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线性方程组迭代解法要点：〔1〕线性方程组迭代格式：Jacobi迭代，G-S迭代 〔2〕矩阵范数计算，矩阵谱半径计算〔3〕线性方程组迭代格式的收敛性判断 〔4〕Jacobi迭代，G-S迭代收敛的判断 〔5〕线性方程组的性态复习题：线性方程组为〔1〕写出Jacobi迭代格式和Seidel迭代格式；〔2〕写出Jacobi迭代矩阵和Seidel迭代矩阵；〔3〕判别这两种迭代法的收敛性。解：(1)Jacobi迭代格式： Gauss-Seidel迭代格式： 〔2〕Jacobi迭代矩阵： Gauss-Seidel迭代矩阵： 〔3〕，得的特征值为 ，可见Jacobi迭代格式不收敛 另外， ，得的特征值为 ，可见Gauss-Seidel迭代格式收敛 设方程组试问，是否可以适当调整方程的排列顺序，使得用Gauss-Seidel迭代法求解时收敛？说明收敛原因解：可通过方程顺序交换，等价为以下方程组 这样，系数矩阵为严格对角占优矩阵， 对该方程组使用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代均收敛对方程组，验证Jacobi迭代法的收敛性，假设发散，那么说明理由，并调整方程顺序使得Jacobi迭代收敛。解：Jacobi迭代矩阵，因为，故Jacobi迭代发散 将方程组中方程顺序重排得等价的方程组 注意到这里系数矩阵为严格对角占优矩阵，故应用于调整后的方程组的Jacobi迭代收敛设方程组，分别写出雅可比迭代格式和高斯-塞德尔迭代格式，并讨论它们的收敛性解：Jacobi迭代矩阵，Gauss-Seidel迭代矩阵 因为， 故Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代均发散方程组〔1〕写出解此方程组的雅可比法迭代公式；〔2〕证明当时，雅可比迭代法收敛；解：Jacobi迭代格式： 当时，系数矩阵为严格对角占优矩阵，故Jacobi迭代收敛对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用Jacobi迭代法和G-S迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及Jacobi迭代法和G-S迭代法的迭代公式，并说明收敛的理由解：将原线性方程组中方程顺序作重排得等价的方程组： 由于该方程组系数矩阵为严格对角占优矩阵，故Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代均收敛 Jacobi迭代格式：Gauss-Seidel迭代格式：设，，试给出的范围确保方程组的Jacobi迭代法及Gauss－Seidel迭代法收敛的充分必要条件 解：Jacobi迭代矩阵，Gauss－Seidel迭代矩阵 ， 可见，Jacobi迭代与Gauss－Seidel迭代收敛的充分必要条件为：求，设，求和，试计算和这里p=1,2,∞线性方程组用Jacobi迭代法是否收敛，为什么？其中解：Jacobi迭代矩阵因为：，故Jacobi迭代收敛设线性方程组:，试给出Gauss-Seidel迭代格式讨论由Gauss-Seidel迭代所产

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