数字信号处理课件

数字滤波器的基本概念

及一些特殊滤波器5.3简单滤波器的设计5.2理想数字滤波器5.4数字谐振器5.8梳状滤波器5.9正弦波发生器5.5数字陷波器5.7最小相位滤波器5.6全通滤波器特殊滤波器5.1数字滤波器的基本概念5.1数字滤波器的基本概念1.数字滤波器与数字滤波滤波的涵义：将输入信号的某些频率成分或某个频带进行压缩、放大;对信号进行检测;对参数估计;数字滤波器：通过对输入信号的进行数值运算的方法来实现滤波模拟滤波器：用电阻、电容、电感及有源器件等构成滤波器对信号进行滤波2.数字滤波器的实现方法

用软件在计算机上实现用专用的数字信号处理芯片用硬件返回3.数字滤波器的可实现性要求系统因果稳定设计的系统极点全部集中在单位圆内。要求系统的差分方程的系数或者系统函数的系数为实数系统的零极点必须共轭成对出现，或者是实数。4.数字滤波器的种类现代滤波器经典滤波器滤波特性——数字高通、数字低通、数字带通、数字带阻；返回实现方法——无限脉冲响应滤波器，简称IIR(InfiniteImpulseResponse)，它的单位脉冲响应为无限长，网络中有反馈回路。其系统函数为：——有限脉冲响应滤波器，简称FIR(FiniteImpulse Response)它的单位脉冲响应为有限长，网络中没有反馈回路。其系统函数为：返回理想滤波器是一类很重要的滤波器，对信号进行滤波能够达到理想的效果，但是他只能近似实现。设计的时候可以把理想滤波器作为逼近标准用。本节主要讲述：5.2理想数字滤波器5.2.1理想数字滤波器的特点及分类5.2.2理想滤波器的可实现性返回理想滤波器的特点：

在滤波器的通带内幅度为常数（非零），在阻带中 幅度为零；具有线性相位；单位脉冲响应是非因果无限长序列。理想滤波器的传输函数：5.2.1理想数字滤波器的特点及分类返回回到本节幅度放大了C倍时间延迟 幅度特性为： 相位特性为： 群时延为：则信号通过滤波器输出的频率响应为：其时域表达式：输入信号输出信号，

表示输出信号相对输入信号没有发生失真。返回回到本节假设低通滤波器的频率响应为式中，是一个正整数，称为通带截止频率。其幅度特性和相位特性图形如下：cw-cwOw)(jwH1Owcwcw-()wj返回回到本节滤波器的单位脉冲响应为：举例：假设由此图看出此理想低通物理不可实现返回回到本节理想滤波器可以分为低通、高通、带通及带阻滤波器。它们的幅度特性如下：低通高通带通带阻返回回到本节5.2.2理想滤波器的可实现性非因果序列不能物理实现近似实现办法：1）的波形向右移动，忽略的部分成为因果序列2）截取中间幅度最大的部分，以保持滤波器有线性相位

理想低通滤波器的单位脉冲响应理想低通的近似实现返回回到本节处理以后滤波器的传输函数与理想低通的传输函数的不同是：1）通带中的幅度产生了波动，不再是常数；2）阻带的幅度不再是零；3）原来没有过渡带，现在产生了过渡带。返回回到本节5.3简单滤波器的设计用Z平面零极点放置法设计简单滤波器的基本原理：极点放置在要加强的频率点附近（单位圆内），极点越靠近单位圆频率响应的峰值越高；零点放置在将要减弱的频率附近，零点越靠近单位圆频率响应的谷值越小，如放在单位圆上幅度为零。返回5.3.1一阶数字滤波器5.3.2一阶低通滤波器带宽的计算5.3.3二阶数字滤波器5.3.4低通到高通的简单变换5.3.1一阶数字滤波器

特点：具有一个极点，

零点可以有一个也可以没有。返回回到本节以上是低通滤波，以下是高通滤波：返回回到本节零极点的作用结合起来考虑：假设系统函数为

式中，以保证系统因果稳定；幅度特性用下图讨论：

结论:设计单极点单零点低通滤波器应该让零点远离级点。返回回到本节5.3.2一阶低通滤波器带宽的计算一阶低通滤波器的系统函数设，幅度降到-3,则

因为滤波器系数是实数，因此返回回到本节将其系统函数带入上式，可推出：一般极点很靠近单位圆，上式可以近似表示为式中，称为带宽。推导方法：

返回回到本节一阶低通滤波器的带宽返回回到本节例5.1

假设模拟信号，设计一个低通数字滤波器将信号中的高频分量滤除。解:

确定采样间隔T：显然要选择T<

/200=0.0157，确定T=0.015。低通滤波器：低频分量高频分量选择带宽利用计算出a=0.8数字低通滤波器的系统函数为返回回到本节输入波形(b)实际输出波形及理论波形sin7t（虚线）返回回到本节5.3.3二阶数字滤波器特点：2个极点，零点可以有1个或2个，也可以没有且滤波器的零点和极点是共轭成对出现的适当地放置零级点可得到各种滤波器：返回回到本节二阶数字滤波器的系统函数一般表示式为式中：G是常数，一般取G使幅度特性的最大值为1；为共轭极点；为共轭零点。返回回到本节例5.2

假设二阶数字滤波器的系统函数为试确G和p使幅度特性满足：幅度下降到最大幅度的，即解：在处，幅度为1，得到在处，幅度为，得到返回回到本节上式解出p=0.32，则滤波器的系统函数为例5.3

设计一个二阶带通滤波器，是通带中心，在两点，频率响应为零，在处，幅度为解：极点设计在通带中心，极点零点在处，即和得系统函数返回回到本节幅度最大处幅度为1，因此上式中r的值由在的幅度值确定，因此返回回到本节最后得到带通滤波器的系统函数为它的幅度特性和相位特性如下图：二阶带通滤波器的幅度特性和相位特性返回回到本节 先设计一个低通滤波器转换成高通滤波器

是高通滤波器的传输函数是低通滤波器的传输函数

对上式进行傅里叶反变换，得到

也可写成5.3.4低通到高通的简单变换返回回到本节低通滤波器的差分方程为得到低通滤波器的传输函数为

将的用代替，得到高通滤波器的传输函数返回回到本节由所得传输函数得到高通滤波器的差分方程为例5.4

已知低通滤波器的差分方程为将低通滤波器装换成相应的高通滤波器，写出高通滤波器的差分方程。解：高通滤波器的差分方程为相应的传输函数为返回回到本节5.4数字谐振器特点：是一个二阶滤波器，也是一个特殊双极点带通滤波器；它有一对共轭极点，r接近于1，幅度特性在附近最大，相当于在该频率发生了谐振。应用：适合作带通滤波器，以及语音发生器。数字谐波器根据零点放置的位置分为两种：1.零点在原点，一对共轭极点为的数字谐波器其系统函数为返回幅度特性为：

对任意r，可以推导出的乘积在处取最小值，即幅度取最大值：同样为谐振器精确的谐振频率。返回如果两个极点非常接近单位圆，则可以证明它的3dB带宽为。举例，r=0.8和0.95，零极点分布及幅度特性如下

(a)零极点分布

(b)幅度特性返回 2.两个零点分别放置在z=1和z=-1处，一对共轭极点为的数字滤波器

系统函数为

传输函数为 它的幅度特性为 式中 上式中是两个零点z=1和z=-1到点w的矢量长度之积。返回举例，r=0.8,0.95，画出零极点分布和幅度特性如下图：

(a)零极点分布

(b)幅度特性返回 例5.5

模拟信号，设计一个数字 谐振器，以滤除模拟信号中的低频分量sin7t。 解:

谐振器的谐振频率放在200采样间隔 模拟频率200对应的数字频率是:模拟频率7对应的数字频率是:选择带宽0.02，则2(1-a)=0.02，

a=0.99。得到系统函数为：返回为选择系数，使峰值幅度等于1，将代入上式，得到。该滤波器的输出波形如图：

返回5.5数字陷波器特性：一个二阶滤波器，它的幅度特性在处为零，在其他频率上接近于常数，是一个滤除单频干扰的滤波器。用途：一般仪器或设备都用50Hz的交流电源供电，因而信号中时常带有50Hz的干扰，希望将它滤除，又不影响该信号。系统函数：式中，0≤a<1。

返回a=0，滤波器变成FIR滤波器，缺少极点的作用。a比较小，缺口将比较大，对近邻频率分量影响显著缺口的宽度和a之间的关系：返回对上图分析得出结论：陷波器的3dB带宽为例5.6

假设信号，式中是低于50Hz的低频信号，试设计一个陷波器将50Hz干扰滤除。解:50Hz的周期是0.02s，采样周期T应小于0.01s，选择T=0.002s。50Hz对应的数字频率是:选择a=0.95，陷波器的系统函数为返回为测试陷波器的特性，令，由

可得数字陷波器的输入信号波形如下图。

返回

(a)输入信号波形

(b)陷波器输出波形返回5.6全通滤波器定义：滤波器的幅度特性在整个频带[0～2π]上均等于常数，或者等于1，即则该滤波器称为全通滤波器。特点：信号通过全通滤波器后，其输出的幅度特性保持不变，仅相位发生变化。全通滤波器的系统函数的一般形式为：返回全通滤波器的系统函数的幅度特性为1因为上式中系数是实数，因此全通滤波器的零级点分布特性－－倒易关系因为和的系数是实数，零点和极点均以共轭对形式出现。返回全通滤波器的零极点分布是零点，也是零点，是极点，也是极点，形成四个极零点一组的形式。返回如果将零点和极点组成一对，零点和极点组成一对，则全通滤波器的系统函数可以表示成式中的N称为阶数。举例：当N=1时，零极点均为实数，系统函数为应用：一般作为相位校正。

返回5.7最小相位滤波器

定义：对于全部零点位于单位圆内的因果稳定滤波器，称为最小相位滤波器。最小相位滤波器的性质：1）任何一个因果稳定的滤波器均可以用一个最小相位滤波器和一个全通滤波器级联构成，即2）对同一系统函数幅度特性相同的所有因果稳定系统中，最小相位系统的相位延迟最小。3）最小相位系统保证它的逆系统因果稳定。返回例5.7

确定下面FIR系统的零点，并指出系统是最小，最大相位系统还是混合相位系统。解：将各系统函数因数分解，可得到它们的零点并进而判定系统的性质。返回5.8梳状滤波器梳状滤波器的原理：

例5.8

已知，利用该系数函数形成N=8的梳状滤波器。解：的零点是1，极点是a，是一个高通滤波器，画出它的零极点分布和幅度特性曲线如下：系统函数传输函数系统函数传输函数周期周期返回上例中梳状滤波器零极点分布和幅度特性曲线返回将的变量z用代替，得到式中，N=8，零点极点为画出它的零极点分布和幅度特性曲线如上页图：注意：此时的幅度特性的过渡带比较窄，或者说比较陡峭，有利于消除点频信号而又不损伤其它信号。返回例5.9

设计一个梳状滤波器，用于滤出心电信号中的50Hz及其谐波100Hz干扰，设采样频率为200Hz。解：系统函数为N的大小决定于要滤除的点频的位置，a要尽量靠近1。由采样频率算出50Hz及其谐波100Hz所对应的数字频率分别为：零点频率为由，求出N=4。a=0.9时的幅频特性返回5.9正弦波发生器定义：滤波器系统函数的极点在单位圆上，则可以形成一个正弦滤波器。基本原理:假设有两个系统函数，即令，得到返回经变换得时域信号分别为：说明系统函数和在的激励下可以分别产生正弦波和余弦波。实现结构1.数字正弦波发生器（如下图1）2.数字正弦波、余弦波发生器（如下图2）3.软件查表发返回++++-+图（１）图（２）+++++-2-1返回

时域离散信号和系统的频域分析2.1引言信号、系统分析信号在时间分布上的特性和运算：直观，物理概念会比较的清楚。分析信号在频率分布上的特性和运算：这给了我们换个视角观察信号的机会，我们会发现许多在时间域上得不到的特性和运算。时间域频率域FT、ZTIFT、IZT返回2.2时域离散信号的傅里叶变换返回2.2.1时域离散信号的傅里叶变换的定义2.2.2周期信号的离散傅里叶级数2.2.3周期信号的傅里叶变换2.2.4时域离散信号傅里叶变换的性质2.2.1时域离散信号的傅里叶变换的定义定义为时域离散信号x(n)的傅里叶变换，简称FT(FourierTransform)。上式成立的条件是序列绝对可和，或者说序列的能量有限，即满足下面的公式：对于不满足上式的信号，可以引入奇异函数，使之能够用傅里叶变换表示出来。(2.2.1)回到本节返回离散信号FT和模拟信号FT的比较：离散信号FT

模拟信号FT可以发现二者的实质是一样的，都是完成时间域频域的转换，不同处：时间变量：n取整数，求和运算；t取连续变量，积分运算。频域变量：ω是数字频率的连续变量，以2π为周期；Ω是模拟频率的连续变量，无周期性。回到本节返回2.2.2周期信号的离散傅里叶级数设是以N为周期的周期序列，具有周期性，能够展成傅里叶级数，即：式中，ak是离散傅里叶级数的系数。为求系数ak，将上式两边乘以，并对n在一个周期N中求和，得到：(2.2.5)回到本节返回将上式右边的两个求和号交换位置，得到：式中回到本节返回因此得到上式中,k和n均取整数，当k变化时，是周期为N的周期函数，所以ak是以N为周期的周期序列，即

ak=ak+ln令将式(2.2.7)代入上式，得到这里是以N为周期的周期序列。一般简称为的离散傅里叶级数系数，用DFS(DiscreteFrourierSeries)表示，即。(2.2.7)(2.2.10)(2.2.9)回到本节返回由式(2.2.5)和式(2.2.9)，我们能够得到将式(2.2.7)和式(2.2.10)写在一起，成为离散傅里叶级数对。这里和均是周期为N的序列。(2.2.11)返回回到本节2.2.3周期信号的傅里叶变换复指数序列的傅里叶变换表达式在模拟系统中，的傅里叶变换是在处的一个冲激，强度为2π，即对于时域离散系统中的复指数序列，仍假设它的傅里叶变换是在处的一个冲激，强度为2π，考虑到时域离散信号傅里叶变换的周期性，因此的傅里叶变换应写为：回到本节返回一般周期序列的傅里叶变换假设的周期为N，将它用傅里叶级数来表示，即上式的求和号中的每一项都是复指数序列，其中第K项即为第K次谐波的傅里叶变换根据其周期性能够表示为：返回回到本节周期序列由N次谐波组成，因此它的傅里叶变换可以表示成式中，k=0,1,2,…,N-1,r=-3,-2,-1,0,1,2,…

以N为周期，而r变化时，δ函数变化2πr，因此如果让k在(-∞,∞)变化，上式可以简化为上式就是一般周期序列的傅里叶变换表达式。教材中表2.2.1列举了基本序列的傅里叶变换对。返回回到本节例2.1：令，为有理数，求其傅里叶变换。解:

将用欧拉公式展开为由得余弦序列的傅里叶变换为返回回到本节上式表明，余弦信号的傅里叶变换是在处的冲激函数，强度为

，同时以2

为周期进行周期性延拓，如下图所示。对于正弦序列，为有理数，它的傅里叶变换为回到本节返回2.2.4时域离散信号傅里叶变换的性质时域离散信号傅里叶变换有很多重要的性质，其中一些性质和模拟信号的傅里叶变换性质类似，参考教材中表2.2.2。本小节重点介绍：傅里叶变换的周期性频域卷积定理傅里叶变换的对称性回到本节返回傅里叶变换的周期性：频域卷积定理：假设，，则交换积分的求和次序，我们同样能够得到该定理表明在时域两序列相乘，转换到频域服从卷积关系。此定理亦称为调制定理回到本节返回傅里叶变换的对称性：一般不做特殊说明，序列x(n)就是复序列。用下标r表示它的实部，用下标i表示它的虚部：复序列中有共轭对称序列和反共轭对称序列，分别用下标e和o表示共轭对称序列满足复反共轭对称序列满足回到本节返回一般序列傅里叶变换的对称性质一般序列可以表示为其实部的傅里叶变换可以用下式来表示将上式右面的ω加负号，在将右边取共轭，右边表达式不变，这说明实序列的傅里叶变换具有共轭对称性质，可以用表示。很容易证明，将j乘以实数序列

的傅里叶变换具有共轭反对称性质，用表示。返回回到本节这样式中这样我们能够得到结论：一般序列的傅里叶变换分成共轭对称分量和共轭反对称分量两部分，其中共轭对称分量对应序列的实部，而共轭反对称分量对应这序列的虚部（包括j）。返回回到本节如果将序列分为共轭对称和共轭反对称两部分，即由我们得到对上面两式分别求傅里叶变换，得到返回回到本节这样我们能够得到结论:傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分，而它的虚部(包括j)对应序列的共轭反对称部分。值得注意：在一般实际应用中，我们常常遇到的序列是实序列，实序列相当于一般的序列中只有实部，没有虚部，因此实序列的傅里叶变换具有共轭对称性质，它的实部是偶函数，虚部是奇函数。如果实序列还是偶对称的，其傅里叶变换应该是实偶对称函数；如果实序列是奇对称的，那么其傅里叶变换是虚对称的，且是纯虚函数。返回回到本节2.3时域离散信号的Z变换在模拟系统中，用傅里叶变换进行频域分析，而拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，用于对信号在复频域的分析。在数字域中，用序列傅里叶变换进行频域分析，Z变换是其推广，用于对信号在复频域中的分析。本节主要讲述:返回2.3.1时域离散信号的Z变换的定义及其与傅里叶变换的关系2.3.2Z变换的收敛域与序列特性之间的关系2.3.3逆Z变换2.3.4Z变换的性质和定理2.3.1时域离散信号的Z变换的定义及其与傅里叶变换的关系Z变换的定义定义序列X(n)的Z变换为式中，Z是复变量，它所在的复平面称为Z平面。这里求和极限为-∞～+∞，故亦称为双边Z变换，当求和极限为0～+∞时，为单边Z变换，不做说明时均为双边Z变换。Z变换存在的充分条件为

返回回到本节Z变换的收敛域为使Z变换存在的的取值域，称为X(z)的收敛域。收敛域一般用环状域表示，即Rx-<|z|<Rx+，Rx-和Rx+分别称为收敛域的最小收敛半径和最大收敛半径。上图所示的阴影部分即为收敛半径。最小半径可以达到0，而最大半径可以达到+∞。收敛域是Z变换非常重要不可缺少的一部分回到本节返回Z变换和傅里叶变换之间的关系Z变换令上式中的，得到式中，r是z的模，ω是它的相位，也就是数字频率。这样，就是序列x(n)乘以实指数序列r-n后的傅里叶变换。回到本节返回如果r==1，Z变换就变成了傅里叶变换了，即r=1指的是Z平面上的单位圆，因此傅里叶变换就是Z平面单位圆上的Z变换。单位圆必须包含在收敛域中，否则单位圆上的Z变换不存在，傅里叶变换也就不存在。回到本节返回2.3.2Z变换的收敛域与序列特性之间的关系序列可以分为有限长序列、右序列、左序列以及双边序列等四种情况，它们的收敛域各有特点，掌握这些特点对分析和应用Z变换很有帮助。有限长序列Z变换的收敛域有限长序列Z变换为

收敛域为回到本节返回右序列Z变换的收敛域右序列是指x(n)只在n≥n1序列值不全为零，在其他的区间均为零的序列。右序列的Z变换式中n1≤-1。回到本节返回上式右边：第一项是有限序列的Z变换，收敛域为0≤|z|<∞。第二项为因果序列的Z变换，其收敛域为Rx-<|z|≤∞。将两个收敛域相与，得到它的收敛域为Rx-<|z|<∞。如果x(n)是因果序列，即设n1≥0，它的收敛域为Rx-<|z|≤∞。回到本节返回左序列Z变换的收敛域与右序列类似，左序列是指x(n)只在n≤n1序列值不全为零，在其他的区间均为零的序列。左序列的Z变换为式中，n1≥0。回到本节返回上式右边：第一项的收敛域为0≤|z|<Rx+，第二项的收敛域为0<|z|≤∞，将两个收敛域相与，得到左序列的收敛域为0<|z|<Rx+。如果n1<0，则收敛域为0≤|z|<Rx+。回到本节返回双边序列Z变换的收敛域双边序列就是在-∞～+∞之间均有非零值的序列。双边序列的Z变换回到本节返回上式中：右边第一项是左序列的Z变换，收敛域是0≤|z|<Rx+，第二项是右序列的Z变换，收敛域为Rx-<|z|≤∞，将两个域相与，得到双边序列的收敛域为Rx-<|z|<Rx+。这几种序列的收敛域对比可以见书中表2.3.1。回到本节返回例2.2：设，求它的Z变换，并确定收敛域。解:

为使X(z)收敛，要求，即，解得，这样得到就是该Z变换的收敛域。回到本节返回例2.3：求的Z变换及其收敛域。解:

这是一个左序列，当时，序列值为零。如果X(z)存在，则要求，得到收敛域为。在收敛域中，该Z变换为我们将例2.2和例2.3进行比较，两者Z变换的函数表达式一样，但收敛域却不相同，对应的原序列也不同，因此正确地确定收敛域是很重要。回到本节返回2.3.3逆Z变换已知序列的Z变换及其收敛域，求原序列，称为逆Z变换(IZT)。求逆Z变换有三种方法:部分分式展开法：有理分式展成简单部分分式，查表。围线积分法：常用方法，重点介绍幂级数法：原理简单，使用不便，本书不介绍回到本节返回部分分式法原理是将Z变换的有理分式展成简单的部分分式，通过查表得到原序列。假设X(z)有一个一阶极点，可展开如下的部分分式：观察上式，X(z)/z在z=0的极点，留数等于系数A0，在z=zm的极点，留数等于系数Am，即见书中表2.3.3回到本节返回这样，将上面的两式带入由X(z)展开得到的部分分式中去，在通过查表（书中表2.3.2）就能够得到原序列。但我们知道收敛域不同，即使同一个z函数也可以有不同的原序列对应，因此根据给定的收敛域，应正确地确定每个分式的收敛域，这样才能得到正确的原序列。回到本节返回围线积分法已知序列大的Z变换和收敛域，求原序列的公式为式中，c是X(z)的收敛域中的一条包含原点的逆时针旋转的封闭曲线，如下图所示。回到本节返回直接计算围线积分比较麻烦，下面介绍用留数定理求逆Z变换的方法：令，F(z)在围线c内的极点用表示，假设有M个极点。根据留数定理式中，表示被积函数F(z)在极点的留数。求逆Z变换就是求围线c内所有极点的留数之和。如果极点是单阶极点，根据留数定理，极点的留数用下式计算回到本节返回如果极点是N阶极点，根据留数定理，极点的留数用下式计算上式表明求多阶极点的留数比较麻烦，可以根据留数辅助定理改求围线c以外的极点的留数之和，使问题简单化。如果F(z)在Z平面上有N个极点，围线c内有个极点，用表示，围线c外有个极点，用表示，。根据留数辅助定理下式成立回到本节返回上式成立的条件是原序列公式中，被积函数分母的阶次比分子的阶次高二阶或二阶以上。假设，P(z)和Q(z)分别是z的N阶和M阶多项式，那么上式成立的条件是或者这样，在求逆Z变换时，如果上面条件满足，围线c内有多阶极点，可以利用上式，改求围线c外的极点的留数之和。回到本节返回例2.4：，求Z反变换回到本节返回回到本节返回回到本节返回回到本节返回2.3.4Z变换的性质和定理Z变换的性质

线性序列移位时间反转乘以指数序列Z域微分共轭序列

Z变换的定理

时域卷积定理复卷积定理初值定理终值定理巴塞伐尔定理

这些性质和定理在书中表2.3.3里都已经列出。回到本节返回2.4利用Z变换对信号和系统进行分析傅里叶变换和Z变换都是对信号和系统进行分析的重要数学工具。信号的频域分析指的是信号的傅里叶变换，Z变换则是分析域更为扩大的一种变换，Z变换比傅里叶变换的应用更广泛。本节主要讲述2.4.1系统的传输函数和系统函数2.4.2根据系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性2.4.3用Z变换求解系统的输出相应2.4.4系统稳定性的测定及稳定时间的计算2.4.5根据系统的零、极点分布分析系统的频率特性返回2.4.1系统的传输函数和系统函数系统的时域特性用单位脉冲响应表示，对进行傅里叶变换，得到称为系统的传输函数，它表征系统的频率响应特性，所以又称为系统的频率响应函数。将进行Z变换，得到一般称为系统的系统函数，它表征系统的复频域特性。回到本节返回如果的收敛域包含单位圆=1，则和之间的关系为因此系统的传输函数是系统单位脉冲响应在单位圆上的Z变换。它们之间有区别，但有时为了简单，也可以都称为传输函数。设系统的输入x(n)=，对于因果稳定系统，其稳态输出为式中上式中称为幅频特性，称为相频特性。回到本节返回2.4.2根据系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性如果系统用N阶差分方程表示，即将上式进行Z变换，得到系统的系统函数回到本节返回将上式进行因式分解，得到式中，是的零点，是它的极点，A是常数。A仅决定幅度大小，不影响频率特性的实质。系统函数的零、极点分布都会影响系统的频率特性，而影响系统的因果性和稳定性的只是极点分布。回到本节返回系统的因果性指的是系统的可实现性，如果系统可实现，它的单位脉冲响应一定是因果序列。而因果序列Z变换的极点均集中在以为半经的圆内。因此得到结论，因果系统的系统函数的极点均在某个圆内，收敛域包含∞点。

回到本节返回如果系统稳定，则要求，按照Z变换的定义

因此得到结论:系统稳定时，系统函数的收敛域一定包含单位圆，或者说系统函数的极点不能位于单位圆上。综上所述，得出系统因果稳定的条件:的极点应集中在单位圆内。回到本节返回例2.5：，分析系统的因果性和稳定性解：系统的极点为（1）收敛域取收敛域包含，故是因果系统收敛域不包含单位圆，所以系统不稳定单位脉冲响应为回到本节返回（2）收敛域取收敛域不包含，不是因果系统收敛域包含单位圆，系统稳定单位脉冲响应为（3）收敛域取收敛域不包含，不是因果系统收敛域不包含单位圆，系统不稳定单位脉冲响应为回到本节返回2.4.3用Z变换求解系统的输出响应上一章中曾用递推法求解出系统的输出，本节介绍利用Z变换求解系统的输出响应，包括零状态响应与零输入响应，以及稳态响应和暂态响应。零状态响应与零输入响应：系统的N阶差分方程为式输入信号x(n)是因果序列，即当n<0时，x(n)=0，系统初始条件为。回到本节返回对上式进行Z变换时，注意对于移位因果序列的Z变换要用单边Z变换，公式为按照上式对系统的N阶差分方程进行Z变换，得到回到本节返回上式中等号右边第一项与初始状态无关，只与输入信号有关系，称为系统的零状态响应；而第二部分与输入信号无关，只与系统初始状态有关系，则称为零输入响应。Y(z)包括零状态响应与零输入响应，所以称为全响应。系统输出响应一般指全响应。零状态响应就是对上式的双边Z变换求解。返回回到本节稳态响应和暂态响应：假设系统处于零状态，或者说在全响应公式中只考虑零状态响应，系统输出为令式中，称为系统的稳态响应。如果系统不稳定，将会无限制增长，而和输入信号无关。如果系统稳定，稳态响应取决于输入信号和系统的频域特性。回到本节返回2.4.4系统稳定性的测定及稳定时间的计算实际中系统的稳定是一个很重要的问题，设计中要保证系统稳定，工程实际中要对系统进行稳定性测试。当系统开始工作时，系统的输出中可能存在暂态效应，如何确定系统已进入稳态工作，也是一个实际问题。判断极点是否在单位圆内确定系统的稳定性如果已知系统函数，判断系统的稳定性的一种方法是检查它的极点是否在单位圆内。回到本节返回例2.6：已知系统函数如下式，判断系统是否稳定。解:

求出四个极点为:，其中两个实数极点明显在单位圆内，两个复数极点的模为，也在单位圆内，因此该系统是稳定的。回到本节返回用单位阶跃信号进行测试在系统的输入端加入单位阶跃序列如果系统稳定，随着n的增大，输出接近一个常数；如果系统不稳定，随着n的增大，输出幅度会无限制增大或者保持振荡。系统稳定时间的确定

如果系统稳定，输入是一个阶跃序列，从数学上讲，只有当n→∞时，才能结束暂态响应。但工程上只要系统输出中暂态响应幅度减小到最大值的1％，即可以认为系统达到稳定。回到本节返回2.4.5根据系统的零、极点分布分析系统的频率特性系统用N阶差分方程描述，系统函数如下式所示式中，和分别是系统函数的零点和极点，共有M个点和N个极点。系统的频响特性主要取决于系统函数的零极点分布，系数A只影响幅度大小。回到本节返回下面介绍用几何方法分析研究零极点分布对系统频率响应特性的影响。将系统函数分子、分母同乘以，得到上式中如果，表示延时(N-M)个单位，，则表示超前(N-M)个单位。回到本节返回设系统稳定，将代入上式，得到

对于，在Z平面上可以用坐标原点O到单位圆上B点的失量OB来表示，该矢量的长度是1，相角ω就是和水平坐标之间的夹角。(2.4.20)回到本节返回当频率ω由0连续增大，经过

再到2

时，矢量OB便围绕坐标原点逆时针旋转一圈，如下图(a)所示。对于极点z=，在Z平面上则用坐标原点O到的矢量表示。相应的零点用表示。回到本节返回对于，则用从极点到单位圆上一点B的矢量表示，该矢量称为极点矢量。极点矢量的长度用表示，矢量的相位，就是矢量和水平坐标之间的夹角，用表示。对于零点，有零点矢量，用表示，零点矢量的长度用表示，相位用表示。零极点矢量如下图(b)所示。回到本节返回将零极点矢量用下式表示，用上面两式表示，得到回到本节返回式(2.4.22)说明，系统的幅频特性等于系统零点矢量长度之积除以极点矢量长度之积。式(2.4.23)说明，相频特性等于与零点矢量的相角之和减去极点矢量的相角之和（设A>0）。(2.4.22)(2.4.23)幅频特性：相频特性：回到本节返回当频率ω由0变化到2

时，这些零、极点矢量的终点B沿单位圆旋转一周，零、极点矢量的长度和相角不断变化，按照式(2.4.22)和式(2.4.23)可以计算出幅频特性和相频特性。但工程中用的最多的是，利用式(2.4.22)定性分析估计幅频特性。回到本节返回零极点分布对幅频特性的影响极点影响幅频特性的峰值，峰值频率在极点的附近；极点越靠近单位圆，峰值越高，越尖锐；极点在单位圆上，峰值幅度为无穷，系统不稳定。零点影响幅频特性的谷值，谷值频率在零点的附近；零点越靠近单位圆，谷值越接近零；零点在单位圆上，谷值为零；处于坐标原点的零极点不影响幅频特性。该方法适于低阶系统回到本节返回

IIR数字滤波器设计数字滤波：

对输入信号进行数值运算，让输入信号中的有用频率成分以较高的保真度通过，滤除（阻止）某些无用的频率成分，实现对输入信号的选频处理。优点：处理精度高，稳定性好，体积小，实现方法灵活，不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。

滤波器分类

经典滤波器（一般滤波器）

线性系统构成的滤波器，信号和干扰的频带互不重叠时采用。分类（功能）：高通、低通、带通、带阻；分类（结构）：递归系统、非递归系统；分类（实现方法）：无限长单位脉冲响应数字滤波器IIR（本章介绍）有限长单位脉冲响应数字滤波器FIR

现代滤波器

随机信号统计理论为基础构成的滤波器，信号和干扰的频带相互重叠时采用（例如：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等）IIR数字滤波器的设计方法间接设计法根据设计指标设计相应的过渡模拟滤波器将过渡模拟滤波器转换成数字滤波器。直接设计法

在时域或频域直接设计数字滤波器。本章主要讲述：（间接法）6.1模拟滤波器设计6.2IIR数字滤波器设计6.1模拟滤波器设计模拟滤波器（AF）的一般设计过程：（1）根据信号处理要求确定设计指标（选频）（2）选择滤波器类型（3）计算滤波器阶数（4）通过查表或计算确定滤波器系统函数（5）综合实现并调试幅频特性体现了各频率成分幅度的衰减,而相频特性体现的是不同成分在时间的的延时。选频滤波器一般只考虑幅频特性，对相频特性不作要求。对输出波形有要求时，则需考虑线性相位问题。返回本节主要讲述：6.1.1模拟滤波器设计指标6.1.2巴特沃思模拟低通滤波器设计6.1.3切比雪夫（Chebyshev）滤波器设计6.1.4椭圆滤波器6.1.5贝塞尔（Bessel）滤波器设计6.1.7五种类型模拟滤波器的比较返回6.1.8频率变换与高通、带通及带阻滤波器设计6.1.1模拟滤波器设计指标

图6.1.1典型模拟低通滤波器幅频特性及其指标描述返回回到本节

通带边界频率，阻带边界频率，3db截止频率

系统通带的误差要求

阻带[

s,∞]幅度以最大误差1/A逼近于零，即要求

ε：通带波纹幅度参数

A：阻带波纹幅度参数

设计指标返回回到本节用

表示通带最大衰减（或称为通带峰值波纹）用

表示阻带最小衰减（以分贝(dB)表示波纹）求解返回回到本节

损耗函数（或称为衰减函数）

(

)来描述滤波器的幅频响应特性。即

当时的边界频率称为3dB截止频率，通常用

c表示，返回回到本节两个附加参数：

a.过渡比或选择性参数,通常用k表示反应过渡带的性能，过渡带越窄，k值趋近于1低通滤波器

b.偏离参数，用k1表示

越小，通带、阻带的纹波越小返回回到本节模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供选择。这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。典型滤波器巴特沃斯（Butterworth）滤波器具有单调下降的幅频特性；切比雪夫（Chebyshev）滤波器：幅频特性在通带或阻带有波动，可提高选择性；贝塞尔（Bessel）滤波器：通带内较好的线性相位；椭圆（Ellipse）滤波器：过渡带最窄。返回回到本节6.1.2巴特沃思模拟低通滤波器设计N阶巴特沃思模拟低通滤波器的幅度平方函数为N为滤波器的阶次，为3dB截频。返回回到本节特点：在点，的n(n<2N)阶导数等于零，因此滤波器在点具有最大平坦幅度滤波器幅频响应随的增大而单调下降，因为幅度平方函数的导数小于零损耗函数21|)(|WjHacWWN=80N=4N=21返回回到本节滤波器的特性由3dB截止频率和阶数N确定滤波器的给定指标为通带边界频率阻带边界频率通带最小幅度阻带最大波纹21|)(|WjHacWWN=80N=4N=21返回回到本节截止频率与阶数如何确定？滤波器幅频响应随频率的增大而单调下降于是满足通带指标，阻带指标有富裕满足阻带指标，通带指标有富裕阶数截止频率返回回到本节滤波器的给定指标为通带最大衰减阻带最小衰减先求确定截止频率与阶数返回回到本节巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数：

（由3dB截止频率和阶数N确定）式中，分母称为N阶巴特沃思多项式。返回回到本节三种形式:因式分解共轭对相乘返回回到本节归一化讨论：对于得：由于N较大时，计算量太大，为了方便，归一化的N阶巴特沃思多项式系数已制成表格供查阅：返回回到本节极点位置阶数N

1-1.00002-0.7071±j0.70713-0.5000±j0.8660-1.00004-0.3827±j0.9239-0.9239±j0.38275-0.3090±j0.9511-0.8090±j0.5878-1.000060.2588±j0.9659-0.7071±j0.7071-0.9659±j0.25887-0.2225±j0.9749-0.6235±j0.7818-0.9010±j0.4339-1.000080.1951±j0.98080.5556±j0.8315-0.9010±j0.4339-0.9808±j0.19519-0.1736±j0.9848-0.5000±j0.8660-0.8315±j0.5556-0.9397±j0.3420-1.0000N：滤波器阶数---：极点位置表示返回回到本节分母多项式阶数N

b0b1b2b3b4b5b6b7b81-1.00002-1.00001.41423-1.00002.00002.0000

4-1.00002.61313.4142

5-1.00003.23615.2361

5.2361

3.2361

6-1.00003.86377.4641

9.1416

7.46413.8637

7-1.00004.494010.0978

14.5918

14.5918

10.09784.49408-1.0000-5.125813.1371

21.8462

25.6884

21.8642

13.1371

5.1258

9-1.00005.7588

16.5817

31.1634

41.986441.986431.1634

16.5817

5.7588

N：滤波器阶数---：多项式表示返回回到本节分母因式阶数N

1(p+1)2(p2+1.4142p+1)3(p2+p+1)(p+1)4(p2+0.7654p+1)(p2+1.8478p+1)5(p2+0.6180p+1)(p2+1.6180p+1)(p+1)6(p2+0.5176p+1)(p2+1.4142p+1)(p2+1.9319p+1)7(p2+0.4450p+1)(p2+1.2470p+1)(p2+1.8019p+1)(p+1)8(p2+0.3902p+1)(p2+1.1111p+1)(p2+1.6629p+1)(p2+1.9616p+1)9(p2+0.3473p+1)(p2+p+1)(p2+1.5321p+1)(p2+1.8794p+1)(p+1)N：滤波器阶数---：共轭极点因式返回回到本节去归一化归一化查表得得到返回回到本节

低通巴特沃斯滤波器设计步骤：由，求滤波器阶次N由N查表，求出归一化极点和归一化系统函数G(p)令代入G(p)，得实际滤波器传输函数Ha(s)。（去归一）返回回到本节

例：

设计模拟低通滤波器。要求幅频特性单调下降，通带边界频率fp=1kHz，通带最大衰减

p=1dB，阻带边界频率fs=5kHz，阻带最小衰减

s=40dB。解:（1）根据幅频特性单调下降要求，应选择巴特沃思滤波器。（2）计算阶数N和3dB截止频率

c。首先用求出波纹幅度参数为

再求出过渡比和偏离参数从而得到

取整数N=4

返回回到本节（3）求系统函数。查表6.1.1得到归一化4阶巴特沃思多项式为将和

c代入，得到系统函数返回回到本节6.1.3切比雪夫滤波器设计两种类型：

切比雪夫Ⅰ型滤波器的幅频特性在通带为等波纹，在阻带为单调下降。

切比雪夫Ⅱ型的幅频特性在阻带为等波纹，在通带为单调下降。返回回到本节1.切比雪夫Ⅰ型滤波器N阶切比雪夫Ⅰ型模拟低通滤波器Ha(s)的幅度平方函数为

为小于1的正数，表示通带波纹幅度参数。CN(

)是N阶切比雪夫多项式返回回到本节图6.1.4典型切比雪夫Ⅰ型低通滤波器的幅频响应特性曲线

返回回到本节2．切比雪夫Ⅱ型逼近切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的幅频响应在通带呈现单调下降特性，而且在

=0点具有最大平坦响应，在阻带呈现等波纹特性。其幅度平方函数为返回回到本节图6.1.5典型切比雪夫Ⅱ型低通滤波器的幅频响应特性曲线返回回到本节巴特沃兹滤波器与切比雪夫滤波器特点比较：巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，在靠近截止频率处，幅度下降很多。所以为了使通带内的衰减足够小，需要的阶次（N）很高。切比雪夫Ⅰ型滤波器的纹波在通带范围内是等幅起伏的，在靠近截止频率处，幅度下降很少。同样的通带衰减，其所需阶数N较巴特沃兹滤波器要小。特点比较回到本节返回6.1.4椭圆滤波器(a)

p=1dB,

s=20dB,N=3,4,6(b)N=4,

p=1,0.1,0.05dB,

s=10,20,40dB图6.1.6椭圆滤波器幅频响应特性曲线返回回到本节椭圆滤波器振幅平方函数为：RN（Ω，L）：雅可比椭圆函数L：表示波纹性质的参量椭圆滤波器特点：

幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的。对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器更窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。通带和阻带内波纹固定时，阶数越高，过渡带越窄；阶数固定，通带和阻带纹波越小，过渡带越宽；特点回到本节返回6.1.5贝塞尔（Bessel）滤波器设计

(a)幅频响应特性(b)相频响应特性图6.1.7典型贝塞尔低通滤波器的频响特性曲线返回回到本节贝塞尔低通滤波器特点

贝塞尔滤波器在通带内逼近线性相位特性。是巴特沃兹滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器滤波器所没有的。

贝塞尔滤波器的过渡带较宽，在阶数N相同时选择性比巴特沃兹滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器差。回到本节返回6.1.7模拟滤波器的比较巴特沃思滤波器幅频特性单调下降。切比雪夫Ⅰ滤波器通带内等波纹幅频特性，过渡带、阻带单调下降。切比雪夫Ⅱ滤波器阻带内等波纹幅频特性，通带、过渡带单调下降。椭圆滤波器通带、阻带内均等波纹幅频特性，过渡带单调下降。贝塞尔滤波器在通带内逼近线性相位特性。★在相同阶数N，相同通带最大衰减、阻带最小衰减要求下，巴特沃思滤波器的过渡带最宽；椭圆滤波器过渡带最窄；两种类型的切比雪夫滤波器的过渡带宽度相等，介于巴特沃思滤波器和椭圆滤波器。★在相同指标要求下，椭圆滤波器所需的阶次N最低，切比雪夫次之，巴特沃思最高，参数的灵敏度则恰恰相反。回到本节返回★巴特沃思和切比雪夫滤波器在大约四分之三的通带上非常接近线性相位特性；椭圆滤波器仅在大约半个通带上非常接近线性相位特性；贝塞尔滤波器在整个通带逼近线性相位特性。上面讨论了5种常用的模拟低通滤波器的特性和设计方法，设计时按照所给指标及对滤波器阶数（阶数影响处理速度和实现的复杂性）和相位特性的具体要求，合理选用。巴特沃思、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和椭圆滤波器主要是考虑逼近幅度响应指标的滤波器，其中椭圆滤波器的性能价格比最高，应用广泛。贝塞尔滤波器主要是考虑逼近线性相位特性的滤波器使用。返回回到本节6.1.8频率变换与高通、带通及

带阻滤波器设计

高通、带通及带阻滤波器的幅频特性曲线及边界频率示意图

(a)高通滤波器(b)带通滤波器(c)带阻滤波器返回回到本节设计高通、带通和带阻滤波器的一般过程是:①通过频率变换公式，先将希望设计的滤波器指标转换为相应的归一化低通原型滤波器指标；②设计相应的归一化低通原型系统函数G(p)；③对G(p)进行频率变换得到希望设计的滤波器系统函数Hd(s)。

返回回到本节符号规定归一化低通滤波器原型边界频率希望模拟滤波器的系统函数频率变换公式于是返回回到本节1.模拟高通滤波器的设计低通原型到高通滤波器的频率变换在虚轴上高通滤波器通带边界频率映射关系低通高通11返回回到本节例设计巴特沃思模拟高通滤波器,通带边界频率为fp=4kHz，阻带边界频率为fs=1kHz，通带最大衰减为0.1dB（fp处），阻带最小衰减αs=40dB。解：高通滤波器指标1）确定相应低通原型滤波器的指标返回回到本节2)设计巴特沃斯低通滤波器。确定阶次N：可得N按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。返回回到本节归一化的5阶滤波器的系统函数3）高通滤波器的系统函数返回回到本节MATLABwp=1;ws=4;Rp=0.1;As=40;%设置滤波器指标参数[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,‘s’);%滤波器G(p)阶数N和3dB 截止频率[B,A]=butter(N,wc,‘s’);%计算低通滤波器G(p) 系统函数分子分母多项式系数wph=2*pi*4000;%高通模拟滤波器通带边界频率[BH,AH]=lp2hp(B,A,wph)%低通到高通转换返回回到本节2.低通到带通的频率变换:低通原型到带通滤波器的频率变换在虚轴上通带边界频率：上边界频率下边界频率高通滤波器的带宽带通滤波器的中心频率返回回到本节映射关系返回回到本节减少，或增加减少，或增加带通滤波器的系统函数可以证明：如给定边界频率不满足改条件，改变参数，提高指标返回回到本节例：设计巴特沃思模拟带通滤波器，通带上下边界频率分别为4kHz和7kHz，阻带上、下边界频率分别为2kHz和9kHz，通带内最大衰减αp=3dB，阻带最小衰减αs=20dB。解：1）高通滤波器指标 增大2）低通原型滤波器指标返回回到本节3）设计低通原型滤波器4）求模拟带通H(s)：返回回到本节3.低通到带阻的频率变换:低通原型到带阻滤波器的频率变换在虚轴上阻带边界频率：上边界频率下边界频率带阻滤波器的带宽带阻滤波器的中心频率返回回到本节减少，或增加减少，或增加带阻滤波器的系统函数可以证明：如给定边界频率不满足改条件，改变参数，提高指标返回回到本节6.2IIR数字滤波器设计目标：满足给定频率响应指标、因果稳定的系统函数间接法设计过程确定数字滤波器的指标转换成过渡模拟滤波器的指标设计过渡模拟滤波器将过渡模拟滤波器转换为数字滤波器指标转换返回过渡模拟滤波器转换为数字滤波器的要求保证因果稳定性，Ha(s)的因果稳定性映射成H（z）后保持不变，即S平面的左半平面Re{S}＜0应映射到Z平面的单位圆以内|Z|<1。

H（z）的频响要能模仿Ha(s)的频响，即S平面的虚轴应映射到Z平面的单位圆上。设计模拟Ha(s)转换成数字H(z)返回本节主要讲述：6.2.1用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器6.2.2用双线性变换法设计IIR数字滤波器6.2.3高通、带通和带阻IIR数字滤波器设计返回6.2.4IIR数字滤波器的频率变换6.2.1脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器

基本思想使数字滤波器能模仿模拟滤波的特性；从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应ha(t)的采样值，即

方法回到本节返回（1）滤波器系统函数（单极点、分母阶次高于分子阶次部分分式）（2）模拟滤波器的单位冲激响应（3）采样（4）Z变换回到本节返回下面分析脉冲响应不变法的转换性能：

s平面到z平面的极点映射关系:，用脉冲响应不变法将模拟滤波器Ha(s)转换成数字滤波器H(z)时，整个s平面到z平面的映射关系为

设

则

所以

ω=

T

回到本节返回其中，式ω=

T

表明：

数字频率与模拟频率之间是线性关系，这是脉冲响应不变法的优点之一。由式可知：

=0时，r=1，s平面的虚轴映射为z平面的单位圆；

<0时，r<1，s平面的左半平面映射为z平面的单位圆内；

>0时，r>1，s平面的右半平面映射为z平面的单位圆外。优点返回回到本节模拟系统因果稳定，其系统函数Ha(s)的所有极点位于s平面的左半平面，按照上述结论，这些极点全部映射到z平面单位圆内，因此，数字滤波器H(z)也因果稳定。因为h(n)=ha(nT)，根据时域采样理论得到代入ω=

T得到

上面两式说明，数字滤波器频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓函数。

返回回到本节所以，如果模拟滤波器具有带限特性，而且T满足采样定理，则数字滤波器频率响应完全模仿了模拟滤波器频率响应。这是脉冲响应不变法的最大优点。但是，一般模拟滤波器不是带限的，所以实际上总是存在频谱混叠失真返回回到本节由上图可见，频谱混叠失真会使数字滤波器在ω=

附近的频率响应偏离模拟滤波器频响特性曲线，混叠严重时可使数字滤波器不满足阻带衰减指标。所以，脉冲响应不变法不适合设计高通和带阻滤波器，这是脉冲响应不变法的最大缺点。为了减小频谱混叠失真，通常采取以下措施:①选用具有锐截止特性的模拟滤波器；②提高采样频率Fs（Fs=1/T）。

缺点返回回到本节与模拟滤波器频率响应增益相比，数字滤波器的频率响应增益增加了常数因子1/T。所以，数字滤波器的频率响应增益会随采样周期T变化，特别是T很小时增益很大，容易造成数字滤波器溢出。所以，工程实际中采用以下实用公式这时

使数字滤波器的频率响应增益与模拟滤波器频响增益相同，符合实际应用要求。返回回到本节增益补偿例：

二阶巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数为

试用脉冲响应不变法将其转换成数字滤波器H(z)，并对不同的采样周期T，观察频谱混叠失真现象。解:

采用待定系数法将Ha(s)部分分式展开。Ha(s)的极点为因此解得返回回到本节按实用公式，即式（6.2.12）得到数字滤波器的系统函数为式中返回回到本节当T分别取0.2s,0.1s和0.05s时，模拟滤波器和数字滤波器的幅频特性曲线如下图所示模拟频率（Hz）数字频率（rad）(a)模拟滤波器频响曲线(b)数字滤波器频响曲线显然，采样周期T越大，频谱混叠失真越严重，与差别越大。所以，脉冲响应不变法不能用于将模拟高通和带阻滤波器转换成数字高通和带阻滤波器。返回回到本节例

用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器，要求通带和阻带具有单调下降特性，指标参数如下:解:

根据间接设计法的基本步骤求解。（1）将数字滤波器设计指标转换为相应模拟滤波器指标。设采样周期为T，得到（2）设计相应的模拟滤波器，得到模拟系统函数Ha(s)。根据单调下降要求，选择巴特沃思滤波器。求出波纹幅度参数为返回回到本节从而得到再将k和k1代入，计算得到 取整数N=4取T=1s时查表6.1.1得到归一化4阶巴特沃思多项式为得到归一化系统函数为返回回到本节将

c带入去归一化，得到希望设计的低通滤波器的系统函数为其中（3）将T=1s代入，将模拟滤波器系统函数Ha(s)转换成数字滤波器系统函数H(z)，即返回回到本节如果取T=0.1s，可得到近似相同的H(z)。这说明当给定数字滤波器指标时，采样周期的取值对频谱混叠程度影响很小。所以，一般取T=1s使设计运算最简单。T=1s时，T=0.1s时，如下图6.2.3图中数字滤波器满足指标要求，但是，由于频谱混叠失真，使数字滤波器在ω=

（对应模拟频率Fs/2Hz）附近的衰减明显小于模拟滤波器在f=Fs/2附近的衰减。返回回到本节例6.2.2设计的模拟和数字滤波器的损耗函数

返回回到