高中物理【万有引力理论的成就】学案及练习题

高中物理1万有引力理论的成就】学案及练习题

学习目标要求核心素养和关键能力

1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用。L科学思维：能分析一些简单的天体运动问

2.掌握“称量”地球质量、计算天体质量的基题，通过推理获得结论。

本思路。2.科学推理：能将天体的运动抽象成匀速圆周

3.理解运用万有引力定律处理天体运动问题运动模型。

的思路和方法。3.关键能力：分析推理能力。

--------------------?必备知识自主学习院

-计算天体的质量

1.地球质量的计算

(1)依据：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引

,πι,

力，B∣Jmg=G-^ro

(2)结论："Jft=嗜，只要知道g、R的值，就可计算出地球的质量。

2.太阳质量的计算

(1)依据：质量为〃？的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向

、.目πFm太4兀4

心力，即G-p—=∕τryτ-o

(2)结论：根太=探，只要知道行星绕太阳运动的周期T和它与太阳的距离r就可以计

算出太阳的质量。

3.其他行星质量的计算：同理，若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的

距离，，可计算行星的质量M,公式是M=森。

二发现未知天体

1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王

星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。

2.其他天体的发现：近IOO年来，人们在海王星的轨道之外乂发现了冥王星、阅神星

等几个较大的天体。

3.海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位，也成为科学

史上的美谈。

关键能力合作探究院

要点1天体质量和密度的估算

探究导入（1）卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地

球质量的人”。

①他“称量”的依据是什么？

②若已知地球表面的重力加速度g及她球半径R,求地球的质量和密度。

（2）如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r,能求出太阳的质量吗？若要

求太阳的密度，还需要知道哪些量？

提示：（1）①若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的

万有引力。

②由〃?g=G^r得，M=G，P=歹=蔡=4τtGR°

（2）能，由攵泮=，"旭爷r知M太=瘵。由密度公式°=产且可知，若要求太阳的

iQTrR太3

密度还需要知道太阳的半径。

F探究归纳

ɪ.天体质量的计算

（1）重力加速度法

若已知天体（如地球）的半径R及其表面的重力加速度g,根据在天体表面上物体的重力

近似等于天体对物体的引力，得mg=G警,解得天体的质量为M=陪，g、R是天体自身

的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。

（2）环绕法

借助环绕中心天体做圆周运动的行星（或卫星）计算中心天体的质量，俗称“借助外援

法”。常见的情况如下:

万有引力提供向心力中心天体的质量说明

rυ2

M=Fr为行星（或卫星）的轨道半

Mmr∖υ2径，0、co、T为行星（或卫星）

Cjj~=ιnrω^9M=F

的线速度、角速度和周期

Mm4π2.,4π2r3

G~pΓ-mr^M~GT2

2.天体密度的计算

（1）利用天体表面的重力加速度求天体密度

由%g=G^和M=P驾得"=建元。

（2）利用天体的卫星求天体密度

若已知中心天体的半径R,环绕天体的运转周期T,轨道半径r,则可得T器=席r,

4-3τC

中心天体质量M=p∙铲R3,联立可得P=GT25。

特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径，•可认为等于天体半径七则

3π

P—GT2。

角度1重力加速度法求中心天体的质量和密度

典例（多选）若航天员在月球表面附近自高〃处以初速度。。水平抛出一个小球，测

出小球的水平射程为心已知月球半径为R,引力常量为G,则下列说法正确的是（）

A.月球表面的重力加速度g月=等

B.月球的质量，九月=畸N

C.月球的自转周期7=等

Vo

D.月球的平均密度°=黑方

［解析］根据平抛运动规律，v0t,力=上月户，联立解得8尸军三选项A正确;

由mg八=房膏^解得ma选项B正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期,

选项C错误；月球的平均密度尸^选项D错误。

［答案］AB

角度2“环绕法”求中心天体的质量和密度

典例

团假设某探测器在半径为R的土星上空离土星表面高人处的圆形轨道上绕土星

飞行，环绕“周飞行时间为，，已知引力常量为G,则下列关于土星质量M和平均密度P的

表达式正确的是（）

4π2(Λ+Λ)33π(Λ+⅛)3

A.M=-Gt~^，P=Gt2R'

4π2(/?+/?)33π(R+h)3

B.M=-G?~，P=GFN

4兀2尸(R+∕Z)33兀尸（犬+/?）3

C.M=

Gn2Gn2R2

4兀2〃2建+切33冗层(R+∕Z)3

D.M=-Gt1，P=-Gt2R3

［思路点拨］解此题可按以下思维流程

Mm4兀2t47t2〃2(R+/?)3

［解析］对探测器有G;产（R+力），T=q,解得土星的质量M=

(7?+/?)2Gt2

4M3π"2(R+G)3

土星的体积V=QπR∖土星的密度°=,D正确。

V-Gr2T?3

［答案］D

［名师点评］

求解天体质量和密度时的两种常见误区

4π2∕∙3

（1）根据轨道半径r和运行周期T,求得M=,是中心天体的质量，而不是行星（或卫

GT2

星）的质量。

（2）为了正确并清楚地运用天体半径与轨道半径，应一开始就养成良好的习惯，比如通

3兀，

常情况下天体半径用R表示，轨道半径用，表示，这样就可以避免如0=乔延误约分；只

有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。

针对

1.观察“神舟十号”在圆轨道上的运动，发现其每经过时间2t通过的弧

长为/,该弧长对应的圆心角为优弧度），如图所示。已知引力常量为G,由此可推导出地球

的质量为（）

神舟十号

⅛⅜Λ∙6

户2liθ

A.'’4Ga2BG?

C2/

C∙4G"立丽

解析："神舟十号"的线速度轨道半径，•=，，根据萼=〃,得地球的质量为

M=5⅛'故选A。

答案：A

2.某同学想通过自己的计算求出地球的平均密度，通过课本上已有的数据发现地球赤

道处的重力加速度比两极处的小肃。已知引力常量为G,地球可看成质量分布均匀的球体,

4C

自转周期为7,球的体积公式为V=∕R3,则地球的平均密度为()

3兀TrG

AG7^B∙200尸

200π600兀

解析：设地球的质量为M,半径为R,在两极处重力加速度go=爷¥,在赤道处重力加

速度为g=甯一/^^,地球的密度为P=专，由题知go-g=±go,V=^πR∖解得P=罂

故D正确，A、B、C错误。

答案：D

要点2天体运动的分析和计算

探究导入

如图所示，行星在围绕太阳做匀速圆周运动。

(1)行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的？

(2)行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有

关吗？

提示：(1)由举=/得。=\悟，可见行星线速度的大小是由恒星的质量和行星的

轨道半径共同决定的。

(2)无关。因为在等式d誓=,M=吟=加。2厂=加爷"，各项中都含有，〃，可以消掉。

『探究归纳

1.基本思路

-一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有

引力提供，即尸向=尸万.

2.常用关系

1

(1')G~Γ-nτy-mrω=rnr^=mωv=man,万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向

心力。

⑵Ing=勰,在天体表面物体的重力等于它受到的万有引力，可得gR2=GM,该公式

称为“黄金代换式”。

3.四个重要结论

项目推导式关系式结论

冷=Kk7QM

。与r的关系厂越大，0越小

AΛm9面

<υ与r的关系G~~2~=mrωr越大，G越小

r,

T与r的关系牛相帝T=2πʌ感r越大，T越大

GM

“与，•的关系G~~^=tna厂越大，。越小

典例

火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕

太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之

比为3：2,则火星与地球绕太阳运动的()

中国行星探测

A.轨道周长之比为2：3ιv>ar≡

B.线速度大小之比为小：也

C.角速度大小之比为2√5:3√3

D.向心加速度大小之比为9：4

［解析］由周长公式可得Cit=2πr&C火=2〃火，则火星公转轨道与地球公转轨道周

C*2ττr∙k3Mm7厂

长之比为方"^=⅛,A错误；由万有引力提供向心力，可得G—厂=m。=m一=加口2r，则

C地Zπr½乙'r

GMIGMIGMGa大r½24V火y∣2ω大V7^?2啦C

有k乃，G3=ʌ/-即£=$=§，短=N事'嬴=而=3√5'B、

D错误，C正确。

［答案］C

［名师点评］

解决天体运动问题的技巧

(1)比较围绕同一个中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的。、。、T、处等物理量的

大小时，可考虑口诀“越远越慢”(。、3、7)、“越远越小”(小)。

(2)若已知量或待求量中涉及重力加速度g,则应考虑黄金代换式gK=GM的应用。

1

（3）若已知量或待求量中涉及。（或3、T、an）,则应考虑从（^τ^-man=∏rγ=mωr=

r中选择公式应用。

针对旗3.（多选）人造地球卫星在地球表面附近绕地心做匀速圆周运动，设地球半

径为R，地面处的重力加速度为g,人造地球卫星（）

A.绕行的线速度最大为我

B.绕行的周期小于2兀

C.在距地面高为R处的绕行速度为

D.在距地面高为R处的周期为2π

Mm

解析：在距地面高为力处做匀速圆周运动的卫星，由万有引力提供向心力，则G（R+∕,f

=以［h=m（R+力（爷A,在地球表面处G所以。=黑，当仁

O时线速度最大，为。=病，选项A正确；周期T=2π,当Zi=O时，最小周期

等，选项C正确；在

7b=2π选项B错误；在距地面高为R处的绕行速度加=

距地面高为R处的周期为T'=4π选项D错误。

答案：AC

4.（多选）三颗人造地球卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动,如图

XOC

所示，已知小A=机B<∕nc,则对于三颗卫星，下列关系正确的是（)

OA

A.运行线速度关系为VA>VR=VC

一二：QB

B.运行周期关系为TA<TB=TC

C.向心力大小关系为FA=FBVFC

半径与周期关系为笃=罪=罪

D.

片"，所以选项A正确；由d鬻=，"亭"得

解析：由町•得°=0A>0B=0C,

所以选项B正确；由G^=根〃得〃=爷4所以qA>θB=αc,

T=2π7\V7B=&,

又/MA=,"B<SC,所以尸A>尸B,FR<FC,选项C错误；三颗卫星都绕地球运行，故由开普勒

第三定律得答=罪=%,选项D正确。

答案：ABD

课堂检测素养达标―

1.如果我们能测出月球表面的重力加速度g、月球的半径R和月球绕地球的转动周期

T,就能够根据万有引力定律“称量”月球的质量了。已知引力常量为G,关于月球质量M

的表达式正确的是（）

..⅜/?20.gR2

A.M—fGB.Mf—T

C∙,4π2τ?3rT2W

C∙D∙M^^^G

解析：在月球表面，物体的重力与万有引力相等，则有G爷=mg,可得月球的质量为

p2M珀M

M=p⅛-,故A正确，B错误；月球绕地球做圆周运动，根据万有引力提供向心力得G-P-

由于厂表示轨道半径，而R表示月球半径，可得地球质量M池故C、D错

i天o

答案：A

2.对月球的形成，目前主要有“俘获说”和“分离说”两种说法。若月球是从地球分

离出去的，则地球与月球的密度应该大致相等。选用下列某些条件求出地球与月球的密度之

比约为（）

地球表面的重力加速度9.80m∕s2

月球表面的重力加速度1.56m∕s2

地球半径6.40×IO6m

月球半径1.74×106m

地球与月球之间的距离3.80×IO8m

月球公转周期27.3天

万有引力常量G=6.67×IO11N∙m2∕kg2

A.lB.2

C.3D.4

解析：根据万有引力等于重力〃?g,可得g=笔，再由P=华，推出P=4,R，

则她球与月球的密度之比为生="l,代入数据得生七2,故B正确。

PHg>∖R>tPR

答案：B

3.（多选）如图所示，a、b、C是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫

星，a和b质量相等，且小于C的质量，则（）

A.b所需向心力最小

B.b、C的周期相同且大于a的周期

C.b、C的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度

D.b、C的线速度大小相等，且小于a的线速度

解析：因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供的，而b所受的万有引力最小，

故A正确：由G：；”=Wn得,⅛=-JJ-,即卫星的向心加