人教版九年级上册《第23章 旋转》单元复习课件

《第二十三章

旋转》

单元复习知识点一知识点二知识点三知识点一旋转的相关概念

把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,叫做图形的旋转,点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角.如果图形上的点P经过旋转变为点P',那么这两个点叫做这个旋转的对应点.23.1图形的旋转知识点一知识点二知识点三名师解读:可以这样理解和识别旋转的相关概念:(1)旋转中心:旋转中心可以是平面内的任意一点.注意:旋转中心是点,而不是直线,如生活中的开门、关门,虽然门转动了,但它是绕轴旋转一定的角度,所以它不属于我们要研究的绕定点旋转.(2)旋转角:因为经过旋转,图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,所以任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角.(3)旋转方向:旋转方向通常是指顺时针旋转或逆时针旋转.这三个方面构成的旋转的三要素,三者缺一不可.知识点一知识点二知识点三例1

如图所示,△AOB绕点O按顺时针方向旋转得到△COD,当OA⊥OC时,在这个旋转过程中,旋转中心是什么?旋转角是多少度?并指出各对对应点.分析:由于绕点O旋转,易确定点O为旋转中心;由OA⊥OC,所以确定旋转角为90°;有了旋转中心和旋转角,再根据旋转的三要素确定对应点.知识点一知识点二知识点三解:旋转中心是点O;旋转角是∠AOC(或∠BOD),等于90°;A和C,B和D分别是对应点,点O的对应点是它本身.识别旋转中心、旋转方向、旋转角时,先确定旋转中心,再抓住图形的性质确定旋转方向和旋转角.

知识点一知识点二知识点三知识点二旋转的性质旋转的性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等;(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;(3)旋转前、后的图形全等.名师解读:我们可以这样理解旋转的性质:(1)经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,对应点的排列次序相同;(2)任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角;(3)对应点到旋转中心的距离相等;(4)对应线段相等,对应角相等.知识点一知识点二知识点三例2

如图,将△ABC绕点A旋转到△AB1C1,下列说法正确的个数有(

)(1)AC=AB;(2)BC=B1C1;(3)∠BAC=∠B1AC1;(4)∠CAC1=∠BAB1.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析:根据旋转的性质,可知AC=AC1,故(1)错误;BC=B1C1,故(2)正确;∠BAC=∠B1AC1,故(3)正确;在(3)的基础上,结合等式的性质,得∠CAC1=∠BAB1,故(4)正确.答案:C知识点一知识点二知识点三解答这类问题,抓住旋转前后的两个图形是全等形是关键.

知识点一知识点二知识点三知识点三旋转作图进行旋转作图时可按照下列步骤进行:(1)在已知图形上找一些关键点(如三角形的三个顶点).(2)作出这些关键点的对应点,对应点的作法是:①将各关键点与旋转中心连接;②以旋转中心为顶点,以上述连线为一边,向旋转方向作角,使这些角都等于旋转角,且使另一边的长度都等于关键点到旋转中心的长度,则这些“另一边的端点就是对应点”.(3)顺次连接这些对应点.知识点一知识点二知识点三名师解读:根据旋转的性质可知,对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角,对应线段相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形.知识点一知识点二知识点三例3

如图,△ABC绕O点旋转后,顶点B的对应点为E,试确定顶点A,C旋转后对应点位置,以及旋转后的三角形位置.分析:连接BO,OE,则∠BOE就是旋转角,点E就是B点旋转后的对应点,作∠BOE=∠AOF,且OF=OA,点F就是A点旋转后的对应点,则按照此方法可找到C的对应点G.顺次连接各点,即可得到旋转后的三角形.知识点一知识点二知识点三解:如图所示.知识点一知识点二知识点三作一个图形的旋转后的图形,先确定旋转中心和旋转角,然后分别作出各个关键点(如:线段的端点、三角形和四边形的顶点、图形的拐点、公共点等)的对应点,最后按照原有顺序连接各点即可.

拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一旋转性质的运用例1

下列图中,已知等边三角形ABC和等边三角形DBC有公共的底边BC.(1)以图1中的某个点为旋转中心,旋转△DBC,使它与△ABC重合,则旋转中心有哪些点?(写出所有满足条件的点)(2)如图2,已知B1是BC的中点,现沿着由B到B1的方向,将△DBC平移到△D1B1C1的位置,如图3,连接AC1,BD1得到的四边形ABD1C1是什么特殊四边形?说明你的理由.拓展点一拓展点二拓展点三分析:(1)根据等边三角形的性质,得到四边形ABDC是菱形,从而再根据菱形是中心对称图形,得到旋转中心有B点、C点、BC的中点;(2)根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断.解:(1)∵等边三角形ABC和等边三角形DBC有公共的底边BC,∴AB=AC=CD=BD,∴四边形ABDC是菱形.∴要旋转△DBC,使△DBC与△ABC重合,旋转中心有三点,分别为:B点、C点、BC的中点.(2)四边形ABD1C1是平行四边形.理由如下:根据平移的性质,得到BB1=CC1,根据等边三角形的性质,得到AC=B1D1,∠BB1D1=∠ACC1,∴△BB1D1≌△C1CA,∴AC1=BD1,又AB=C1D1,∴四边形ABD1C1是平行四边形.拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题,在理解旋转的性质的基础上,抓住旋转前后图形中的“变”与“不变”,然后与其他相关知识结合,进行综合分析.

拓展点一拓展点二拓展点三拓展点二坐标系中的旋转作图例2

△ABC三个顶点A,B,C在平面直角坐标系中位置如图所示.(1)将△ABC向右平移3个单位,画出平移后的△A1B1C1;(2)将△ABC绕C点顺时针旋转90°,画出旋转后的△A2B2C,并写出A2的坐标.拓展点一拓展点二拓展点三分析:(1)把△ABC的各顶点向右平移3个单位长度,顺次连接得到的各点即为平移后的三角形;(2)以点C为旋转中心,把A,B两点顺时针旋转90°,得点A2,B2,顺次连接点A2,B2,C即可得到旋转后的图形,根据点A2所在象限及距离原点的水平距离和竖直距离可得相应坐标.拓展点一拓展点二拓展点三解:(1)如图所示.(2)如图所示,从图形可得A2的坐标为(8,3).拓展点一拓展点二拓展点三图形的平移或旋转要归结为图形关键点(顶点)的平移或旋转,在坐标系中的平移和旋转,只需在坐标系或网格中,利用坐标系或网格的特点,作出这些关键点的对应点,按照原有的顺序连接即可.

拓展点一拓展点二拓展点三拓展点三与旋转有关的综合题例3

如图,在正方形ABCD中作∠EAF=45°,分别交边BC,CD于点E,F(不与顶点重合),把△ABE绕点A逆时针旋转90°,落在△ADG的位置.(1)请你在图中画出△ADG(不写作法);(2)试说明线段BE,DF与EF之间存在怎样的数量关系.拓展点一拓展点二拓展点三分析:(1)过A作AE的垂线,与CD的延长线的交点就是G,据此即可作出;(2)根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE,则GF=BE+DF,只要再证明△AFG≌△AFE即可.解:(1)作图如下.拓展点一拓展点二拓展点三(2)BE+DF=EF.证明:∵△ADG≌△ABE,∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE.又∵∠EAF=45°,即∠DAF+∠BAE=∠EAF=45°,∴∠GAF=∠FAE.∴△AFG≌△AFE(SAS).∴GF=EF.又∵DG=BE,∴GF=BE+DF,∴BE+DF=EF.拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题,可以在画好图形后利用测量的方法进行初步的推测,然后分析图形的变化,找出图形中的全等形,最后验证并推出所发现的结论.

知识点一知识点二知识点三知识点一中心对称及相关概念把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心(简称中心).这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点.名师解读:中心对称是针对两个图形之间的关系,是特殊的旋转,是旋转角等于180°的旋转,理解时可与轴对称对比:23.2.1中心对称知识点一知识点二知识点三例1

下列图形中哪两个图形成中心对称

(

)A.(1),(3) B.(2),(3) C.(1),(4) D.(1),(2)解析:根据中心对称的概念判断即可.答案:D知识点一知识点二知识点三判断两个图形是否成中心对称,关键看能否找到一个点,绕着该点旋转180°后,一个图形和另一个图形能重合.

知识点一知识点二知识点三知识点二中心对称的性质中心对称的性质:(1)中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分.(2)中心对称的两个图形是全等形.名师解读:由于成中心对称的两个图形是全等形,所以对应线段相等、对应角相等.对称中心是对应点连线的中点.知识点一知识点二知识点三例2

如图,四边形ABCD与四边形FGHE关于点O成中心对称,下列说法中错误的是(

)A.AD∥EF,AB∥GFB.BO=GOC.CD=HE,BC=GHD.DO=HO知识点一知识点二知识点三解析:根据中心对称的定义和中心对称的性质分析:A,∵AD与EF关于点O成中心对称,∴AD∥EF,同理可得AB∥GF,所以说法正确;B,∵B与G关于点O成中心对称,∴BO=GO,所以说法正确;C,∵CD与HE关于点O成中心对称,∴CD=HE,同理可得BC=GH,所以说法正确;D,∵D与E关于点O成中心对称,∴DO=EO,所以DO=HO错误.答案:D知识点一知识点二知识点三解答这类问题,利用中心对称的性质直接得出部分正确结论,然后根据这些结论“数形结合”进行推理,看能否得出题目其他结论正确.

知识点一知识点二知识点三知识点三中心对称的作图作一个图形的中心对称图形的一般步骤:(1)确定对称中心;(2)找出原图形的关键点(图形的顶点、拐点等,如:作三角形的对称图形时,三角形的三个顶点),分别作出这些关键点的对应点;(3)按照原有次序连接,标注字母并且指明图形是对称图形.知识点一知识点二知识点三名师解读:作中心对称图形的常见的两种方法:方法一:由于中心对称是特殊的旋转,所以可以利用旋转的作图方法,将原图旋转180°所得出的新图形即为所求作的对称图形;方法二:由中心对称的性质知道对称中心是对称点连线的中点,所以可以利用这一特性找到已知图形上各个关键点的对称点,再按照原图的顺序依次连接即可得出所求作图形的对称图形.知识点一知识点二知识点三例3

如图,请画出▱ABCD关于点O对称的图形.(保留作图痕迹)分析:连接AO并延长至A',使A'O=AO,连接BO并延长至B',使B'O=BO,连接CO并延长至C',使C'O=CO,连接DO并延长至D',使D'O=DO,然后顺次连接即可得解.知识点一知识点二知识点三解:如图所示,▱A'B'C'D'即为所求作的▱ABCD关于点O对称的图形.知识点一知识点二知识点三根据题目所给的对称中心,分别作出各关键点(本题中四边形的四个顶点)的对应点,然后按照原来顺序连接即可.

拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一中心对称性质的运用例1

如图所示,已知梯形ABCD中,AD∥BC,请你利用中心对称的性质,把梯形ABCD转化成与原梯形面积相等的三角形,并简要说明变换理由.分析:由于中心对称所得的图形是全等形,所以可以把梯形的一部分旋转180°,使之转变成全等的图形,根据中心对称的性质以及全等三角形的判定与性质得出即可.拓展点一拓展点二拓展点三解:如图所示,取CD的中点M,连接AM并延长交BC延长线于点N,得到△ABN即为与原梯形面积相等的三角形.理由如下:∴△ADM≌△NCM(ASA),△NCM可以看作是△ADM关于点M的对称图形,∴△ABN即为与原梯形面积相等的三角形.拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题,注意利用中心对称图形的性质及全等三角形的判定与性质,正确根据中心对称的性质得出△ADM≌△NCM是解题关键.

拓展点一拓展点二拓展点三拓展点二坐标系或网格中的中心对称例2

如图,在由边长为1的小正方形组成的方格纸中,有两个全等的三角形,即△A1B1C1和△A2B2C2.(1)请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换,将△A1B1C1重合到△A2B2C2上;(2)在方格纸中将△A1B1C1经过怎样的变换后可以与△A2B2C2成中心对称?画出变换后的三角形并标出对称中心.拓展点一拓展点二拓展点三分析:(1)将△A1B1C1先向上平移4个单位,再向右平移3个单位后绕点C1顺时针旋转90°即可得到△A2B2C2;(2)对称中心就是对称点连线的交点,据此即可作出.解:(1)将△A1B1C1先向上平移4个单位,再向右平移3个单位后绕点C1顺时针旋转90°即可得到△A2B2C2.(2)如图,把△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°即可得到与△A2B2C2成中心对称的△DEC1,对称中心为点P.拓展点一拓展点二拓展点三在网格中作对称图形时,根据网格的特点,一般:①先确定一组对应点;②确定图形中的关键点;③分别确定图中所有关键点的对应点;④按原图形顺序依次连接对应点,所得到的图形即为所求作的图形.

拓展点一拓展点二拓展点三拓展点三与中心对称有关的综合题例3

某个图形分别关于两平行直线的轴对称图形,可以由原图形经过一次平移而得到.假如把这两条平行直线换成相交直线,又能得到什么结论呢?如图,已知△ABC,直线a,b相交于点O,作出△ABC关于直线a对称的△A'B'C',然后作出△A'B'C'关于直线b对称的△A″B″C″,你能发现△ABC和△A″B″C″有什么关系吗?猜想:在此图中,若再增加什么条件,能使得△ABC与△A″B″C″关于点O成中心对称呢?拓展点一拓展点二拓展点三分析:由轴对称的性质可得OA=OA'=OA″,再根据旋转的性质解答即可;根据中心对称的性质可得OA=OA″,根据轴对称的性质可得OA=OA'=OA″,然后判断出△AA'A″是直角三角形,AA'⊥A'A″,再根据轴对称的性质判断即可.拓展点一拓展点二拓展点三解:根据题意知OA=OA'=OA″,∴△ABC绕两直线的交点旋转可得到△A″B″C″.猜想:添加条件为a⊥b.理由如下:∵△ABC与△A″B″C″关于点O成中心对称,∴OA=OA″.∵△ABC与△A'B'C'关于直线a对称,△A'B'C'与△A″B″C″关于直线b对称,∴OA=OA'=OA″,∴△AA'A″是直角三角形,∴AA'⊥A'A″,由轴对称的性质,知AA'⊥a,A'A″⊥b,∴a⊥b.拓展点一拓展点二拓展点三在理解中心对称的性质和轴对称的性质的基础上,判断出对应顶点构成的三角形是直角三角形是解题的关键.

知识点一知识点二知识点一中心对称图形

把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.名师解读:(1)中心对称图形的判别方法:由中心对称图形的定义可知,能找到一个点,使该图形绕它旋转180°后能与原图形重合,这个图形就是中心对称图形,因此,可以简单认为“找到对称中心的图形就是中心对称图形,找不到对称中心的图形就不是中心对称图形”.23.2.2中心对称图形知识点一知识点二(2)中心对称图形与中心对称的区别与联系:区别:①中心对称图形是指一个具有某种性质的图形,中心对称是指两个图形的关系.②成中心对称的两个图形中对称点分别在两个图形中,而中心对称图形的对称点在一个图形上.联系:把中心对称图形分成两个图形,则它们又可成中心对称,如果把成中心对称的两个图形看成一个整体(即为一个图形),则它又可成为中心对称图形.知识点一知识点二例1

下列图形中,中心对称图形有(

)A.4个 B.3个 C.2个 D.1个解析:根据中心对称图形的定义和各图的特点进行分析:第四个图只是轴对称图形,第1、第2和第3个图形是中心对称图形.故中心对称图形有3个.答案:B知识点一知识点二判断一个图形是否是中心对称图形,可以简单地认为,能找到对称中心(一个点,图形绕着该点旋转180°后能够和原图形重合)的图形就是中心对称图形,找不到对称中心的图形就不是中心对称图形.

知识点一知识点二知识点二中心对称图形的性质由中心对称图形的概念可知,中心对称图形上的每一对对称点的连线都被它的对称中心平分.知识点一知识点二名师解读:中心对称图形与轴对称图形的关系相同点:都是对称图形.不同点:(1)中心对称图形是对一点而言,而轴对称图形是对一直线而言的;(2)运动方式不同:中心对称图形是绕定点(即对称中心)在平面内旋转180°,而轴对称图形是沿定直线(即对称轴)折叠;(3)中心对称图形的对称中心是对称点连线的中点,而轴对称图形的对称轴是两对称点连线的垂直平分线;(4)中心对称图形一般只有一个对称中心,而轴对称图形可能有几条或无数条对称轴.知识点一知识点二例2

如图,四边形ABCD是关于点O的中心对称图形,请你说明四边形ABCD一定是平行四边形.分析:连接AC,BD,根据中心对称图形的性质可知AC和BD都经过点O,OA=OC,OB=OD,再根据平行四边形的判定可得.解:如图所示,连接AC,BD.∵四边形ABCD是关于点O的中心对称图形,∴AC和BD都经过点O,且OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD为平行四边形.知识点一知识点二本题考查了中心对称图形的性质和平行四边形的判定,由中心对称图形的性质得出AC和BD都经过点O,OA=OC,OB=OD是解题的关键.

拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一中心对称图形与中心对称例1

如图所示的各图中,不是中心对称图形的是(

)解析:这几个图形都是由基本图形组合而成的,基本图形的个数是偶数个才可能是中心对称图形,或者基本图形是中心对称图形并且组合后对称中心重合的是中心对称图形.答案:B拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四由于中心对称图形上的每一对对称点都和对称中心均在同一条直线上,且对称点的连线被对称中心平分.

拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点二中心对称图形与轴对称图形例2

仔细观察如图所示的图案,然后回答下列问题:(填序号)(1)仅是轴对称图形的有

;

(2)仅是中心对称图形的有

;

(3)既是轴对称又是中心对称图形的有

.

拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解析:要抓住各图形的特点,结合轴对称图形、中心对称图形的识别方法来确定.①是轴对称图形,但不是中心对称图形,②是中心对称图形,但不是轴对称图形,③是中心对称图形,但不是轴对称图形,④既是中心对称图形,又是轴对称图形.答案:(1)①

(2)②③

(3)④拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答这类问题时,要注意仔细观察,不要凭想当然,如其中的图形②就容易被误认成既是中心对称图形,又是轴对称图形.

拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点三网格中的中心对称图形例3

如图所示,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形.(1)在图1中,画一个三角形,使它的三边长都是无理数;(2)在图2中,画出一个直角三角形,使它的三边长都是整数;(3)在图3中,画出一个中心对称图形.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四分析:(1)利用勾股定理,找长为无理数的线段,画三角形即可.(2)画一个边长分别为3,4,5的三角形即可;(3)画一个平行四边形即可.解:(1)三边分别为:(2)三边分别为:3,4,5(如图2);(3)画一个平行四边形(如图3).拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四本题的答案不唯一,需仔细分析题意,结合图形,利用勾股定理进行计算并结合中心对称图形的定义可解决问题.

拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点四中心对称图形的应用例4

如图所示,有一个平行四边形和圆,你能作一直线,把它们分成周长和面积都相等的两部分吗?试试看.分析:要作的图形是一条直线,根据两点确定一条直线,只要找出这条直线上的两点即可,由于平行四边形和圆都是中心对称图形,且过其对称中心的直线把图形分成周长和面积都相等的两部分,因而只要画出经过两个图形对称中心的直线即可.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解:如图所示.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四过中心对称图形的对称中心的直线,一定将图形分成全等的两部分,所以如果出现要求将图形分成面积或周长相等的两部分,只要过对称中心画一条直线即可.

知识点知识点关于原点对称的点的坐标两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即P(x,y)关于原点的对称点为P'(-x,-y).名师解读:由关于原点对称的点的坐标特征可知,要得到一个点关于原点对称的点的坐标,只要横坐标是横坐标的相反数,纵坐标是纵坐标的相反数即可.23.2.2中心对称图形知识点例题

若点P(a,2)与Q(-1,b)关于坐标原点对称,则a,b分别为(

)A.-1,2 B.1,-2 C.1,2 D.-1,-2解析:平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(-x,-y),又点P(a,2)与Q(-1,b)关于坐标原点对称,∴a,b分别为1,-2.答案:B知识点结合点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)和点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y),可简单记为:关于横轴对称的点“横不变,纵相反”,关于纵轴对称的点“纵不变,横相反”,关于原点对称的点“全相反”.

拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一坐标系中的中心对称图形例1

已知平面直角坐标系内一点A(2,3),把点A沿x轴向左平移3个单位长度,再以O点为旋转中心旋转180°,然后以y轴为对称轴得到点A',则点A'的坐标为(

)A.(-2,-3) B.(-1,-3) C.(-3,1) D.(-2,3)解析:点A沿x轴向左平移3个单位长度后坐标是(-1,3),再以O点为旋转中心旋转180°对应点的坐标是(1,-3),(1,-3)关于y轴对称的点的坐标是(-1,-3).答案:B拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题,掌握点的坐标的平移变化规律和关于原点中心对称的两点坐标之间的关系以及关于y轴对称的两点坐标之间的关系是关键.

拓展点一拓展点二拓展点三拓展点二在坐标系中作关于原点对称的图形例2

在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,1),B(-4,5),C(-5,2).(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2.(3)画出△ABC绕O顺时针旋转90°的△A3B3C3.拓展点一拓展点二拓展点三分析:(1)根据关于x轴对称的点的坐标特征写出点A,B,C的对应点A1,B1,C1的坐标,然后描点连线即可得到△A1B1C1;(2)根据关于原点对称的点的坐标特征写出点A,B,C的对应点A2,B2,C2的坐标,然后描点连线即可得到△A2B2C2;(3)利用网格特点和旋转的性质画出点A,B,C的对应点A3,B3,C3,连线即可得到△A3B3C3.拓展点一拓展点二拓展点三解:(1)如图,△A1B1C1为所作.(2)如图,△A2B2C2为所作.(3)如图,△A3B3C3为所作.拓展点一拓展点二拓展点三在网格中或坐标系中作图,要充分发挥网格或坐标系的特点,根据网格找出对应的格点或者点的坐标.

拓展点一拓展点二拓展点三拓展点三坐标系中与对称有关的综合题例3

在直角坐标系中,四边形OABC各个顶点坐标分别为(0,0),(2,3),(5,4),(8,2).(1)画出平面直角坐标系,并画四边形OABC.(2)试确定图中四边形OABC的面积.(3)如果将四边形OABC绕点O旋转180°,试确定旋转后四边形上各个顶点的坐标.(4)横坐标乘以-1得的图形与原图形重合吗?拓展点一拓展点二拓展点三分析:(1)画出平面直角坐标系,描出各点,顺次连接各点得到四边形OABC;(2)利用组合图形的面积转化为基本平面图形的面积的和与差,求出即可;(3)利用旋转的性质画出图形,写出坐标即可;(4)横坐标乘以-1得的图形与原图形关于y轴对称,不能与原图形重合.拓展点一拓展点二拓展点三解:(1)如图,四边形OABC即为所求.拓展点一拓展点二拓展点三(3)如图,旋转后四边形上各个顶点的坐标分别为(0,0),(-2,-3),(-5,-4),(-8,-2).(4)横坐标乘以-1得的图形与原图形关于y轴成轴对称,不能与原图形重合.点评:本题考查了坐标与图形变换——旋转:图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.拓展点一拓展点二拓展点三解答这类综合题,综合运用旋转及坐标系的相关知识加以分析,然后根据问题的要求作出图形并作出判断即可.

知识点一知识点二知识点一识别图案中的几何变换图案一般都是由基本图案经过一次或多次变换得出的.名师解读:识别图案的变换时,应:(1)先确定基本图案;(2)确定变换方式和变换顺序.23.3课题学习图案设计知识点一知识点二例1

在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中,没有运用旋转或轴对称知识的是(

)解析:根据轴对称及旋转的定义,结合各选项进行判断:A,即运用了轴对称也利用了旋转,故本选项错误;B,即运用了轴对称也利用了旋转,故本选项错误;C,没有运用旋转,也没有运用轴对称,故本选项正确;D,利用了轴对称,故本选项错误.答案:C知识点一知识点二解答这类问题,根据题目的要求,逐一判断即可.

知识点一知识点二知识点二设计简单的图案我们可以利用平移、轴对称和旋转中的一种进行设计,还可以利用它们中的组合进行图案设计.名师解读:设计简单的图案可以按照以下步骤进行:(1)图案设计要有意义、有主题;(2)确定基本图案;(3)图形变换:运用平移、旋转、轴对称的方式,实现由基本图案到各部分图案的有机组合,并对图案进行适当的修饰.知识点一知识点二例2

如图所示的图案都是在一个图案的基础上,在“几何画板”软件中拖动一点后形成的,它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来,旋转的角度正确的是(

)A.30° B.45° C.60° D.90°解析:每一个图案都可以被通过中心的射线平分成6个全等的部分,则旋转的角度是60°.答案:C知识点一知识点二观察每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得到,就是看这个图形可以被通过中心的射线平分成几个全等的部分,即可确定旋转的角度.

知识点一知识点二例3

在如图所示的图形中,既包含图形的旋转,又有图形的轴对称设计的是(

)解析:根据轴对称图形与图形旋转的定义作答.答案:C知识点一知识点二旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形,轴对称是沿某条直线翻折得到新图形.观察时要紧扣图形变换特点,进行分析判断.

拓展点一拓展点二拓展点一几何变换例1

如图所示,图形①经过

变换得到图形②;图形①经过

变换得到图形③;图形①经过

变换得到图形④(填平移、旋转、轴对称).

解析:根据题意,通过观察图形,可知图形①经过轴对称变换得到图形②;图形①经过顺时针旋转90°得到图形③;图形①经过平移变换得到图形④.答案:轴对称

旋转

平移.拓展点一拓展点二解题时,要先确定出图案中的一个基本图形,再利用这个基本图形,通过平移、旋转或轴对称分别去尝试.由基本图形经过变换形成图形的变换过程一般是不确定的,可以有多种不同的变换途径,一般选择比较简单的一种方法来说明.

拓展点一拓展点二拓展点二生活中的图案例2

五一节前,市园林部门准备在文化广场特设直径均为4米的八个圆形花坛,在内放置面积相同的两种颜色的盆栽花草,要求各个花坛内两种花草的摆设不能相同,如图中的①,②.请你再至少设计出四种方案.拓展点一拓展点二分析:利用图形的旋转、平移及对称设计出图案即可.解:如图所示.拓展点一拓展点二这类问题的答案不唯一,因设计意图和变换的方式不同而不同,熟知这三种图形变换的性质是解答此题的关键.

章末专题整合专题一专题二专题三专题四专题一旋转及旋转作图

例1

如图,△OAB是边长为2的等边三角形.(1)写出△OAB各顶点的坐标;(2)以点O为旋转中心,将△OAB按顺时针方向旋转60°,得到△OA'B',写出点A',B'的坐标.专题一专题二专题三专题四分析:(1)作BC⊥x轴于C,如图,根据等边三角形的性质得OA=OB=2,AC=OC=1,则易得A点坐标和O点坐标,再利用勾股定理计算出BC=,然后根据第二象限点的坐标特征可写出B点坐标;(2)由旋转的性质得∠AOA'=∠BOB'=60°,OA=OB=OA'=OB',则点A'与点B重合,于是可得点A'的坐标为(-1,),再说明点B与点B'关于y轴对称,于是可得到点B'的坐标.专题一专题二专题三专题四解:(1)作BC⊥x轴于C,如图所示,∵△OAB是边长为2的等边三角形,∴OA=OB=2,AC=OC=1,∴A点坐标为(-2,0),O点坐标为(0,0),专题一专题二专题三专题四(2)∵△OAB按顺时针方向旋转60°,得到△OA'B',∴∠AOA'=∠BOB'=60°,OA=OB=OA'=OB',∴点A'与点B重合,即点A'的坐标为(-1,),∵BO与y轴的正半轴的夹角为30°,而∠BOB'=60°,OB=OB',∴点B与点B'关于y轴对称,∴点B'的坐标为(1,).专题一专题二专题三专题四图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如:30°,45°,60°,90°,180°;解决本题的关键是正确理解题目,按题目的叙述一定要把各点的大致位置找准确,正确地作出图形.

专题一专题二专题三专题四专题二中心对称及中心对称图形例2

如图,△ABC的三个顶点都在格点上,每个小方格边长均为1个单位长度,建立如图坐标系.(1)请你作出△ABC关于点A成中心对称的△AB1C1(其中B的对称点是B1,C的对称点是C1),并写出点B1,C1的坐标.(2)连接