四川省内江市2023届高三第一次模拟考试数学（理）试题（解析版）

内江市高中2023届第一次模拟考试题

数学（理科）

L本试卷包括第I卷（选择题）和第∏卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分，考试

时间120分钟.

2.答第I卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的K答案X标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其它K答案H标号；答第∏卷时，用0∙5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区

域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在试题卷上.

3.考试结束后，监考员将答题卡收回.

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）

1,复数Z满足（l+3ι）z=（l+2ι）F,则目=（）

AeB1C.显

223

K答案HA

K解析D

R祥解』利用复数的四则运算和模长公式计算即可.

K详析』由,=T可得Z=MI2-i_(2-i)(l-3i)-l-7i

l+3i^(l+3i)(l-3i)-10

故选：A

则集合(条

2.设集合A=IXk2-4X+3<0∣,B=Vx∈Nlog2∣<θkA)CS=()

A.(0,l]B,(0,l]u[3,÷w)c.{1,2}D.{1,3}

K答案DD

K解析D

样解化简集合求出即得解.

KDA,8,δkA

K详析D解：A={ψ2-4x+3<θ}=(l,3),所以4A=(-∞,1]∣J[3,+OO),

B=<%∈N*log2∣≤0>={1,2,3},

所以(Q4)B={l,3}.

故选：D

3.此次流行的冠状病毒为一种新发现的冠状病毒，国际病毒分类委员会命名为SARS—Cov-2.因为人群

缺少对新型病毒株的免疫力，所以人群普遍易感.为了解某中学对新冠疫情防控知识的宣传情况，增强学生

日常防控意识，现从该校随机抽取30名学生参加防控知识测试，得分（10分制）如图所示，以下结论中错

误的是（）

+频数

42~~~~"^⅞2"^^"2"

士一口-印书十计口-Tτπ一

°345678910得分

A.这30名学生测试得分的中位数为5.5

B.这30名学生测试得分的众数为5

C.这30名学生测试得分的平均数比中位数大

D.从这30名学生的测试得分可预测该校学生对疫情防控的知识掌握较好

K答案，D

R解析H

K样解》根据统计图可依次计算中位数、众数和平均数，由此依次判断各个选项即可.

K详析D对于A,这30名学生测试得分的中位数为得分从小到大排列后，第15和16名学生成绩的平均数，

由统计图可知：中位数为*=5.5,A正确；

2

对于B,由统计图可知：这30名学生测试得分的众数为5,B正确；

对于C,这30名学生测试得分的平均数为6+12+50+36+21+16+18+20。、斗＞5.5,即平均数比中

30

位数大，C正确；

对于D,这30名学生测试得分的平均数、众数、中位数均较低，由此可预测该校学生对疫情防控的知识掌

握的不够好，D错误.

故选：D.

4.已知向量α=（2,4）,ZJ=（-2,771）,若α+人与〃的夹角为60，则。在α+〃方向上的投影为（）

A6R百「2√3

D.-------------

333

K答案』c

K解析】

K祥解》根据向量夹角的坐标表示可构造方程求得机的值，根据投影的定义可直接求得结果.

yajrbyb团（加+4）ɪ

R详析H-,«+/?=（0,∕w+4）,.∖cos<d+b,b>==

∣α+⅛∣∙∣⅛∣n+nr∙∣m+4|2

m1m=±"

当〃2>Y时，I------T=~,解得:

√4+∕nI23

若加=一^1,.∙.cos<a+h,b>=mʌɔʌ/ɜ

I2<0不合题意,.・"%=包

3√4+∕√3

m1ɔʌ/ɜ

当〃?<-4时,I,二T，解得：m=±——（舍）；

√4+∕n-23

c

m=空，：.b

综上所述:-2,

3

c°s<a+…、QXL空

.•)在α+∕j方向上的投影为W

V323

故选：C.

2兀

5.ABC的内角A、B、C所对的边分别为。、b、c,己知B=——,OCSinA=8sinB,。=4,则匕=()

3

A.4B.2√7C.2√3D.2及

K答案》B

K解析R

R祥解H利用正弦定理角化边，可求得C∙的值，再由余弦定理即可求得K答案Il.

K详析D解：因为人CSinA=8sin3,所以a〃c=8Z?,即αc=8.

又α=4,所以c=2,

由余弦定理得b?="+c?-2αccos8，

从而8=/^+22-2χ8χcos年=2√7.

故选：B

6.己知数列｛α,,｝满足：4=1024,点(〃%)在函数y=∕L)(α∈R)的图象上，记S”为｛4｝的前"

项和，则S”-Sg=()

A3B.4C.5D.6

K答案，A

K解析H

K祥解H由卬以及R解析』式求出凡=2∣j,再由S”-Sg=4o+即得出K答案决

K详析》由题得q=1024=gα,解得〃=2"，故4,=2∣j,所以与-Sg=q°+a”=2∣+2°=3

故选：A.

K解析H

R祥解力由函数为偶函数可排除AC,再由当x∈(0,l)时，/(x)<0,排除D,即可得解.

R详析2设y=∕(χ)=5号，则函数/(x)的定义域为｛x∣x≠0｝,关于原点对称，

又/(τ)=｛：，：；=/(x),所以函数/(χ)为偶函数，排除AC；

当x∈(0,l)时，比国(0,/+2)0,所以/(x)<(),排除D.

故选：B.

8.******多次强调生态文明建设关系人民福祉、关乎民族未来，是事关实现“两个一百年”奋斗目标；事

关中华民族永续发展的大事.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的

进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为3mg∕cn√,排放前每过滤一次，

该污染物的含量都会减少20%,当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0∙25mg∕cm3,若要使

该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为()

(参考数据：lg220.3010,lg3αθ.4771)

A.10B.HC.12D.13

K答案DC

K解析H

K祥解11根据已知关系可构造不等式3x(1—20%)"≤0.25,利用指数与对数互化可得〃Nbgd],结合

5"

换底公式和对数运算法则可求得〃的最小值.

K详析D设排放前需要过滤〃次则3x(1-20%)”<0.25,

lg12^lg3+lg4Ig3+21g20.4771+0.602

口—⅛8-lgl031g2-l0.903-1

又“∈N*,∙∙∙"min=12,即排放前需要过滤的次数至少为12次.

故选：C.

9.“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗、勇敢拼搏精神的总概括，她们在世界杯排球赛中凭着顽强战斗、

勇敢拼搏的精神，五次获得世界冠军，为国争光∙2019年女排世界杯于9月14日至9月29日在日本举行，

中国队以上届冠军的身份出战，最终以11战全胜且只丢3局的成绩成功卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国

70华诞献上最及时的贺礼.朱婷连续两届当选女排世界杯MVP,她和颜妮、丁霞、王梦洁共同入选最佳阵

容，赛后4人和主教练郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则朱婷和王梦

洁站于郎平同一侧的概率为()

ɪɪ1

A.B.C.一D.

2346

K答案』B

K解析H

K祥解D利用排列组合与概率的定义，进行计算即可

K详析Il4人和主教练郎平站一排合影留念，郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则不同排法有

C；A；A；=24种，若要使朱婷和王梦洁站于郎平同一侧，则不同的排法有2A；A；=8种，所以所求概率

故选：B

10.已知函数/(x)=Sintυx(cos0x-sin(yx)+；((y〉0),若函数/(x)在兀)上单调递减，则。不能

取()

151

A.2B.-C.一D.-

3384

K答案HA

工解析H

R祥解》化简/(χ),得/(X)=在sin(2ox+^),求出函数/*)的单调递减区间为——

724|_8/ω8tyω

TTkτr,STTkττ1Sɔ

伏62),再根据(|>71)=—+—,—+—(Z∈Z),得2Z+L≤。≤%+己，&eZ,再分别令3=*,

8<υω8ωω_]483

ω=-,ω=~,求出整数我,由此可得R答案H.

384

K详析》因为/(x)=sin5(COSGX-si∏5)+g=sinG%∙cos5-Sin2s+；

1.C1-cos269%11/.cc、

—sin2ωx---------------÷-=—(Sln2ωx÷cos2ωx)

2222

=(sin2ωx∙ɪ+cos2ωx∙ɪ)=Sin(20尤+：)，

Trτt3兀

由一+2kτt≤2coxH—≤—+2kn,k£Z,

242

zαπku5兀E

得一+—≤x≤—+—kEZ,

8(oω869ω

πkπ5πkπ

所以函数/(χ)的单调递减区间为—+—,—+—(&∈Z).

SωωSωω

(兀］/兀πkπ5πku

又函数/(χ)在不,兀上单调递减，所以3,兀ɑ—+——,—+—(Z∈Z),

∖/∖/3ωω3ωω

πkπ,it

------1-----≤——

3ωω2

所以《kwZ,因为69>0,所以2攵4—<①≤ZH—,kwZ,

5兀kπ48

——+—≥π

8Gω

2125152

当刃=一时，得2k+-≤-≤k+-,得一≤k≤i不成立；所以口=一不可取；

343824243

当时，得因为所以时，可取到；

6y=∙l2A+∙L≤L≤Z+2,得-二≤k≤L,AeZ,Z=O<υ=L

343824123

当O=*时，得2A+∙!∙≤*≤Z+*,得0≤Z≤a,因为AeZ,所以攵=0时，◊=3可取到；

8488168

当①=L时，得2氏+J≤L≤A+3,得一3≤攵<0,因为&eZ,所以Z=O时，0可取到.

444884

2

综上所述：0不能取

故选：A

已知函数设02则()

11./(X)=/+2COSX,α=∕Q02),⅛=∕(θ.2),c=./(Iog022),

A.a>c>bB,a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

K答案HB

K解析》

K祥解D确定函数的奇偶性，利用导数证明函数的单调性，将c=∕(logo∙22)化为/(logo∙2θ∙5),比较

2°2,0.2°2,logo2θ∙5的大小关系即可得［答案》.

K详析》函数/(X)=/+2COSX的定义域为R,

/(-%)=(-x)2+2COS(-Λ)=/(x),故/(x)=/+2COSX为偶函数,

当x≥0时，/(x)=2x-2si∏Λ,令

g'(x)=2-2cosx≥0,

即g(x)=2x-2sinx,x∈[0,+∞)单调递增,故g(x)≥g(O)=O,

所以/'(X)≥O,则AX)=/+2CoSX在xe[0,+8)时单调递增，

由于C=/(log022)=/(-Iog02().5)=/(Iog020.5)

02O2

因为2>l,0<O,2∙<l,0<Iog020.5<1,

而0.2。2=*>=ɪ,Iog020∙5=ɪog,ɪ<logI七=；，

即2°∙2>0.2°∙2>k>go2θ∙5>θ,贝∣]q”>c,

故选：B

0vɪ<Q1

I'∣(e为自然对数的底数)，则函数F(X)=Fiy(X)—l的零点

)iɪrɪx∖9X>Ue

个数为()

A.5B.6C.7D.3

K答案XA

R解析H

R祥解》令"χ)=f,由尸(X)=O可得〃r)=-U+l,利用导数可确定/(χ)与y=[x+l图象的位

e~e

置关系，进而得到与y=*f+l有三个不同交点，并根据图象可确定三个交点。采

用数形结合的方式可确定/(χ)与y=G、y=L和>=A的交点总数，即为所求的零点个数.

K详析』设/(χ)=f,令F(X)=O可得：/(f)=-U+l;

e

设y=用》+1与y=e`相切于点(玉,eA|),

vv

(eʌ)'=/,；•切线斜率为e”，则切线方程为：γ-e'=e'(x-xl),即y=e"x+(I-Xje为，

k=ex,

∙"∙'Zʌ>解得：Xl=O,%|=1；

(I-XjeWχ=1

设y=&x+l与y=lnx相切于点(w,lnw),

・「(Inx)'切线斜率为一，则切线方程为：>一比々二」-(九一W)，即y二工了+也看一1,

1

攵2二-1

=e

，J工2，解得：X2^»左2二F；

Inx2-1=1

作出/(x)与y=±x+l图象如下图所示，

e

.∙.y=∖x+l与/(x)有三个不同交点，

即y=二/+1与/(r)有三个不同交点，设三个交点为r1√2√3(r1<z2<r3),

e

由图象可知：rɪ<O<z2<1<r3；

/(χ)与y=%无交点，与y=J有三个不同交点，与y=J有两个不同交点，

.∙.F(χ)=4/⑴―1的零点个数为5个.

故选：A.

In点石成金D方法r点石成金h求解函数零点个数常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根的个数，即为所求零点个数；

(2)数形结合法：先对K解析』式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的

图象，利用数形结合的方法求解.

第II卷(非选择题，共90分)

二、填空题(本大题共4.小题，每小题5分，满分20分.)

0≤x≤2

13.若实数XJ满足不等式组<x+y-2≥0,则z=2x+y的最小值为.

x-γ+2>0

K答案H2

K解析H

K祥解D根据不等式组可作出可行域，将问题转化为直线y=-2χ+z在y轴截距最小值的求解，采用数

形结合的方式可求得结果.

K详析》根据不等式组可得可行域如下图阴影部分所示，

当z=2x+y取得最小值时，直线y=-2x+z在y轴截距最小,

由图象可知：当y=-2x+z过A(0,2)时，在y轴截距最小，∙∙∙znιhl=0+2=2.

故R答案H为：2.

14.(l+2f)[χ+f的展开式中的常数项为.(用数字作答)

K答案，50

K解析H

,再分别根据二项式定理求解(X+L]中的

IXj

常数项与χ-2项即可

+2x2fx+lT考虑(X+』)中的常数项与χ-2项.由通项公

K详析D因为(1+2/

I×)

式7；M=C，即4+∣=C«6g,故当r=3时，(x+_l)中的常数项为C：=20,当r=4时,

(X+』)中χ-2的项系数为c：=15,故(l+2χ2)[χ+T)的展开式中的常数项为20+2x15=50

故K答案』为：50

15.已知/(x)是定义域为R的奇函数，且对任意的X都有/(%+l)=-∕(%),当O<x<l时，有

/(x)=4,+3,则/(3∙5)=.

K答案，-5

R解析D

R祥解》先求出函数/(x)的周期为2,再利用函数的周期和奇偶性得解.

R详析2解：由题得/(x+2)=∕[(x+l)+l]=-∕(x+l)=-[-∕(x)]=∕(x),

所以函数/(x)的周期为2.

所以/(3.5)=/(4-05)=/(-0.5)=T(O5)=-(405+3)=-5.

故K答案』为：—5

16.已知实数m6满足3"=5〃=15,则服力满足的关系有.(填序号)

@a+b>4；+(/?-1)2<2；③3α<5Z?;@a2+b2>10.

K答案D①③

K解析H

"羊解》对于①，先得到！+,=1,再利用基本不等式判断得解；对于②③，利用作差比较即得解；对于

ab

④，先作差，再求出4VV4.3,即可判断得解.

a

K详析X解：3"=5”=15，「∙—ɪθgɜ15,b=Iog515,

131

对于①，==°gi5+°gi55=Iog1515=1,

abIog315Iog515

所以。+匕=(。+匕)(工+，]=2+0+2>2+2、3.2=4(由于标b,所以不能取等).

IabJba∖ba

所以该命题正确；

对于②，由,+』=1得α+h=M,因为。+人>4,.二出?>4.

ab

(Q—if+(Z?-1)2—2=6f2+⅛2—2(a+b)=(a+b)2—2ab—2(a÷⅛)=a2b2—4ab

=ah(ab-4)>0,所以(a—iy+(8-l)2>2,所以该命题错误;

对于③，3a-5∕j=31ogU5-51ogs15=⅛^-⅛^=lgl5(⅛-⅛

Ig3Ig5Ig3Ig5

=lgl5(34：-5f3)=[g[5(lgl2：-lg：43)<0,所以为<5从所以该命题正确;

Ig3∙lg5Ig31g5

对于④，a2+h2-l0^(a+h)2-2ab-∖0^a2h2-2ah-∖Q=(ab-∖)2-Π,

545-5-5259

a=log315<log39√3≈-,∙.∙5>3,Λ5>3,∕.5>15,Λ∕?=Iog515<log5(5)=,

25

所以4va+bv4.3,所以4va⅛v4.3,

所以("-1)2-11<(4.3-1)2-11=10.89-11<0,

所以/+〃<10,所以该命题错误.

故K答案X为：①③

K1点石成金口关键［点石成金上这道题关键是如何处理④，利用作差法得到a2+b2-∖0^(ah-∖)2-∖∖,

r5-59

然后用利用a=Iog315<log,9√3=j,b=Iog515<Iog5(5)=ɪ得到4<ah<4.3,即可求解

三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答.)

(-)必考题：共60分.

17.第24届北京冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京和张家口联合举办.这是中国

历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的大热潮.某中学共有学生：1200名，其中

男生640名，女生560名，按性别分层抽样，从中抽取60名学生进行调查，了解他们是否参与过滑雪运动.

情况如下：

参与过滑雪未参与过滑雪

力生20m

女生Xy

(1)若x21(),y≥10,求参与调查的女生中，参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生多的概

举；

(2)若参与调查的女生中，参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生少8人，试根据以上2x2列

联表，判断是否有99%的把握认为“该校学生是否参与过滑雪运动与性别有关”.

附：

2

P(κ≥k0)0.1000.0500.0100.001

2.7063.8416.63510.828

n(ad-be)"

(α+A)(C+d)(α+c)Q+d)

4

K答案U(I)一

9

(2)没有99%的把握认为“该校学生是否参与过滑雪运动与性别有关”

K解析D

K祥解II(I)根据分层抽样原则可确定抽取的60名学生中，女生有28人，由此可列举出(χ,y)所有可能

的取值结果，并确定的取值结果，根据古典概型概率公式可求得结果；

x+y=28

(2)根据〈∙C可求得x，>的值，进而得到加，由列联表可求得K?弓4.286<6.635,对比临界值

yτ=8

表可得结论.

K小问1详析工

根据分层抽样原则知：抽取的60名学生中，女生有60X=28人，

若xN10,y≥10,则(XM所有可能的取值结果有(10,18),(11,17),(12,16),(13,15),(14,14),(15,13),

(16,12),(17,11),(18,10),共9个；

其中满足x>y的有(15,13),(16,12),(17,11),(18,10),共4个,

4

・•・参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生多的概率为一.

9

R小问2详析H

由(1)知：x+y=28,又y-x=8,.∙.χ=10,y=18,

/?1=60—20—28=12>

K2_60(20xl8-12x10)2

*4.286<6.635,

"-32x28x30x30

・•・没有99%的把握认为“该校学生是否参与过滑雪运动与性别有关”.

18.己知向量机=〃=(X.2x

cos—,sιn—,设函数/(x)=m∙"∙

22

(1)若/(x)=0,求Sinl2x+V的值;

(2)设一ABC内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且,求/(B)的取值范围.从下面两个

条件中任选一个，补充在上面的空隔中作答.

①Ej→tanA+tanB=O;②(2c+h)cosA+αcosB=()；注：若选择多个条件分别解答，则按第一

acosB

个解答计分.

K答案7(1)ɪ；

(2)选①和②K答案H都是(0,1).

K解析H

再解方程

K祥解》(1)结合向量坐标乘法及三角恒等变换，将/(x)化简成/(元)=+g,

/(X)=O求出X的值即得解;

(2)结合正弦定理、三角恒等变换及三角形角的范围，可解出A的值，即可求出8的范围，即可求出/(B)

的取值范围.

R小问1详析Il

解：因为加=ʌ/ɜsin^/，n=cos—X,sι.n2—X

IL22

x.x√3.1-cosx

所以/(x)=«=ʌ/ɜsincos—+sin2—=——smx+---------

2222

π1

=SinX----+2,

1πɪ

当/(x)=0时，sin[x-∙^+—0n,..sinX——

2I62

TTTTTTITl

所以X----=2kπ——或无----=2Zrπ+—,Z∈Z.

6666

4π

所以X=2Aπ或无=2⅛π+—,k∈Z.

3

鹿ππ1

当x=2kπ,A∈Z时，sin：Mx+-=sin(4Λπ+-)=-；

秒662

当X=2kπ+—,k∈ZH'f,sin».r+-=sin(4Λπ+竺+&)=sin(4Λπ+­)=ɪ.

3秒63662

综合得Sin照x+/=：.

秒62

K小问2详析H

解：若选①"c+tan4+tan8=O,

acosB

尔√3sinCsinAsinB_

由正弦定理可得二-------÷------+-----=O,

sinAcosBcosAcosB

Hn√3sinCsinAcosB+sinBcosA八

SinACoSBcosAcosB

ππGSinCSin(A+5)6SinCsinC„

sinΛcosBcosAcosBsinAcosBcosAcosB

由于sinC≠O,所以ʌ/ɜcosA+sinA=O，解得tanA=-ʌ/ɜ»

由于O<A<71,得A=空，所以0<B<二，

33

所以—乙<8—乙<四，得0<sin(6—色]+,<1,

666V6√2

即J(B)的取值范围是(0,1).

若选②(2c+))cosA+αcosB=0,

由正弦定理可得2sinCcosA+sinBCoSA+sinAcosB=O,

即2sinCcosA+sin(A+β)=2sinCcosΛ+sinC=0,

由于SinCH(),所以COSA=—1，由于0<A<7i,得A==,所以0<8<二，

233

所以—C<B-二<二，得0<sin(8_2]+」<l,

666I6J2

即/(B)取值范围是(0,1).

n

19.数列｛a,J满足：αl+202+303+∙∙∙+(n-l)αn,t=2+(n-2)∙2(n≥2).

(1)求数列｛a,,｝的通项公式；

(2)设24J)，7；为数列｛4｝的前〃项和'若7；(加一3根+3恒成立'求实数”的取值

范围.

K答案》(1)a,=T

(2)(-oo,l]u[2,+∞)

K解析》

K祥解Il(I)把递推关系式里的〃换成〃+1得到一个新的递推公式，两个递推相减可得到.

(2)裂项相消求和，然后求和的范围.

K小问I详析』

当〃=2时，α∣=2+(2—2)•2?=2

4+2ft,+3A3H----F-2)a”.2+(〃—l)α,∣-ι=2+(〃-2)•2"("22)①

Aj+2外+3%^∣----F(2)a“_2+(〃—1)ɑ,ɪ+=2+(〃—1>2""1)②

,,l

②减①得：nan=n∙2'(n>2)/.all=2(n>2)

经检验力也符合q=2"

综上：a,,=2"

K小问2详析』

.b-_____4_____=______二________」________L_

,n+nn+

■'(¾-l)(β,,+1-l)(2--l)(2'-l)2-l2'-l

1-

又因为I-F—<1,又因为《<加2—3机+3恒成立，即

2-1

l≤m12-3m+3.,.m2-3m+2≥0.∙.(加一2)(〃?一l)20.∙."∕≤1或加之2

所以加的范围为(-8,1]D[2,+OO)

20.已知函数/(x)=χ3+f-eR).

(1)求/(x)在区间[T,2]上的最值；

(2)若过点P(l,4)可作曲线y=∕(x)的3条切线，求实数。的取值范围.

K答案』(1)最大值10+”,最小值-----hCi；

K解析H

工祥解II(I)求导得到函数的单调性，根据单调性求得函数的极值和端点值，比较可得函数的最值；

(2)设切点。，进而得方程2d-2∕-2χ+5-α=O有3个根，然后构造函数利用单调性、极值求解即

得.

R小问1详析』

∙//(Λ)=x3+x2-x+α(α∈R),

.∙.∕,(Λ)=3X2+2X-1=(3X-1)(X+1),

由∕<x)>0解得χ>∣■或x<T,

由r(x)<o解得一ι<x<g,

又x∈[-l,2],

所以/(x)在-1,；上单调递减，在ɪ2上单调递增，

(1ʌ5

又/(-l)=α+l,/(2)=10+α,f-

.∙.∕(x)的最大值是10+α,最小值是―一+。；

K小问2详析X

设切点Q(Xo,片+片一方+a),则∕[Λ0)=3片+2%)-1,

则切线为y-xj+内)-〃=(3x；+2x0—,

4—片—+XQ—Q=(3尤：+2xθ—1)(1一兀0)

整理得—2xθ—2Λ^O+5—α=0,

由题意知此方程应有3个解，

令χ∕(x)=2X3-2X2-2x+5-a,

则”(x)=6χ2-4x-2=2(3x+l)(x-l),

由/Z(X)>0解得x>l或x<-g,由"(x)<()解得-g<x<1,

-æ,-ɪk0,+∞)上单调递增,在1-1)

函数〃(x)在-J上单调递减,

ɔ√\3/

145

.∙.当X=-g时，〃(x)有极大值，且极大值为〃------a

27

当X=I时，〃(x)有极小值，且极小值为从(1)=3-。；

要使得方程〃(X)=O有3个根,

比…。

则V27

〃⑴=3-a<0

145

解得3<α<—,

27

(145

.∙.实数。的取值范围为3,方

21.已知函数/(x)=αr+cosx(0≤xWτι,aeR).

(1)当α=(时，求/(x)的单调递增区间；

若函数/(x)恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为利"，求2加-〃的取值范围.

案』⑴(力和垮5π，π

R答

6

(2)-3

2,

K解析D

K祥解D⑴求导后，根据了'(X)正负可确定/(x)的单调递增区间;

求导后，根据正弦函数对称性可知Sin玉=SinX2=。且玉+*2=π,并可确定/(x)的单调性，由此

可得〃?,“，进而将2加一〃化为3x∣SinXl-兀SinXl+3COS玉，令g(x)=3xsinx—兀SinX+3COSx,

0<χ<p利用导数可求得g(x)单调性，进而确定g(x)的取值范围，即为2根一〃的取值范围.

K小问1详析』

当时，()则用

Q=gfX=gχ+COSX,X)sinx,

,

二当x∈(θ,∙^)u停',兀1时，f∖x)>0；当尤∈(聿,•时，∕(x)<0i

∖/(X)的单调递增区间为(0,部忤,冗)

K小问2详析D

,

∕(x)=α-sinx,∖/(χ)若有两个极值点分别为/,x2(xι<x2),

兀

则SinXl=SinX2=。，%/关于X=I对称，

>0;

且当尤∈(0,%)(x2,兀)时，/V)当X时，/'(x)<0;

\/⑴在(O,xJ,(乙,兀)上单调递增，在(为々)上单调递减，

,∖m=/(x1)=0x1+cosx1,n-/(x2)=αx2+∞sx2,

,

..2m-n=2(‹axl÷cosx1)-0x2-cosX2,

又X+x2=π,x1∈fθ,ɪI,

.∙.2tn-n=2aX[+2cosx1-4z(π-xl)-2cos(π-x1)=30x1-τuz+3cosx1=3玉sinx1-πsinx1+3cosx1,

令g(x)=3xsinx—兀SinX+3COSx,0<x<-,.,.^,(x)=(3x-π)cosx,

TT

当0<X<一时，cosX>0,

2

/ʌ/ʌ

••・当T呜)

时，F(x)<0；当时∙，g'(x)>O;

.∙