2023年中考九年级数学训练-解直角三角形的应用

2023年中考九年级数学高频考点专题训练一解直角三角形的应用

一、综合题

1.如图，在AZBC中，AB=AC=10,tanB=。是BC边上的一个动点(不与点8、C重合)，以

点D为顶点作NADE=NB,射线DE交AC于点E,过点A作ZFIAD交射线DE于F,连接CF.

(2)当DEliAB时(如图2),求4E的长；

(3)当FC=FD时，直接写出BD的长.

2.如图，已知：在RtZSABC中，斜边AB=Io,SinA=卷，点P为边AB上一动点(不与A,B重

合)，

PQ平分NCPB交边BC于点Q,QMLAB于M,QN_LCP于N.

(1)当AP=CP时，求QP；

(2)若四边形PMQN为菱形，求CQ；

(3)探究：AP为何值时，四边形PMQN与ABPQ的面积相等？

3.如图①，AABC中，ZABC=45o,AHJ_BC于点H,点D在AH上，且DH=CH,连接BD.

(1)求证：BD=AC;

（2）将△BHD绕点H旋转，得到AEHF（点B,D分别与点E,F对应），连接AE.

i）如图②，当点F落在AC上时（F不与C重合），若BC=4,tanC=3,求AE的长；

ii）如图③，当AEHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30。得到时，设射线CF与AE相交于点

G,连接GH,试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由。

4.在AABC中，AB=AC,NBAC=45。，将XABC绕点A顺时针旋转得到XADE,连

接BD、CE,直线BD、CE相交于点F.

（1）求证BD=CE.

（2）求乙BFC的度数.

（3）若AB=AC=2,当四边形ADFC是菱形时，求BF的长.

5.如图，四边形ABC。为矩形，G是对角线8。的中点.连接GC并延长至F,使CF=GC,以

DC,C尸为邻边作菱形。CFE,连接CE

（1）判断四边形CEr）G的形状，并证明你的结论；

（2）连接。F,若BC=√3,求DF的长.

6.己知：如图，AABC为等边三角形，AB=4√3,AHlBC,垂足为点H,点D在线段HC上,

且HD=2,点P为射线AH上任意一点，以点P为圆心，线段PD的长为半径作QP,设AP=x.

(1)当x=3时，求。P的半径长；

(2)如图1,如果。P与线段AB相交于E、F两点，且EF=y,求y关于X的函数解析式，并

写出它的定义域；

(3)如果APHD与AABH相似，求X的值(直接写出答案即可).

(1)问题提出：如图1,在四边形ABCD中，AB=BC,AD=CD=3,ZBAD=ZBCD=90°,

ZADC=60°,则四边形ABCD的面积为.

(2)问题探究：如图2,在四边形ABCD中，NBAD=NBCD=90。，NABC=I35。，AB=

2√2，BC=3,在AD、CD上分别找一点E、F,使得ABEF的周长最小，并求出ABEF的最小周

长；

8.如图，在平面直角坐标系XOy中，已知点A(-3,1),点B(0,5),过点A作直线1_LAB,过

点B作BD〃L交X轴于点D,再以点B为圆心，BD长为半径作弧，交直线1于点C(点C位于第

四象限)，连结BC,CD.

（2）点M是线段BC上一点，且BM=CA,求DM的长.

（3）点M是线段BC上的动点.

①若点N是线段AC上的动点，且BM=CN,求DM+DN的最小值.

②若点N是射线AC上的动点，且BM=CN,求DM+DN的最小值（直接写出答案）.

9.小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在的水平线的夹角为120°

时，感觉最舒适（如图1）,侧面示意图为图2.使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO'后,

电脑转到40'B'位置（如图3）,侧面示意图为图4.已知04=0B=24cτn,0'C1OA于点

C,0'C=12Cm.

（1）求∆CAO'的度数;

（2）显示屏的顶部B'比原来升高了多少？

（3）如图4,垫入散热架后，要使显示屏0'B'与水平线的夹角仍保持120°,则显示屏0'B'

应绕点0'按顺时针方向旋转多少度？

10.小强洗漱时的侧面示意图如图所示，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD=80cm,宽

AB=48cm,小强身高166cm,下半身FG=IOOcm,洗漱时身体前倾，下半身与地面的夹角

乙FGK=80°,上半身与下半身所成夹角乙EFG=125°,脚与洗漱台距离GC=15cm,点、D,

C,G,K在同一直线上.

（1）求此时小强腰部点F到墙AD的距离.

（2）此时小强头部点E是否恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方？若是，请说明理由；若不

是，则他应向前还是向后移动多少厘米，使头部点E恰好在洗漱盆AB的中点。的正上方？（计

算过程及结果的长度均精确到Iem.参考数据；sin80o≈0.98,cos80o≈0.17,√2≈1.41）

11.如图，在梯形ABCD中，AD/∕BC,AB=CD,AD=5,BC=15,COS乙4BC=g.E为射线

CD上任意一点，过点A作AF〃BE,与射线CD相交于点F.联结BF,与直线AD相交于点G.设

（1）求AB的长；

（2）当点G在线段AD上时，求y关于X的函数解析式，并写出函数的定义域;

S

（3）如果S3边形ABEF=,求线段CE的长.

四边形ABCD

12.如图.RtAABC中，ZC=90o,AC=BC=4.P是BC上一点（不与B,C重合），连接AP.将

AP绕点A逆时针旋转90。得到AQ.连接BQ.分别交AC,AP于点D,E∙作QF_LAC于点F.

A

(1)求证：QF=AC;

(2)若P是BC的中点，求tan/ADQ的值；

(3)若△AEQ的内心在QF上，直接写出BP的长

13.如图，^ABC内接于。O,AB=BC,A为CD中点，CD与AB相交于点E,过B作BFll4C,交

CD延长线于F.

(1)求证：ΔACE-ΔABC;

(2)求证：BF=FE；

(3)延长FB交AO延长线于M.若tcmF=',CD=8√3,求BM的长.

14.如图，一艘轮船位于灯塔B的正西方向上的A处，且灯塔B到A处的距离为40海里，轮船沿

东北方向匀速航行，速度为20海里/时.

北

D

西------A--------⅛--------东

i

(I)多长时间后，轮船行驶到达位于灯塔B的西北方向上的C处?(结果保留根号)

(2)若轮船不改变方向行驶，当轮船行驶到达位于灯塔B的北偏东15。方向上的D处时，求灯

塔B到D处的距离.(结果保留根号)

15.如图，已知抛物线V=ɪx2+mx+n与X轴相交于点A、B两点，过点B的直线y=-x+b交抛物线

于另一点C(-5,6),点D是线段BC上的一个动点(点D与点B、C不重合)，作DE〃AC,交

该抛物线于点E.

(1)求m,n,b的值；

(2)求tanNACB；

(3)探究在点D运动过程中，是否存在/DEA=45。，若存在，则求此时线段AE的长；若不存

在，请说明理由.

16.如图，AB是。O的直径，PB与。O相切于点B,连接PA交。O于点C,连接BC.

(1)求证：ZBAC=ZCBP;

(2)求证：PB2=PC∙PA;

(3)当AC=6,CP=3时，求SinNPAB的值.

答案解析部分

L【答案】(1)证明：’.[B=AC,

.*.Z,B=Z-ACBJ

∖Λ∆ADC=乙ADE+Z-CDE=z.5+∆BAD,乙ADE=Zfi,

：.Z.BAD=乙CDE,

△ABDDCE

(2)解：如图中，过点A作AM_LBC于M,

A

♦.•在RtUBM中，tanB=第=

.∙∙4M=[BM,

.".AB=Λ∕AM2+BM2=»M，

q

AB=10,

.∙.BM=8,

VAB=AC,AM±BC,

：.BC=2BM=16,

VDEHAB,

.∖∆BAD=∆ADE,

∖Λ∆ADE=ZB,乙B=(ACB,

：.Z.BAD=乙ACB,

9Cz.ABD=乙CBA,

△ABDSXCBA,

・AB_BD∏∏10_BD

∙∙Cβ=rfl16=T0,

：.BD=竽，

VDEIlAB,

.BD_AE

•频=宿

25,,

,ɪ=世r,

1610

.125

''aδeγ=~32

(3)解：过点F作FH_LBC于点H,过点A作AM_LBC于点M,ANJLFH于点N,

则ZNHA=ZAMH=ZANH=90o,

四边形AMHN为矩形.

ΛZMAN=90o,MH=AN,

由⑵得BM=CMWBC=8,AM=1BM=6,

VAN±FH,AM±BC,

NANF=90。=NAMD.

VZDAF=90o=ZMAN,

.".ZMAD+ZNAD=ZNAF+ZNAD,即ZNAF=ZMAD,

Λ∆AFN<^∆ADM,

.AN_AF

,"AM~AD,

tan∆ADF=tanB==/

.AN_AF_3

''AM~AD~4,

,AN=^AM=M

4L

ΛCH=CM-MH=CM-AN=∣.

又∙.∙FHLDC,FD=FC,

ΛCD=2CH=7,

.".BD=BC-CD=16-7=9.

2.【答案】（1）解：VAB=IO,SinA=1,

.∙.BC=8,

则AC=√√IB2_BC2=6,

VPA=PC.

ΛZPAC=ZPCA,

：PQ平分∕CPB,

.,.∕BPC=2∕BPQ=2∕A,

ΛZBPQ=ZA,

ΛPQ√AC,

ΛPQIBC,又PQ平分NCPB,

ΛZPCQ=ZPBQ,

PB=PC,

.∙.P是AB的中点，

ΛPQ=ɪAC=3

(2)解：∙.∙四边形PMQN为菱形,

，MQ〃PC,

ΛZAPC=90o,

/.i×AB×CP=AXAC×BC,

则PC=4.8,

由勾股定理得，PB=6.4,

VMQ/7PC,

.PB_BM_BM_BQR6.4_8-CQ

,,PC~MQ~MP~QC,即rl森一~CQ~，

解得，CQ=竽

(3)解：∙.∙PQ平分NCPB,QM±AB,QN±CP,

QM=QN,PM=PN,

S∆PMQ=S∆PNQ，

V四边形PMQN与^BPQ的面积相等，

ΛPB=2PM,

AQM是线段PB的垂直平分线，

ΛZB=ZBPQ,

ΛZB=ZCPQ,

Λ∆CPQ^ΔCBP,

.CP_CQ_PQ

''BC~CP~BP,

.CP_BQ

"'^BC-2BM'

.∙.CP=4×⅛⅛=4×?=5,

BM4

.∙.CQ=等，

.∙.BQ=8-等=着,

•RM-4X39-39

∙∙bm^5x~8~TO,

ΛAP=AB-PB=AB-2BM=ɪ

3.【答案】(1)证明：在RIaAHB中，NABC=45。，ΛAH=BH,在ABHD和^AHC中,

AH=BH,ZBHD=ZAHC=90o,DH=CH,

Λ∆BHD^△AHC,

BD=AC

(2)解:i）如图,

.AHT

∖∙tanC=3»''CH-3

设CH=X,.∙.BH=AH=3x,

BC=4,3x+x=4,X=I,

.∙.AH=3,CH=I,

由旋转知，NEHF=NBHD=NAHC=90。，EH=AH=3,CH=DH=FH,

ΛZEHA=ZFHC,招=於=1,

EHA^∆FHC,

ΛZEAH=ZC,

/.tanZEAH=tanC=3,

过点H作HP±AE,

ΛHP=3AP,AE=2AP,

在RtAAHP中，AP2+HP2=AH2,

ΛAP2+(3AP)2=9,

ΛAP=ɜɪɪθ,

ΛAE=等

ii)由①有，ZiAEH和AFHC都为等腰三角形，

ΛZGAH=ZHCG=90o,

Λ∆AGQ^∆CHQ,

.AQ_GQ.½Q_CQ

""CQ~HQ','CQ~HQ'

VZAQC=ZGQE,

Λ∆AQC<^ΔGQH,

.EF_AC_AQ.QCO_1

■■HG=GH=GQ=sm30=ɪ

4.【答案】(1)证明：Y将AABC绕点A顺时针旋转得到AADE,

.".∆CAE=∆BAD,AC=AE,AB^AD,NBAC=NZME=45°,

'：AB=AC,

：.AC=AE=AB=AD,

：.^AECADB(SAS)

.∙.BD=CE

(2)解：过点A作/M_LBD于M,AN1CE于N,

当Z.CAE=Z.BAD<45°时,如图，

VAC=AE=AB=AD,

:∙z.1=z2=z.3=z4,

・・・∆AMB=乙ANF=90°，

在四边形ANFN中，乙BFC+乙MAN=180°,乙MAN=43+∆BAE+Zl=Zl+Z2+乙BAE

乙BAC=45°

・•・乙BFC=180°-45°=135°；

当Z.CAE=乙BAD>45°时,如图,

•・・乙BAC=∆DAE=45°

ʌZ-BAC+Z-BAE=Z-DAE+Z-BAE,

：•4DAB=∆CAE,

•・,AC=AE=AB=AD,

11

・•・Zl=∆EAN=^∆CAE,z2=∆BAM=^∆DAB,

：,Zl=乙EAN=z2=∆BAM

.∙.乙MAN=乙BAN+∆BAM=Zl+乙BAN=乙BAC=45°

・・・∆AMF=乙ANF=90°,

・・・乙MFN=180°一乙MAN=135°,

・・・Z,BFC=180o-LMFN=45°,

故(BFC=45°或135°

(3)解：如图，AB与EC交于G,

D

四边形ADFC是菱形,

：.AC//BD,

：.∆FBA=乙BAC=45°,

•••乙BFC=45°,

.∙./.FGB=∆AGC=90°,

在RtAAGC中，AC=2,

∙∙AG=AC-cos45°=2×ɪ=√2，

：.GB=AB-AG=2—近,

BG2-√2

2√2-2

ɪ

5.【答案】(1)解：四边形CEDG是菱形,

证明：•；四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点，.∙.GB=GC=GD,

VCF=GC,...GB=GC=GD=CF,

Y四边形DCFE是菱形，ΛCD=CF=DE,DE〃CG,

ΛDE=GC,.∙.四边形CEDG是平行四边形，

,.∙GD=GC,.∙.四边形CEDG是菱形

(2)解：方法一：设DF交CE于点N,如图所示:

“I-----ɪ.

B

F

VCD=CF,GB=GD=GC=CF,

Λ∆CDG是等边三角形，

.∙.ZGCD=ZGDC=ZCGD=60°,

ZDCF=I800-ZGCD=I80°-60°=120°,

∙.∙四边形ABCD为矩形，,ZBCD=90o.

在Rt∆BCD中，tan60。==空，/.CD=•◎飞=也=1,

CDtan6073

•••四边形DCFE是菱形，

oo

DN=FN,CNlDF1ZDCE=ZFCE=ɪZDCF=ɪ×120=60,

在RtZiCND中，DN=CD∙sinNDCE=lxsin60。=IX坐=字，

.*.DF=2DN=2×岑=√J.

方法二：证明AFDG2aBCD,得DF=BC=√3.

6.【答案】(1)解：YAABC为等边三角形，.∙.AB=AC=4√5,ZB=60°.

又∙∙ZB=4√3,AH±BC,

∙'∙½W=AB-SinzB=4√3×ɪɪ6•

即得PH=AH-AP=6-x=3.

在RtAPHD中，HD=2,

利用勾股定理，得PD=√PH2+DH2=√32+22=√13.

.∙.当x=3时∙，G)P的半径长为√13.

(2)解：过点P作PMLEF,垂足为点M,连接PE.

在RtAPHD中，HD=2,PH=6-X.

利用勾股定理，得PD=y∕PH2+DH2=√(6-%)2+4.

ABC为等边三角形，AH±BC,

ΛZBAH=30o.即得PM=^AP=^x.

在0P中，PE=PD.

VPMlEF,P为圆心，

二•EM=,EZ7=讶y.

于是，在Rt∆PEM中，由勾股定理得PM2+EM2=PE2.

即得^x2+^y2=(6-x)2+4.

，所求函数的解析式为y=√3X2-48%÷160,

定义域为学丝苧色.

(3)%=6-2y/3，％=6-2.，％=6+2：,x=6+2√3.

7.【答案】⑴36

(2)解：作点B关于AD的对称点G,作点B关于CD的对称点M,连接MG交AD于点E,交

CD于点F,连接BE,BF,过点G作GNLBC于点N交CB的延长线于点N,

ΛBF=MF,BE=EG,BG=2BA=4√2.BM=2BC=6

Λ∆BEF的周长为BE+EF+BF=EG+EF+MF=MGo

两点之间线段最短，此时ABEF的周长最小.

VZNBG+ZABC=180°

.∙.NNBG=180°-135°=45°,

∙∙.∆NBG是等腰直角三角形，

ΛNB=NG=BGsinZNBG=BGsin45o=4√2X孝=4

MN=BM+BN=6+4=10,

在Rt∆MNG中

MG=√Λ∕G2+MN2=√42+IO2=2√29∙

.∙.ΔBFE的最小周长为2闻.

8.【答案】(1)解：过点A作AEJ_y轴于点E,如图1

AZAEB=90°

VA(-3,1),点B(0,5)

.∙.AE=3,OE=I,OB=5

BE=OB-OE=4

∙,∙AB=√ΛF2+BE2=5

(2)解：连接DM,如图1,

YBD〃直线1

ΛZDBM=ZBCA

在4DBM与^BCA中

BM=CA

乙DBM=乙BCA

DB=BC

Λ∆DBM∆BCA(SAS)

：.DM=BA=5

(3)解：①延长BA到点B，,使AB'=AB,连接BD,如图2

，直线1垂直平分BBlBB'=2AB=10

Y点N为直线1上的动点

ΛBN=B,N

在^DBM与^BCN中

(BM=CN

I乙DBM=乙BCN

(DB=BC

・・・△DBMgZ∖BCN(SAS)

ΛDM=BN

ΛDM+DN=BN+DN=B,N+DN

J当点D、N、B，在同一直线上时，DM+DN=BW+DN=BD最小

・・,直线UAB

ΛZBAC=ZBOD=90o

在Rt∆BAC与Rt∆BOD中

(BC=BD

UB=OB=5

ΛRtΔBAC^RtΔBOD(HL)

ΛZABC=ZOBD

ΛZABC-ZOBC=ZOBD-ZOBC

即NABo=NCBD

ΛZABO=ZACB

在RtZkABE中，SinZABO=芸=|

，在RtAABC中，SinZACB=需=|

JBD=BC=IAB=学

YBD〃直线1

ΛZB,BD=180o-NBAC=90。

,BD=.2+BB'2=J(第2+1()2=绊I

ΛDM+DN的最小值为ʒ^ɪ.

②当点N在线段AC上时，由①可知DM+DN最小值为亨

当点N在线段AC延长线上时，如图3,

过点B作BF〃DC交直线1于点F,连接MF、DF,过点D作DGL直线1于点G

.∙.四边形BDCF是平行四边形

ΛBF=CD,CF=BD=孕，ZMBF=ZBCD=ZBDC=ZNCD

在^BMF与aCND中

BM=CN

乙MBF=4DCD

BF=CD

Λ∆BMF^∆CND(SAS)

ΛMF=DN

.∙.DM+DN=DM+MF

.∙.当D、M、F在同一直线上时，DM+DN=DM+MF=DF最小

,.∙ZBAG=ZABD=ZAGD=90°

.∙.四边形ABDG是矩形

ΛAG=BD=ɪ,DG=AB=5

♦.•RMABC中，AC=√BC2-相=俯;―52=至

/.AF=CF-AC=穿一冬=冬

，FG=AF+AG=|+半=10

,DF=√FG2+DG2=VlO2+52=5√5

V5√5<粤ɪ

.∙.当N在射线AC上运动时，DM+DN的最小值为5√5.

9.【答案】（1）解：：O'CJ.04于点C,OA=OB=24cm,0'C=12cm,

AsinzMOz===⅛=I♦∙"CA°'=30o.

(2)解：如图5,过点B作BDLAo交AO的延长线于点D.

图5

^∆AOB=120o，C.∆BOD=60°.

DnG—

VsinzBOD=诙，：・BD=OB∙sinZFOD=24X^=12√3(cm)

'."4。'8'+440'。=120。+60。=180。，即夕、0'、C三点共线,

：.B'C=0'B'+O'C=OB+O'C=36(cm),

.∙.显示屏的顶部B'比原来升高了(36-12√5)cm

(3)解：显示屏0'B'应绕点0'按顺时针方向旋转30。.理由如下：如图6,

设电脑显示屏0'B"绕点0'按顺时针方向旋转a度至O'E处，过点。'作O'FIlAC.：电脑显

示屏0'B'与水平线的夹角仍保持120o,C.∆EO'F=120o，"：/.B'O'F=WCA=90°,

.∙.∆EO'B,=120°-90°=30°,即α=30。....显示屏O'B'应绕点0'按顺时针方向旋转30。.

10.【答案】（1）解：如图，过点F作FNLDK于点N,W-FMIAD于点M.

在RtAFGN中，,:乙FGK=80o,FG=100cm,

ΛGN=FG-coszFGK=100-cos80o≈17(cm).

：.DN=DC+CG+GN=48+15+17=80(cm).

,."FN1DK，FMLAD,

：.∆FMD=乙FND=90o,

Y四边形ABCD是矩形，

/.ZD=90°.

.∙∙四边形MDNF是矩形.

"：MF=DN=80cm.

.∙.此时小强腰部点F到墙AD的距离为80cm.

(2)解：此时小强头部点E没有在洗漱盆AB中点O的正上方.

如图，过点E作EPIAB于点P，延长OB交FN于点H.

"."∆EFG=125°,

J.∆EFM=125o+IO0-90°=45°.

'JEF=166-FG=166-100=66(cm),

ΛFQ=66・sin45o≈47(cm).

：•PH≈47cm.

"：AB=48cm,点。为力B的中点,

`.AO=BO=24cm.

•；GN≈17cm,CG=15cm,

：.0H=24÷15÷17=56(cm).

V56>47.

.∙.此时小强头部点E没有在洗漱盆AB中点0的正上方.

：.0P=OH-PH=56-47≈9(cm).

.∙.他应向前移动9cm.

11.【答案】(1)解：分别过点A、D作AMLBC、DN±BC,垂足为点M、N.

VAD∕∕BC,AB=CD,AD=5,BC=I5,

11

=^^BC-AD)=^(15-5)=5.

在Rt∆ABM中，NAMB=90。，

・Λ∏Λ4BM55

-cosδabm=AB=AB=13-

.∙.AB=13.

(2)解：∙.∙需=y，.∙.d^≤=y+ι.即得DG=金

VZAFD=ZBEC,ZADF=ZC.ΛΔADF^ΔBCE.

.FD_AD_5_1

-eFC=FC=15=3.

又∙.∙CE=x,FD=^x,AB=CD=B.即得FC=WX+13.

15

VAD//BC,.FDDG/_y+ι

'^~FC~^BC,∣x+1315

.39-2x

∙∙y=^^

.∙.所求函数的解析式为y好,函数定义域为0<x<挈.

(3)解：在RtAABM中，利用勾股定理，得AM=y∕AB2-BM2=12.

:∙S四边形ABCD=%(40+BC)TM=女5+15)X12=120.

S

..四边形ABEF_2

-S=3，

四边形ABCD

：∙S四边形ABEF=80-

设SΔADF=S.由△ADFSABCE,集=：，得SABEC=9S-

过点E作EHLBC,垂足为点H.

由题意，本题有两种情况：

(1)如果点G在边AD上，则S四边形ABCD~S四边形ABEF=8S=40.

ΛS=5.

∙∙^ΔBEC=9S=45.

11

,SABEC=”C∙EH=*x15∙E”=45•

：.EH=6.

由DNJ_BC,EH±BC,易得EH〃DN.

.CE_EH_6_1

^CD=DN=12=2∙

又CD=AB=13,.;CE=竽.

(ɪɪ)如果点G在边DA的延长线上，则S四边膨ABCD*'四边形ABEF+$AADF="S.

.∙.8S=200.解得S=25.

,SABEC=9S=225.

11

∙'∙SΔBEC=ɪfie∙EW=ɪ×15∙FW=225.解得EH=30.

.CE_EH_30_5

,'CD=DN^U=2-

."E=竽.

."E=竽畤.

12.【答案】(1)证明：由题意得，PA=AQ,ZPAQ=90o

・・・ZPAC+ZQAF=90o

XVZC=90o

・•・ZPAC+ZAPC=90o

.∖ZQAF=ZAPC

又∙.∙NQFA=NC=90°

Λ∆QAF^∆APC(AAS)

ΛOF=AC

(2)解：若P是BC的中点

贝IJPC=IBC=2

由(1)知，ΔQAFΔAPC

/.AF=PC=2

.*.FC=AC-AF=2

VQF=AC=BC,NQFD=NC=90。，ZQDF=ZBDC

Λ∆QDF^∆BDC(SAS)

ADF=DC=I

又∙.∙QF=AC=4

AtanZADQ=熟=4

(3)解:AEQ的内心在QF上

.∙.QF平分NAQD,即NAQF=NDQF

VQFlAC

ΛZQFA=ZQFD=90o

XVQF=QF

Λ∆APC^ΔDFQ(ASA)

ΛAF=DF

XVDF=DC

/.AF=DF=DC=⅛

.∙.PC=AF=W

.,.BP=BC-PC=4-g=∣

13.【答案】(1)证明：・••4为CD中点，

・•・胞=Af,

：.∆ACE=∆ABC,

VZ-CAE=乙BAC,

ʌΔACE〜ΔABC

(2)证明：-ΔACEΔABC,

tCA_BA

最=阮'

•：AB=BC,

ʌCA=CE，

・•・∆CEA=∆CAE,

vBFHAC,

：•∆FBE=Z-CAE,

vZ-FEB=Z-CEA,

：.乙FBE=∆FEB,

・・・BF=FE

（3）解：连接08,0C,设ZM与CO交于点〃，如图所示:

•・・4为8中点，

：,OA1CD,

：,CH=HD=WCD=4√3,乙AEH+Z.EAH=90°,

・・・乙FEB=乙AEH,

・・・乙FEB+∆EAH=90°,

・•・乙F