新高考二轮复习真题导数讲义第35讲 函数与数列不等式问题（解析版）

第35讲函数与数列不等式问题

1.已知函数/(x)=x∕∕ι(l+x)-α(x+l)(x>O),其中〃为实常数.

(1)若函数g(x)=∕'(x)--------..O定义域内恒成立，求。的取值范围;

1+x

(2)证明：当α=0时，冬,,1;

X

(3):1---F...H--------</ʌt(l÷<1H-----1----F...H.

23H+123H

【解答】解：(1)由题意g(x)=∕"(l+x)—————a,x∈[0,⅛oo)

1+x

11γ

则g'(X)=----------------2=--------7..O

1+x(l+x)2(1+X)2

即g(x)在[0,+8)上单调递增，

α,g(0)=0,

.,.a∈(-∞,0]；

(2)即证Λt(l+x),,X,x∈[0,+∞),

设A(x)=ln(l+x)-x(x>0),

1-1

∙'∙h∖x)=--------1=------,,O

1+x1+x

.∙.∕z(x)在[O,÷∞)上单调递减，

.,./z(ɪ),,Λ(0)=O,

.,.ln(l+x)„X»X∈[O,÷∞)；

(3)利用「一效j"(l+x)",ɪe[θ,-κo),

x+1

令X=L得：

n

------<bι(∖+〃)—Inn<一,

π+l-----------------------n

一<Inn—ln(n—1)<------>

nn-∖

ɪ</M2-ItA<1,

2

累力口得:1----F…+------<Iin(I÷72)<14H----F...d,

23n+123n

当a=O时，",,1；

2.证明：ɪ×—×-×...×-~~-<.l——⅞-<V2sinJ—ɪ——.

2462nV2∕ι÷lV2n÷l

【解答】证明：女二1<3_

2n2〃+1

1352π-l2452〃

-×-X—×...×<—X—X—×...×

2462n3572〃+1

.∙.(1×2×^×...×2〃-1)2鼠..xZ⅛2a...χ2n1

)=

246In2462n352n÷l2H+1

令F(X)=亚SinX-X，x∈

当当十πV2

COSX>cos—=——

42

.,.∕,(x)=V2COSX-1>0

.∙./(ɪ)=χ∕2sinX-X,在(O,上递增，.∙.∕ω>∕(θ)=o,

3.已知/(x)=e[8(工)=1+1(6为自然对数的底数).

(1)求证：/'(X)..g(x)恒成立;

(2)设团是正整数，对任意正整数〃，(1+…(l+]∙)<"2,求〃7的最小值.

【解答】解：(1)令〃(X)=∕*)-g(x)=e*-工一1,h,(x)=ex-1,hf(x)=O,

则X=0，当XVO,/Z(x)<0；x>θr⅛,g<x)>O,所以∕z(x)在(O,400)单调递增，在(-∞,0)单调递减,

所以〃(幻最小值=M。)=。，即力(x)..0恒成立；

所以/(%)..g(%)；

11-L

(2)由(1)令X=L,可知O<l+L<e3",由不等式性质得

3“3”

t⅛

11111±l÷1...÷1ɪ-ll-(l)-1-

(l+-)(l+ʒy)...(l+-)<¢3ei...ey=e33^+y=e3=e2u31<e1=4re<2.

所以加的最小值为2.

4.己知函数/(x)=e*,g(x)=-→2-x,(其中αeR,e为自然对数的底数，e=2.71828...).

(1)令〃(X)=/(x)+g<x),若〃(x)..0对任意的x∈R恒成立，求实数。的值；

(2)在(1)的条件下，设机为整数，且对于任意正整数〃，t(-Y<m,求加的最小值.

【解答】解:(1)因为g'(x)=-Or-1,

所以h(x)=ex-ax-1,

由〃(戏.O对任意的％∈R恒成立,即A(x)wirt..O,

由hf(x)=ex-a,

(i)当心0时,h,(x)=ex-a>O,〃⑴的单调递增区间为R,

所以X∈(-∞,0)时，A(x)<Λ(0)=O，

所以不满足题意.

zx

(H)当α>O时，由Λ(x)=e-a=Of得X=Ina,

X∈(TX)Jna)时，〃'(X)<O,x∈(Ina,+∞)时,h,(x)>O,

所以力(X)在区间(-OO,/")上单调递减，在区间(∕%,y)上单调递增，

所以〃(X)的最小值为h(bιd)=a-alna-1.

设°(a)=a-alna-1,所以夕(a)..0,①

因为“(a)=—Ina,

令"(a)=—Ina=O,得Q=1,

所以夕(a)在区间((U)上单调递增，在区间(1,÷∞)上单调递减，

所以9(a)„夕(1)=0,②

由①②得φ(a)=O,则々=1.

(2)由(1)知e*-x-L.O,即1+天，一,

LL--

令X=——(neN',k=0,1,2,3,…，H—1),则0<1—,,e"，

nn

所以(1-%”"半=—-,

n

所以y(1)n=A"+(―)"+(-)"

↑7∖nnnnn

,,e-'n^'y+e^*"^2)+…+e^^2+e-∣+1

所以汽dτ<2,

∕=1〃

xφ3+(∣)3+φ3>i.

所以W的最小值为2.

Lr

5.设函数/(K)=2⅛ιrd------kx.

X

(I)当伙|.」时,判断函数/(X)的单调性;

(II)若对任意的正整数〃都有In1(\+1)+∕H2(1+ɪ)+...+∕H2(1+ɪ)<m，求机的最小值.

2n

【解答】解：(I)f(x)=2lnx+勺-kx,

X

”、2k.kx2-2x+k

ʌ/U)=---------k=----------ʒ------,

XX厂

令y=⅛√_2x+%,

,.恨..1，

.∙.A=4-4∕r2=4(l-⅛2)<0,

.∙.当左，-1时，r(x)..0恒成立，/(X)在(0,内)上单调递增，

当k.l时，/(%),,0恒成立，/(x)在(0,yo)上单调递减；

(II)由(I)可得，当k=2时，/(x)在口，+∞)上单调递减，

2

:.f(x)=2lnx+——2工J(1)=0,

X

:.bf,x--(x=↑时取"=")，

X

令X=I+L

n

则Irr(1+ɪ)<(1+ɪ----^-)2=(ɪ4—--)2<ʌ,

〃〃〃

n1十_L一l+1n

n

.∙J∕j2(l+l)+∕Λ^(l+-!-)+...+∕zr(J+^<4<4-÷-τ+-τ+∙∙+-V)<4(l+-+——-——)=4{l+(-!--i)+(-!--i)+...+(———ɪ)]=4(---!-)<6

2nI22232n22×33×4n[n-1)2334zι-ln2n

6.已知函数/(x)=R'tr+"7.

X

(1)讨论F(X)的单调性;

(2)当α=l时，证明：

(Z)V(X),,x-1；

⑺证明：殁+幽+…+位

23n22〃+24

r/5依Yhn/.X“、—altvc—a+11—alnx八、

【解答】解：(1)f,(x)=------；------=—；—(zx>0),

X2X2

令g(x)=1-Cilnx,

①α二O时，g(%)=l>O,/G)在(0,叱)匕单调递增；

ɪɪ

②.>0时，x∈(O,e")时，g(x)>O,/(x)单调递增；x∈(e",÷∞)时，g(x)vθ,/(%)单调递减.

ɪɪ

③α<0,Xe(O,好)时，g(x)<O,/(X)单调递减；x∈(*,+∞)时，g(x)>O,f(x)单调递增.

综上，α=0时，/(x)在(0,田)上单调递增；

4>0时，f(x)在(0,e；)上调递增，在旧,+8)上单调递减；

α<0时，/(x)在(O,eD上单调递减，在(e,,+8)上单调递增.

(2)(i)a=1时，f(x)=――，所以VW=hvc.

X

11—ɪ

令〃(x)=Λιr-x+1,则Ar(x)=——1=-----(x>0)»

XX

x∈(O,l)时，A,(x)>O,∕z(x)单调递增；x∈(l,+∞)时，/Z(x)<0,献x)单调递减.

h(x>naχ=h(I)=//11=0,

即版,X-I,即ʧ(ɪ),,x-l.

(")α=l时,/(X)=—,U~L=

Xnn

由(Z)知/咚X-I,即—„l-ɪ.

XX

令X=/

得””1-4,即丝1,,1-二，所以丝,'(>J7),

nnnnn~2n~

/(2)/(3)f^ti)Jn2IriiInn1I11

23n2232n222232n2

-^{(π-l)-(-ζ-+-ζ-+...+-ζ-)]<-^[(∕j-l)-(-5―+—5—+...+)]ɪɪl(w-l)-(ɪ-ɪ+-^--^-+...+-^-)]=-[(Λ-1)-(--)]=-+-=—+

22232w222x33×4n×(w+l)22334nn+∖22π+l22π+2422π+24

./(2)ɪʃ(ɜ)f{ri)n13

+...H--------<-H-----------

23n22H+24

7.已知二次函数/(x)满足/(x—2)=/(—x),/(—1)=1,/(0)=2,g(x)=ex.

(1)求/(x)的解析式；

(2)求证：x..O时，2g(x)..∕(x);

1ɪ11.>τ*x

(3)求证:------------1---------------F...+------------<一(〃∈N).

2g⑴+12g⑵+22g(〃)+〃2

【解答】解：(1)由/(x-2)=∕(-X),可设/(x)=α(%+l)2+c,

因为/(—1)=1,/(0)=2，所以c=l,α=l,

.∙./(Λ)=(X+1)2+1,Bp/(x)=x2+2x÷2.

(2)设Oa)=2g(x)-/(%)=20一炉一2%-2,φ,(x)=2ex-2x-2,

令φ,(x)=h(x)>即h(x)=2ex-2x-2,则h,(x)=2ex-2,当XV0,h,(x)<0,当x>0,〃'(%)>0,

即力(尤)在区间(-∞,0)上单调递减，在区间(0,+8)上单调递增，Λ(⅛,w=Λ(O)=O.

.,.φ∖x)..0,.∙.夕(X)在R上单调递增，.∙.x..0时，仪X)∙.0(0)=0,

.∖2g(x)..f(x).

(3)由(2)知2g(x).J,(X)艮∣J2g(x)服2+2χ+2=2g(x)+xx2+3x+2.

易知x∈N"时，2g(x)+x>0,X2+3x÷2>0,

•------1----------------1-----------------1-------------1-------1---

2ga)+%x2+3x+2(x+l)(x÷2)x+1x+2

111111

-------<-----，---------V----------，

2^(1)+1232g(n)÷n〃+1〃+2

111Ill

.二-------H---------------------J-…H------------------<-----------------<一.

2g⑴+12g⑵+22g(〃)+〃2n÷22

8.定义：若华在伙，+8)上为增函数，则称/(X)为“A次比增函数"，其中keN',已知/(X)=*.(其

Xk

中e=2.71238…)

(I)若∕ω是“1次比增函数。求实数。的取值范围；

(II)当a=2时，求函数g(x)=∕<H在［"?,m+l］(6>0)上的最小值；

2X

(III)求证：ɪ+——^=—+—］∙+...+―\=—<—.

4e2(√e)23(√e)3〃(&)"2e

【解答】解：(I)由题知y=e在［1,+8)上为增函数，

X

故(£1)'=0"(.一1)..0在］,+8)上恒成立，故5-1..0在［1,+8)上恒成立，

XX'

即在XWU，+8)上恒成立，而L,1,.∙.ɑ.l.--------------------------------(4分)

XX

5eɪ(--l)

(II)当时，g(χ)=/=丝，gfM=—ɪ—,--------------------------------(5分)

2XXX

当x>2时,g'(x)>O,即g(x)在［2,+8)上单调递增；

当x<2且XXo时，g'(x)<O,即g(x)在(0,2),(9,O)上单调递减;

又%>O,.'.m+∖>↑

m

故当/7?..2时，g(x)在［m，m+1］上单调递增，此时g(x)=g(m)=—

minm

nι+∖

当0<∕,l时，6+L,2,g(x)在［帆，〃?+1］上单调递减，此时g(χ)〃而=g(m+1)=-----

"7+1

当1<机<2时，g(x)在的，2］上单调递减，在［2,〃?+1］单调递增，故此时g(x)*=g(2)=］

(8分)

m+1

,~2~

综上有：当时，g(x)min=g(m+∖)=∙_-

"7+1

当1<a<2时，g(x),niπ=g(2)=∣:

m

e2

当机.2时，g(x)=g(m)=一(9分)

minm

(III)由(H)知，当x>0时∙，g(x)在(0,2)上单调递减，在(2,÷oo)上单调递增,

故g(x)..g(2)=刍，BP—...ɪ,-------------------------------(10分)

2X2

2

故当x>0时,总有ɪ,,4成立,

e

e2

n12

取X=〃时有―---,______=________..(12分)

(&)〃*〃(&)〃/(&)〃，，fj2

故

-f=HLrH~.+…HJ=~,,-(1H--H-7+…^7)<一(—I-----1-----!-…H------)=-(—I-----)<

82(Gy3(√γ^)3"(金¥e2232n2e42×33×4(n-ɪ)ne、42nIe

-----------------------------(14分)

9.已知数列｛x,J满足：Xl=1,Λn=Λn+∣+∕"(l+xjt+∣)("wN"),证明：当〃WM时,

(I)0<xn+l<xn；

(II)2xn+l-xn,,^;

Ull)击蛋匕IT∙

【解答】解：(I)用数学归纳法证明：Xn>0,

当”=1时，xl=1>0,成立，

假设当〃=々时成立，则x*>0,

那么n=Z+1时，若xll+∣<0，则0<x«=x*+∣+/"(l+x*+∣)<O,矛盾∙，

故—>O>

因此x,,>0,(neN*)

∙'∙⅞=⅞÷ι+^(1+Λ,÷∣)>⅞÷∣，

因此0<x,,+∣<%("eN"),

(H)由X(I=X.I+ln(l+x,,+l)得xnxn+l-4xn+l+2xn=-2xn+i+(xπ+l+2)Zn(l+xn+1),

记函数/(x)=χ2-2x+(x+2)∕”(l+x),x..0

2f+γ

f,(x)=~—-+/〃(1+x)>0,

x+1

.•./(%)在[0,+8)上单调递增，

.∙.∕(x)..∕(0)=0,

因此片+1-2xw+1+(x,,+l+2)∕n(l+Xn+])..0,

故2%+「Z,，学；

(In)xn=xn+l+∕n(l+xn+l),,xπ+,+xn+1=2xn+1,

xx22

由""^'∙∙⅞+ι一七得'-----τ∙∙(-一；)>0，

2加2X,,2

--ɪ)...?2,,^'(ɪ-ɪ)=2n^2,

x

n2X(IT2X12

1

S”声■，

综上所述击都ɪ,

10.已知函数ʃ(ɪ)=sin2ɪsinIx.

(1)讨论了(幻在区间(0,万)的单调性；

(2)证明："(χ)∣,,挛；

O

γ

(3)设"∈N*,证明：sin2xsin22xsin24x...sin22,,‰—.

4“

【解答】解：(1)/(x)=sin2xsin2x=2sin3xcosx,

.∙.f,(x)=2sin2X(3COS2x-sin2x)=2sin2x(3-4sin2x)

=2sin2Λ[3-2(l-cos2x)]=2sin2Λ(1+2cos2x),

令/'(X)=°,解得,x=∙∣∙,或x=T'

当xe(0,至或(区万)时，∕,(%)>0,当X呜，争时，

.∙"(x)在(0,马，(―,万)上单调递增，在(生，生)上单调递减.

-3333

证明：(2)/(O)=∕(zr)=O,

由⑴可知F(X)极小值F(X)极大值'

f,、3√3,zʌ3√3

•∙J^max=~~Γ~'f(x)∕≡=--

OO

/(X)为周期函数且周期为万，

,λ∣36

•∙l-∑-；

O

3

(3)⅛(sin2xsin22xsin24x...sin22,tx)2=∣sin3xsin32xsin34x.......sin32w^,xsin32nx∖,

=Isin%I∙Isin2xsin,2%sin34.r.......sin32n^l%sin2,,Λ∣∙∣sin22"x∖,

=∣sinx∣∙I/(x)∕(2x)...f(2n-'x)∣∙∣sin22πx∣,

„∖f(x)f(2x)...f(2n-'x)∖.

.,.sin2xsin22xsin24x...sin22"x,,(r-^-')nY=ɪ-∙

11.已知函数/(x)=ex+e^x+(2-b)x,g(x)=ax2+b(a,beR),若y=g(x)在=1处的切线为

y=2x+↑+f(0).

(I)求实数。，〃的值；

(II)若不等式/(x)..kg(x)-2左+2对任意XeR恒成立，求Z的取值范围；

(IIl)设θ.,θ,,...,θl,e(θΛ)，其中〃-2,neN*证明

2

l

/(sinθ`)√(cosθn)+/(sinθ2>∕(cos6,,l)+...+/(sin6∙τ.,)√(cosθ2)+/(sin6>,)√(cosθλ)>6n.

【解答】解：(I)由r(x)=e*-e-*+2-6,得f'(0)=2-b,由g'(x)=2奴,得g'⑴=Ia,

2a=2

根据题意可得,解得

g(↑)=a+b=2+1+2—。b=2

(II)由不等式f(x)..侬(X)-2无+2对任意x∈∕?恒成立知，e*+/*-AX2-2..0恒成立,

令F(X)=e'+e-*—立-2,显然F(X)为偶函数，故当x..0时，尸(x)..0恒成立,

F∖x)=ex-e^x-Ikx,令h(x)=ex-e^x-2kx(x..0),贝Uh'(x)=ex+e~x-2k,

令H(X)=ex+e-χ-2k(x..0),则H'(x)=ex-e^x,显然”,(x)为(0,”)上的增函数，

故/Γ(x)..9(0)=0,即H(X)在(O,+W)上为增函数，4(0)=2-2&,

①当"(0)=2-2Z..0,即左,,1时,H(X)..0,则〃(X)在(0,E)上单调递增，

故〃(X).)(0)=0,则F(X)在(0,y)上为增函数，故F(X)..F(O)=O,符合题意：

②当H(O)=2-2左<0,即。>1时,由于Haft(2k))=A>0,故存在XIW(O,ln(2k)),使得H(XI)=0,

故∕z(x)在(O,XJ单调递减，在(占，+∞)单调递增，

当Xe(O,χ)时，∕z(x)<Λ(O)=O,故尸(X)在在(O,x∣)单调递减，故尸(x)<尸(O)=O,不合题意.

综上，k„1；

22222222

(III)证明：由(H)知，/(x,)∕(x2⅛l+2)(X2+2)ɪX1X2+2x,+2x2+42xl+2x2+4,当且仅当

XI=X2=O时等号同时成立，

2r1

故/(sinθl)f(cosθll)>2sinθx+IcosQn+4,

22

/(sinβ2)∕(cos⅛,∣)>2sinθ2+2cosθn^+4............

2

/(sinθll)f(cosθt)>2sirrθn+2cosθl+4，

以I:个式子相加得

+

/(sinJ)√(cosθn)+/(sinθ2>∕(cos仇T)+∙∙∙F(Sin6*,,1>∕(∞sθ2)+/(sin⅛)√(cosθt)>6n.

12.已知函数F(X)=仇(1+X)-*」'x).

1+x

(1)若x..0时，/(X),,0,求;I的最小值；

(//)设数歹∣J{%}的通项a4=1+』+」+…+L证明：%〃一。〃+」->加2.

23n4n

【解答】解：(/)由已知，/(0)=0,

f'{χ)=，∙∙∙∕<(0)=O，

所以/l的讨论分界点为2=0」，

2

情形一:4,o.此时r(x)>o,于是ya)单调递增，

当X..0时有/(x)>∕(0)=0,不符合题意；

11_

情形二：：0<几<一.此时在(0,-------)±∕,(x)>0,

2λ,

于是在此区间上/(幻单调递减，进而/(x)>/(0)=0,不符合题意;

情形三：λ=-.此时当x..O时,

2

于是/(x)单调递减，因此/(x).."))=0,符合题意.

综上，见的最小值为』.

2

(〃)令；l=g,由(/)知，当x>0时∙，/(Λ)<0,即M2+x)

>∕n(l+ɪ)

2÷2x

取H-7X=1一,IH则iI-2-2--+--1->//?(-k-+--∖)

k2*(Λ÷1)k

11111

于是a2n-anH-----=---------1---------÷...H------1-------

4n/1+1n+22n4n

11111

—+q+------------+------+-...+—+—+—

2(〃+1)2(77+1)2(〃+2)2(77+2)2(〃+1)4τ?4〃4〃

—+,+-^+-^+-^+…++―^+―

In2(∕?÷1)2(∕t+l)2(〃+2)2(«+2)2(/?+3)2(2H-1)2(2/7-1)4/t

2π-l1L1l

=Σ士(-2k+—2(k+-l)

得2k+l汜，，4+1、，C,,c

=>----------->>ιn(------)=ln2n—Inn=m2

±2k(k+l)占k

所以a2n~an+~~>/〃2

4n

13.已知函数ʃ(ɪ)=X2-Ixlnx,函数g(x)=x+q-(/nr)2,其中α∈尺,与是g(x)的一个极值点，且gC⅛)=2.

X

(1)讨论了(好的单调性;

(2)求实数4和。的值;

〃11

(3)证明>一厂一>—InQn+1)(〃WN").

^√4⅛2-l2

【解答】解：(1)函数Fa)的定义域(0,+∞),f∖x)=2x-2lnx-2,

令A(x)=2x-2l∕υc-2,则h,(x)=—,

X

由"(X)=O可得X=1,

当％∈(0,l)时，∕z,(x)<O,∕ι(x)单调递减，当x∈(l,+∞)时，/(X)>0,■%）单调递增,

故当x=l时，函数取得极小值也是最小值"(I)=0,

所以〃(X)..0即∕z(x)..0,

所以/(X)在(O,+oo)上单调递增；

(2)g(x)的定义域(0,+∞),<(x)=l->⅛-3竺，

XX

由题意可得，/(/)=。即-2/3)-。二0①，

2

由g(%)=2可得A⅛2-X0(ZMT0)-2Λ0+α=0②，

2

联立①②消去々可得，2x0-(∕nx0)-2lnx0-2=0,

4-t{x')=2x-(∕nx)2-Hnx-2,K∣Jf(x)=2----=2^x-nx-^-,

XXX

由(1)知)一加x—1..0,故「(%)..0,

故/(外在(0,yo)上单调递增，又t(1)=0,

故方程③有唯一的解AO=I,代入①可得α=l,

所以尤0=1,a=1»

(3)证明：由(1)∕*)=χ2-2Hnr在(0,+oo)上单调递增，

√∖j-、,(、、“、X2-2xlnx-∖/(x)-1八

故4r二z∣x>l时，/(%)>/(1)=1，g(x)=---------；-------=-----；—>0

XX

所以g(x)在(1,+8)匕单调递增，

因此当x>l时，g(x)>g(1)=2,BPx+--(lnx)2>2,

X

故--^=)~>(ZMX)2,

∖fx—广>Inx,

√x

ττ-2%+1.*―∙z12k+1∣2,k—1......八

U又7X=-------,kwNκτ,RΓrʃ`ʃ*θJ-----------ʌI-------->ln(^2,k+1)-/九(2&-1)»

2k-lV2⅛-l丫2&+1

故(Textranslationfailed),

n11

所以>—∕π(2n+l)(7?∈N").

⅛√4⅛2-l2

14.已知函数F(X)=加x,g(χ)=---,(α为常数)

2X

(1)若方程e2"∙υ=g(x)在区间耳，1]上有解，求实数”的取值范围；

(2)当α=l时，证明不等式g(x)v∕(x)<x-2在[4,+oo)上恒成立；

(3)证明：(Textranslationfailed),(〃∈N")(参考数据：打2≈0.693)

【解答】解：(1)∙fM=lnx,()=---,

gx2X

・•.方程网")=放外可化为

、3a

x~=-------.

2X

B∣Ja=-x^+—X.

3

令∕Z(X)=-Λ3+ɪɪ.

3

贝lj∕z'(χ)=—3幺+/.

由h,(x)=—3X-+—=0W♦

X=—,或X=-立(舍去).

2

a

当x∈时，Λ,(X)=-3X2+∣>0.∕Z(X)单调递增.

当xe(正,1]时，h'(x)=-3x2+-<0.∕z(x)单调递减.

22

ft

λ⅛=∣'h⑴=：'吟)=4•

ɪ≡[ɪ>1]时，Λ(x)∈[-,ɔɛ].

方程e2fM=g(x)在区间弓,1]匕有解等价于

l√2.

ae[r-,—].

22

(2)α=l时，不等式g(x)<∕(x)可化为

31,

-------<Inx，

2X

13

即Inx+—>—.

令r(x)=Inx+—.

x

贝IJ/(X)=L-J7.

XX"

当％∈[4,+8)时，r(x)单调递增.

13

∙,∙r(A≡=r(4)=ln4+->-.

，当X£[4,+00)时，g(x)</(x)恒成立.

/'(X)V工一2可化为

Inx<x—2，

即lnx-x<-2.

令Z(X)=Inx-X.

k∖x)=——1.

X

当x∈[4,+8)时，Z(X)单调递减.

Da=k(4)≡∕n4-4<-2.

;.当x∈[4,+oo)时，/(x)vx—2恒成立.

，当α=l时，证明不等式g(x)v∕(X)VX-2在[4,+oo)上恒成立.

(3)f(x)=Inx，

:.2f(2k+1)-f(k+1)-f(k)=2ln(2k+1)-Zw(⅛+1)-Ink

/〃经包

k(k+1)

ʃ(----------+4),

⅛(⅛+l)

31

由(2)可知,----<f(x)<X—2>

2X

3111

...-------------------</(----------+4)<----------+4-2

21IZIk(k+l)k(k+l)

k(k+1)

BH3Z(%+l)<f(——+4)<ɪ-——+2,

'2^W+1)+1k(k+l)k⅛+l

---1------------------<f(-----------F4)<-------------F2

416⅛(⅛+l)+4⅛(⅛+l)kΛ÷l

.∙.(Textranslationfailed),

〃£N*,

.∙.(Textranslationfailed).

15.已知函数/(x)=∕nr,g(χ)=3一0(。为实常数)

2X

(1)当α=l时，求函数G(X)=/(x)-g(x)在x∈［4,+8)上的最小值；

(2)若方程e2"">=g(x)(其中e=2.71828…)在区间［1，1］上有解，求实数”的取值范围；

2

51"

(3)证明:-n+-<Y［2∕(2⅛+1)-f(k)-f(,k+l)］<2n+l,neN*■(参考数据:/«2«0.6931)

460言

1R

【解答】解：(1)当。=1时，φ(x)=∕(χ)-g(χ)=Inx+——二，

X2

则“(X)=L,

XXX

•.・在区间(0,1］±,√(x),,0,在区间［1,+8),√(x)..0,

・•・O(X)在区间(0,1］上单调递减，在区间［1，+∞)上单调递增.

在％∈［4,+∞)上，当x=4时，e(x)的最小值为e(4)=ln4--.(4分)

4

(2)方程e">=g(x)在区间［；,1］上有解

即e2*=3,在区间［L1］上有解

2X2

即α=∣x-χ3在区间1］上有解

31

令力(X)=/X-x3,x∈［-,1］»

3ɔ

.∙.A,(X)=--3X2,

IS6

,在区间［万，ɪ-lɪ.h'(x)..O,在区间［m，1］上，〃(X),,0,

.∙∕(x)在区间［g，ɪ］上单调递增，在区间［孝，1］上单调递减，

又〃⑴</z(ɪ).

五

:.h(1)效MX)Λ(-)

2

即料⑴乎

4k+4k+l

(3)设a*=2f(2k+1)-f(k)-f(k+1)=2Zn(2⅛+V)-lnk-ln(k+1)=ln'

k(k+1)

由(1)知，8(x)的最小值为e(4)=∕n4-->0,

4

.∙.∕nr>^-l(x.4)

2X

4表2+42+1

又>4,

AOt+1)

3⅛(Jt+l)5115115111、

>--------；-----------=—I—•----------->—I—•--------------------二—I—,(z-------------------)

24⅛2+4⅛+l44(2⅛+l)244(2⅛+l)(2⅛+3)482k+12k+3

5Jlll)=2"∙d--".(」)5

∙'∙Zlak>]〃+(---------1-----------1-…+=-n-∖-----

k=}4835572/1+12〃+34832〃+34835460

构造函数F(X)=加X-x+2(x..4),则F∖x)=-~~-

X

.∙.当X..4时，F(Λ)<0.

二F(X)在［4,”)上单调递减,

即F(X),,尸(4)=∕n4-2=2(∕n2-l)<0.

当x>4时，lwc<x-2.

,4r+4左+1

a=In-<--4---+--1-------!—-2

卜⅛(⅛k÷1)k&+1

1

⅛Pak<2+J—

I÷7

n

二.〉：/<2〃+1--------<2n+l.

A=I〃+1

故(Textranslationfailed).(14分)

16.已知/'(x)=x-3(α>0),g(x)=2lnx.

x

(1)若对［1,+8)内的一切实数x,不等式/(x)..g(x)恒成立，求实数。的取值范围;

(2)当。=1时，求最大的正整数M使得对［e,3］(e=2.71828…是自然对数的底数)内的任意2个实数大，

X2,…,.都有/(%)+/(1)+..・+/(々_1),,168(/)成立；

〃4/

(3)求证：Y—；——>ln(2n÷1),("∈N*).

⅛4z2-l

【解答】(1)解：由/(x)..g(x),得@“x-2/nx,

X

,x.l，「.要使不等式f(x)..g(x)恒成立,只需4,一一2%∕nχ恒成立.

设h［x}=x2-Ixlnx,则h'(x)=2x-2(InX+x»-)=2x-2lnx-2,

X

ɔ

〃〃(X)=2-*,.•.当x..l时，h∖x)..hn(1)=0,则/(X)是增函数，

X

.∖hf(x)..hf(1)=0,则A(X)是增函数，［〃(1)］*=〃(1)=1,

.,.a,1.

因此，实数〃的取值范围是0<a1；

(2)解：当α=l时，f(x)=x--,:.∕,(x)=l+-⅛>O,

XX

Q

.∙.∕(x)在［e,3］上是增函数，/(x)在［e,3］上的最大值为/(3)=-.

要对［e,3］内的任意％个实数x1,x2,...,X*都有/(Λ⅛)+∕(Λ2)+…+F(x*-∣),,16g(x*)成立,

必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，

当X=&=…=ZT=3时，不等式左边取得最大值，W=e时不等式右边取得最小值，

Q

.∙.(⅛-l)×-,,16×2,解得鼠13.

3

因此，正整数攵的最大值为13.

(3)证明:当α=l时，根据(I)的推导有，x∈(l,÷∞)0t,f(x)>g(x),

即加(X)Vj(X-3•

2X

令、=”里，得/U皿ɪɪɪ),

2k-l2k-l22k-l2Z+1

4k

化简得InQk+l)-ln(2k-1)<

k2-l

(Textranslationfailed)，

"A；

即∑^2—^>/〃(2〃+1),(〃∈N*).

17.函数F(X)=/〃(x+l)---(α>l).

x+a

(I)讨论/(x)的单调性；

23

(II)设4=1,a=ln{a÷1),证明：----<¾,,----("∈N)∙

ll+ln〃+2n÷2

【解答】解：(I)函数f(x)的定义域为(―l,+oo),r(x)=地二Q心图，令g(x)=χ2+(2"∕)χ,则

(x+l)(x+a)

g(T)=3-1)2>0,

对称轴X=/凸>-1,因此按a与2的大小关系进行讨论.

2

①当lvαV2时,^xe(-l,a2-2a),则［(