导函数与原函数混合构造8大题型（解析版）2023年高考数学复习练习（新高考）

重难点3-1导函数与原函数混合构造8大题型

命题趋势

导数中的构造函数常在高考题中以选择题或填空题的形式考查，难度较大。重点考查函数与方

程思想、转化与化归思想。构造函数法是一种创造性思维的过程，具有较大的灵活性和技巧性,

但一直受出题老师的青睐。考生在训练过程中，要有目的、有意识的进行构造，始终"盯住"

要解决的目标。

满分技巧

常见的导函数与原函数混合构造类型

关系式为“加”型一构造：

(1)/'])g(x)+f(X)g'(x)构造"(x)g(x)]'=∕'(x)g(x)+∕(x)g'(x)

(2)xf'(x)+f(x)≥O构造W(X)]'=∙V'(x)+∕(x)

(3)/(Λ)+∕(X)>O构造[e"(x)]'=e'"'(x)+f(x)]

(4)/0)+/(%注0构造3'/(犬)[=x"fXx)+nx"~'f(x)=x"~'[xf∖x)+nf(x)](注意X的符号)

(5)f(x)+2f(x)构造"(x)∕7=f'(x)e疝+"(樨疝=*"'(x)+"(x)]

关系式为“减”型构造：

(6)r(x)g(x)-∕(x)g'(x)构造[举H=f(x)g,)-*)gG)

g(x)[g(x)]

(7)√(%)-∕(%)≥0构造[d¾=1⑴G)

X厂

(8)/(X)-∕(Λ)>O构造必当=1W(x)e，=/(%)：/(x)

e(eʌ)e

(9)V(X)—硬(χ)≥o构造[第1==W(χ)二歹S)(注意X的醋)

X(ɪ)X

(io)f∖χ)-λf{x}构造[等r=7⑴；UX)*=

区点题型解读

题型1构造/G-)±g⑸题型5构造f(χ)

题型2构造Λ-,7(Λ)题型6构造/W

题型3构造*∕(χ)题型7构造si∏Λ∖COSΛ∖∕(x)

题型4构造in<√ω题型8其他复杂构造

【题型1构造/(χ)±g(χ)型】

【例1】(2023•陕西西安统考一模)已知定义在实数集R上的函数“X)满足川)=3,且/(x)的

导数/'(X)在R上恒有/'(X)<2(XGR),则不等式/(x)<2x+l的解集为

A.(∣,+8)B.(-∞,-l)C.(-l,ɪ)D.(Y,T)U(1,M)

【答案】A

【解析】构造函数g(x)=∕(x)T2x+l),则g3=f'(x)-2<0,

所以函数g(x)在定义域R上为减函数，且g(D=f⑴-(2+1)=0,

所以g(x)<0的解集为(l,+∞),即/(x)<2x+l的解集为―)，选A.

【变式ɪ-l](2022秋・河北沧州•高三南皮县第一中学校联考期中)已知定义在R上的函数/(x)

的导函数为f'(x),若/'(x)<e',且/(2)=/+2,则不等式/(lnx)>x+2的解集是()

A.(0,2)B.(θ,e2)C.(e2,+∞)D.(2,+∞)

【答案】B

【解析】设g(x)=∕(x)-e'+2,则g'(x)=∕"(x)-e',

因为r(x)<e]所以/'⑺-e，<0,即/(x)<0,

所以g(x)在R上单调递减.

不等式"lnx)>x+2等价于不等式〃InX)T+2>4,

即g(lnx)>4.因为/(2)=/+2,

所以g(2)="2)-/+2=4,

所以g(lnx)>g⑵.因为g(x)在R上单调递减，

所以InX<2,解得O<x<e+故选:B

【变式l-2](2023•辽宁・辽宁实验中学校考模拟预测)已知函数/(X)为定义在R上的偶函数,

当XW(O收)时，_f(x)>2x,/(2)=4,则不等式V(X-l)+2∕>x3+x的解集为()

A.(-l,0)u(3,+∞)B.(-1,1)(3,+∞)C.(-∞,T)(0,3)D.(-1,3)

【答案】A

【解析】因为/'(x)>2x,所以八x)-2x>0,

构造函数F(X)=F(X)-V,当Xe(O,+∞)时，FXx)=f'(x)-2x>0,

所以函数F(X)在区间(0,+8)内单调递增，且F(2)=0,

又Ax)是定义在R上的偶函数，所以尸(X)是定义在R上的偶函数，

所以F(X)在区间(-∞,0)内单调递减，且F(-2)=0.

不等式V^(XT)+2χ2>V+x整理可得：xf(x-l)+2x2-x3-x>0,即H∕(x-l)-(x-l))>0,

当X>O时,/(X-D-(X-I)2>0,则X-I>2,解得X>3；

当x<0时，/U-D-(X-I)2<0,贝卜2<x-l<0,解得—Ivxvl,

又x<0,所以-l<x<。.

综上，不等式#(彳-1)+2/>/+》的解集为(-1,0)53,+8).故选：A.

【变式1-3】(2022秋.河南郑州.高三校考阶段练习)定义在(0,+8)上的函数/(χ)满足

矿(X)+1>0,〃2)=尺,则不等式/C)+x>0的解集为()

A.(0,21n2)B.(θ,I∏2)C.(1∏2,1)D.(ln2,+∞)

【答案】D

【解析】令g(x)=f(x)+IlW,(x>°),

则g'(x)=很(χ)+LV'㈤+1,由于矿(χ)+ι>o,

XX

故g'(χ)>o,故g(x)在(0,+8)单调递增,

而g(2)=f(2)+ln2=In5+ln2=0,

由Fe)+x>0,得g(e*)>g(2),.∙.e*>2,即x>ln2,

，不等式/C)+x>0的解集为(In2,+co),故选：D.

【题型2构造x"∕(x)型】

【例2】(2022秋.江苏扬州.高三校考阶段练习)函数/(x)是定义在区间(0,y)上的可导函数，

其导函数为尸(x)目满足/'(x)+2"x)>0，则不等式(^V+2°23);(X+2023)<巨枭的解集为()

A.{x∣x>-2020}B.{x∣x<-2020}C.{x∣-2O23<x<θ}D,{x∣-2023<x<-2020)

【答案】D

【解析】根据题意，设g(x)=x力x),x>0,则导函数g'(x)=%7'(x)+2犷(x),

函数“X)在区间(0,y)上,满足/'(x)+f"x)>O,则有力，(小2双力>0,

所以g'(χ)>o,即函数g(χ)在区间(0，+8)上为增函数，

3号3<溪n(x+2023)2"x+M3)<3R3),

所以g(x+2023)<g⑶,则有0<x+2023<3,解得-2023<x<-2020,

即此不等式的解集为何-20230<-2020},故选：D.

【变式2-1](2023秋・江西•高三校联考期末)已知f(x)是定义在(y,0)U(0,÷w)上的奇函数，

/V)是/(x)的导函数，当QO时，Λf(x)+2"x)>0.若"2)=0,则不等式x7(x)>0的解集是

()

A.(-00,-2)(0,2)B.(-0°,-2)vj(2,+ao)

C.(-2,0)-(2,e)D.(-2,0)u(0,2)

【答案】B

【解析】构造函数g(x)=χ2∕(x),其中XWo,贝(Jg(-)=(-)2/(-)=3/(^)=-8(^),

所以,函数g(ɪ)为奇函数，且g⑵=。,g(-2)=-g(2)=0,

当X>O时，g,(^)=f∖x')+2xf∖x)=ɪ[v"(ɪ)+v(ʌɔ]>ɑ,

所以，函数g(x)在(。，+8)上为增函数，

因为函数g(χ)为奇函数，故函数g(χ)在(y，。)上为增函数，

由/./"(*)="8(犬)>0可知，当x<0时，g(x)<0=g(-2),可得χv-2;

当x>0时，g(x)>O=g⑵，可得x>2.

综上所述，不等式V"x)>。的解集为(f-2)52,+力).故选：B.

【变式2-2】(2022秋•内蒙古鄂尔多斯・高三统考期中)已知定义在(f0)U(0,上的奇函数

y=∕(χ)的导函数为y=∕'(χ),当χ>o时，χf,(χ)<-f(χ),且"2)=3,则不等式

2V(2x+l)<6-/(2x+l)的解集为()

Am)BDCuMM)

【答案】C

【解析】由题意可知，当χ>o时，V,(χ)+∕(χ)<o,

构造函数g(x)=∙ʧ(x),其中xe(f0,0)u(0,κ),

则86力二-0^-力二^⑴二8⑴,所以，函数g(χ)为偶函数，

且当x>O时，g'(χ)=V'(χ)+∕(χ)<0,所以，函数g(x)在(0，+时上单调递减，

因为g(2)=242)=6,

由20(2x+l)<6-/(2x+l)可得(2x+l)"2x+l)<6,即g(2x+l)<6,

所以，g(∣2x+力<6=g(2),故∣2x+l∣>2,

31

即2x+l<-2或2x+l>2,解得x<-]或x>].故选：C.

【变式2-3】(2023•全国•高三专题练习)已知奇函数/(x)的定义域为R,导函数为尸(x),若对

任意XWO,m),都有3"X)+ΛΓ(X)>O恒成立，/(2)=2,则不等式(x-1)3"XT)<16的解集是

【答案】(T3)

【解析】设g(x)=力U),x∈R,为奇函数,

∙∙∙g(r)=(-x)>(τ)=χ3∕(x)=g(x),即g(x)是偶函数,有g(x)=g(-x)=g(W),

∙.∙Vxe[0,+∞),3∕(x)+矿(x)>O恒成立，

故xe[0,+∞)时，g'(x)=3x2f(x)+x3f,(x)=x2(3f(x)+xf'(x))≥O,

•••函数g(x)在［0,+∞)上为增函数,

V/(2)=2,.∙.g(2)=g(-2)=16,(χ7)∕χT<i6等价于g(x-l)<16=g⑵，

g(x-l)=g(∣x-l∣)<g(2),且函数g(x)在［0,+8)上为增函数,

ʌ∣x-l∣<2,解得-IVXV3.

故答案为：(T3)

【题型3构造e""(X)型】

【例3】(2023•全国•高三专题练习)若/(x)在R上可导且〃O)=O,其导函数尸(x)满足

/(x)+Γ(x)<O,则/(x)<0的解集是()

A.(-∞,0)B.(-8,1)C,(0,+∞)D.R

【答案】C

【解析】设/""U),则短(X)=e"(x)+e"M)=ep(x)+f(X)),

因为/(x)+∙Γ(x)<O,所以g'(x)<O在R上恒成立，所以g(x)单调递减，

又"0)=0得g(0)=0,由MX)<()等价于g(x)<O,

所以x>0,即/(x)<0的解集是(。，+8).故选：C.

【变式3-11(2022秋・江西南昌高三南昌二中校考阶段练习)已知定义在R上的偶函数"x)满

足“x+2)-∕(2-x)=0,/(2022)=1,若/(司<广(-x),则不等式〃χ+l)>∕的解集为()

A.(fO)B.(-∞,1)C,(l,+∞)D.(3,+∞)

【答案】B

【解析】“X)是定义在R上的偶函数,.∙√(χ)=∕(-χ),

则r(χ)=-r(τ),即r(χ)是奇函数，

a∕ω<∕,(-%)=-∕,w,可得/(χ)+r(χ)<o,

构造g(x)=e"(x),则g，(x)=e&(x)+r(x)］<0,所以函数g(x)单调递减，

/(x-2)=∕(2-x),.∙J(χ)=∕(r+4)=∕(-x),即/⑴的周期为4,

贝IJA2)=/(2022)」,即e2∕(2022)=eR2)=e=g⑵；

e

不等式/(x+l)>,可化简为e"V(x+l)>e,即g(x+l)>g(2),

所以x+l<2,解得x<l.故选：B

【变式3-2】(2023•全国•高二专题练习)已知函数的导函数为/'(X),且尸(x)+"(x)>0.若

[=3%图,“舟图,图,则()

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.a>c>b

【答案】B

【解析】设g(x)=e2"(x),则g，(X)=e2*(2"x)+/(X)),

因为/'(x)+2"x)>0恒成立，所以g'(x)>O,所以g(x)在(F，+8)单调递增，

设MXT(X>。)，贝M(X)=*,

^X

当O<x<e时，Λ,(x)>O,MX)单调递增,

当x>e时，"(x)<0,∕z(χ)单调递减，

所以"3)>6(π)>M4),即殍>啊>竽=竽,

ɔπ4Z

rlrɪ兀)(In2^__...C

m>8〔三'即。>6>。.故x选a：B

【变式3-3】(2022春•河南•高二校联考阶段练习)定义在R上的函数/(x)满足2∕(x)+∕'(x)<0,

则下列不等式一定成立的是()

A.e2∕(2)<∕(3)B.e2∕(2)>∕(3)CJ(2)<e2"3)D."2)"2"3)

【答案】D

【解析】令g(x)=e2"(x),则g，(x)=2e”/(x)+e2、r(x)=e"2f(x)+rM，

因为e”>0,2∕(x)÷Γ(x)<0,所以/(x)<0,所以函数g(x)为减函数,

所以g⑵>g(3),BPe4∕(2)>e6∕(3),所以/(2)>e2∕(3).故选：D.

【题型4构造lnx∙∕(X)型】

【例4】(2023•全国•高三专题练习)设/'(X)是定义在R上的连续奇函数/(x)的导函数，当χ>0

时，lnΛ∙Γ(x)<-l∕(x),则使得(χ2-2x)”x)≥0成立的X的取值范围是().

A.(-∞,0]o[2,-κz≈)B.(-∞,2]C.[0,2]D.[2,+∞)

【答案】B

【解析】令解X)=InX∙∕(x),(x>0).

则短(X)=Inx∙r(x)+∕(x)<0,所以g(x)在(。,+8)上单调递减.

又g。)=。,所以当Xe(O，1)时，g(x)>(),而lnx<0,所以“力<。；

所以当XG(1,+∞)时,g(x)<0,而lnx>0,所以"x)<0.

在InX.尸(x)<T"x)中，令可得：/(l)<0.

所以当Xe(O,讨)时都要"x)<0

又是定义在R上的连续奇函数，所以A。)=。，当xe(r,0)时，F(X)>0.

所以任-2x)∕(x"°可化为。或"O或《ILNO，

解得：0<x42或X=O或x<O.

综上所述：x≤2.故选：B

【变式4-1】(2022秋.云南楚雄.高三统考期末)已知e是自然对数的底数，函数〃x)的定义域

为(。，+8),((%)是/U)的导函数，且W+lnx∙r(x)>0,则()

A.∕(j+"e)>OB./出<0C./(e)<0D./(1)=0

【答案】A

【解析】令函数g(x)=l∏x∙"x),贝(JgQ)=牛+lnx∙r(x)>0,

g(x)在(0,+功上单调递增.又g(l)=0,

所以g(e)=∕(e)>O,gQ)=-∕(j<°,即∕Q)>°，”1)的大小不确定.故选:A∙

【变式4-2](2022.全国高三专题练习)已知/(X)是定(-∞,0)(0,+∞)的奇函数，/U)是"e)的

导函数，f(D<O,且满足：Γ(x)∙lnx+^<0,则不等式O∣)∙∕(x)<0的解集为()

A.(l,+∞)B.(-∞,-D∣(0,∣)C,(-∞,1)D.(-∞,0)u(l,+∞)

【答案】D

【解析】令g(χ)=扇∙∕(χ),贝(Jg'(X)=T∙∕(χ)+/W/'(χ)<o,

故函数g(x)单调递减，定义域为(0,+8),

g(1)=0,.∙.0<XVI时，g(x)>O；l<x时，g(x)<O.

Q0<x<l时，Inx<Q;尤>1时，Inx>O.

，当x>0,X"时,∕ω<O,又/(1)<0.

••・当χ>0,/U)<O,又/(X)为奇函数，...当x<0,/(x)>O.

x>]fx<1

不等式(厂1)/幻<0等价于代3<0或。何>0解得x〉l或者χ<o

故答案为：D.

【变式4-3](2022.全国•高三专题练习)已知函数〃x)的定义域为(0,+8),导函数为广(x),且

满足/(x)+Λf(x)lnx>。,贝怀等式/(x-2020)ln(x-2020)≤0的解集为()

A.(→o,2020)u(2021,^o)B.(0,2021)C.(2020,2021]D,(2021,2022]

【答案】C

【解析】根据"x)+4'(X)InX>0,X>O得(X)InX>0.

设F(X)=/(x)InX(x>0),则/X)=华W(x)lnx>0,

则函数网x)在(0,+e)上单调递增,且F(I)=O,

则不等式/(x-2020)ln(x-2020)≤0,可化为网x-2020)≤F(l),

则黑7,解得2020<x≤202L故选：C.

∣Λ-ZvZU31

【变式4-4](2023.全国.高三专题练习)已知函数的定义域是(。，+⑹,其导函数是/'(H

且满足Inx/(x)+g∕(x)>O,则下列说法正确的是()

AJI})>。B・《卜。

C./(e)>0D./(e)<0

【答案】AC

【解析】设g(x)=F(X)Jnx,可得g3=lnx∙r(x)+:∕(x)>0,g(x)单调递增，

又因为且⑻=，®/^=/®,⅛(ɪ)ɪʃ(ɪ)-lnɪɪ-/(ɪ),g(D=∕(D∙lnl=O,

eeee

且e>l>1,.∙.g(e)>g(l)>gd),

ee

得/(e)>O,θ>gd)=-fd),整理得fd)>θ,AC正确；故选：AC

eee

【题型5构造/(x)/F型】

【例5*2023秋•贵州铜仁高三统考期末股函数/U)是奇函数/(x)(XeR)的导函数JS)=。,

当x>0时，Xf1W-fW>0,则使得AX)>。成立的X的取值范围是()

A.(-∞,-l)u(0,l)B.(-l,0)u(l,+∞)C.(-∞,-l)u(-l,0)D,(0,l)u(l,+∞)

【答案】B

【解析】设F(X)=号,因为AM为奇函数，所以/(T)=-Ax),

所以F(T)=止包=3=F(X),所以F(X)为偶函数，

—X-X

对F(X)求导得F'(X)=Xf⑴；/8,

X

因为当X>0时，矿(X)-/(X)>0,所以/(X)>0,则F(X)在(0,+⑼上单调递增，

又因为F(X)为偶函数，则F(X)在(-O上单调递减，

因为尸(一1)=F(1)=-=Z^z^=O,

所以当x>0时,/(X)>0=>^^>0=>F(Λ)>0=F(1)=>X>1,

当XVO时，/(x)>0=>加<0nF(x)<0=F(-I)=—l<xvθ,

所以使得〃x)>。成立的X的取值范围是(T,0)51,+∞).故选：B.

【变式5-1](2022春•四川绵阳•高二盐亭中学校考阶段练习)已知定义在R上的连续函数"x),

其导函数尸(x),当x≠0时，恒有矿(X)-/(x)<0成立.设a=2/(；),b=冬网,c=∕(l),

则”，b,C的大小关系为()

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b

【答案】C

【解析】令g(χ)=T,贝(Jg'")=弋©,

当XWo时，恒有矿(X)T(X)<0成立，

••・当χ>0时，g'(χ)<o,即g(χ)在(0，+8)上单调递减.

则α=2fg)=g(T),*=γ∕(√2)=g(√2),C=F(I)=g(l),

⑴>g(忘),即α>c>6,故选：C.

【变式5-2](2023•全国•高二专题练习)设函数/(x)是定义在(0,+巧上的可导函数，且

V,W>2∕(x),则不等式4〃x-2022)<(x-2022尸〃2)的解集为()

A.(2022,2023)B.(2022,2024)C.(2022次)D.(0,2023)

【答案】B

【解析】由题知，函数A"是定义在(0,+8)上的可导函数，其导函数为/O),

且有十(x)>2∕(x),即(X)-2∕(x)>0,

设g(x)=绰，所以g'(x)/㈤:2V(x)=V'(x)[2∕(x)>0,

XXX'

所以g(x)在3+8)上单调递增，

因为"(X-2022)-(X-2022)2"2)<0,所以怎备<祟,

所以，解得2022<X<2024,

[1—ZUZZ<Z

所以不等式4∕(x-2022)-(x-2022尸"2)<0的解集为(2022,2024),故选：B

【变式5-3】(2023・全国高三专题练习)已知定义域为3户0｝的偶函数73,其导函数为一匕)，

对任意正实数A满足矿(x)>2f(x)且Al)=O,则不等式/(x)<0的解集是()

A.(-∞,1)B.(-1,1)C.(-∞,0)U(0,1)D.(-1,0)U(0,1)

【答案】D

【解析】令g(x)=§且XWO,则g'(x)=An,又Λf(x)>2f(x),

当x<0时g'(x)<O,当χ>O时/(x)>O,

所以g(x)在(-∞,O)上递减，在(。，+8)上递增，

由/(X)为偶函数，则g(-X)=券=号=g(χ),故g(χ)也为偶函数，

而g(T)=g(D=半=0,且/(χ)<o等价于g(x)=孝<华=g⑴,

所以⑶<1,故Xe(TO)(0,1).故选:D

【题型6构造/(x)/e"'型】

【例6】(2022.四川绵阳•四川省绵阳南山中学校考二模)已知定义在R上的可导函数/3的导

函数为了'(H,满足f'(x)<"x),且/(τ)="2+x),〃2)=1,则不等式/(χ)<e，的解集为()

A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(l,+∞)D,(0,+<χ>)

【答案】D

【解析】因为f(r)=∕(x+2),所以y=∕3的图像关于直线x=l对称，所以7(0)="2)=l,

设g(x)=华，则g⑴=")*),

ec

因为八x)<F(X),所以/(x)JUT㈤<0,所以g(x)在R上为减函数，

e

又g(0)=竿=1,因为f(x)<e∖所以g(x)<l,,g(x)<g(0),所以X>O.故选：D.

【变式6-1X2023秋•陕西汉中•高二统考期末圮知定义在R上的函数满足“力-/'(x)>0,

且有"2)=2,则/(x)>2ei的解集为()

A.(-∞,1)B.(—,2)C.(l,+∞)D.(2,+∞)

【答案】B

【解析】设F(X)=&P，则F(X)/⑸；J(x∕(x)<0,

e(e)e

.∙.F(x)在R上单调递减.

又"2)=2,则-2)=堡1=4.

e^e^

∙.∙f(x)>2eτ割介于色，即"χ)/(2),

ee

∙∙∙x<2,即所求不等式的解集为(f，2).故选：B.

【变式6-2](2023•全国•高三专题练习)设尸(x)是函数"x)的导函数，且尸(x)>34x)(xeR),

∙∕(g)=e(e为自然对数的底数)，则不等式〃InX)<丁的解集为()

A.闯B.(圜C.(°西D.已叼

【答案】C

【解析】令g(x)=字,则g'(χ)=rα)Sva),

因为/'(、)>3〃X)(XeR),所以g'(x)=∕'⅞"3>0,

所以函数g(x)在R上为增函数，

不等式"lnx)<x3即不等式√,

x>0

又加)=筌=竽，g0=吗L,

所以不等式“Inx)<χ3即为g(lnx)<gg),

即∣nx<∙∣,解得0<x<泥,

所以不等式“lnx)<d的解集为(0,%).故选：C.

【变式6-3】(2022秋・湖北高三校联考阶段练习)(多选)已知定义在R上的函数/(x)的导数

为尸(X),对任意的X满足尸(x)T(x)=e',贝IJ()

A.学⑴<"2)B.e7(-l)<∕(2)C.ef(θ)<∕(l)D.ef(θ)<∕(-l)

【答案】ABC

【解析】构造函数里,一⑴,所以*在上递增，

F(X)=eJ”e(X)=10x)R

所以尸(T)<F(O)<尸⑴<尸(2),

由尸(一1)<尸(O),得空)<型J(O)>炉(T)V(O)>eRf,D选项错误.

ee

由尸(O)</1),得⑼<*)，C选项正确.

由F(T)<网2),得守<券,e)(T)<∕(2),B选项正确.

由尸⑴<*2),得*<竽©⑴<∕(2),A选项正确.故选：ABC

【变式6-4](2022秋・山西太原•高三校考期中)已知定义在R上的函数/(x)满足/(x)=e"(τ),

且/⑴=点尸(X)是/(x)的导函数，当30,+∞)时，f'(x)<"(x),则不等式的解

集为________

【答案】(~∞,0)(S)

/∖/(ɪ)r(x)e”∕∕(χ)r(ɪ)-ɪʃ(ɪ)

【解析】令g(x)=—⅛2,则g，(x)=

2X

eP2

f(x)f(-x)

因为/(x)=e∖Λ-X),即告=—^,

P-a2

所以g(x)=g(r),即函数g(x)为偶函数，

因为，当xe[0,y)时，

V；

所以，当xe。”)时,g>(x)=J_2_<0,函数g(x)为单调递减函数,

因为函数g("为R上的偶函数

所以，函数g(x)在(y，。)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，

因为/⑴=G,所以g(i)=—『=需=1

X/(X-1).

因为Jy(X-I)<J可变形为以<，即g(x-ι)<g⑴,

e2

因为函数g(x)为R上的偶函数，在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减,

所以,χ-l<T或X-I>1,即χ<0或x>2,

所以，不等式√√(1)<0的解集为(F0)I(2,÷∞)

故答案为：(-∞,0)一(2,+∞)

【题型7构造SinX,cosXJ(X)型】

【例7】(2022秋河南商丘高三校联考阶段练习)已知函数小)J'(x)是其导函数，Vx{%),

尸(X)COSX+/(x)SinX=InX恒成立，则()

A.上图+可图卜1＜何,⑴B.(痒1)„＞&，传)

c∙后卧⑸仔)d∙2倜＞(退+1)佃

【答案】D

【解析】设g(x)=祟[。＜》＜外，则g'(x)∕^ψ°SXY(X)SinX=3

CoSXI2J`/cos%cos%

当O<x<l时，g'(χ)<o,当ι<χ苦时,g'(χ)>o,

所以g(x)在(0,1)上单调递减，在]？上单调递增，

所以g(5>g(ι),g[2>g(ι),

所以g({∣+g]{∣＞2g⑴，即芈+26)＞那，

所以上O扁图卜°sl＞同⑴,故A错误；

因为1音唔甘，所以GN闺，

「5π(ππ∖ππ.π.π∖fβ-＞j2

乂COS—=Cos—+—=COS-COS—sin—sin—=-----------

12(64)64644

所以MT)佃＜⑸图,故B错误；

因为。＜W＜ι，所以g[(l＞gD),g(⅛hD

πππ.π√2÷√6

因为=cos—cos—÷sιn-sin—

64644

所以⑸卧矶，2,(卧回I)U，故C错误，D正确.故选：D

【变式7-1】(2023•全国•高三专题练习)奇函数/(x)定义域为(F,0)"0∕),其导函数是7'(x)∙

当。<x<κ时，有r(x)siιu-"x)cosx<0,则关于X的不等式““<五了修卜nx的解集为()

π

A.(7,TT)B.

C∙[-Γ0)uH)d∙

【答案】D

【解析】令尸(X)=黑，因为当O<x<兀时，有T(X)SinX-“X)COSX<0,

所以，当0<x<兀时，F'(x)J'a)sin：j'X)CoSX(0,

所以，函数尸(χ)=42在(0，万)内为单调递减函数，

Sinx

所以，当0“<兀时，关于X的不等式/(χ)<夜/(5卜独可化为黑<%,

Sm4

TTTT

即尸(x)<F(R,所以乃>x>l;

当一万<xvθ时zO<-%<ÆZ

∕,f-∖f(-)

则关于X的不等式〃“⑸仔卜nx可化为翟>—+,即需+

''sin—v7sin—

44

f(-)

因为函数”X)为奇函数，故点』>一+，也即F(T)>f£)

Sin4

所以τ<,即、>号，所以，,

综上，原不等式的解集(-今。£，办故选：D.

【变式7-2】(2023•全国•高三专题练习)已知可导函数∙f(x)是定义在上去最上的奇函数.当

Xe(O,和寸，/(x)+∕,(x)tanx>O,贝怀等式COSX./1+')+sinr"r)>0的解集为()

A•卜A"B」一加C.(-全用D.卜川

【答案】D

【解析】当xe1°，■^!时，f(x)+∕'(x)tanx>O,则COS4(x)+r(x)sinx>0

则函数SinM(X)在场)上单调递增,又可导函数〃x)是定义在卜卦)上的奇函数

则sinΛf(x)是卜卦)上的偶函数，且在译，。)单调递减,

πππ

—<X+—<—

222可得WgO)

由，则"畀呜，"呜

ππ

—<-x<—

22

则Xelg°］时，不等式CoSX.小+升SinX∙∕(r)>0

可化为Sin(X+3升Sin(T)∙f(τ)

又由函数Sin虫x)在(Om上单调递增，且Te(0m，、+界(。，£|,

则有5>x+5>τ>O，解之得-^<x<0,故选：D

【变式7-3】(2023•全国•高三专题练习)已知奇函数”x)的导函数为/'(X),且“x)在圈上

恒有ZH<E区成立，则下列不等式成立的()

sιnxCosx

【答案】B

【解析】构造函数F(X)=.，由/(x)在上恒有出成立，

sιn%∖ZJsιnxCoSX

即r(x)siiu-.f(x)cosx>0,;.F(X)J(X)Sɪj(X)COSA>0,.∙.F(x)在(0身上为增函数,

又由网一X)=⅛⅜=嗯=Fa)」F(X)为偶函数

*'川讣呜H⅛<4"∙扃(”图’故A错误■

64

偶函数爪X)在向上为增函数，∙∙ι(χ)在卜M上为减函数，

π<π

故B正确;

故C错误;

,故D错误.故选：B

.π.π

会”•呜H%sinsin

34

【题型8其他复杂构造】

［例8］(2022秋・山东德州•高三统考期末)设函数f(力在R上的导函数为尸(x),若

Γ(x)>∕(x)+1,/(x)+∕(fl-x)=2,/(fl)=5,则不等式/(x)+2e'+l<0的解集为()

A.(0,2)B.(3,5)C.~,0)D.(0,+巧

【答案】C

【解析】令g(M",.>∕Wg∙3=小”1>。,Y⑴在R上单调递增，

/(x)+∕(α-x)=2,/(α)=5,.∙.∕(0)=2-∕(α)=-3,.∙.g(0)=^⅛^=-2,

不等式/(x)+2e'+l<0o∕(x)+l<-2e'o^4il<-2,即g(x)<g(0),

e

由函数g(x)在R上单调递增得XVo,

故不等式“x)+2e'+l<0的解集为(f0).故选：C.

【变式8-1】(2022•全国.模拟预测)已知函数/(x)的定义域为［0,+8),导函数为了'(X),若

/'(x)<智恒成立，则()

A./(2)>∕(3)B.2/(1)>/(3)C./(5)>2∕(2)D.3/(5)>/(1)

【答案】B

【解析】设函数g(x)=智(x≥0),因为/'(x)<g?,XNO,

所以(x+i)r(x)-/ah。，则g")=α+ιZu)〈0,

∖Λ+17

所以g(x)在[0,÷∞)上单调递减，

从而g(l)>g⑵>g⑶>g(5),即芈>W>率>芈).

2346

所以4"2)>3”3),2∕(1)>F(3),2/(2)>/(5),341)>∕(5).故选：B

【变式8-2](2022.全国•高三专题练习)已知定义在R上的图象连续的函数〃x)的导数是.因1)，

/(Λ)÷∕(-2-X)=0,当χ<T时，(X+1)[∕(X)+(X+1)∕(X)]<0,则不等式由X-1)>/⑼的解集为

()

A.(-l,ɪ)B.(-∞,-l)C.(l,+∞)D.(-∞,-l)u(l,+∞)

【答案】A

【解析】当X<τ时，(χ+ι)[∕(χ)+(χ+ι)∕'(χ)]<o,即有/(χ)+(χ+ι)∕'(χ)>o.

令F(X)=(X+l)∕(x),则当x<T时,Γ(X)=∕(Λ)+(X+1)Γ(X)>0,

故F(X)在(e,T)上单调递增.

,/F(-2-x)=(-2-X+1)/(-2-x)=(-1-x)[-/(.«)]=F(x),

∙∙.F(X)关于直线户-1对称，故F(X)在(TE)上单调递减，

由-(X-I)>f(0)等价于f(X