新高考二轮复习真题导数讲义第27讲 导数斜率型问题（解析版）

第27讲导数斜率型问题

1

1.函数/(x)=]/-]∕z2(i+2χ)+∕nr-2n/,其中∕nvθ∙

(I)试讨论函数/(X)的单调性;

(II)已知当桃，(其中e是自然对数的底数)时，在上至少存在一点七,使/C⅞)>e+1

成立,求〃?的取值范围;

x1

(HI)求证:当An=-I时，对任意王，X,∈(0,1),x1≠X,,有Z⅛)Z^.2<1.

X2-X13

j"2

【解答】解:(I)/(x)=-x--—ln(∖+2x)+twc-2m,

tn2X2+(2m+I)X_x(2x+2m+1)

.∙.f∖χ)=χ----------Fm=

1+2X1+2X2x+∖

；时，

①当2〃?+1=0,即〃?=r(χ)..o,

故/(x)在(-；,物)上是增函数:

②当0<2∕π+l<l,即-,<机<0时，

2

故)(x)在(一；，一驾1),(0,+∞)匕是增函数;

在也已，0)上是减函数；

2

③当机<一！时•，

2

/(x)在(-g,0),(-≥L11,+8)上是增函数;

在(0,-手ɪ)上是减函数；

(II)〃h一W

2

e-12m+1

22

故在X∈(-Q,∙^-］上至少存在一点/,使/(Λ0)>e+l成立可化为

/(O)>e+l,

即—2m>e+l>

J√e+1

敌7机V------

2

(III)证明：当〃2=-1时,

rα）=x+Jη∙-ι在（0,吝」）上是减函数，

在（也二1,I）上是增函数，

2

且r（o）=o，./"'⑴=g；

故r0）vg,任意X£（。」），

而由导数的定义可得，

对任意XI，X2∈（0,1）,xl≠X2f有/（2）~XL）.

x2-xx3

2.已知函数〃幻=伫也在点（1,f（1））处的切线与X轴平行.

X

（1）求实数4的值及/（X）的极值；

2

（2）若对任意王，x2∈[^,÷∞）,有|小—＞上,求实数k的取值范围.

xl-x2X1∙x2

【解答】解：（1）函数/（X）=伫妈，

X

令/(1)=0,

-1—α+∕H1=0，

解得a=-∖!

令∕<x)=0,则/nr=0,

解得X=1,

即F(X)有极小值为Ir(1)=-1；(6分)

(2)由I八刈-/(&)可得，'(*)I(X2)∣>3

xl-x2x1∙x21_ɪ

%工2

令gd)=∕(x),则g(x)=x-Hnx,其中x∈(0,e~2],

X

g,(x)=-Inxy又x∈(0,e^2],贝∣Jg'(X)=-∕nx..2,

即d(%)|>2,

X1X2

因此实数Z的取值范围是(-8,2].(12分)

3.已知函数/(X)=匕妈.

X

(1)若在区间Q,r+(),r>0上同时存在函数/(X)的极值点和零点，求实数r的取值范围.

(2)如果对任意再、x,∈[e2,+oo),有|/(%)-求实数A的取值范围.

西¾

【解答】(1)函数/(X)的定义域为(0,+8),I(X)=-4，

x~

/,(x)>0=>0<x<l;T(x)<0=x>l,

所以/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，则极大值为/(I)=1,

当x→0时，y→τo;当χ>l时，f(x)=-ɪ+ln'κ->0,

X

由∕d)=0,得F(X)在区间(0,1)上存在唯一零点，则函数/(X)的图象大致如下图所示

e

艮曰/€(z；ɪ,一1、)・

3e

(2)由(1)可知，函数/(x)在［/,+oo)上单调递减，

,

不妨设Xi>X)..e~,HI"(Xl)—/(々)I∙/1---------1得/(乙)—ʃ(ɪɪ)∙∙k(---------)>

XχX2X2X1

「/、k./、k

/(%)-----∙√Z(xi)-----,

%ɪl

令尸(X)=∕∙(χ)--=i±⅛--,

XXX

函数尸(X)=/(X)-A在b，+00)上单调递减，

X

则下(X)="O在P，+00)上恒成立，

JT

即鼠Inx在O?,+co)上恒成立，

又因为当x∈[∕,+8)时，加X的最小值为力炉=2,

故实数人的取值范围为(-∞,2].

2

4.已知函数/(x)=e"⅞(Λ)=-X+2x-af(x)(a∈∕?),xl,尤?是两个任意实数且x∣≠々•

(1)求函数f(x)的图象在X=O处的切线方程；

(2)若函数g(x)在R上是增函数，求。的取值范围；

(3)求证：.(士也)</&)-/⑷.

2Xy-X2

【解答】解：(1)因为f'(x)=e，，…(1分)

则切线的斜率为:(O)=1,切点为(0,1),

所以函数f(x)的图象在X=O处切线方程为y=x+l;…(3分)

(2)由g(x)=-X2+2x-aex得g'(x)=-Ix+2-aex,

因为函数在实数集上是增函数，

所以g'(x)=-2x+2-αe"..0恒成立，…(5分)

则凡匚出恒成立，

e'

令心)=-2x+2,

ex

由〃'(X)=2M：2)=0得χ=2,...(7分)

当x∈(-oo,2)时,/?'(X)<0,函数∕Z(R)递减；

当Xc(2,+oo)时，Ar(x)>0,函数〃*)递增：

所以当x=2时，函数Zz(X),*=〃⑵=《，

e"

9

故实数。的取值范围是(-00,…(9分)

e^

(3)要证明/(土土乜)</C*)一以"),即证明e空J」】,

2x1-X2xl-X2

生二皇x∖-x2_1V-_

只需证明e不妨设x

e2<£--------Λ1>Λ2,T=

xl-x22

g-'—ɪ

只需证明e'<^~-G>0),

2t

只需证明2招'<e"-l对f>0恒成立，…(11分)

设W)=e"-2fd-l,

则h'(t)=e".(2f)'-2te'-2e'=2e2'-2te'-2e'=2e'(√-r-l),

设9(r)=e'—/-1,当/>0时夕'(r)=e'-l>0恒成立，

则夕⑺递增,以力>奴O)=0,即厅(f)>0,...(13分)

则∕z'(f)>O,故函数>。递增,有∕z(r)>∕Z(O)=O恒成立，

即2fe'<e"-1对r>0恒成立，

i

所以∕÷<e'、二1,apy∙(A1¾)‹⅞)-∕⅛)....(16分)

X1-X22xl-x2

5.已知函数/(%)=/〃x.

(1)判断函数g(x)=4(x)-L的单调性；

X

(2)若对任意的X>0,不等式/(x)领取e'(恒成立，求实数”的取值范围；

(3)若M>%>(),求证：，区)T(X2)>J/

Xχ-X2x1~+X2

【解答】解：(1)∙,f(x)=lnx,.,.g(x)=alnx-->

X

故g，(X)=色+士="!…(2分)

XATX

因为x>0,所以当0.0时，g'(x)>0,函数g(x)在(0,+oo)上单调递增；

当.vθ时，当Xw(0,-1),g'(κ)>0，函数g(x)单调递增，

a

当x∈(-L+∞),g'(x)<O,函数g(幻单调递减；...(4分)

a

(2)对任意x>0,不等式对任意的x>0,不等式/(x)领取G”恒成立,

.∙.则融仁在x>0匕恒成立，进一步转化为(处)皿釉(.-∖niπ,...(5分)

XXXX

设〃(X)=妈,〃'(X)=上坐，当Xe(O,e)时，A,(x)>O;

XX

当x∈(e,+∞)时，(X)<0,，当x=e时，hlfκιx(x)=-....(7分)

pxχpx—pxex(x—1)

设心)=一/(X)='J=匚L当XW((M)时\«幻<0,

XXX

当j∈(l,÷oo)时,t,(x)>0,所以X=I时，*"(x)=e,…(9分)

即∙⅛he,所以实数α的取值范围为AM…(10分)

ee

2.ɪ-2

γ

(3)当X∣>Λ2>OH寸，八--.⅛)>-frτ等价于加工>」—•…Gi分)

斩母…"(i"M'则"'⑺=T⅛产

，当re(l,+∞)时，f2-l>0,t2+2r-l>0,.∙.w,(f)>0...(13分)

.∙.“⑺在(l,∙κ≈)上单调递增，.•.“(/)>“(1)=0,

.∙.购匕国>一‰.…(14分)

X1-X2Xy+x2

6.已知函数f(x)=qW竺在点(1,/(1))处的切线与直线y=Tx+l平行.

X

(I)求实数。的值及/(制的极值；

(2)若对任意占，ʃɔe(θɪ],有|妆二求实数％的取值范围.

eXf-×2x∣∙X2

【解答】解(1)由题意得广(无)=一2-2彳+4履,(χ>0),

Jr

点(1,f(1))处的切线与直线y=Tx+1平行.

又/(1)=-4,BP~2~2α=-4,解得α=l.

ʌa,、-2-2α+4lnx-4÷Alnx八

令/'(X)=

当/'。)>。，解得：x>e,

函数/(x)在3+∞)上单调递增,

当/""O,解得：Ovxve,

函数f(x)在(O,e)上单调递减,

.∙.∕(x)在X=e时取极小值，极小值为/(e)=-ɪ.(6分)

(2)由"?一手)|>上，可得Ifw(X2)∣>M

%一芯X1∙x2J_____L

-2不

X\X2

令g(4)=∕(x),则g(x)=x+Λ7∕tr,其中，x≡[e2,+∞)g'(x)=2+∕nx,

又x∈[∕,÷∞),则g'(x)=2+∕nr..4,

即1个)_华)>4,

x↑x2

・•・实数)的取值范围是(-8,4].(12分)

7.己知函数/*)=*-2M左为非零常数).

(I)当k=1时，求函数AX)的最小值；

(II)若/(x)..l恒成立，求J的值;

药<

(HI)对于“幻增区间内的三个实数％,x2,x3(其中Λ2<X3),证明：Z⅛B⅛2</(&)-,3).

工2-西wr

x

【解答】解:(/)/f(x)=e-2χ9

rx

λf(χ)=e-2,

令∕,(x)=0,得X=Inx,

.∙.当x<加2,∕,(x)<0,可得/(x)在(-∞,∕/2)单调递减，当x>∕"2,T(x)>O,可得/(x)在(加2,+∞)单调

递增，

.∙.∕(x)的最小值为f(ln2)=2-2ln2.

(//)-f,(x)=ketv-2,

①若α<0时，T(X)恒小于零，则/(x)在A上单调递减；

，当x>0时，/(x)<√(0)=l,

••・不符合/(x)..l恒成立∙

②若QO时，令r(χ)=0,得X=L」,

kk

191ɔ1ɔ

当时，∕r(x)<0,可知/(x)在(田,一历一)单调递减，当x>-√〃一时，f∖x)>0,可知/(x)在

kkkkkk

(J"*+Oθ)单调递增，

222

=----Ifn-,

kkk

〃球.1恒成立，即/(以3.1，

,2二三」,

kkk

构造函数g(x)=x-x∕nx(x>0)，则有.1,

g'(x)=1-Inx-1=-Inx,

...g(x)在(0,1)上单调递增，在(l,÷oo)上单调递减,

.∙∙g(x),,g(1)=1,当且仅当x=l时取得最大值，结合.1,

:.k=2.

(〃/)解法1:

,kx2

由已知可知，f(x2)=ke-2..0,则2>0,

先证,□)―/(%)<((々),

x2-ΛI>0,

要证〃七)一』("!)<,

¾-χι

kxla

只要证f(人)-∕α)<(々-ɪɪ)(履植-2),即证*一e'<k(x2-xl)e^,

ky

只要证1—八引<Kx2-xi)9即证e^-k(xl-x2)-∖>01

x

设h(x)=e-X-∖i

h∖x)=er-1<0,

在(-8,0)内是减函数,

.,.h(x)>⅛(0)=0,

x=Z(Xl—x2)<O，

.∙.⅛(⅛(xl—x2))>O,

Ja)Ta)<∕g,

同理可证(包)〈""3)-/3),

.[(X2)-∕(XI):/(X3)-√(X2)

X2-X1X3-X2

(R)解法2:

,/(%)7(x∣)),

令∕(Λ∙0)=ke*-2="%)二,⑻,得XO=L”(2+

x2-X1kkk(x2-XI)

下面证明xl<X0<x2T

令g(x)=f'(x)=Icehl-2,则g，(x)=k2ek'>0恒成立,即f∖x)为增函数,

f∖x2)-)一"五)=-ɪ-[U-X1)f∖x2)-(f(x2)-/(X1))]，

X2-X1X2-X1

构造函数—X)=Q⅛-%)/'(%2)-(/(工2)-/(%))，小工2)，

ff

k∖x)=f(x)-f(x2∖,01

&(X2)=0，故工,,工2时，A(X)>0，即得/'(工2)-'")一">0'

马一看

同理可证∕,(x,)-〃玉)二〃五)<0,

,

即Γ(X1)<∕(⅞)<ΛΛ2).

因/'(X)为增函数，得占</<々，即在区间。，马)上存在/，使

W-X

同理，在区间小，Xj上存在Y使/'*')="七)二"々)，

x3-x2

由f(χ)为增函数，得£田二色2<f㈤一∕⅛).

xx

X2-Xi3~2

8.己知函数/(X)=ekx-2x(keR,k≠O).

(1)若对任意的XeR,都有f(x)..1,求”的值；

(2)对于函数/(x)的单调递增区间内的任意实数%,x2,%3(x1<x2<x3),证明：

Z⅛kZ½2<∕g<⅛k⅛

X2-Xi-X3-X2

【解答】解：⑴∙/(X)的定义域为R，广。)=心衣-2,

①若α<0时∙，f(x)恒小于零，则/(x)在A上单调递减；

一当x>0时，,f∖x)<./'(O)=I,

.∙.不符合/(χ)..l恒成立.

②若&＞0时，令［(X)=O,X=-In-,

kk

1ɔ1ɔ

,

当％‹上历三时,∕(x)<0,可知/（X）在（-00,—例一）单调递减，

kkkk

1ɔ17

当工>±历*时,∕,(x)>0,可知/（X）在（与/，+00）单调递增,

kkkk

12222

.∙.f{x)mιn=ʃ(-ln-)=---ln-,

KKKKK

f(x)..l恒成立，即f(χ),

222

.,.-------I1n—.Λ1,

kkk

构造函数g(x)=x-Hnr(x>0),

.∖g'(x)=1-Inx-1=一InX,

.∙.g(x)在(0,1)上单调递增，在(l,+oo)上单调递减,

.∙.g(x),,g(I)=1,当且仅当X=I时取得最大值L

・•・2=1,

k

.∖k=2.

（2）由已知可知，f∖x1）=ke^-2..0,则Q0,

先证∕⅛｝二f（土）＜/（%）,

々一不

X2-Λ1＞0,

要证/5）-/（%）

＜［（々），

只要证F（W）-］（再）＜（%2-4）（曲风-2）,即证攵*2-卢一%）於空，

k

只要证1—*∙O<k(x2-xl)f即证e^-k(xl-x2)-∖>0,

设〃（X）=，一工一1,

h∖x)=ex-∖<0,

.∙.Λ(x)在(F,0)内是减函数,

・•・h(x)>h(0)=0f

X=k{xλ-W)V0,

,

..Λ(⅛(xl—x2))>O,

.∙./⑺-/a%/，每),

同理可证f∖x2)<"Wf.

X3~X2

■/⑷Ta)<Γ(x2)<Aw)Hx2)

%-X1演一马

9.已知函数f(x)=eαι-X-I,且f(x)..O.

(I)求”;

(II)在函数f(x)的图象上取定两点4(%,/(xl)),B(X2,/(⅞))U∣<⅞))记直线AB的斜率为％,问：

是否存在Λ0e(x∣,x2),使/(%)=&成立？若存在，求出％的值(用",当表示)；若不存在，请说明理

由.

【解答】解:(1)若见0,则对一切x>0,/(x)=)=*-x-l<0,不符合题意，

若α>0,f∖x)=aeax-∖,f'(x)=aeax-∖=0^^χ=-,

当x<*时，/'(X)<0,函数/(x)单调递减，当x>之时，/'(x)>0,函数/(x)单调递增，

aa

故当X=一改时，函数取得最小值/(J^)=J_+蛇一1,

aaaa

由题意可得，有1+也一1..0①，

aa

令g(f)=ITlm-1，则gf(t)=-Int,

当0<∙vl时，g")>0,g⑺单调递增，当时，g'Q)<O,g⑺单调递减，

故当，=1时，g(f)取得最大值g(1)=0,当且仅当工=1即α=l时①成立，

a

综上a=1;

(〃)由题意可知，ZJa2)-fa)

々一占X2-Xi

Z(JC)=f∖x)-k=eκ-e~e'-,则可知y=f(x)在值，/］上单调递增，

/一%

且心α一SLyFF'SLFm'

由(/)可知f(x)=ev-x-1..0,x=0时取等号,

,1

..6"Λ1—(x2—x)—L.O1eʌ—(%—X))—L.0,

.∙.t{xx)<O，t(x2)>0,

X2.V1

由零点判定定理可得，存在不£(N，Xɔ,使得E(Λ⅛)=O且XO=加----一，

马一王

综上可得，存在/∈(%[,x2),使/'(%)=化成立

10.已知函数/(x)=d扰—X,其中αwθ∙

(1)若对一切九∈A,/(x)..l恒成立，求。的取值集合.

(2)在函数/(x)的图象上取定两点A(x∣,/(x1)),B(X2,/(⅞)(x1<⅞)，记直线AB的斜率为K,问：是

否存在x°∈(%,x2),使((%)〉％成立？若存在，求XO的取值范围；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)若αvθ,则对一切x>0,函数/Q)=*-x<l,这与题设矛盾，

a≠0.∙.tz>O

ax

f∖x)=ae-∖,令尸(X)=0,可得χ=J√∕jL