江苏省苏州市2022-2023学年高三下学期2月开学摸底考试 数学 含答案

2022〜2023学年高三年级模拟试卷

数学

（满分：150分考试时间：120分钟）

2023.2

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={MT2-21<0,X∈Z},B={0,*},若A∩3≠0,则实数〃的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

22

2.已知ETy=χ-yi9（x,i为虚数单位），则，Λ+J=（）

A.IB.ʒC.√3D.yβ

3.设a=zy[π,/?=;，C=IOg26,则（）

A.a<b<cB.h<a<cC.h<c<aD.c<a<h

4.已知通过某种圆筒型保温层的热流量.=2;/（f）.,其中n,「2分别为保温层

的内外半径（单位：mm）,小「2分别为保温层内外表面的温度（单位：℃），/为保温层的长度（单

位：m）,4为保温层的导热系数（单位：W∕（m∙°C））.某电厂为了减少热损失，准备在直径为120

mm、外壁面温度为25（ΓC的蒸汽管道外表面覆盖这种保温层，根据安全操作规定，保温层外

表面温度应控制为50°C.经测试，当保温层的厚度为30mm时，每米长管道的热损失多为300

W.若要使每米长管道的热损失与不超过150W,则覆盖的保温层厚度至少为（）

A.60mmB.65mmC.70mmD.75mm

5.若©+厩）6的展开式中/的系数为60,则层+/的最小值为（）

A.2B.√2+1C.3D.5

6.在平面直角坐标系Xo），中，已知双曲线C：，-p=1（“>0,6>0）的左顶点为A,右

焦点为F,过点尸作C的一条渐近线的垂线，垂足为P,过点P作X轴的垂线，垂足为Q.

若O。，QF,04成等差数列，则C的离心率为（）

A.√2B.TC.2D.√5

7.已知正四面体ABC。的棱长为1,P为棱AB上的动点（端点A,B除外），过点尸作平

面ɑ垂直于AB,α与正四面体的表面相交.记AP=x,将交线围成的图形面积S表示为X的

函数7U）,则5=式幻的图象大致为（）

8.已知函数式x）的定义域为R,yU+l）为奇函数，犬x+2）为偶函数.记函数g（x）=42x

1

31

Σ

+1）+1.则*jg（gk）=（）

A.25B.27C.29D31

二、选择题：本题共4小题，每小题5分.共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.已知向量”,Z>的夹角为60。,∣α∣=2,|臼=1,则与向量a—B的夹角为锐角的向量有（）

A.bB.a-∖~bC.a_2bD.b-2a

TT

10.已知函数y（x）=sinx+cos（x+不）+x,则（）

A.χx）的周期为2兀

B.直线y=,x+坐是曲线y=√（x）的切线

C.7（x）在R上单调递增

D.点（一],）是曲线y=Λx）的对称中心

11.已知正方体48CD4由ICIDl的棱长为1,BP=λBDl,CQ=μCC∖,其中2G[0,1],

;∕∈[0,1],则下列说法正确的有（）

A.若PQU平面A8∣C,则∕l+"=g

B.若「。〃平面ABCr>,贝

3

C.存在九μ,使得PQ=5

D.存在2,使得对于任意的“，都有PQLBO

12.中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动

的起源.蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉

说中国传统非遗故事.为弘扬中华传统文化，我市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲

队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场

比赛），最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每

队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为争，

则在比赛结束时（）

A.四支球队的积分总和可能为15分

B.甲队胜3场且乙队胜1场的概率为争

C.可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况

D.丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为争

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知圆台的上、下底面半径分别为4和5,高为2,则该圆台的侧面积为.

14.在平面直角坐标系XO），中，已知圆C：（χ-√5）2+（γ-2）2=4,过点M（0,—1）的直

线/交C于A,B两点，且ΛM=48,请写出一条满足上述条件的/的方程：.

2

15.记函数於）=Sin（OX+点）（<u>0）的最小正周期为T,给出下列三个命题：

甲：7>3；

乙：:X）在区间（；,1）上单调递减;

丙：KX）在区间（0,3）上恰有三个极值点.

若这三个命题中有且仅有一个假命题，则假命题是（填“甲”“乙”或"丙”）；

CO的取值范围是.

16.若对任意"?，n∈R,关于X的不等式,〃一m）2+e∙L"-"恒成立，则实数”的

最大值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.（本小题满分10分）

记aABC的内角A,B,C的对边分别为4,b,c,已知匕+mαcos8=2,c=√2.

（1）求角A的大小；

（2）若tanC=2,点。在边BC上，AADB=2ΛABC,求AD

18.（本小题满分12分）

Cln+\

记Sn为数列｛〃,,）的前∏项和，己知SIL

42=20,n2

（1）求｛斯｝的通项公式;

H=I,

（2）若数列伯〃｝满足b=<求｛与｝中的最大项与最小项.

2/2÷1'

3

19.(本小题满分12分)

新能源汽车作为战略性新兴产业，代表汽车产业的发展方向.发展新能源汽车，对改善

能源消费结构、减少空气污染、推动汽车产业和交通运输行业转型升级具有积极意义.经过

十多年的精心培育，我国新能源汽车产业取得了显著成绩，产销量连续四年全球第一，保有

量居全球首位.

(1)已知某公司生产的新能源汽车电池的使用寿命一单位:万公里)服从正态分布M60,

16),问：该公司每月生产的2万块电池中，大约有多少块电池的使用寿命可以超过68万公

里？

参考数据：若随机变量己〜N(μ,σ2),则P(∕z-σ≤⅛+σ)≈0.683,P(∕∕-2σ≤⅛+

2σ)≈⅛0.955,P(ji∕-3σ≤(f≤∕z+3σ)^0.997.

(2)下表给出了我国2017〜2021年新能源汽车保有量》(单位：万辆)的数据.

_______W______2_0172018201920202021

年份代码X]2_3_45

新能源汽车保有量y153260381492784

经计算，变量X与y的样本相关系数/•产0.946,变量f与y的样本相关系数r2^0∙985.

①试判断y=bx+a与y=hx2+a哪一个更适合作为y与X之间的回归方程模型？

②根据①的判断结果，求出y关于X的回归方程(精确到0.1),并预测2023年我国新能

源汽车保有量.

参考数据和公式：令h=x}(/=1,2,3,4,5),计算得y=414,

555

∑∙r,y=7704,∑tiyi=32094,∑"=979.

i=1i≡l»=1

,∑ltiyi—nty__

在回归方程夕=自+3中,。=------------=y—f)t.

1=1

20.(本小题满分12分)

如图①，在长方形ABCD中，已知AB=2,BC=I,E为CD的中点，F为线段EC上(端

点E,C除外)的动点，过点D作AF的垂线分别交AF,AB于O,K两点.现将ADAF折起，

使得DKl_AB(如图②).

4

/)

EFC

D

(1)求证：平面ABD_L平面ABC；

(2)求直线DF与平面ABC所成的最大值.

21.(本小题满分12分)

在平面直角坐标系Xoy中，已知抛物线C∣:χ2=2Py的焦点与椭圆C2：，+f=1的

右焦点关于直线y=x对称.

(1)求Cl的标准方程；

(2)若直线1与CI相切，且与C2相交于A,B两点.求aAOB面积的最大值.

(注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛

物线相切，称该公共点为切点)

22.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=/〃(x+1)一胃5.

(1)若x》0时，f(x)20,求实数a的取值范围;

(2)试讨论f(x)的零点个数.

5

2022〜2023学年高三年级模拟试卷（苏州）

数学参考答案及评分标准

1.C2.B3.A4.D5.C6.B7.C8.D9.BC10.BCD11.AD12.ACD

13.9y∣5π14.x=0（或y=坐χ-1）15.甲（与，］16.

层十02—/a2+2~b2

解：⑴由余弦定理，

17.cosB=2ac=2①

代入〃+啦QCoS8=2,得/一户+2b=2,（2分）

82+c∙2一序b2+2~a22hy∣2

所以

COSA=-2bc-~2√2⅛~2y∣2b~2

又因为A£（0,兀），所以A=W.（4分）

（2）因为tanC=2,所以SinC=2cosOO.

又因为sin2C÷cos2C=1,所以SinC=,cosC=乎.（5分）

（解法1）因为A+B+C=7C,

所以CoSB=—cos（A+C）=—（CoSACe）sC—sinAsinC）=—（坐X坐一坐=

√10

10-

又因为3∈（0,π）,所以Sin3="1—cos?〉=今俱∙（7分）

因为∕ADB=2NA8C,

所以SinNAo8=sin28=2sinBcos=,.（8分）

在AABD中,由正弦定理Sin货CB'得平'

所以Ao=小.（10分）

（解法2）因为4+B+C=π,tanC=2,

πtanC+tan^2+l

所以tan8=-tan（A+0=-tan（C+]）=-------------------jɪɔχɪ,=3,（6分）

1-tanCtan一

P≡sinZADfi=Sin=y⅛=⅛=|∙（8分）

在切中，由正弦定理W!而=果‘得呼二瑞,

所以AO=小.（10分）

18.解：（1）（解法1）在押=""9中，令〃=1,得0=1,故政=20=2.

因为2S〃=〃（如+1）①,所以2&+i=（〃+l）（如+1+1）②，

6

②一①，得2小十i=（〃+l）4〃+i—〃斯+1,得（〃-1）斯+1=〃斯一1③.（2分）

当心2时，将③式两边同时除以〃（L1）,得誓=M+ɪ-ɪ

^α∏+ι-1cι~l«2—1.

所以κtIL=百n=…=Fr=1'

所以当〃22时，an=n,（5分）

又因为0=1,所以斯="（v∈N*）.（6分）

（解法2）因为2Sn=n（an+l）①，所以2Sn+∖=（n+l）（αn+ι+l）②，

②一①，得2al1｝1=（/?÷1）6fn÷1-na,j+1,即（〃一1）。〃”=〃〃“一1③，（2分）

从而+2=（〃+D斯+L1④，

④一③，得〃斯十2一（〃—1）〃〃+1=（九+1）〃”+1—〃。“，即a〃+2+〃〃=2a〃”，（5分）

所以｛斯｝为等差数列.

在§=a，，2中，令〃=1，得。1=1,故〃2=2〃I=2,

又因为｛〃〃｝为等差数列，所以为=∕ι（"∈N*）.（6分）

1,a=1,

（2）由（1）得为=

2n+l,心2.

>0,

当"22时'⅛n+∣-⅛π=2w+3~2n+1=（2n+3）（2n+l）作分）

且'"=Jh<5，（10分）

所以历<犯<仇<…<1=6,

2

所以｛a｝中的最大项为加=1,最小项为左=502分）

19.解：（1）因为新能源汽车电池的使用寿命f~M60,42）,

U-,1—P（〃一2σ≤4rW4+2σ∙）I-0.955..

所以尸（4>68）=--------d-----『—Z-------=-2-=0.0225,（2分）

所以20000X0.0225=450（块）.

答：每月生产的2万块电池中，使用寿命超过68万公里的大约有450块.（4分）

⑵①因为|用>|nI，所以y=fer2+”更适合作为y与X之间的回归方程模型.（6分）

T+22+32+42+52

②因为7

,∑tlyt-niy

f}=受-------

∑zj-np32094-5×ll×414

979-5XlI2-一≈24.9,（8分）

"=y-bΛt=414—24.9X11=140.1,

所以%=24.9t+140.1=24.9X2+140.1,（10分）

当x=7时，y八=24.9X49+140.1=1360.2（万辆）.

答：2023年我国新能源汽车保有量约为1360.2万辆.（12分）

7

20.(1)证明：因为AF_LOK,AF±OD,OD,C)KU平面ODK,OD∩OK=O,

所以AFl.平面C)DK.(2分)

因为DKU平面ODK,所以AF±DK.(3分)

又因为DKLAB,AB,AFU平面ABC,AB∩AF=A,

所以DKL平面ABC.(5分)

因为DKU平面ABD,所以平面ABD_L平面ABC.(6分)

(2)解：连接FK,由(1)可知，直线DF与平面ABCF所成角为NDFK,记NDFK=θ.

在题图①中，因为DK_LAF,所以∕DFA+FDK=90tj,

又因为NFDA=∕FDK+NADK=9(Γ,所以/DFA=/ADK.

又因为NFDA=NDAK=90。，所以AFDAsaDAK.

DFDAV11

设DF=X(I<χV2),由蛛=黑，得牛=⅛,解得AK=；.

∕ΛL√/Aix1zʌIxʌ

在题图②中，因为DKJ_AB,所以DKrDA2-AK2=Λ^1-Λ,(9分)

所以S加e=器=Iʌ/ɪ-j=出(T)≤1，

当且仅当x=√^时等号成立，(11分)

又因为0∈[0,f],所以。的最大值为季，

即直线DF与平面ABC所成角的最大值为看.(12分)

21.解：(1)因为C2的右焦点为(1,O),Cl的焦点与C2的右焦点关于直线y=x对称,

所以Cl的焦点为(0,1),(1分)

所以5=1，即p=2,所以Cl的标准方程为χ2=4y.(3分)

2X

⑵设1与CI相切于点P(2t,t-)(tWO),因为y=κ,所以V=S,

所以1的斜率k=9=t,所以1的方程为y=tx—12.(4分)

y—tx—12,

由'xɪ+/_1得(3+4t2)χ2—8t3χ+4t4-12=0,

42

因为A=64t6—4(3+4t2)(4t4—12)>0,所以t-4t-3<0(*).

t8(34t4—12

设A(xι,y∣),B(X2,y2),由根与系数关系可知x∣+x2="p而，x∣X2=3+4F，(6分)

所以AB=yj(x∣-X2)2÷(y∣-y2)2=Λ∫l+t2y∣(x∣-X2)2=Λ∕∣+t2

y∣(x∣+x2)2—4X∣X2=

(8t3)2-4(4t4-12)(3+4t2)4√3(l+t2)(-t4+4t2+3)

(3+4t2)2=3+4t2

又因为点O到直线1的距离d=-τ=,

√l+t2

2422

rgɪ:Hrl114λ∕3(1+t)(—t+4t+3)t..

所以aAOB的面积S=5∙AB∙d=τ--------------讦衣-----------XjT+?,分)

8

2√3t2√-t4+4t2+3-2√3(-t4+4t2+3)+t4广…八、

=3+M---------≤T⅛-2=W'⑴分)

当且仅当t2=√-t4+4t2+3,即t2=--^-^θ时等号成立，

此时t4-3—4t2=-t4<0满足(*),

所以AAOB面积的最大值为限.(12分)

22.解：⑴f(x)的定义域是(一1,+8),P(X)=ɪ-

X2+(4—2a)(x+l)

-(x+l)(x+2)2,

①当aW2时，f(x)≥0,所以f(x)在(-1,+8)上单调递增，

又因为f(0)=0,所以当x》0时，f(x)》f(O)》O,满足题意；(2分)

②当a>2时，令g(x)=x?+(4—2a)(x+l)=χ2+(4-2a)x+(4-2a),

由g(x)=