性质得出∕A=N08A,NCPB=NCBP,结合对顶角的性质

得出NAPo=NC8P,由垂直的性质得出∕A+∕APO=90°,进而得出NoBA+NC8P=90°,即可得出

直线BC与。。相切；

(2)由SinA=恪，设0P=√5x,则AP=5x,由勾股定理得出方程(愿工产+8?=(5x)2,解方程求出X

的值，进而得出OP=Zx等=4,再利用勾股定理得出BC2+82=(BC+4)2,即可求出C8的长.

解：(1)直线BC与00相切，

∖'OA^OB,

：.ZOBA,

YCP=CB,

"CPB=NCBP,

∙.∙ZAPO=ZCPB,

：.NAPo=∕CBP,

,.φOC.LOA,

，NA+NAPo=90°,

・•・NOBA+NCBP=90",

：.ZOBC=90°,

・・・O3为半径，

・•・直线BC与OO相切；

∩p

(2)在RtA4OP中，SinA=泳，

・・∙.y[5

•SinA=-g-»

，设。尸=√Kτ,则4P=5x,

∖∙OP2WA2=AP1,

Λ(V≡x)2+82=(5x)2>

解得：X=警或一警(不符合题意，舍去)，

OP=√5x华=4,

VZOBC=90°,

.,.BC2+OB2=OC2,

•：CP=CB,08=04=8,

.∙.BC2+82=(BC+4)2,

解得：BC=6,

.∙.C8的长为6.

总结提升：本题考查了切线的判定，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的性质，切

线的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，一元二次方程的解法是解决问题的关键.

13.(2022∙通辽)如图，在RtZ∖AOB中，∕AO3=90°,以。为圆心，OB的长为半径的圆交边AB于点D,

点C在边04上且CD^AC,延长CD交OB的延长线于点E.

(1)求证：CQ是圆的切线；

(2)已知SinNOCO=考，AB=4√5,求AC长度及阴影部分面积.

思路引领:⑴根据等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余以及等量代换得出∕0D8+∕3DE=90°,

即LEC,进而得出EC是切线；

(2)根据直角三角形的边角关系可求出0。、CD、AC.OC,再根据相似三角形的性质可求出EC,根

据S阴影部分=SAC。E-S扇彩进行计算即可.

(1)证明：如图，连接OO,

AC=CD,

：.ZA=ZADC=ZBDE,

VZAOB=90°,

/4+480=90°,

又YOB=OD,

：.Z0BD^ZODB,

：./ODB+/BDE=90°,

即0D_LEC,

,.∙OD是半径，

EC是。。的切线；

(2)解：在RtACOO中，由于sin/。Co=M

设0D=4x,则OC=5x,

/.CD=√0C2-OD2=3X=AC,

在RtAAOB中，OB=OD=4x,0A=0C+AC=Sx,AB=4√5,由勾股定理得,

OB2+OA2=AB2,

即：(4x)2+(8.κ)2=(4√5)2,

解得x=l或X=-I(舍去)，

.∙.AC=3x=3,OC=5x=5,OB=OD=4x=4,

YNOOC=NEoC=90°,N0CD=NEC0,

Λ∆C0D^ΔCE0,

OCCD

EC~OC

JS阳影部分=SZiCOE-S扇形

=KX

50-12π

-3-

50-12π

答：AC=3,阴影部分的面积为一--.

总结提升：本题考查切线的判定，扇形面积的计算以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法，

直角三角形的边角关系以及扇形、三角形面积的计算方法是正确解答的前提.

14.（2022∙石家庄模拟）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆。它的完美来自对

称.其中切弦ChorclofcontacO亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连接这两个

切点的弦称为切弦.此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦.

（1）为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补

充完整，并写出“证明”过程.

已知：如图1,P是。。外一点，.

求证：.

（2）如图2,在（1）的条件下，CD是。。的直径，连接40,BC,若NADC=50°,NBCD=70°,

OC=2,求OP的长.

图2

思路引领：（1）根据命题的条件和结论即可写成已知和求证，连接。A、OB,根据切线的性质可得NQAP

=ZOBP=Wo,然后证明Rt∆Rt∆OBP,从而可得NAoP=NBOP,最后利用等腰三角形的三

线合一性质即可解答;

（2）连接04、OB,根据等腰三角形的性质求出NAOD和/80C,从而求出NAOB,然后在Rt408P

中利用锐角三角函数进行计算即可解答.

解：（1）已知：如图1,P是Oo外一点，PA.PB与Oo分别相切于点A、B,连接AB,OP,

求证：OP垂直平分A8,

V∕¾>P8与。。分别相切于点A、B,

ZOAP=ZOBP=90°,

•：OA=OB,OP=OP,

ΛRtΔRt∆OBP(HL),

ZAOP=NBOP,

"：OA=OB,

OP垂直平分48,

故答案为：PA,P8与。。分别相切于点A、B,连接A8,OP；OP垂直平分A8；

(2)连接。A、0B,

'：OA=OD,

二NAQC=NZMO=50°,

ΛZAOD≈180°-ZADC-ZDAO=SOQ,

'：OB=OC,

.".ZDCB=ZOBC=IOO,

AZfiOC=180o-NDCB-NoBC=40°,

.∙.NAO