2023届四川省高考数学复习14不等式选讲解答题30题练习解析版

2023届四川省高考数学复习

专题14不等式选讲解答题30题专项提分计划

1.(四川省绵阳市2023届高三上学期第二次诊断性测试理科数学试题)已知函数

/(X)=∣2X+1∣+∣X+∕72∣,若F(X)≤3的解集为[〃/].

(1)求实数机，〃的值；

12

(2)已知α,b均为正数，且满足τ+f+2m=0,求证：16片+尸≥8.

2ab

【答案】⑴机=-1,«=-1

(2)证明见解析

【分析】(1)根据f(D≤3求出m=T,再分类讨论解不等式f(x)≤3,与己知解集比较

可得〃=-1；

12

(2)由%=-1,得=-+：=2(α>O,b>O),根据基本不等式得而≥1,再根据

2ah

16/+b2≥2√16α⅛2=8ab可证不等式成立.

【详解】(1)因为/(x)43的解集为上川，所以/⑴≤3,即3+∣l+M≤3,所以H+m∣40,

又∣l+"z∣2θ,所以1+帆=0，即机=—1.

所以F(X)=I2x+l∣+∣x-l∣,

当x<—时，/(x)=-2x-l—x+1=-3x43,得χN—1,则一1≤X<—,

22

当—≤x≤l时，/(x)=2x+1—x+1=x+243,得—≤x≤1,

22

当x>l时，f(x)=2x+l+x-l=3x≤3,得x≤l,不成立，

综上所述：/(x)≤3的解集为[-1,1],

因为"x)≤3的解集为所以∕j=T.

12

(2)由(1)知，m=-∖,所以一+τ=2(α>0,6>0),

2ab

所以2=二-+2N2、P^=」=,当且仅当α=1,6=2时，等号成立，

2ab∖2ab4ab2

所以必21,

所以16/+/N2Jl6储万=8ab≥8，当且仅当α=g,6=2时，等号成立.

2.(四川省泸县第二中学2022届高考仿真考试(一)文科数学试题)已知小b,C为

正数，且满足α+"c=3.

(1)证明：ab+bc+ca≤3↑

(2)证明：9ah+be+4ac≥12ahc

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

【分析】(1)运用分析法，结合基本不等式进行证明即可；

(2)运用分析法，结合柯西不等式进行证明即可.

【详解】(1),∙a,b,C为正数，要证Q6+8C+CQ≤3,:α+0+c=3

只需证。人+hc+cα≤g(α+b+c)2,即证3(M+bc+c4)≤Q2+⅛2÷C2+2(ab+bc+ca),即

iil:ab+bc+ca<cr+h2÷c2,

Vα,b,ʌα2+b2≥2Λ⅛>.*.fe2+c2≥2⅛c>

；・c2+a1≥2ca∙*∙2(α?+/?2+c2)≥2(ab+be+ca),

・♦・次7+儿:+以《黯+从+/当且仅当α=8=c=ι时取等；

149(149、，、

(2)要证9加?+。。+4^。21勿仇:，只需证—+τ+-≥12,即证一+7+-(α+b+c)≥36,

abc∖abc)

根据柯西不等式可

++=(1+2+3)2=36,

13

当且仅当a=万,力=LC=I取等号,.从而9ab+bc+4ac≥12abc.

3.(四川省广安市2022-2023学年高三第一次诊断性考试数学(理)试题)已知。>0,

b>O,且α+0=2∙

(1)证明：y<(α+2)2+(⅛+l)2<17;

⑵若不等式∣3x+m+l∣+∣3x-∕w-l∣s:ʌ/GT5+将对任意XeR恒成立，求m的取值范

围.

【答案】(1)证明见详解

(2)(→o,-3]u[l,+∞)

【分析】(1)根据题意可得6=2-α(0<α<2),代入(α+2y+(b+l)2运算整理，结合

二次函数的对称性求最值；(2)根据题意分析可得

(∣3x+/77÷1∣+∣3x—m-ɪl)ɪŋ^—÷3÷V⅛÷3j,结合,一目≤同+网和

2("+/”.+4运算求解

【详解】(I)Vtz÷⅛=2,则b=2-a>0,可得0<α<2,

・，・(a+2『÷(⅛+l)2=(α+2)2+(3一=2(a-g)+-ɪ,

又∙.∙y=2(α-g)+§开口向上，对称轴为a=g

二当4=，时，,当α=2时，2(a-^-]+—=17,

212)22I2)2

i⅛y≤(a+2)2+(⅛+l)2<17.

(2)∙.∙(√0+3+√⅛+3)2≤2[(√^+3)2+(√⅛+3)2]=2(α+⅛+6)=16,当且仅当

Ja+3=<b+3,即α=Z>=1时等号成立；

Ja+3+√⅛+3≤4，

X".>∣3x+∕n+l∣+∣3x-/H-l∣≥∣(3x+∕n+l)-(3x—∕n-l)∣=2∣zn+l∣,当且仅当

(3x+"z+l)(3x-m-l)≤0时等号成立，

2∣w+l∣≥4,解得“z≥/或∕n≤-3,

故m的取值范围为(fθ,-3]u[l,+∞).

4.(四川省成都市金牛区2023届高三上学期理科数学阶段性检测卷(二))已知函数

/(x)=log2(∣x-1∣+∣x-5∣-α)

⑴当α=5时，求函数/O)的定义域；

(2)当函数/S)的值域为R时，求实数”的取值范围.

【答案】⑴

⑵[4,+∞)

【分析】(1)利用零点分段法解不等式，求出函数/(x)的定义域；

(2)由/(x)的值域为R得到卜-1|+|*-5卜。能取遍所有正数，结合绝对值三角不等式

得至“x-l∣+∣x-5∣-α≥4-α,故4一α≤0,求出实数。的取值范围.

【详解】⑴当α=5时，⅜∣x-l∣+∣x-5∣-5>O,

fx<∖ʌ[l≤x<5…(x>5…

即I<<nX①，或I<<c②，或.I<<C③，

[1—x+5—X—5>O[x—1+5—X—5>O[x—1+x—5—5≥O

解①得：x<∣,解②得：0，解③得：X>y,

所以定义域为[8,g)u(∕,+8)

(2)因为F(X)=IogKIx-11+1尤-51-。)的值域为R,

故卜一1HX-W-”能取遍所有正数，

由绝对值三角不等式∣x-l∣+∣x-5∣-α耳x—1—x+5∣-α=4—α,

故4—α≤0,所以”≥4,故实数。的取值范围是[4,+∞).

5.(四川省南充高级中学2022-2023学年高三上学期第4次模拟测试数学理科试题)已

知：/(x)=∣x+l∣-∣x-w∣,/«>0.

⑴若加=2,求不等式〃力>2的解集;

⑵g(x)=/(X)TX-时，若g(x)的图象与X轴围成的三角形面积不大于54,求机的取

值范围.

【答案】(I)(I,+s}

⑵(0,8].

【分析】(1)利用零点分段法求解HI绝对值不等式;

-x+2m+↑,x>m

ɔγyι_1

(2)先求出g(x)=∙3x+l-2∕n,-l≤x≤m,由g(χ)=O,解得：Xf=2m+l,x2=--—,

x-2m-∖.x<-∖

—4∕∕z—44

则|々-XlI=—ɜ—=§("?+1)，由函数单调性得到g(x)maχ=g(a)=机+1,根据函数图

象与X轴围成的三角形面积不大于54,列出方程，求出，〃的取值范围.

【详解】(I)当机=2时，

3,x>2

/(x)=∣x+l∣-∣x-2∣=*2x-l,-l≤x≤2f

—3,X<一1

当x>2时∙，/(x)=3>2成立;

3

当-l≤x≤2时，/(x)=2x-l>2,0∣∣J-<x<2;

当x<T时，F(X)=—3<2不合题意,

综上,/(x)>2的解集为(|,+8)；

-x+2m+l,x>m

(2)因为m>0,所以g(x)=∣x+l∣-2∣x-则=<3x+l-2M,T≤X≤M,

X—2m—1,X<一1

ɔtγj_1-4/77—44

由g(x)=°,解得：ɪi=2/77+1,X2=ɜ,则%-玉I=---=-(m+l),

当x<T时，g(x)单调递增，当一l≤x≤∕n时,g(x)单调递增，当x>加时，g(x)单调

递减，

所以当X=M时，g(x)取得最大值，g(x)nms=g(m)=帆+1,

二图象与X轴围成的三角形面积为S=gx*,"+l)2=∣("+l)2≤54,

解得：-10≤m≤8,又加>0,则0<∕n≤8,

二，"的取值范围是(0,8].

6.(四川省资阳市2022-2023学年高三上学期第一次诊断考试数学(理)试题)设函数

/(x)=∣2x-2∣+∣2x+l∣.

⑴解不等式f(x)44+x;

(2)令f(x)的最小值为7,正数a，b,C满足"+"C=T,证明：√^+√^≤乎.

^35^

【答案】⑴

(2)证明见解析

【分析】(1)将函数写成分段函数，再分类讨论，分别求出不等式的解集，从而得解:

(2)由(1)可得函数图象，即可求出函数的最小值，再利用基本不等式证明即可.

4x-1,X>1

【详解】(1)解：因为"x)=∣2x-2∣+∣2x+l∣=3,-g≤x≤l,

，1

1-4x,x<——

2

χ>[_尤V—

或—或{2,

{4x-l-4+x[≤4÷X[∖-4X<4+X

3

5131

解得1<X≤—或一2≤X≤1或—-≤X<——,

^35^

综上可得原不等式的解集为.

又。>0,b>0,c>0,

所以4ab+∖[ac=血汗；。。÷↑J^ac

当且仅当力=C==时取等号，

24

所以+≤.

2

7.(四川省绵阳市2023届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题)己知函数

/(x)=∣x+2∣+∣2x+l∣.

(1)求〃*)的最小值；

11H9

---

(2)若4，b,C均为正数，且"4)+∕e)+"c)=18,证明:4bC

【答案】(呜3

(2)证明见解析

【分析】(1)由绝对值不等式的性质可求解；

(2)由题意得a+8+c=3,再由基本不等式及不等式的性质可证明.

【详解】(1)/(ɪ)=∣-γ÷2∣+X+-÷X+-

>(/x+2)-(/x+-1)、+x+1-=3—+x+1-

2222

31

(当且仅当X=—］时.，取等号)

3

・•・函数7U)的最小值为

(2)因为α,b,。均为正数，

所以“α)+∕e)+∕(c)=3a+3+3A+3+3c+3=18,

.*.α+0+c=3.

,j、/11l.aab.bcc.

由(zα+O+c)(-+—+—x)=1÷-+—+—+1+-+—+-+1

abcbcacab

=G+2)+(M与+C+4+3N9,

baacbc

111、C

Wzn-+τ÷-≥3.

abc

•：(α+Md=/+尸+/+2ah+2hc÷2ac≤3(02+b2+c2),

∙*.a2+tr+C3≥3.

；■(鸿+{k+2”9,

.111>9

'-a+h+^a^b^∙

8.(四川省成都市温江区2022届高考适应性考试数学(文)试题)已知函数

ʃ(ɪ)=Ix-∕∏∣+XH—,m≠0.

m

(1)若WI=1,/(X)<7,求实数X的取值范围;

(2)求证：YxwR,/(x)≥4.

【答案】（1）（-5,2）

（2）证明见解析

【分析】（1）根据X的范围，去掉绝对值，然后分段求解不等式即可.（2）由绝对值的

4

:角不等关系，可得/。）2帆+一，然后根据基本不等式即可求解.

m

（1）

-2X-3,X<-4

m=1时，/(x)=∣x-l∣+∣x÷4∣=<5,~4≤x≤l

2x÷3,x>1

故当x<—4时，—2x—3<7,所以一5<xv-4；

当WXWl时，显然成立，

当x>l时，2光+3<7,解得：l<x<2

综上，不等式/(x)<7的解集为(-5,2)

(2)

4≥---±4≥H÷41≥2∣Hʌ

f(x)=∖x-m∖+X4----xmx加+—=4.

mmmm

9.(四川省南充高级中学2023届高考模拟检测七文科数学试题)设/(Λ)=∣X-1∣+∣X+1∣.

⑴求/(x)≤x+2的解集；

31

(2)若/(x)的最小值为m,且a>0,b>0,2a+2b=m,求~公+「7的最小值.

ς3。+2〃1+3〃

【答案】⑴[0,2]

【分析】(1)将函数写成分段函数，再分段求解，最后取并集即可；

(2)由绝对值三角不等式可得帆=2,于是有α+b=l,再利用基本不等式求解即可.

~2,x,X<-1

【详解】(1)/(x)=∣x-l∣+∣x+l∣=-2,-l≤x≤l,

2x,x>1

/、fx<-lf-1<x<1fx>1

当〃x)≤X+2时，l。或q或。<ɪɔ-

[-2x≤x+2[2≤JT+2[2x≤x+2

角军得x∈0ι发O≤x≤l或1<χ≤2^

所以0≤x≤2,故〃x)≤x+2解集为[0,2]；

(2)/(x)=∣x-l∣÷∣x÷l∣≥∣x-l-x-l∣=2,当且仅当(XT)X(X+l)≤0

即一l≤x≤l时，等号成立，・二机=2,Λa+b=l,

・.7,匕为正实数,

------+-----=----+-----=-----+-----

3a+2b1+3力3-⅛l+3⅛9-3⅛1+3。

91

c-------H---------)×[(9-3⅛)+(l+3⅛)]

⅛×9-3⅛l+3⅛

9(l+3⅛)9-3⅛八1「八C9(1+36)9-3⅛168

—×[10+ι≥-×[10+2------X--------]=η-=-,

109-3⅛1+36101V9-3bl+3b105

9(1÷3⅛)9-3⅛1ɜ1Q

当且仅当即时,等号成立.故E+0的最小值为丁

9-3b1+3。

10.（四川省营山县第二中学2023届高三第六次高考模拟检测数学（文科）试题）设。,

b,。均为正数，且/+02+4/=1.证明：

（l）αθ+2∕7c+2ca≤l；

Cll1

⑵/+3+也>*

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）利用重要不等式，结合综合法即可得证；

（2）利用柯西不等式即可证明不等式.

【详解】（I）HI+b2≥2ab,b2+4c2≥4bc.4c2+a2≥4ca>

所以2（/+加+4c∙2）≥2（a6+2hc+2cα）,

当且仅当α=8=2c=3时，等号成立，

3

XΛ2+⅛2÷4C2=1,所以"+2⅛∙+2cα≤l.

（2）⅛ɑ2÷⅛2+4c2=l,且C为正数,得则20⅛vl,

,111111

则π1/+h嬴^/+瓦+后，

由柯西不等式可得：

***=(*+**户+从+4”(*+"+42。)

=9,

当且仅当α=b=2c=立时，等号成立,

3

所以A^+』+Q:2>9∙

ab~SabC

11.（四川省绵阳中学2023届高三上学期1月模拟检测文科数学试题）已知函数

/(x)=∣x-2∣+∣x+l∣.

⑴求不等式f（x）45的解集;

(2)若/(χ)的最小值是“，且a+/?=；,a>0f〃>0,求2+］的最小值.

3a2b

【答案】（l）[-2,3];

呜

【分析】（1）利用零点分区间法解决问题即可;

（2）由⑴可知利=3,则α+O=l,故丁2％1=（。+化<2+/1A展开利用基本不等

式即可求解.

-2x÷1,%≤—1

【详解】(1)因为/(x)=∣x-2∣+∣x+1=∙3,-l<x<2

2x-l,x≥2

x≤-l-l<x<2x≥2

所以/(X)≤5等价于或或

-2x+l≤53≤52x-l<5

解得一2≤x≤-l或一IVXV2或2≤x≤3,

故不等式/(ɪ)≤5的解集为[-2,3].

(2)由(1)可知机=3,则α+b=l,又Q>0,b>0,

在N21,,√21)2ba5、。59

=­÷—÷-≥2.

a2b∖a2b)a2b2a2b22

当且仅当〃=2力=：1时等号成立，

故士2+士1最小值为Q

a2b2

12.(四川省凉山州2023届高三第一次诊断性检测数学(理)试题)已知函数

/(x)=∣x-2∣+∣2x+8∣.

(1)求不等式/(x)≤9的解集;

(2)若/(x)≥∕-α恒成立，求实数”的取值范围.

【答案】(1)［-5,-1］；

(2)[-2,3].

【分析】(1)根据题意分类讨论去绝对值解不等式；

(2)根据绝对值三角不等式求/(x)的最小值，再结合恒成立问题解不等式即得.

—3x—6,X<一4

【详解】(1)由于/(x)=∣x-2∣+∣2x+8∣=∙x+10,-4≤x<2,

3x+6,x≥2

当χv-4时，-3x-6≤9,解得x≥-5,此时-5<x<-4;

当-4≤x<2时，x+10≤9,解得x≤-l,此时-4≤x≤-l;

当x≥2时，3x+6≤9,解得x≤l,此时x∈0.

综上：”工丫9的解集为［-5,-1］；

(2)'./(X)=∣X-2∣+∣2X+8∣≥∣X-2∣+∣X+4∣≥∣(X-2)-(X+4)∣=6,

当且仅当x=-4时等号成立，

-a≤6，β∣Jʃ-4?—6≤O»

解得-2≤a≤3,

・“的取值范围是[-2,3].

13.(四川省攀枝花市2023届高三第二次统一考试理科数学试题)已知

/(x)=IX+2∣+∣0x-2∣(αeR).

⑴当a=2时,解不等式/(»<12；

(2)若VX≥1,不等式/(X)MV+χ+3恒成立，求”的取值范围.

【答案】⑴不等式f(x)<12的解集为{x∣Y<x<4}:

(2)”的取值范围为[θ,2g].

【分析】(1)将α=2代入，利用“零点分界法”去绝对值，解不等式即可.

1

a>-XΛ--

(2)将不等式化为lor-2∣≤d+ι,去绝对值，分离参数可得ɪ,令函数

a≤x+-

、X

g(x)=-x+-(x>V),利用函数的单调性以及基本不等式即可求解.

X

【详解】(1)当α=2时，/(x)≈∣x+2∣+∣2x-2∣=∣x+2∣+2∣x-l∣,

①当x≤-2时，不等式可化为一(x+2)-2(x-l)<12,解得χ>T,Λ^<χ≤-2,

②当—2<x<l时，不等式可化为(x+2)-2(x-l)<12,解得尤>—8,-2<x<l,

③当X21时，不等式可化为(x+2)+2(x-1)<12,解得χ<4,二14x<4,

综上可知，原不等式的解集为{x∣-4<x<4};

2

(2)当χi≥l时,不等式/(%)≤%2+]+3,即x+2+∣Or-2∣≤X+X+3,

整理得I公-2区V+1,

则一X2—1≤办一2≤x2+1,即一X2+1≤αx≤χ2+3,

a≥-x+-

X

又入21,故分离参数可得

J3

a<xΛ--

X

令函数g(x)=f+LX21),显然g(x)在",+S)上单调递减，.∙∙g(x)≤g(D=O,

X

x+q≥2Jx•《=2√J(当且仅当x=有时等号成立),

当X31时,

.∙.实数〃的取值范围为［O,2√5］.

14.(四川省乐山市高中2023届高三第一次调查研究考试文科数学试题)已知函数

/(x)=2∣x+l∣-∣2x+3∣.

(1)求/(%)的最大值“；

(2)若正数a。,C满足“6c=帆，证明：L+_L+_LN后+扬+无

abc

【答案】⑴1

(2)证明见解析.

l,x<--

2

【分析】⑴由题知〃6=—,-|—,再求解最大值即可：

-l,x>-1

(2)根据基本不等式证明即可.

【详解】(1)解：当X<-；时，/(x)=2∣x+l∣-∣2x+3∣=-2x-2+2x+3=l;

当一］≤x≤7时，/(x)=2∣x+l∣-∣2x÷3∣=-2x-2-2x-3=-4x-5;

当x>T时，/(x)=2∣x+l∣-∣2x÷3∣=2x+2-2x-3=-l,

1χ<--

2

3

所以〃力=2,+1日2彳+3|=

-l,x>-l

因为当-:4χ≤-l时，函数/(x)单调递减，x<-］或X>T时，函数为常函数，

所以，函数“X)的最大值为1，即机=1

(2)解：因为L+L≥2B,∖L≥2口,工+七2、3,

abVcιbbcvbeac∖ac

所以%%%值+范+Q,

因为，由(1)知Zn=1,即abc—1»

所以C=点。=G后T

所以，-+→-≥^+4b+4^,当且仅当α=8=c时等号成立，

abc

所以—•+：+—≥∖∣a+∖[b+∙Jc,证毕.

abc

15.(四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第一次诊断性考试文科数学试题)已知

函数/(x)=∣x+加ITX-2同(加>0)的最大值为6.

(1)求机的值；

(2)若正数X,y,Z满足x+y+z="z,求证：^χy+4xz≤>[m.

【答案】(1)2；(2)证明见解析.

【分析】(1)利用绝对值三角不等式求出f(x)的最大值，让最大值等于6即可得m的

值；

(2)由(1)知，x+y+z=2,由2=x+y+z=(5+y)+(]+3利用基本不等式即可求证.

【详解】(1)由题意得/α)=k+m∣T%-2m∣≤∣α+m)-(x-2利=|3加|,

因为函数“X)的最大值为6,所以|3同=6,即加=±2.

因为m>0,所以机=2；

(2)由(1)知，x+y+z=2,

因为x>0,y>0,z>0,

所以2=x+y+z=6+>MM≥2后+2后,

X1

当且仅当]=y=z时，即χ=l,y=z='等号成立，

2

BPV∑×y∣xy+∖∣2×^∣xz≤2=ιn,所以+<4m,

当且仅当X=Ly=Z=；时，等号成立.

16.(四川省成都市第二十中学校2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试(二)数学

试题)已知函数/(x)=∣奴+l∣+∣2x-4∣(a>0).

(1)若α=l,解不等式/(x)≤7;

(2)当x>0时，/(x)≥4恒成立，求〃的取值范围.

【答案】(I)IX-g≤χ≤¥}

【分析】(1)利用零点分段法将/(X)表示为分段函数的形式，分段求得不等式的解集,

最后取并集.

(2)根据α>O,x>O,利用零点分段法写出了(x)的解析式，求其最小值，根据不等式

恒成立，可求得”的取值范围.

【详解】(1)a=l时，/(x)=∣x+l∣+∣2x-4∣

44

当x≤—1时，ʃ(ɪ)=-3x÷3≤7,X≥≤x≤-1,

当-IVXV2时，/(x)=-x+5≤7,x≥-2,/.-1<X<2,

当x≥2时，/(x)=3x-3≤7,x≤g,.∙.2≤X≤5,

综上所述：f(x)≤7解集为卜-g≤x4与｝

(2),«>0,x>0

，当OVX<2时∙，/(x)=αr+l+4-2x=(α-2)x+5N4恒成立，

ππ∫∕(θ)≥4>3

1/(2)>42

当XN2时，/(x)=αr+l+2x-4=(α+2)x-3≥4恒成立，

3

即/(2)≥4,α≥-

2

综上所述："W∣,+∞^j

17.(四川省达州市普通高中2023届高三第一次诊断性测试理科数学试题)设函数

F(X)=27

⑴若/(x)>∕(x+M的解集为｛乂x<0｝,求实数机的值；

(2)若O<α<b,且/⑷=/®,求士+上的最小值.

ab-∖

【答案】(l)m=2:

(2)9.

［分析］(1)由/(x)>/(x+∕n)可得,一［>∣x+∕n-l∣,两边同时平方可得：2mx<2m-nV，

γγin?

于是得χ<l-9,进而有1-9=0,求解即可;

22

⑵由可得Ia-Il平-1∣,乂由于y="χ)关于直线X=I对称，所以

°<α<i'进而得邛=2,再由％4+匚1^匕(4+01、胆+(J)］,利用基本不等式

求解即可.

【详解】(1)解：不等式可化为"T>2k+'T,

Λ∣x-l∣>∣x+∕n-l∣,

两边同时平方可得：2nιx<2in-m2.

原不等式解集为GdXV0},

.,./n>0»

BPx<l--.

2

m

.∙.l-^=0,^=2;

(2)解：因为/(a)="8),

,2∣fl^l∣=26"，

即,-“十一1|,

因为/(l+x)=2W="lτ),

”=∕(χ)关于直线χ=ι对称，

,∖O<a<∖<b,

:A-a=b-\,BPa+b=2.

所以伫+H+S-I)]=5+必J+A∙∙5+2/=9,

IQP-I)a⅛-l

当且仅当也J=/一,即α==,6=。时取"=

ab-∖33

41

所以2+47的最小值为9∙

18.(四川省遂宁市第二中学校2023届高三上学期一诊模拟考试理科数学试卷(二))

已知函数/(χ)=∣XTI+2∣χ+ι∣.

(D求不等式/(x)<5的解集;

(2)设F(X)的最小值为机.若正实数'满足4+2⅛+3c=m,求3∕+2⅛2+C2的最小

值.

【答案】⑴卜2,T

【分析】(I)分X21、-l<x<l和X4-1三种情况解不等式即可;

(2)根据f(x)的单调性得到α+26+3c=2,然后利用柯西不等式求最值即可.

【详解】(1)①当x2l时，/(x)=(x-l)+2(x+l)=3x+l,

由/(x)<5,解得x<g,所以l≤x<g;

②当-1VXVl时，，/(x)=-(x-l)+2(x+l)=x+3,

由∕G)v5,解得xv2,所以TVXV1；

③当x≤-1时，ʃ(ʃ)=-(x-1)—2(x÷l)=—3%—1,

由/(x)v5,解得x>-2,所以一2<x≤-l,

综上，原不等式的解集为,2,g]

3X+1,Λ≥1

(2)由(1)得〃X)=，x+3,-l<x<l,

~3x—1,X≤—1

所以/(X)在(F,-1)上单调递减，(T,÷w)上单调递增，

当户一1时，“X)取得最小值为2,所以m=2,即α+2⅛+3c=2,

由柯西不等式得(3«2+2〃+C?)(g+2+9]≥(α+2匕+3c)2=4,

6∙j3a_41b_c„

所以3∕+2^+c2书，当且仅当;E一二反一§,即α*,b*,C*时等号成

立，

所以3/+2〃+/的最小值为，.

19.(四川省南充市2023届高三上学期高考适应性考试(一诊)文科数学试题)已知函

数〃X)=L2].

⑴求不等式/(x)<2x的解集；

⑵记函数f(x)的最大值为M.若正实数。也C满足a+b+4c=；M,求证：B+(+1≥16.

【答案】(l)(-(,+°θ)

(2)证明详见解析

【分析】(1)利用零点分段法，将f(x)及示为分段函数的形式，进而求得不等式

/(x)<2x的解集

(2)先求得然后利用柯西不等式证得结论成立.

-(x-1)+(x+2),x≤-23,X≤-2

--

【详解】(1)y(x)=∣x1∣∣x÷2∣=*—(X—1)—(x÷2),—2<x<1=—2.x—1,-2<Λ<1t

(X-I)-(X+2),xNI-3,x≥1

-2<x<lx≥l

由/(x)<2x得:-2x-l<2x或

—3<2,x

解得x>-∣,所以不等式/(x)<2x的解集为1;,+8).

3,X≤—2

(2)由于F(X)=-<x<l,所以,f(x)的最大值为3,即M=3,

-3,ɪ≥1

所以正实数4,6,c满足A+6+4C=4M=L

3

⅛'^+⅛-^+2对=(1+1+2)2=16,

20.(四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2022-2023学年高三上学期一诊模拟考

试文科数学试题)已知函数〃x)=k+[-|x-4].

(D∕(x)≤~nτ+6，〃恒成立，求实数朋的取值范围；

(2)在(1)的条件下，设的最大值为外，α,b,C均为正实数，当3a+4∕,+5c=/时，

求/+6+C?的最小值.

【答案】(1)，〃的取值范围为(1,5)；

⑵4+//+C?的最小值为1

t分析】⑴由已知F(X)πm≤τ√+6m,由绝对值三角不等式可求F(X)最大值，再解

不等式求实数机的取值范围；(2)由向量的数量积的性质可得

(a2+⅛2+c2)(32+42+52)>25,

22

由此可得/+b+c的最小值.

【详解】(1)因为/(x)—W+6wi恒成立，所以/(x)maχ4-加2+6%，

由绝对值三角不等式知/(x)=∣x+lHX-4国x+>x+4∣=5,当且仅当时等号成立,

所以—"P+6,"≥5,即〃『-6ΛΠ+5≤0，∙'∙1≤"7≤5,所以切的取值范围为(1,5)：

(2)由(1)得%=5,3a+4b+5c=m0=5,

设向量〃=(3,4,5),d={a,b,c),所以〃∙d=5,

又"∙d=W阵os(”,力第佃，当且仅当KH方向相同时等号成立，

filfW(a2+⅛2+c2)(32+42+52)≥(3«+4∕j+5c)2=25,

(当且仅当。弋3/=/2=*1,等号成立)

所以〃+C?喑=g,即Y+炉+。2的最小值为g

21.(四川省宜宾市2023届高三上学期第一次诊断性数学(理)数学试题)已知函数

f(x)=∣x-2«|+∣x÷b∖+oα>0,/?>0,c>0.

(1)当α=8=C=I时，解不等式/(x)<6;

(2)当函数F(X)的最小值为7时，求&+病∏+J工二的最大值.

【答案】(1)(-2,3);

(2)5.

【分析】(1)根据题意，分类讨论求解即可；

(2)结合绝对值三角不等式得/(x)nAl=2α+8+c=7,进而根据柯西不等式求解即可.

【详解】(1)解：由题知/(x)=∣x-2∣+∣x+l∣+l,/(x)<6<=>∣x-2∣+∣x+l∣<5,

x<-l-l≤x≤2x>2

2—X—X—1<52—x+x+1<5x—2+x+l<5

国用得一2<χv-l或一1≤x≤2或2vxv3

所以，AX)<6的解集为(-2,3),

(2)解：由绝对值三角不等式得：f(x)>∖(x-2a)-(x+b)∖+c=2a+b+c,

当且仅当(x-2α)(x+b)≤0,即-b≤x4为时取等号，

因为函数/(x)的最小值为7,

所以，/(X)Ini„=2α+b+c=7,

所以，由柯西不等式得&+屈1+正工1=立岳+√Fm+√^

2

≤'2α+3+l)+(c+2)=5

当若='即α=l,b=3,c=2时取等号•

~2

所以，&+J>+1+Jc+2的最大值为5.

22.(四川省泸州市2022-2023学年高三上学期第一次教学质量诊断性考试数学(理)

试题)已知函数知X)=IXl+∣χ-3∣.

(1)求不等式“χ)>2㈤的解集；

X

⑵设函数/(X)的最小值为M,若正数α,b,c满足l+J+；="，证明α+2⅛+3c≥9.

a2b3c3

【答案】(I)(T3°,0)U(4,+∞);

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据X的取值分类讨论，分段求解不等式即可;

(2)利用绝对值三角不等式求得M,再根据基本不等式即可证明.

【详解】(1)当x≥3时，/(χ)>&F即2x-3>5,解得x>4,不等式解集为(4,+∞)：

当0<x<3时，/(x)>2U即3>5,不等式解集为空集；

X

当x<0时，/(X)>^!BP3-2X>-5,解得X<4,不等式解集为(3,0)；

综上所述，/a)>¥的解集为(F,0)54,E).

(2)f(x)=∣x∣+∣x-3∣2∣x-(x-3)∣=3,当且仅当MX-3)≤0,即x∈[0,3]时取得等号,

故M=3；

则—F----1=1,又α>(),力>0,c>0,

a2b3c

,八々(of.ɔ∖fɪɪ1Aɔa2ba3c2b3c

贝πIlJa+2b+3c=(a+2b+3c)×∖-H-----1=3-1-------1------1------1------1------1-----,

∖aIb3c)2ba3ca3c2b

又幺十竺∙≥2户X丝=2,当且仅当α=2⅛时取得等号；

2ba∖2ba

-+-≥2.l-×-=2,当且仅当α=3c时取得等号；

3cav3ca

—+—≥2J—×-=2,当且仅肖2b=3c时取得等号；

3c2b∖3c2b

..a2ba3c2Z?3c、CCCCC

故3o+—÷—+—+—+—+—≥3+2+2+2=9

2ba3ca3c2b

1113

当且仅当。=3=3c,且—+”+h=1,即。=3/=不c∙=l时取得等号.

a2b3c2

3

故0+2∕7+3c≥9,〃=3,人=—,c=l时取得等号.

2

23.（四川省遂宁市2023届高三零诊考试数学（文科）试题）已知函数

/（%）=2x∣x-α∣+x（d?∈R）

（1）当a=l时，解不等式/（x）>l;

⑵若∕*）<χ+2对于任意的Xi1恒成立，求实数”的取值范围.

【答案】（l）{Xg<χ<l或x>l}

⑵（羽

【分析】（I）根据题意，分类讨论求解即可；

（2）根据题意x-ka且。<旧对任意的XiS,|恒成立，再求对应的最值即可得

答案.

【详解】（1）解：当T=I时,不等式/（x）>1,gp2x∣x-l∣+x>l,

x≥∖∖x<∖

所以

2x(x-l)+x>1[2x(l-x)+x>l

fx≥1fx<1

即得4，或《ɔ

[2√-x-l>0[2√-3x+l<0

解得;<χ<ι或χ>ι,

所以不等式/⑴>1的解集为{χ（<χ<l或χ>l}

（2）解：因为/（x）<x+2对任意的Xi：|,|恒成立，

所以，灯…1<1对任意的Xi标：恒成立，即IlKL即x-L“<x+L

瞰2XXX

故只要T<α且”旧对任意的Xij|，|恒成立即可，

因为x+g≥2^^=2,Xli|,|,当且仅当X=：时，即X=I时等号成立，

所以(x+与M=2，

X

1ʌS3

令g(x)=xχ,Xl,

因为函数y=χ,y=-J在Xij∣,∣上单调递增，

所以g(χ)在[]印上的单调递增，从而g(χ)max=g4)=0

_42J2O

所以，∣<a<2,即实数。的取值范围是(1,2)

24.(四川省巴中市2022-2023学年高三上学期零诊考试数学(理科)试题)已知函数

/(x)=∣2x-3∣+∣2x+3∣.

(1)解不等式/(x)≤8;

(2)设函数f(x)的最小值为M,若正数叫b,C满足工+工+3=?，证明：

a2b3c6

a+2b+3c≥9.

【答案】⑴3-24X≤2};

(2)证明见解析

【分析】(1)分3-=3≤χ<3],χ≥3;三种情况讨论解不等式，最后再取并集即可;

(2)先由绝对值三角不等式求出“，再由"+2"3c=(α+2∕7+3cM+L+7结合

基本不等式求解即可∙

【详解】(1)当x<-±时，〃x)=3—2x—2x-3=Tx,由〃x)≤8可得xN—2,则

-2≤