第11讲 二项分布与超几何分布（人教A版2019选择性必修第三册）（原卷版）

第11讲二项分布与超几何分布【人教A版2019】·模块一二项分布·模块二超几何分布·模块三课后作业模块一模块一二项分布1．伯努利试验(1)伯努利试验的概念

把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.

(2)n重伯努利试验的两个特征

①同一个伯努利试验重复做n次；

②各次试验的结果相互独立.2．二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p).3．二项分布的期望与方差一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).【考点1二项分布的概率计算】【例1.1】（2023下·重庆·高二校联考期末）若η∼B6,13，则PA．316 B．20243 C．13243【例1.2】（2023下·天津河北·高二统考期末）若随机变量X服从二项分布B6,12，则PA．58 B．716 C．516【变式1.1】（2023下·江苏徐州·高二统考期末）某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为（

）A．0.618×0.412 B．C3018【变式1.2】（2023·全国·高三专题练习）设随机变量ξ~B2,   p，η~B4,   p，若A．8081 B．6581 C．5581【考点2

二项分布的期望与方差】【例2.1】（2023下·山东青岛·高二统考阶段练习）若随机变量ξ∼B10,0.5，则下列结论错误的为（A．Pξ=0=Pξ=10C．Eξ=5 D【例2.2】（2023下·山东滨州·高二统考期中）已知ξ∼Bn,p，且E3ξ+2=9.2，DA．n=6，p=0.4 B．PC．P(ξ=3)=C63×0.63【变式2.1】（2023下·广东肇庆·高二统考期末）某次数学测验共有10道单选题（四个选项中只有一项是正确的），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为X，且X服从二项分布B10,14A．EX=5C．E2X+1=6 D【变式2.2】（2023下·江苏徐州·高二统考期中）A、B两组各有3人独立的破译某密码，A组每个人成功破译出该密码的概率为p1，B组每个人成功破译出该密码的概率为p2，记A、B两组中成功破译出该密码的人数分别为A．E(X)>E(Y),D(X)<D(Y) B．E(X)>E(Y),D(X)>D(Y)C．E(X)<E(Y),D(X)<D(Y) D．E(X)<E(Y),D(X)>D(Y)【考点3

二项分布中的最大值问题】【例3.1】（2023上·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知随机变量ξ∼B(7,0.5)，则概率P(ξ=k)最大时，k的取值为（

）A．3 B．4 C．3或4 D．4或5【例3.2】（2023·高二课时练习）已知X∼Bn,p，若4PX=2=3PX=3，则A．56 B．45 C．34【变式3.1】（2023下·河南周口·高二统考期中）某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：用时/秒5,1010,1515,2020,25男性人数1721139女性人数810166以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式3.2】（2023·山东泰安·统考模拟预测）某人在n次射击中击中目标的次数为X，X∼Bn,p，其中n∈N*,0<p<1，击中奇数次为事件A．若n=10,p=0.8，则PX=k取最大值时B．当p=12时，C．当0<p<12时，PAD．当12<p<1时，P(A)随着【考点4二项分布的实际应用】【例4.1】（2023·广东肇庆·统考二模）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为X.(1)当n=6时，求P(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变最Y，若其数学期望EY和方差DY均存在，则对任意正实数a，有PY-EY<a≥1-DYa2.根据该不等式可以对事件“Y-EY<a”的概率作出下限估计.【例4.2】（2023上·广东汕头·高三统考期中）某种疾病的历史资料显示，这种疾病的自然痊愈率为20%.为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给10个病人服用，试验方案为：若这10个病人中至少有5人痊愈，则认为这种药有效，提高了治愈率；否则认为这种药无效.假设每个病人是否痊愈是相互独立的(1)如果新药有效，把治愈率提高到了80%，求经试验认定该药无效的概率p；（精确到0.001，参考数据：1+(2)根据（1）中p值的大小解释试验方案是否合理.【变式4.1】（2023上·广东·高三校联考阶段练习）甲、乙两位同学决定进行一次投篮比赛，他们每次投中的概率均为P，且每次投篮相互独立，经商定共设定5个投篮点，每个投篮点投球一次，确立的比赛规则如下：甲分别在5个投篮点投球，且每投中一次可获得1分；乙按约定的投篮点顺序依次投球，如投中可继续进行下一次投篮，如没有投中，投篮中止，且每投中一次可获得2分.按累计得分高低确定胜负．(1)若乙得6分的概率1-p8，求p(2)由（1）问中求得的p值，判断甲、乙两位选手谁获胜的可能性大？【变式4.2】（2023·河北·统考模拟预测）为切实做好新冠疫情防控工作，有效、及时地控制和消除新冠肺炎的危害，增加学生对新冠肺炎预防知识的了解，某校举办了一次“新冠疫情”知识竞赛.竞赛分个人赛和团体赛两种.个人赛参赛方式为：组委会采取电脑出题的方式，从题库中随机出10道题，编号为A1，A2，A3，A4，⋯，A10，电脑依次出题，参赛选手按规则作答，每答对一道题得10分，答错得0分.方案一：将班级选派的3n名参赛选手每3人一组，分成n组，电脑随机分配给同一组的3名选手一道相同的试题，3人均独立答题，若这3人中至少有2人回答正确，则该小组顺利出线；若这n个小组都顺利出线，则该班级晋级决赛.方案二：将班级选派的3n名参赛选手每n人一组，分成3组，电脑随机分配给同一组的n名选手一道相同的试题，每人均独立答题，若这n个人都回答正确，则该小组顺利出线；若这3个小组中至少有2个小组顺利出线，则该班级晋级决赛.(1)郭靖同学参加了个人赛，已知郭靖同学答对题库中每道题的概率均为45(2)在团体赛预赛中，假设A班每位参赛选手答对试题的概率均为常数p0<p<1，A班为使晋级团体赛决赛的可能性更大，应选择哪种参赛方式？请说明理由模块二模块二超几何分布1．超几何分布(1)定义

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np.

(2)求超几何分布的分布列

①判断随机变量是不是服从超几何分布；

②套用超几何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意义.2．超几何分布与二项分布的关系(1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的.

(2)事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布.【考点1

超几何分布的判断】【例1.1】（2023下·江西抚州·高二校考阶段练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（

）A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为XB．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为XC．从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数为XD．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X【例1.2】（2023·全国·高二专题练习）在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为（

）A．N＝15，M＝7，n＝10B．N＝15，M＝10，n＝7C．N＝22，M＝10，n＝7D．N＝22，M＝7，n＝10【变式1.1】（2023上·高二课时练习）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②X表示取出的最小号码；③X表示取出的白球个数；④取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分减去4的差.这四种变量中服从超几何分布的是（）A．①② B．③④C．①②④ D．①②③④【变式1.2】（2022下·天津河西·高二天津实验中学校考期中）一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从（

）A．二项分布，且EX=8 BC．超几何分布，且EX=8 D【考点2超几何分布的实际应用】【例2.1】（2023下·高二课时练习）甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望;(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?【例2.2】（2023上·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）假设某市大约有800万网络购物者，某电子商务公司对该地区n名网络购物者某年度上半年前6个月内的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.5,1.1]内，其频率分布直方图如图所示，若频率分布直方图中的a，b，c，d满足d=c+0.5=b+1=a+1.5，且从左到右6个小矩形依次对应第一至六小组，第五小组的频数为2400．(1)求a，b，c，d的值；(2)现用分层抽样方法从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，①求在各组应该抽取的人数；②在前2组所抽取的人中，再随机抽取3人，记这3人来自第一组的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．【变式2.1】（2023上·湖南长沙·高三校考阶段练习）北京冬奥会之后，多个中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动.为了深入了解学生在“单板滑雪”活动中的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：

(1)“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记X为选出可作“基地学校”的学校个数，求X的分布列和数学期望；(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为13，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到5【变式2.2】（2023·全国·高二专题练习）2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自2021年1月1日起施行.它被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法某中学培养学生知法懂法，组织全校学生学习《中华人民共和国民法典》并组织知识竞赛.为了解学习的效果，现从高一，高二两个年级中各随机抽取20名学生的成绩（单位：分），绘制成如图所示的茎叶图：根据学生的竞赛成绩，将其分为四个等级：测试成绩（单位：分）[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)等级合格中等良好优秀（1）从样本中任取2名同学的竞赛成绩，在成绩为优秀的情况下，求这2名同学来自同一个年级的概率；（2）现从样本中成绩为良好的学生中随机抽取3人座谈，记X为抽到高二年级的人数，求X的分布列，数学期望与方差.模块三模块三课后作业1．（2023·全国·高二专题练习）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②X表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；④X表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是()A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④2．（2023下·河南洛阳·高二校考期中）已知随机变量ξ服从二项分布ξ∼B6,13，即PA．316 B．1243 C．132433．（2023下·江西吉安·高二统考期末）已知随机变量X~H(7,4,5)，则E(X)=（

）A．207 B．354 C．2 D4．（2023下·北京通州·高二校考阶段练习）设随机变量X∼B2,p，Y∼B4,p，若PX=0=4A．23 B．43 C．495．（2023下·湖北·高二校联考阶段练习）某人在19次射击中击中目标的次数为X，若X~B19,0.8，若PX=k最大，则k=（A．14或15 B．15 C．15或16 D．166．（2023下·黑龙江哈尔滨·高二校考期末）从一批含有6件正品，2件次品的产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则P(X=1)=（

）A．715 B．1556 C．15287．（2023下·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）甲、乙两人进行比赛，假设每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，且各局比赛互不影响．若采取“5局3胜制”，则概率最大的比赛结果是（

）A．乙3:2赢得比赛 B．甲3:0赢得比赛C．甲3:1赢得比赛 D．甲3:2赢得比赛8．（2023·四川绵阳·统考二模）下列关于随机变量X的四种说法中，正确的编号是（

）①若X服从二项分布B4,13②若从3男2女共5名学生干部中随机选取3名学生干部，记选出女学生干部的人数为X，则X服从超几何分布，且EX③若X的方差为DX，则D④已知PBA=12A．②③ B．①③ C．①② D．①④9．（2023下·上海浦东新·高二校考期末）经检测一批产品中每件产品的合格率为35，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为X，则以下选项正确的是（

A．X的可能取值为1，2，3，4，5 B．P(X=2)=C．X=3的概率最大 D．X服从超几何分布10．（2023下·辽宁·高二校考阶段练习）已知某种疾病的某种疗法的治愈率为80%．若有100位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为X，则下列选项中不正确的是（

）A．EX=80 BC．DX=16 D．存在k≠50，使得11．（2023上·陕西汉中·高三校联考期中）为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.

(1)求a的值以及这批产品的优质率：（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）；(2)若按照分层的方法从质量指标值在110,130的产品中随机抽取7件，再从这7件中随机抽取2件，求至少有一件的指标值在120,130的概率；(3)以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出4件，记这4件中优质产品的件数为X，求X的分布列与数学期望.12．（2023上·重庆开州·高三校考阶段练习）某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题.(1)求小明同学在一轮比赛中所得积分X的分布列和期望；(2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？13．